人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)專(zhuān)題13.6軸對(duì)稱(chēng)(壓軸題綜合測(cè)試卷)專(zhuān)題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題13.6軸對(duì)稱(chēng)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿(mǎn)分30分）1．（2024八年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，圖案是由一個(gè)窗花通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換而形成的，則變換次數(shù)最多和最少分別是（

）．A．5，3 B．8，4 2．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱(chēng)變換，若原來(lái)點(diǎn)A的坐標(biāo)是a,b，則經(jīng)過(guò)第2019次變換后，所得A點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．a(chǎn),?b B．?a,?b C．?a,b D．a(chǎn),b3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(2a+b,?a+1)，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2(4?b,b+2)，則A．(9,3) B．(?9,3) C．(9,?3) D．(?9,?3)4．（23-24八年級(jí)上·福建福州·單元測(cè)試）△ABC中，AB=AC=12cm，P在線段BC上，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，若它一腰上的高與另一腰所成的銳角等于60°，則PE+PD的值為（

A．3cm B．6cm C．9cm 5．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在銳角△ABC中，AB=15,△ABC的面積為90，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（

）A．12 B．15 C．18 D．96．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）△ABC在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線相交于P點(diǎn)，若∠AEB=32∠EAC=32A．12α B．α C．90°?17．（23-24八年級(jí)上·廣東·單元測(cè)試）如圖，已知：∠MON=30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1BA．6 B．12 C．32 D．648．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結(jié)AD、BE和CF交千點(diǎn)P，則以下結(jié)論中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④PB+PC+PD=BE．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DA=DB，E為△ABC外一點(diǎn)，BE=AB且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，有下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．410．（23-24八年級(jí)上·湖北荊門(mén)·期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D為AB的中點(diǎn)，P為CD上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PE．則下列結(jié)論：①∠PAD+∠PEC=30°，②△PAE為等邊三角形；③PD=CE?CDA．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④評(píng)卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分）11．（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的格點(diǎn)上，請(qǐng)你再找一個(gè)格點(diǎn)D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，這樣的格點(diǎn)D有個(gè)．12．（23-24八年級(jí)上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于F，E點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△PBD周長(zhǎng)的最小值為．13．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，∠AOB=18°，點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，P、Q分別是邊OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則β?α=．14．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0，8，點(diǎn)B為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABC．若點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，連接PC，則PC的長(zhǎng)的最小值為15．（23-24八年級(jí)上·山東濱州·期中）如圖，已知點(diǎn)B是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合），在AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE,CD，下列結(jié)論正確的是（填序號(hào)）①△ABE≌△DBC；②∠CHE=60°；③GF∥AC；④△BFG是等邊三角形；⑤HB平分∠AHC；⑥AH=DH+BH；⑦CH=BH+EH；⑧∠HGF=∠HBF；⑨評(píng)卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿(mǎn)分55分）16．（6分）（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過(guò)B作BF⊥AD，垂足為F，延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E．