2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第05講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立(有解)問題(知識+真題+5類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)

第05講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：分離變量法 3高頻考點二：分類討論法 4高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法 6高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題 8高頻考點五：值域法解決雙參等式問題 10第四部分：新定義題 12 第一部分：基礎(chǔ)知識1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．3、等價轉(zhuǎn)化法當(dāng)遇到型的不等式有解（能成立）問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.4、最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解決雙參等式問題,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數(shù)取值范圍.第二部分：高考真題回顧1．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：分離變量法典型例題例題1．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．例題2．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，不等式在上存在實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍．例題3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）（1）已知，求的最大值與最小值；（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.例題4．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數(shù).(1)證明：.(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.練透核心考點1．（2024·吉林延邊·一模）若對任意，存在實數(shù)，使得關(guān)于x的不等式成立，則實數(shù)的最小值為．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若使不等式成立，求的取值范圍.4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)m的最小值.高頻考點二：分類討論法典型例題例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關(guān)于的不等式解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.例題3．（23-24高二下·重慶綦江·期中）已知函數(shù)（），（）．(1)若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)與的值；(2)當(dāng)時，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．例題4．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，求實數(shù)a的取值范圍．練透核心考點1．（23-24高二下·江蘇泰州·期中）若，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍.3．（23-24·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.4．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得，求的取值范圍.高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法典型例題例題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是.例題2．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，函數(shù).(1)若過點的直線與曲線相切于點，與曲線相切于點.①求的值；②當(dāng)兩點不重合時，求線段的長；(2)若，使得不等式成立，求的最小值.例題3．（23-24高二下·海南省直轄縣級單位·期中）已知.(1)求函數(shù)的最小值；(2)若存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍；練透核心考點1．（23-24高二下·北京·期中）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在（是常數(shù)，）使不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.2．（2023·河北承德·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.3．（23-24高二下·山東聊城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若，且對于任意，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)令，若至少存在一個實數(shù)，使成立，求實數(shù)k的取值范圍．高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題典型例題例題1．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對，都，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．3．（23-24高二下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.高頻考點五：值域法解決雙參等式問題典型例題例題1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)和函數(shù).(1)當(dāng)時，滿足不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對于任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.例題2．（23-24高一上·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，，，，求的取值范圍．例題3．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）己知函數(shù)(1)當(dāng)時，解不等式；(2)已知，當(dāng)時，若對任意的，總存在，使成立，求實數(shù)m的取值范圍．練透核心考點1．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求不等式的解集.(2)記，對，總使得成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，(1)若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．3．（23-24高一上·北京·期中）“函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱”的充要條件是“對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且當(dāng)時，(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)①證明函數(shù)的圖象關(guān)于點稱；②若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.第四部分：新定義題.1．（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，求實數(shù)的最大值.第05講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：分離變量法 3高頻考點二：分類討論法 10高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法 18高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題 25高頻考點五：值域法解決雙參等式問題 31第四部分：新定義題 37 第一部分：基礎(chǔ)知識1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．3、等價轉(zhuǎn)化法當(dāng)遇到型的不等式有解（能成立）問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.4、最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解決雙參等式問題,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數(shù)取值范圍.第二部分：高考真題回顧1．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，畫出大致圖像如下：所以當(dāng)時，與僅有一個交點，令，則，且，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實數(shù)b的取值范圍.