2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義(新高考)第15講：拓展八：定義題(解答題)(學生版+解析)

第15講：拓展八：定義題（解答題10大題）1．（23-24高二下·重慶·階段練習）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導，為函數(shù)的導函數(shù)．若是上的減函數(shù)，則稱為上的“上凸函數(shù)”；反之，若為上的“上凸函數(shù)”，則是上的減函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在上是否為“上凸函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，求的取值范圍；(3)已知函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，為曲線上的任意一點，求證：除點外，曲線上的每一個點都在點處切線的下方．2．（23-24高二下·重慶·階段練習）閱讀知識卡片，結(jié)合所學知識完成以下問題：知識卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式（其中為小區(qū)間長度），當時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.(1)用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時，使所圍圖形的面積最?。?2)一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度（單位：）緊急剎車至停止.求：①求火車在剎車4秒時速度的瞬時變化率（即4秒時的瞬時加速度）；②緊急剎車后至停止火車運行的路程.3．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習）定義：若函數(shù)和的圖象上分別存在點和關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系．(1)判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；(2)若函數(shù)和（）在區(qū)間上具有關(guān)系，求實數(shù)的取值范圍．6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導.例如，對于冪指函數(shù)，.(1)已知，求曲線在處的切線方程；(2)若且，.研究的單調(diào)性；(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.7．（2024·廣東茂名·一模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.8．（2024高三上·全國·專題練習）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；(2)證明：對任意實數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實數(shù)解；(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：當時，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導性）．9．（23-24高一上·云南昆明·期末）設(shè)區(qū)間為函數(shù)定義域的子集，對任意且，記，，，則：在上單調(diào)遞增的充要條件是在區(qū)間上恒成立；在上單調(diào)遞減的充要條件是在區(qū)間上恒成立.一般地，當時，稱為函數(shù)在區(qū)間（時）或（時）上的平均變化率.設(shè)函數(shù)，請利用上述材料，解決以下問題：(1)分別求在區(qū)間、上的平均變化率；(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.10．（23-24高三上·上海靜安·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．(3)定義函數(shù)，對于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個“源數(shù)列”．①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對任意正整數(shù)，均有；②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列？請說明理由．第15講：拓展八：定義題（解答題10大題）1．（23-24高二下·重慶·階段練習）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導，為函數(shù)的導函數(shù)．若是上的減函數(shù)，則稱為上的“上凸函數(shù)”；反之，若為上的“上凸函數(shù)”，則是上的減函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在上是否為“上凸函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，求的取值范圍；(3)已知函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，為曲線上的任意一點，求證：除點外，曲線上的每一個點都在點處切線的下方．【答案】(1)函數(shù)在上是“上凸函數(shù)”，理由見解析(2)(3)證明過程見解析【分析】（1）求導得，令，只需判斷在上是否恒成立即可；（2）由題意設(shè)，則恒成立，即當時，恒成立，從而分類討論、分離參數(shù)即可求解；（3）構(gòu)造函數(shù)，則，借助“上凸函數(shù)”的定義即可得證.【詳解】（1）由題意，，令，則，當時，，即此時，所以即單調(diào)遞減，從而由定義可知函數(shù)在上是“上凸函數(shù)”；（2）因為，所以，設(shè)，則，由題意函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，所以單調(diào)遞減，從而當時，恒成立，即當時，恒成立，當時，不等式左邊為，不等式成立，此時任意，當時，恒成立，而此時，所以此時，當時，恒成立，而此時，等號成立當且僅當，即此時，所以，綜上所述，的取值范圍為；（3）設(shè)為曲線上的任意一點，過點的切線方程為，令，則，函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，則單調(diào)遞減，所以當時，，此時單調(diào)遞減，所以，，當時，，此時單調(diào)遞增，所以，，綜上所述，除點外，曲線上的每一個點都在點處切線的下方.