（1）求證：△ABE為等腰三角形；（2）已知AC=16，BD=3，求AB的長(zhǎng)．17．（6分）（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·月考試題）如圖，在10×8的方格圖中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）畫(huà)出△A'B'C（2）在直線m上找一點(diǎn)D，使得△BCD的周長(zhǎng)最?。唬ūＡ糇鲌D痕跡）（3）延長(zhǎng)BC交直線m于E，若△BEF是以BE為底邊的等腰三角形，那么圖中這樣的格點(diǎn)F共有_______個(gè)．18．（6分）（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．（1）若∠ACB=110°，則∠MCN的度數(shù)為；（2）若∠MCN=α，求∠MFN的度數(shù)；（用含α的代數(shù)式表示）（3）連接FA、FB、FC，△CMN的周長(zhǎng)為6cm，△FAB的周長(zhǎng)為14cm，求19．（6分）（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，等邊△ABC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使BD=AB，連接CD，點(diǎn)E是CD邊上任意一點(diǎn)，以AE為邊作等邊△AEF，連接DF．（1）試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（6分）（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期中）【綜合實(shí)踐】如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請(qǐng)判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點(diǎn)O，l2上有一點(diǎn)M在點(diǎn)O右側(cè)且OM=4，點(diǎn)N是l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，連接21．（8分）（23-24八年級(jí)下·吉林·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，點(diǎn)D在AC上，CD=8cm．點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BA上由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度均為（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，∠DMN（2）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△BMN是直角三角形？（3）若點(diǎn)M和點(diǎn)N在到達(dá)終點(diǎn)后不停止運(yùn)動(dòng)，而是沿著△ABC的三邊順時(shí)針繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到回到出發(fā)點(diǎn)后停止，直接寫(xiě)出：線段MN與△ABC的某一邊平行時(shí)的時(shí)間．22．（8分）（23-24八年級(jí)上·湖北荊門(mén)·期末）如圖,等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)A、B分別在坐標(biāo)軸上．（1）如圖1，若C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖2，將△ABC擺放至x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥x軸于D點(diǎn)，求CDAM（3）如圖3，若點(diǎn)A坐標(biāo)為?4,0，分別以O(shè)B，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角△BOF與等腰直角△ABE，連接EF交y軸于P點(diǎn)．當(dāng)B點(diǎn)在y軸正半軸上移動(dòng)時(shí)，下列兩個(gè)結(jié)論：①PB的長(zhǎng)不變；②23．（9分）（23-24八年級(jí)上·重慶大足·期末）在△ABC和△CDE中，BC=CD，連接BD，BD恰好平分∠ABC．

（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求（2）如圖2，在射線BD上存在一點(diǎn)F，使∠FCE+∠ABC=180°，連接CF．當(dāng)∠ABC=120°（3）如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，連接EF并延長(zhǎng)，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，若MN=23，AB=BC，P，Q分別為AC和DC上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△FPQ周長(zhǎng)的最小值專(zhuān)題13.6軸對(duì)稱(chēng)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿(mǎn)分30分）1．（2024八年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，圖案是由一個(gè)窗花通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換而形成的，則變換次數(shù)最多和最少分別是（

）．A．5，3 B．8，4 【思路點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)變換，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可求解，掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解題過(guò)程】解：每次變換一個(gè)窗花，需9次；先變換1個(gè)，接著2個(gè)，再4個(gè)，最后2個(gè)，共4次；∴變換次數(shù)最多和最少分別是9，故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱(chēng)變換，若原來(lái)點(diǎn)A的坐標(biāo)是a,b，則經(jīng)過(guò)第2019次變換后，所得A點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．a(chǎn),?b B．?a,?b C．?a,b D．