2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

A． B． C． D．8．（2024下·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C．或 D．二、多選題9．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．310．（2023上·湖北恩施·高二恩施市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，若對(duì)任意，存在，使，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B．2 C．3 D．4三、填空題11．（2024上·廣東茂名·高一高州市第四中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．（2024上·云南昆明·高二校考期末）已知關(guān)于的不等式在上有解，則的取值范圍為．四、解答題13．（2024上·天津·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)為冪函數(shù)，且在單調(diào)遞減．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)，且，（?。懗龊瘮?shù)的單調(diào)性，無需證明；（ⅱ）求使不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．14．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值，并求此時(shí)函數(shù)的最小值；(2)若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(3)若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.15．（2024上·陜西安康·高一?？计谀┮阎瘮?shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù).(1)求的值與函數(shù)的定義域；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.B能力提升1．（2024下·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，對(duì)于任意且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．5．（2024上·湖北武漢·高一華中師大一附中?？计谀┤魞绾瘮?shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為.6．（2024上·云南·高一統(tǒng)考期末）若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍為．C綜合素養(yǎng)7．（2024上·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于區(qū)間，若函數(shù)同時(shí)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)，②函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間．(1)求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間．(2)函數(shù)的一個(gè)“保值”區(qū)間為，當(dāng)變化時(shí)，求的最大值．8．（2024上·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)?？计谀┒x：若對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，（為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“距”增函數(shù).(1)若，，判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；(2)若，，其中（）為常數(shù).若是“2距”增的數(shù)，求的最小值.第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪指對(duì)函數(shù)的增減性的判定即可得出答案．【詳解】，因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，故A錯(cuò)誤；在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；，所以在上為減函數(shù)，故C正確；，所以在上為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C．2．（2024上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列式計(jì)算即得.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，依題意，，則，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：D3．（2024上·山東棗莊·高三棗莊八中?？茧A段練習(xí)）記函數(shù)f(x)=在區(qū)間[3，4]上的最大值和最小值分別為M和m，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將函數(shù)分離常數(shù)變形后，判斷出其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可得解.【詳解】因?yàn)閒(x)==2+，所以f(x)在[3，4]上是減函數(shù).所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.所以=.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，屬于基礎(chǔ)題.4．（2024上·浙江金華·高一統(tǒng)考期末）若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上的最大值即得.【詳解】令函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞減，，因?yàn)槿我?，不等式恒成立，于是，所?故選：A5．（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后由奇偶性和單調(diào)性解不等式．【詳解】由已知，∴是偶函數(shù)，又時(shí)，是增函數(shù)，所以不等式化為，則，解得，故選：C．6．（2024上·浙江湖州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，再求解不等式.【詳解】函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，，得，解得：所以不等式的解集為.故選：C7．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由已知得，解之得，即的定義域?yàn)椋衷趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得：，解得．故選：D8．（2024下·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由已知建立關(guān)于的不等式組，解出即可．【詳解】由題意，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或或，解得或或，即或.故選：C.二、多選題9．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】CD【分析】由題意可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，由分段函數(shù)的單調(diào)性可運(yùn)算求得答案.【詳解】由對(duì)任意，，可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則，即，可得，結(jié)合選項(xiàng)可知AB錯(cuò)誤，CD正確.故選：CD.10．（2023上·湖北恩施·高二恩施市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，若對(duì)任意，存在，使，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得的最小值，由題意可推出，故得到相應(yīng)不等式，求出a的范圍，即可求得答案.【詳解】由題意時(shí)，，即；而，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由于對(duì)任意，存在，使，過，即，結(jié)合選項(xiàng)，故實(shí)數(shù)的取值可以是，故選：ABC三、填空題11．（2024上·廣東茂名·高一高州市第四中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先由解析式的和式結(jié)構(gòu)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性解抽象不等式.【詳解】的定義域?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.12．（2024上·云南昆明·高二?？计谀┮阎P(guān)于的不等式在上有解，則的取值范圍為．【答案】【分析】由參變量分離法可知，在有解，則，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】原不等式等價(jià)于在有解，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，所以．