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：分離變量法典型例題例題1．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出，即為所求.【詳解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又由，可得，..故選：A.【點睛】思路點睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即只要.例題2．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，不等式在上存在實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上存在實數(shù)解，令，由求解.【詳解】原條件等價于：在上存在實數(shù)解．則在上存在實數(shù)解，令，則，因為時，，則，故在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數(shù)解．所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：例題3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）（1）已知，求的最大值與最小值；（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）最大值，最小值1；（2）【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點函數(shù)值比較大小即可求解最值；（2）解法一：把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點函數(shù)值分析求解即可；解法二：令，求導(dǎo)，對a進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性及最大值，從而求得a的范圍，結(jié)合有唯一整數(shù)解，進(jìn)一步求出a的取值范圍.【詳解】（1）因為，，所以，令，解得，，的變化情況如下表所示．x1+0單調(diào)遞增單調(diào)遞減1所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時，有極大值，也是的最大值.又因為，，而，所以，所以為的最小值.（2）解法一：因為，所以不等式可化為，由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因為的最大值，，，，，所以，時，最大，所以不等式，即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以a的取值范圍為.解法二：令，由題意可知有唯一整數(shù)解，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，而，所以，與題意矛盾；當(dāng)時，由可得或（舍去），當(dāng)時，，時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以時，取最大值為，由題意可知，解得，因為，所以當(dāng)即時，由有唯一整數(shù)解知，解得，若，由在單調(diào)遞增知，矛盾所以，由在單調(diào)遞減可知，所以符合題意；當(dāng)時，，，由在單調(diào)遞減可知，，不符合題意；綜上所述，a的取值范圍為.例題4．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數(shù).(1)證明：.(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性求出的最小值即可證明.（2）分離參數(shù)，借助（1）中不等式關(guān)系進(jìn)行放縮，求其最小值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故.（2）由題意可得不等式有解.因為，所以當(dāng)時，等號成立，所以.故的取值范圍為練透核心考點1．（2024·吉林延邊·一模）若對任意，存在實數(shù)，使得關(guān)于x的不等式成立，則實數(shù)的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意分析可知，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.【詳解】因為，，可得，構(gòu)建，則，構(gòu)建，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，可得，可得，所以實數(shù)的最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，最后構(gòu)建不等式求解．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】由題意，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】存在，使得可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若使不等式成立，求的取值范圍.【答案】【分析】由題設(shè)不等式能成立轉(zhuǎn)化為在上能成立，即需求的最大值，求解即得的取值范圍.【詳解】因為使不等式成立，所以，即.設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為.由，令，得.當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時，，的變化情況如下表：＋0－↗極大值↘由上表可知，當(dāng)時，函數(shù)有極大值，也是最大值，為.所以，即的取值范圍是.4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)m的最小值.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)4【分析】（1）直接利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求極值即可；（2）分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）由，令；令，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，且為，無極大值；（2）由能成立，問題轉(zhuǎn)化為，令，由；由，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，則，故m的最小值為4．高頻考點二：分類討論法典型例題例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關(guān)于的不等式解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得的解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，設(shè)，，作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分，分別求解即可.【詳解】因為，所以.設(shè)，，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；又因為是過點的直線，如圖所示：

由此可得當(dāng)時，的解集中有若干個不同的正整數(shù)解，不滿足題意；當(dāng)時，要使不等式的解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，

當(dāng)過點時，取最小值，因為，此時，當(dāng)過點時，取最大值，因為，此時，所以的取值范圍為.故選：D.例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為1，無極大值；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求極值；（2）由題意可得任意有解，設(shè)，分、及討論即可求解.【詳解】（1），得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值；（2）對任意即，設(shè)，，①當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；②當(dāng)時，令單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；③當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，不成立.綜上，.例題3．（23-24高二下·重慶綦江·期中）已知函數(shù)（），（）．(1)若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)與的值；(2)當(dāng)時，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到方程，求出，從而得到，代入切線中，求出答案；（2）轉(zhuǎn)化為時，，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，求出，再分三種情況求出，得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】（1），由得，∴，，即切點為，代入方程得，所以，；（2）由題意可得時，．∵時，在恒成立，故在為增函數(shù)，∴，．①當(dāng)時，在區(qū)間上遞增，所以，由解得，舍去；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，解得或，∴；③當(dāng)時，在區(qū)間上遞減，所以，由解得，∴.