a(chǎn),b【思路點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)變換，點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律探究，讀懂題目信息，觀察出每四次對(duì)稱(chēng)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．觀察圖形可知每四次對(duì)稱(chēng)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2019除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)A所在的象限，然后解答即可．【解題過(guò)程】解：點(diǎn)A第一次關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后在第四象限，所得A點(diǎn)的坐標(biāo)是a,?b；點(diǎn)A第二次關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后在第三象限，所得A點(diǎn)的坐標(biāo)是?a,?b；點(diǎn)A第三次關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后在第二象限，所得A點(diǎn)的坐標(biāo)是?a,b；點(diǎn)A第四次關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后在第一象限，即點(diǎn)A回到原始位置，所得A點(diǎn)的坐標(biāo)是a,b；所以，每四次對(duì)稱(chēng)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2019÷4=504余3，∴經(jīng)過(guò)第2019次變換后所得的A點(diǎn)與第三次變換的位置相同，在第二象限，坐標(biāo)為?a,b．故選：C．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(2a+b,?a+1)，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2(4?b,b+2)，則A．(9,3) B．(?9,3) C．(9,?3) D．(?9,?3)【思路點(diǎn)撥】本題考查平面直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的問(wèn)題．點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(2a+b,?a+1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2a+b,a?1)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2(4?b,b+2)，則的P的坐標(biāo)是(b?4,b+2)，因而就得到關(guān)于a，b的方程組，從而求出a，【解題過(guò)程】解：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(2a+b,?a+1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2a+b,a?1)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2(4?b,b+2)，則的根據(jù)題意得：2a+b=b?4a?1=b+2解得：a=?2b=?5∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(?9,?3)．故選：D．4．（23-24八年級(jí)上·福建福州·單元測(cè)試）△ABC中，AB=AC=12cm，P在線段BC上，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，若它一腰上的高與另一腰所成的銳角等于60°，則PE+PD的值為（

A．3cm B．6cm C．9cm 【思路點(diǎn)撥】本題考查了30°的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，分一腰上的高在外部和內(nèi)部討論即可．【解題過(guò)程】解：當(dāng)一腰上的高在外部時(shí)，如圖，連接AP，

由題意知：∠ABH=60°，BH⊥AC，∴∠BAH=30°，∴BH=1∵S△ABC∴12∴PE+PD=6cm當(dāng)一腰上的高在內(nèi)部時(shí)，如圖，連接AP，

由題意知：∠ABH=60°，BH⊥AC，∴∠BAH=30°，∴BH=1∵S△ABC∴12∴PE+PD=6cm綜上，PE+PD=6cm故選：B．5．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在銳角△ABC中，AB=15,△ABC的面積為90，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（

）A．12 B．15 C．18 D．9【思路點(diǎn)撥】本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握“將軍飲馬”模型是解題的關(guān)鍵．如圖：在BA上取一點(diǎn)G，使BG=BF，連接CG，EG，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF=CE+EG≥CG≥CH得到CE+EF的最小值為CH的長(zhǎng)，再求出【解題過(guò)程】解：如圖：在BA上取一點(diǎn)G，使BG=BF，連接CG，EG，作CH⊥AB于∵BD平分∠ABC，∴直線BD是∠ABC的對(duì)稱(chēng)軸，∴EG=EF，∴CE+CF=CE+EG≥CG≥CH，∴CE+EF的最小值為CH的長(zhǎng)，∵AB=15，△ABC的面積為90，∴12AB?CH=1∴CE+EF的最小值為：12．故選：C．6．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）△ABC在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線相交于P點(diǎn)，若∠AEB=32∠EAC=32A．12α B．α C．90°?1【思路點(diǎn)撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．連接AP，延長(zhǎng)BP交AC于D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證得∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出∠BAE．【解題過(guò)程】解：連接BP，CP，∵∠AEB=3∴∠EAC=α，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE，∴∠ACE=∠AEB?∠EAC=∵點(diǎn)P是AB，AC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP=α，∠CBP=∠BCP=∠ACP?