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得到當時，恒成立，由此即可順利得解.2．（23-24高二下·重慶·階段練習）閱讀知識卡片，結(jié)合所學知識完成以下問題：知識卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式（其中為小區(qū)間長度），當時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.(1)用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時，使所圍圖形的面積最小；(2)一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度（單位：）緊急剎車至停止.求：①求火車在剎車4秒時速度的瞬時變化率（即4秒時的瞬時加速度）；②緊急剎車后至停止火車運行的路程.【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）先利用定積分的定義表示出所圍圖形的面積，然后根據(jù)牛頓萊布尼茨公式進行積分運算，最后利用配方法即可得解（2）①求導得瞬時速度；②令，解得的值即為從開始緊急剎車至火車完全停止所經(jīng)過的時間，緊急剎車后火車運行的路程是從0到10對函數(shù)的定積分．【詳解】（1），當時，由曲線圍成的圖形面積最?。?）①，則，故火車在剎車4秒時速度的瞬時變化率為；②當火車的速度時火車完全停止，即，，解得或（舍去）；即從開始緊急剎車至火車完全停止所經(jīng)過的時間為．根據(jù)定積分的物理意義，緊急剎車后火車運行的路程就是從0到10對應(yīng)函數(shù)的定積分，，即緊急剎車后火車運行的路程為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義問題，解決問題關(guān)鍵是熟記導數(shù)運算公式得到積分表達式.3．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習）定義：若函數(shù)和的圖象上分別存在點和關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系．(1)判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；(2)若函數(shù)和（）在區(qū)間上具有關(guān)系，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)與具有關(guān)系；(2)．【分析】（1）依據(jù)給定的新定義結(jié)合導數(shù)判斷即可.（2）令，得出所以在上存在零點且．在上單調(diào)遞增，推出，后結(jié)合給定定義求解參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）與具有關(guān)系．理由如下：根據(jù)定義，若在與的定義域的交集上存在，使得，則與具有關(guān)系．令，，則，所以單調(diào)遞增，又，，所以，使得，即，即與具有關(guān)系．（2）令，則，因為與在上具有關(guān)系，所以在上存在零點．，若，當時，因為，，所以，即在上單調(diào)遞增，則，此時在上不存在零點，不滿足題意．若，當時，，，當時，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，故在上存在唯一零點，設(shè)零點為，則，所以當時，；當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上存在唯一極小值，因為，所以，又，所以在上存在唯一零點，所以函數(shù)與在上具有關(guān)系．綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是得出所以在上存在零點且．在上單調(diào)遞增，推出，然后利用給定定義得到所要求的參數(shù)范圍即可．4．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)圖象的對稱中心.(1)若函數(shù)，求函數(shù)圖象的對稱中心；(2)已知函數(shù)，其中.（?。┣蟮墓拯c；（ⅱ）若，求證：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)“拐點”的定義，對函數(shù)求導即可得結(jié)果，（2）（?。└鶕?jù)“拐點”的定義，對函數(shù)求導，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出結(jié)果；（ⅱ）由（ⅰ）可知，求出函數(shù)在上單調(diào)遞增且，從而得證.【詳解】（1）因為，所以，所以.令，解得，又，所以函數(shù)的“拐點”為，所以函數(shù)圖象的對稱中心為.（2）（?。┮驗?，，所以，，且，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，由零點存在性定理知，有唯一的零點，所，且，當時，，所以的拐點為.（ⅱ）證明：由（i）可知，在上單調(diào)遞增，，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，又，，所以.【點睛】思路點睛：根據(jù)“拐點”的定義求出函數(shù)對稱中心，利用二次求導得出函數(shù)的單調(diào)性即可得證.5．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習）設(shè)函數(shù)的定義域為開區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；(2)設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；(3)設(shè)，求證：對任意實數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”【答案】(1)是，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）記，設(shè)切點為，利用導數(shù)的幾何意義求出，再證明直線與的圖象只有唯一的公共點，將與函數(shù)聯(lián)立，得，記，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解．（2）將點處的切線的方程與聯(lián)立得，記，利用導數(shù)說明函數(shù)存在唯一零點，即可得證；（3）類似第（2）問的思路得到在上有且僅有一解，則或，再分、兩種情況說明即可.【詳解】（1）記，則，設(shè)切點為，由切線方程為知，則，解得．所以切點為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點，將與函數(shù)聯(lián)立，得．