故答案為：.四、解答題13．（2024上·天津·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)為冪函數(shù)，且在單調(diào)遞減．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)，且，（?。懗龊瘮?shù)的單調(diào)性，無需證明；（ⅱ）求使不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)1(2)（ⅰ）在區(qū)間單調(diào)遞增；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求出的值再由題設(shè)條件取舍；（2）（?。└鶕?jù)單調(diào)性相同的兩函數(shù)在公共區(qū)間上具有相同的單調(diào)性性質(zhì)即得；（ⅱ）利用（ⅰ）的結(jié)論求解抽象不等式即得.【詳解】（1）由題意知，解得：或，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)，此時(shí)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)，此時(shí)冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；所以實(shí)數(shù)的值為1．（2）（ⅰ），在區(qū)間單調(diào)遞增.證明如下：任取，則，由可得：，，則，即，故在區(qū)間單調(diào)遞增.（ⅱ）由（?。┲趨^(qū)間單調(diào)遞增，又由可得：則，解得.14．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值，并求此時(shí)函數(shù)的最小值；(2)若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(3)若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由求出的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值；（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義可求出的值；（3）先求出的減區(qū)間，再根據(jù)在上是減函數(shù)，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題可知，，即，此時(shí)函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù).（2）若為偶函數(shù)，則有對(duì)任意，都有，即，故.（3）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，而在上是減函數(shù)，，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．（2024上·陜西安康·高一?？计谀┮阎瘮?shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù).(1)求的值與函數(shù)的定義域；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，函數(shù)的定義域?yàn)?2)【分析】（1）根據(jù)求出參數(shù)的值，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域；（2）由（1）可得，則對(duì)任意的恒成立，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù)，所以，則，即，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，則令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)函數(shù)無意義，故舍去；綜上可得，函數(shù)的定義域?yàn)?（2）因?yàn)?，則，因?yàn)楹愠闪?，所以?duì)任意的恒成立，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.B能力提升1．（2024下·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，從而將不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，參變分離，再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得答案.【詳解】由于函數(shù)，定義域?yàn)镽，滿足，得是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù).在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即a的取值范圍為，故選：D.2．（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求的最大值與最小值，然后結(jié)合存在性問題與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.【詳解】令，且在單調(diào)遞減，所以的最小值為，可得，且，所以在上單調(diào)遞增，所以因?yàn)榇嬖冢瑵M足，則，所以解得：，故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.3．（2024上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，對(duì)于任意且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意通過構(gòu)造函數(shù)，說明其在上單調(diào)遞減，對(duì)分類討論即可得解.【詳解】由題意不妨設(shè)，又對(duì)于任意且，都有，即對(duì)于任意且，都有，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)對(duì)稱軸為，若，則，即，故滿足題意；若，則，即滿足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.4．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】定義法證明為偶函數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，即，求解即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以為偶函數(shù)．設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即，只需，可得；綜上，.故答案為：C綜合素養(yǎng)7．（2024上·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于區(qū)間，若函數(shù)同時(shí)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)，②函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間．(1)求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間．(2)函數(shù)的一個(gè)“保值”區(qū)間為，當(dāng)變化時(shí)，求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用“保值”區(qū)間的定義分類討論求解即得.（2）分析函數(shù)的單調(diào)性，利用“保值”區(qū)間的定義建立方程，再轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解即可.【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間，則在上單調(diào)，即有或，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，于是是方程，即的兩個(gè)不同的非正實(shí)根，顯然，方程兩根異號(hào)，與矛盾，即不符合題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，則有，所以函數(shù)的“保值”區(qū)間為.（2）令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，由是函數(shù)的一個(gè)“保值”區(qū)間，得或，且在上單調(diào)遞增，則，即是方程，即的兩個(gè)同號(hào)的不等根，于是，解得，且，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)新定義構(gòu)造滿足條件的方程（組），將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型求解是解題的關(guān)鍵.8．（2024上·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校考期末）定義：若對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，（為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“距”增函數(shù).(1)若，，判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；(2)若，，其中（）為常數(shù).