∠ACB=α?1設(shè)∠ABP=∠BAE=x，∴∠ABC=∠ABP?∠BPC=x?12∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴x?∴x=90°?1即∠BAE=90°?故選：C．7．（23-24八年級(jí)上·廣東·單元測(cè)試）如圖，已知：∠MON=30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1BA．6 B．12 C．32 D．64【思路點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A【解題過(guò)程】解：如圖，∵△A∴A1B1∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°?120°?30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°?60°?30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA∴A2∵△A2B∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2∴A3A4A以此類(lèi)推：A6故選：C．8．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結(jié)AD、BE和CF交千點(diǎn)P，則以下結(jié)論中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④PB+PC+PD=BE．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】證明△ABD≌△CBFSAS，△ACD≌△BCESAS，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，進(jìn)一步可判斷①②，證明∠APC=60°，求出∠BPC=120°，進(jìn)一步可判斷③，在PA上截取PG=PB，連接BG，證明∠BGA=∠BPC=120°，再證△BAG≌△BCPAAS，可得PC=GA【解題過(guò)程】解：∵△ABC，△BDF是等邊三角形，∴BA=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60°，∴∠ABD=∠CBF，∴△ABD≌△CBFSAS∴∠BAD=∠BCF，AD=CF，同理可得△ACD≌△BCESAS∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，∠BEC=∠ADC，∴AD=BE=CF，故①②符合題意；∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=120°，∴∠BPA=60°=∠DPE，同理可得∠APC=60°，∴∠BPC=120°，∠EPC=60°，∴∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，故③符合題意；如圖，在PA上截取PG=PB，連接BG，∴△BPG是等邊三角形，∴∠BGP=60°，∴∠BGA=120°，∴∠BGA=∠BPC，又∵∠BAG=∠BCP，AB=CB，∴△BAG≌△BCPAAS∴PC=GA，∴PA=PG+GA=PB+PC，∵AD=BE，∴PB+PC+PD=PA+PD=AD=BE；故④符合題意；故選D9．（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DA=DB，E為△ABC外一點(diǎn)，BE=AB且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，有下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到等邊三角形的邊角關(guān)系，然后利用“邊邊邊”證明△ACD≌△BCD，從而可證明結(jié)論①正確；利用“邊角邊”證明△BED≌△BCD，從而可證明結(jié)論③正確；利用平行線的性質(zhì)得出∠DAC=∠ECA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ECA=∠DBC=∠DBE=15°，求得∠CBE=30°，則可證明BE是AC的中垂線，再根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)求出△EBC中BE邊上的高，即可求得S△EBC=1，即結(jié)論④正確；證明△ACD≌△BED，則有∠EBD=∠CAD，根據(jù)對(duì)頂角相等有∠AON=∠BOD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ANB=∠ADB，若BE⊥AC，則∠ANB=∠ADB=90°【解題過(guò)程】解：如圖，連接DC，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，∵DB=DA，DC=DC，∴△ACD≌△BCDSSS∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=30°∴結(jié)論①正確；∵BE=AB，∴BE=BC，∵∠EBD=∠CBD，BD=BD，∴△BED≌△BCDSAS∴∠DEB=∠BCD=30°．∴結(jié)論③正確；∵EC∥AD，∴∠DAC=∠ECA，∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，∴設(shè)∠ECA=∠DBC=∠DBE=x，∵BE=BA，∴BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=60°+x，∴2x解得：x=15°，∴∠CBE=30°，∴∠ABE=60°?∠CBE=30°，∴BE是AC的中垂線∵BC=BE=2，∠CBE=30°，∴BE邊上的高為12∴S△EBC∴結(jié)論④正確；∵△ACD≌△BCD，△BED≌△BCD，∴△ACD≌△BED，∴∠EBD=∠CAD，又∵∠AON=∠BOD，若BE⊥AC，則∠ANB=∠ADB=90°，而∠ADB不一定等于90°，故結(jié)論②錯(cuò)誤；故①③④正確，共3個(gè)結(jié)論正確，故選C．10．（23-24八年級(jí)上·湖北荊門(mén)·期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D為AB的中點(diǎn)，P為CD上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PE．則下列結(jié)論：①∠PAD+∠PEC=30°，②△PAE為等邊三角形；③PD=CE?CDA．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【思路點(diǎn)撥】連接BP，由等腰三角形的性質(zhì)和線段的中垂線性質(zhì)即可判斷①；由三角形內(nèi)角和定理可求∠PEA+∠PAE=120°，可得∠APE=60°，可判斷②；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由“SAS”可證△HAC≌△∠EAC，延長(zhǎng)PD至H，使PD=HD，則點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接HA，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)即可判斷③；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由三角形的面積的和差關(guān)系可判斷④．