記，則，當時，當時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故函數(shù)只有一個零點，故是一條“切線”；（2）因為，所以，則點處的切線方程為，將點處的切線的方程與聯(lián)立得，記，則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個零點（此時，一個對應(yīng)一條“切線”），顯然是的零點，故只要沒其它零點，此時，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故此時為唯一的極小值點（也是最小值點），而，故無其他零點，故直線為“切線”，因為的任意性，故函數(shù)存在無窮多條“切線”，（3）因為，則，設(shè)點在函數(shù)的圖象上，則點的切線為，與聯(lián)立得：，由題意得直線為“切線”，故方程在上有且僅有一解，則或，若，則是方程的唯一解（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標為上的任意值）．若，則（此時只有一條“切線”，切點的橫坐標為）或（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標為上的任意值），綜上，，即證．【點睛】關(guān)鍵點睛：對于新定義問題的關(guān)鍵是理解定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解問題.6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導.例如，對于冪指函數(shù)，.(1)已知，求曲線在處的切線方程；(2)若且，.研究的單調(diào)性；(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.【答案】(1)(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）利用“指數(shù)化"，即可結(jié)合復合函數(shù)的求導法則即可求解，（2）利用“指數(shù)化"，即可結(jié)合復合函數(shù)的求導法則求導，構(gòu)造函數(shù)，即可求解，（3）根據(jù)的單調(diào)性，即可令求解.【詳解】（1），則，所以，又因為，所以切線方程為.（2），，，令，令，，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，令，得，由（2）知在上單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞增，當時，，即.當時，【點睛】方法點睛：利用導數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導數(shù)研究單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．7．（2024·廣東茂名·一模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.【答案】(1)是上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.(2)(3)證明過程見詳解.【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對于任意，都有，，只需且，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.（3）分和兩種情況進行證明，，用放縮法進行證明即可.【詳解】（1）對于任意不同的，有，，所以，，所以是上的“3類函數(shù)”.（2）因為，由題意知，對于任意不同的，都有，不妨設(shè)，則，故且，故為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，故任意，都有，由可轉(zhuǎn)化為，令，只需，令，在單調(diào)遞減，所以，，故在單調(diào)遞減，，由可轉(zhuǎn)化為，令，只需，令，在單調(diào)遞減，且，，所以使，即，即，當時，，，故在單調(diào)遞增，當時，，，故在單調(diào)遞減，，故.（3）因為為上的“2類函數(shù)”，所以，不妨設(shè)，當時，；當時，因為，，綜上所述，，，.【點睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立或恒成立；②數(shù)形結(jié)合（的圖象在上方即可）；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.8．（2024高三上·全國·專題練習）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；(2)證明：對任意實數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實數(shù)解；(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：當時，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導性）．【答案】(1)，減區(qū)間見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由得，則，結(jié)合即可求解；（2）將原方程轉(zhuǎn)化為，得，結(jié)合零點的存在性定理即可證明；（3）令，由拉格朗日中值定理可知存在使，結(jié)合列不等式，即可證明.【詳解】（1）因為，由已知有，所以即，即，由知．當時，由得，則的減區(qū)間為，當時，由得或，的減區(qū)間為和，綜上所述：當時，的減區(qū)間為；當時，的減區(qū)間為和；（2），可化為，令，則，，即，又，所以，，即，由零點的存在性定理知方程在區(qū)間,內(nèi)必有解，即關(guān)于的方程在,恒有實數(shù)解（3）令，，則符合拉格朗日中值定理的條件，即存在，使，所以在時恒成立，對于函數(shù)，，設(shè)任意且，則，因為且，所以，，則，所以，即在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可證在上單調(diào)遞減，所以當時，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是參變分離得到在時恒成立，結(jié)合所給定義證明函數(shù)，的單調(diào)性.10．（23-24高三上·上海靜安·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．(3)定義函數(shù)，對于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個“源數(shù)列”．①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對任意正整數(shù)，均有；②已知