綜上，.例題4．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）先利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，再構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性，分析得，從而得解.【詳解】（1）因為，則，所以，，所以曲線在點處的切線方程；（2）因為，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；不妨令，當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，此時符合題意；當(dāng)，即時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，顯然在處取得極小值，此時極小值為，而，所以，要使，則必有，解得，故，綜上:的取值范圍是.【點睛】結(jié)論點睛：（1）有解；有解．（2）有解；有解．（3）有解；有解．（4），，．練透核心考點1．（23-24高二下·江蘇泰州·期中）若，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則有，因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為：，要想，不等式恒成立，只需，即，因為，所以有成立，設(shè)，則有，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)的最大值為：，因此要想成立，只需，所以的最大值為，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為，從而求出，分類討論的取值范圍，分別求出即可得解.【詳解】令，若使能成立，則對于，即可，而.當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減，則，，而顯然成立，故；當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞增，則，可得；當(dāng)，即時，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，而，∴，故，即不成立；綜上：.3．（23-24·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案．【詳解】（1）當(dāng)時，，所以當(dāng)時；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時函數(shù)有極小值，無極大值.（2）因為在上有解，所以在上有解，當(dāng)時，不等式成立，此時，當(dāng)時在上有解，令，則由（1）知時，即，當(dāng)時；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍．4．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點之間的大小關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）時，，.令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域為，，由已知可知，∴.①當(dāng)時，則，則當(dāng)時，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，∴存在，使得的充要條件是，即，解得；②當(dāng)時，則，則當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴存在，使得的充要條件是，而，不符合題意，應(yīng)舍去.③當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，成立.綜上可得：的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論.高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法典型例題例題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是.【答案】/【分析】參變分離可得有解，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.【詳解】由得，顯然，所以有解，令，則，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，則，即的最小值是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出.例題2．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，函數(shù).(1)若過點的直線與曲線相切于點，與曲線相切于點.①求的值；②當(dāng)兩點不重合時，求線段的長；(2)若，使得不等式成立，求的最小值.【答案】(1)①或1；②(2)1【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求的切線，再由切線與也相切，利用判別式即可求出；根據(jù)確定點，即可求；（2）轉(zhuǎn)化為原命題的非命題，利用單調(diào)性及恒成立探索時非命題成立，可得當(dāng)時原命題成立，再驗證能取得即可得解.【詳解】（1）①，設(shè)，切點.方程，即，聯(lián)立，由，可得或1；②當(dāng)時，，此時重合，舍去.當(dāng)時，，此時，此時.（2）令，，則，所以在上單調(diào)遞增，若對，均有成立，即恒成立，或，對，當(dāng)時，設(shè)，若，即時，，若，即時，，均有.因為，均有的否定為，使得不等式成立，所以由，使得不等式成立，可得，其中包含情況，而時，單調(diào)遞增，注意到在上遞減，在上遞增，成立，符合.綜上：的最小值為1.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問條件為存在性問題，利用命題與命題的否定之間的真假關(guān)系，轉(zhuǎn)化為研究恒成立問題是本題關(guān)鍵點之一，其次證明均有時，變換主元，轉(zhuǎn)為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)分類討論，是解決問題的關(guān)鍵所在.例題3．（23-24高二下·海南省直轄縣級單位·期中）已知.(1)求函數(shù)的最小值；(2)若存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)即可求得的最小值；（2）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】（1）依題意，的定義域是，，..所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，取得最小值.（2）因為存在，使成立，即能成立，即能成立，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，所以.【點睛】結(jié)論點睛：有解問題：（1）有解；有解．（2）有解；有解．（3）有解；有解．（4），，．練透核心考點1．（23-24高二下·北京·期中）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在（是常數(shù)，）使不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是(2)【分析】（1）求得，令，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）把不等式轉(zhuǎn)化為則有解，設(shè)，即，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)的定義域為，且，令，解得，所以，，的對應(yīng)值表為x-0+極小值所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（2）解：由不等式，可得，則設(shè)，因為存在，恒成立，所以又由，令，解得或（舍去）根據(jù)的對應(yīng)值表x1-0+極小值所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，因為，，所以，所以.【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2．（2023·河北承德·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求定義域，求導(dǎo)后，對進(jìn)行分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意，可取，得，對原不等式進(jìn)行放縮可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，再構(gòu)造，求導(dǎo)得，取特殊值可得的最小值為正數(shù)，所以可知在處取得極小值，可得，所以恒成立，故實數(shù)的取值范圍是.【詳解】（1）的定義域為，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，解得：，由，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由，得，取時，得，所以，下證：，即證：，令，則，構(gòu)造，則，易知在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，，在上存在唯一零點，設(shè)該零點為，且滿足，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在上恒成立，即，在上恒成立，故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度相對較大，主要考向有以下幾點：1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性；2、求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；3、求函數(shù)的極值（最值）；4、求函數(shù)的零點（零點個數(shù)），或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍；5、證明不等式；解決方法：對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進(jìn)行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決.3．