【解題過(guò)程】解：如圖，連接BP，∵AC=BC，∠ABC=30°，點(diǎn)D是∴∠CAB=∠ABC=30°，AD=BD，CD⊥AB，∴CD是AB的中垂線，∴AP=BP，而AP=PE，∴AP=PB=PE，∴∠PAB=∠PBA，∠PEB=∠PBE，∴∠PBA+∠PBE=∠PAB+∠PEB，∴∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，故①正確；∵PA=PE，∴∠PAE=∠PEA，∵∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，∴∠PAE+∠PEA=180°?60°=120°，∴∠APE=60°而PA=PE，∴△PAE是等邊三角形，故②正確；如圖，延長(zhǎng)PD至H，使PD=HD，則點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為H，連接HA，∴AP=AH，∵△PAE是等邊三角形，∴AE=AP，∴AE=AH，∵∠CAD=∠CAP+∠PAD=30°，∴2∠CAP+2∠PAD=60°，∴∠CAP+∠PAD+∠HAD=60°?∠PAC，∴∠EAC=60°?∠PAC，∴∠HAC=∠EAC，∵AC=AC，∴△HAC≌△∠EACSAS∴CH=CE，∴CE=CH=CP+PD+DH=CP+2PD，∴PD=CE?CP過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，∵CG=CP，∴△CPG是等邊三角形，∴∠CGP=∠PCG=60°，∴∠ECP=∠PGB=120°，且EP=PB，∴△PCE≌△PGBAAS∴CE=GB，∴AC=BC=BG+CG=EC+CP，∵∠ABC=30°，∴AF=1∵S△ACB∴S四邊形所以其中正確的結(jié)論是①②③④．故選：C．評(píng)卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分）11．（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的格點(diǎn)上，請(qǐng)你再找一個(gè)格點(diǎn)D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，這樣的格點(diǎn)D有個(gè)．【思路點(diǎn)撥】此題考查利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案，如圖1，以線段AB的垂直平分線為對(duì)稱(chēng)軸，找出點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，然后順次連接即可；如圖2，以線段AB所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸，找出點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，然后順次連接即可；如圖3，以線段BC的垂直平分線為對(duì)稱(chēng)軸，找出點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，然后順次連接即可；如圖4，以線段BC所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸，找出點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，然后順次連接即可．【解題過(guò)程】解：如圖所示：故答案為：4．12．（23-24八年級(jí)上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于F，E點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△PBD周長(zhǎng)的最小值為．【思路點(diǎn)撥】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)—最短路線問(wèn)題．連接AD，AP，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線，可知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為BP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解題過(guò)程】解：如圖，連接AD，AP，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S解得：AD=6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AP+PD=BP+PD≥AD，∴△BDP周長(zhǎng)的最小值=BP+PD故答案為：8．13．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，∠AOB=18°，點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，P、Q分別是邊OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則β?α=．【思路點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱(chēng)?最短問(wèn)題、三角形外角的性質(zhì)．作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN【解題過(guò)程】解：如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ=∴∠QPN=∠OPM∴180°?α=36°+180°?β，∴β?α=36°，故答案為：36°．14．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0，8，點(diǎn)B為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABC．若點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，連接PC，則PC的長(zhǎng)的最小值為【思路點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)―最短路線問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得BE=PC，則當(dāng)BE有最小值時(shí)，PC有最小值，即可求解．【解題過(guò)程】解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AP于F，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8)，∴OA=8∵點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，∴AP=4∵△AEP是等邊三角形，EF⊥AP，∴AF=PF=2,AE=AP，∠EAP=∠BAC=60°，∴∠BAE=∠CAP，在△ABE和△ACP中，AE=AP∴△ABE≌△ACPSAS∴BE=PC∴當(dāng)BE有最小值時(shí)，PC有最小值，即BE⊥x軸時(shí)，BE有最小值，∴BE的最小值為OF=OP+PF=4+2=6，∴PC的最小值為6，故答案為：6．15．（23-24八年級(jí)上·山東濱州·期中）如圖，已知點(diǎn)B是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合），在AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE,CD，下列結(jié)論正確的是（填序號(hào)）①△ABE≌△DBC；②∠CHE=60°；③GF∥AC；④△BFG是等邊三角形；⑤HB平分∠AHC；⑥AH=DH+BH；⑦CH=BH+EH；⑧∠HGF=∠HBF；⑨【思路點(diǎn)撥】本題以常見(jiàn)的全等模型-“手拉手”模型為幾何背景，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的綜合問(wèn)題、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)點(diǎn)，還涉及了“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的輔助線作法，掌握相關(guān)結(jié)論和方法，進(jìn)行嚴(yán)密的幾何推理是解題關(guān)鍵．【解題過(guò)程】解：∵△ABD、△BCE是等邊三角形，∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=DB,BE=BC，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE即：∠ABE=∠DBC∴△ABE≌△DBC，故①正確；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，∵∠HFE=∠CFB∴∠CHE=∠CBE=60°，故②正確；∵∠ABD=∠CBE=60°,∴∠DBF=60°=∠ABG∵△ABE≌△DBC∴∠BAG=∠BDF∵AB=DB,∴△BAG≌△BDF∴BG=BF∴△BGF是等邊三角形∴∠BGF=60°=∠ABD∴GF∥∵△ABE≌△DBC，∴S∴AE,DC邊上的高相等，即點(diǎn)B到AE,DC的距離相等，∴HB平分∠AHC，故⑤正確；在AE上截取AN=DH，連接BN，如圖所示：∵AN=DH，AB=DB,∠BAN=∠BDH，∴△BAN≌△BDH∴BN=BH,∠ABN=∠DBH∴∠ABN+∠DBN=∠DBH+∠DBN∴∠ABD=∠NBH=60°∴△BNH是等邊三角形，∴BH=NH∴AH=AN+NH=DH+BH，故⑥正確；在CD上截取CM=BH，連接EM，如圖所示：由②得：∠CHE=60°，∴∠AHC=120°由⑤得：HB平分∠AHC，∴∠BHG=∠BHF=60°,∠BHE=120°∴∠BEH+∠HBE=60°∵∠BEH=∠BCF，∠BCF+∠ECM=60°∴∠HBE=∠ECM∵EB=EC∴△HBE≌△ECM∴EM=EH∴△EMH是等邊三角形，∴EH=MH∴CH=CM+MH=BH+EH，故⑦正確；∵∠BHG=∠BFG=60°∴∠BEH+∠HBF=∠BEH+∠HGF∴∠HGF=∠HBF，故⑧正確；∴∠EHC=∠HFG+∠HGF=∠GBH+∠HBF=60°∴∠HFG=∠GBH，故⑨正確；由以上推理可知：△ABE≌△DBC、△BAG≌△BDF，∵∠BCF=∠BEG,BC=BE,∠CBF=∠EBG∴△CBF≌△EBG∴圖中不只有2對(duì)全等三角形，故⑩錯(cuò)誤；故答案為：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨評(píng)卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿(mǎn)分55分）16．（6分）（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過(guò)B作BF⊥AD，垂足為F，延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E．（1）求證：△ABE為等腰三角形；（2）已知AC=16，BD=3，求AB的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵；（1）由垂直的定義得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分線的定義得到∠EAF=∠BAF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，于是得到結(jié)論；（2）連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEF=∠DBF，等量代換得到∠AED=∠ABD，于是得到結(jié)論．【解題過(guò)程】（1）證明：∵BE⊥AD，∴∠AFE=∠AFB=90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠EAF=∠BAF，又∵在△AEF和△ABF中∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°∴∠AEF=∠ABF，∴AE=AB，∴△ABE為等腰三角形；（2）解：連接DE，∵AE=AB，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BE，∴BD=ED，∴∠DEF=∠DBF，∵∠AEF=∠ABF，∴∠AED=∠ABD，又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C，又∵△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC，∴EC=ED，∴CE=BD．∴AB=AE=AC?CE=AC?BD=16?3=13．17．（6分）（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·月考試題）如圖，在10×8的方格圖中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）畫(huà)出△A'B'C（2）在直線m上找一點(diǎn)D，使得△BCD的周長(zhǎng)最?。唬ūＡ糇鲌D痕跡）（3）延長(zhǎng)BC交直線m于E，若△BEF是以BE為底邊的等腰三角形，那么圖中這樣的格點(diǎn)F共有_______個(gè)．