（23-24高二下·山東聊城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若，且對于任意，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)令，若至少存在一個實數(shù)，使成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)區(qū)間，再討論，得出在上的單調(diào)性，由此得出實數(shù)k的取值范圍；（2）將問題轉(zhuǎn)化為至少存在一個實數(shù)，使成立，求出的最小值，進(jìn)而得出實數(shù)k的取值范圍．【詳解】（1）由，可得，若，則；若，則；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，則，即符合題意；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，解得；綜上所述：實數(shù)k的取值范圍為．（2）若，則，可得，故原題意等價于至少存在一個實數(shù)，使成立，構(gòu)造，則對恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，可得，故實數(shù)k的取值范圍為.【點睛】方法點睛：1．兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．2．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，最后構(gòu)建不等式求解．高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題典型例題例題1．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對，都，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，注意構(gòu)造中間函數(shù)判斷的符號；（2）構(gòu)造研究其單調(diào)性證在上恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的最大值，結(jié)合已知恒能成立有即可求范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)，所以．設(shè)，則，故在上遞減．，即，在上單調(diào)遞減，最小值為．（2）令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上恒成立；又，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上，只需，解得，即實數(shù)的取值范圍是．例題2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，對分類討論求解單調(diào)區(qū)間；（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解．【詳解】（1），（1）當(dāng)時，，，的減區(qū)間是．（2）當(dāng)時，，的減區(qū)間是．（3）當(dāng)時，，，的增區(qū)間是，，的減區(qū)間是．綜上，當(dāng)時，減區(qū)間是；當(dāng)時，增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2），，因為存在實數(shù)，使得不等式成立，，，，,，，單減，，，單增．．，，，．例題3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)．當(dāng)時，若對，，使，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)極值點的大小關(guān)系可得導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而可得函數(shù)單調(diào)性；（2）由（1）在上的最小值為，再將題意轉(zhuǎn)化為在上的最小值不大于在上的最小值，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的最值討論即可.【詳解】（1）∵，∴，令，可得兩根分別為1，，∵，∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減．（2），，由（1）知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴在上的最小值為．對，，使，即在上的最小值不大于在上的最小值，（*）又，∴①當(dāng)時，，此時與（*）矛盾；②當(dāng)時，，同樣與（*）矛盾；③當(dāng)時，，且當(dāng)時，，解不等式，可得，∴實數(shù)b的取值范圍為．練透核心考點1．（23-24高二下·四川綿陽·期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，對，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由單調(diào)性知在上恒成立，采用分離變量法知，由此可求得結(jié)果；（2）將問題等價于，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此構(gòu)造不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1），在上單調(diào)遞增，在上恒成立，，當(dāng)時，，，實數(shù)的最小值為.（2）對“，，使成立”等價于“當(dāng)時，”，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．【答案】【分析】不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解【詳解】由題意可知，因為存在實數(shù)，使得不等式成立，∴，∵，，，單調(diào)遞減減，當(dāng)，，∴單調(diào)遞增．∴，．∴，∴，∵，∴．【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．3．（23-24高二下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，由得到切線斜率，再根據(jù)點坐標(biāo)即可得到切線方程；（2）轉(zhuǎn)化問題為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得的最小值，構(gòu)造，由的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，利用端點值和極值判斷的正負(fù)，進(jìn)而判斷的單調(diào)性，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意，所以0，即切線的斜率，且，所以曲線在點處的切線方程為.（2）由題意知，且的對稱軸為直線，所以當(dāng)時，.由（1），設(shè)，則，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以在區(qū)間上只有一個零點，設(shè)為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，所以，即，因此，實數(shù)的取值范圍是.高頻考點五：值域法解決雙參等式問題典型例題例題1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)和函數(shù).(1)當(dāng)時，滿足不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對于任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，根據(jù)恒成立問題利用參變分離分析求解；（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)單調(diào)性可得，由題意可得需要的取值范圍總包含于的取值范圍，根據(jù)三角函數(shù)有界性可得，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)運算求解.【詳解】（1）由得，即，整理得，因為，則，可得，又因為，即，所以滿足不等式的實數(shù)的取值范圍為．（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，解得．因為，由得，則，可得，若要滿足題中條件，需要的取值范圍總包含于的取值范圍．因為當(dāng)時，，則，解得．綜上所述：實數(shù)的取值范圍為．例題2．（23-24高一上·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，，，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用換元法求函數(shù)解析式即可.（2）分別求出兩個函數(shù)值域，后轉(zhuǎn)化為子集問題解決即可.【詳解】（1）令，則，則，所以的解析式為（2）因為在上單調(diào)遞增，所以因為在上單調(diào)遞減，所以因為，，，