【思路點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)作圖，最短路徑問(wèn)題等腰三角形的性質(zhì)，解答（3）關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造底邊BE的垂直平分線．（1）利用軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連B'C交，直線m于點(diǎn)D，點(diǎn)（3）先做出BE的垂直平分線，再找到垂直平分線進(jìn)過(guò)的格點(diǎn)即可．【解題過(guò)程】（1）解：如圖，由題意，作△A'B'C（2）解：由題意，連C'B，交直線m于點(diǎn)D，連CD，理由：由題意，所求△BCD中，BC邊長(zhǎng)為定值，只要BD+CD最小即可，由作圖可知，B,C',D三點(diǎn)共線，BD+CD=BD+C'（3）解：如圖，取點(diǎn)F1，畫(huà)直線CF1，理由：若△BEF則格點(diǎn)F在底邊BE的垂直平分線上，如圖，取點(diǎn)G,H,N，則可知，GN=HE=3，CH=BN=1，且∠CHE=∠BNC=90°,∴△CHE≌△BNC，∴CE=CB，即點(diǎn)C是線段BE的中點(diǎn)，同理，△F∴∠BCN=∠F∴∠BCF∴直線CF1垂直平分線段將△CF1G分別向上、向左平移1個(gè)，3個(gè)單位或者向下，向右平移1個(gè)，3個(gè)單位，分別得到直線C則點(diǎn)F1故答案為：3．18．（6分）（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．（1）若∠ACB=110°，則∠MCN的度數(shù)為；（2）若∠MCN=α，求∠MFN的度數(shù)；（用含α的代數(shù)式表示）（3）連接FA、FB、FC，△CMN的周長(zhǎng)為6cm，△FAB的周長(zhǎng)為14cm，求【思路點(diǎn)撥】此題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)的應(yīng)用及整體思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AM=CM，BN=CN，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AM=CM，BN=CN，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，再求出∠A+∠B，然后求出∠ACB=90°+α（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周長(zhǎng)=AB，再由DF，EF分別垂直平分AC和BC，求出FA=FC，F(xiàn)B=FC即可求解；【解題過(guò)程】（1）解：∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN=180°，∠ACB=∠ACM+∠BCN+∠MCN=110°，∴∠A+∠B=70°，∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN=140°，∴∠MCN=180°?140°=40°，故答案為：40°；（2）解：∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∠CDF=∠CEF=90°，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN=180°，∠MCN=α，∴∠A+∠B=90°?α∴∠ACB=180°?∠A?∠B=90°+α∵四邊形DFEC的內(nèi)角和為360°，∴∠ACB+∠MFN=360°?∠CDF?∠CEF=180°，∴∠MFN=90°?α故答案為：90°?α（3）解：如圖所示，∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周長(zhǎng)為6cm∴AB=6cm∵△FAB的周長(zhǎng)為14cm∴FA+FB+AB=14cm∴FA+FB=8cm∵DF，EF分別垂直平分AC和BC，∴FA=FC，F(xiàn)B=FC，∴2FC=8cm∴FC=4cm19．（6分）（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，等邊△ABC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使BD=AB，連接CD，點(diǎn)E是CD邊上任意一點(diǎn)，以AE為邊作等邊△AEF，連接DF．（1）試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G，使得CG=AC，由△AEF是等邊三角形得到∠EAF=60°,AF=AE=EF，證明△EAG≌△FADSAS，則GE=DF，證明CD垂直平分AG，得到AE=GE，由等量代換即可得到EF=DF，即可證明△DEF（2）延長(zhǎng)AC到點(diǎn)H，使得CH=AC，證明AH=AD，由△AEF是等邊三角形得到∠EAF=60°,AF=AE=EF，證明△EAH≌△FADSAS，則EH=DF，證明CD垂直平分AH，則AE=HE，由等量代換即可得到EF=DF，即可證明△DEF【解題過(guò)程】（1）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G，使得CG=AC，則AG=AC+CG=2AC，∵等邊△ABC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使BD=AB，∴AB=AC=BC，AD=BD+AB=2AB，∠CAB=∠ACB=∠ABC=60°，∴AG=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF=60°,AF=AE=EF，∴∠EAF?∠DAE=∠CAB?∠DAE=60°?∠DAE，∴∠EAG=∠DAF，∴△EAG≌△FADSAS∴GE=DF，∵BD=AB=BC，∴∠BCD=∠BDC，∵∠BCD+∠BDC=∠ABC=60°，∴∠BCD=∠BDC=1∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°，即CD⊥AG，∴CD垂直平分AG，∴AE=GE，∴EF=GE，∵GE=DF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)H，使得CH=AC，則AH=AC+CH=2AC，∵等邊△ABC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使BD=AB，∴AB=AC=BC，AD=BD+AB=2AB，∠CAB=∠ACB=∠ABC=60°，∴AH=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF=60°,AF=AE=EF，∴∠EAF+∠DAE=∠CAB+∠DAE=60°+∠DAE，∴∠EAH=∠DAF，∴△EAH≌△FADSAS∴EH=DF，∵BD=AB=BC，∴∠BCD=∠BDC，∵∠BCD+∠BDC=∠ABC=60°，∴∠BCD=∠BDC=1∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°，即CD⊥AH，∴CD垂直平分AH，∴AE=HE，∴EF=HE，∵EH=DF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形，即（1）中的結(jié)論還成立．20．（6分）（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期中）【綜合實(shí)踐】如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請(qǐng)判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點(diǎn)O，l2上有一點(diǎn)M在點(diǎn)O右側(cè)且OM=4，點(diǎn)N是l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，連接【思路點(diǎn)撥】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理．（1）由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS可得△ABD≌△ACE，則可得出結(jié)論；（2）由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可證△ABD≌△ACESAS，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE（3）證明∠O'MO=45°，當(dāng)OP有最小，即O'P【解題過(guò)程】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS故答案為：△ACE；BD=CE；（2）解：BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE，位置關(guān)系是BD⊥CE∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE；（3）∵△MNP是等腰直角三角形，∴∠MNP=∠NPM=45°，將△OPM繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△O'P'M連接OO∴△PMO≌△P∴MO=MO'，∴∠O當(dāng)OP有最小，即O'P'由∠O'O∴O'P'∴ON=4，OP最小值為4．21．（8分）（23-24八年級(jí)下·吉林·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，點(diǎn)D在AC上，CD=8cm．點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BA上由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度均為（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，∠DMN（2）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△BMN是直角三角形？（3）若點(diǎn)M和點(diǎn)N在到達(dá)終點(diǎn)后不停止運(yùn)動(dòng)，而是沿著△ABC的三邊順時(shí)針繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到回到出發(fā)點(diǎn)后停止，直接寫(xiě)出：線段MN與△ABC的某一邊平行時(shí)的時(shí)間．【思路點(diǎn)撥】（1）計(jì)算出運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)CM、MN、BN的長(zhǎng)，再證明△MBN≌△DCM，得∠BMN=∠CDM，則∠（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，分兩種情況，一是∠BNM=90°，則BM=2BN，可列方程18?5t=5t；二是∠BMN=90°，則BN=2BM，可列方程5t=2(18?5t)，解方程求出相應(yīng)的（3）分三種情況，一是點(diǎn)M在BC邊上，則BM=BN，可列方程18?5t=5t；二是點(diǎn)M在AB邊上，則AM=AN，可列方程18×2?5t=5t?18；三是點(diǎn)M在AC邊上，則CM=CN，可列方程18×3?5t=5t?18×2，解方程求出相應(yīng)的t值即可．【解題過(guò)程】（1）解：如圖1，∵AB=AC=BC=18cm∴△ABC是等邊三角形，∴∠運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，CM=5×2=10(cm)，MB=18?10=8(cm)，∴MB=DC，BN=CM，在△MBN和△DCM中，MB=DC∠B=∠C∴△MBN≌△DCM(SAS∴∠BMN=∴∠∴∠DMN=180°?(（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，如圖2，當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，則∴BM=2BN，18?5t=2×5t，解得t=6如圖3，當(dāng)∠BMN=90°時(shí)，則BN=2BM，5t=2(18?5t)，解得t=綜上所述，運(yùn)動(dòng)65秒或125秒，（3）解：如圖1，當(dāng)MN∥AC時(shí)，∴∠BMN=∴△BMN是等邊三角形，∴BM=BN，∴18?5t=5t，解得t=9如圖4，當(dāng)MN∥BC時(shí)，則∠AMN=∠B=∴△AMN是等邊三角形，∴AM=AN，∴18×2?5t=5t?18，解得t=27如圖5，當(dāng)MN∥AB時(shí)，則∠CMN=∴△CMN是等邊三角形，∴CM=CN，∴18×3?5t=5t?18×2，解得t=9綜_上所述，t的值是95秒或275秒或9秒時(shí)，線段MN與22．（8分）（23-24八年級(jí)上·湖北荊門(mén)·期末）如圖,等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)A、B分別在坐標(biāo)軸上．（1）如圖1，若C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖2，將△ABC擺放至x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥x軸于D點(diǎn)，求CDAM（3）如圖3，若點(diǎn)A坐標(biāo)為?4,0，分別以O(shè)B，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角△BOF與等腰直角△ABE，連接EF交y軸于P點(diǎn)．當(dāng)B點(diǎn)在y軸正半軸上移動(dòng)時(shí)，下列兩個(gè)結(jié)論：①PB的長(zhǎng)不變；②【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，根據(jù)同角的余角相等可以得到∠ABO=∠BCG，進(jìn)一步可以證