2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義(新高考)第08講拓展三：三角形中面積(定值最值取值范圍)問題(精講)(學生版+解析)

第08講拓展三：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：求三角形面積（定值問題） 2高頻考點二：根據(jù)三角形面積求其它元素 4高頻考點三：求三角形面積最值 6高頻考點四：求三角形面積取值范圍（普通三角形面積取值范圍） 7高頻考點五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍） 8第一部分：基礎知識1、三角形面積的計算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).2、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.3、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：求三角形面積（定值問題）典型例題例題1．（23-24高一下·四川成都·階段練習）在中，已知．(1)求邊；(2)若為上一點，且，求的面積．例題2．（2024·陜西商洛·三模）在中，角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角的大??；(2)若，求的面積．例題3．（2024·全國·模擬預測）已知中，角、、的對邊分別是．(1)求角的大?。?2)若，為邊上一點，，，求的面積．練透核心考點1．（23-24高二下·浙江·階段練習）在中，分別是角的對邊，且滿足．(1)求角的大?。?2)若為的中點且，求的面積．2．（2024·湖南·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，且．(1)證明：是銳角三角形；(2)若，求的面積．3．（2024·北京海淀·一模）在中，.(1)求；(2)若，求的面積.高頻考點二：根據(jù)三角形面積求其它元素典型例題例題1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面對問題中，并解答問題.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求；(2)若的面積為，D為AC的中點，求BD的最小值.例題2．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．例題3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求C；(2)若面積為，，求AB邊上中線的長度．練透核心考點1．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)在中，、、分別是角、、的對邊長，若，，的面積為，求的值.2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）在中，角的對邊分別為，已知．(1)求角的大?。?2)若的面積為，角的平分線與交于點，且，求邊的值．3．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若的面積為，周長為18，求a.高頻考點三：求三角形面積最值典型例題例題1．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）在中，分別是上的點，且與相交于點.(1)用表示；(2)若，求面積的最大值.例題2．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足．(1)求角；(2)若，求面積的最大值．練透核心考點1．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）在中，角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若點是上的點，平分，且，求面積的最小值．練透核心考點1．（22-23高三下·四川雅安·階段練習）在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若，且，求面積的取值范圍．2．（22-23高一下·廣東廣州·階段練習）在中，設a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知向量，，且.(1)求角C的大?。?2)若，求面積的取值范圍.高頻考點五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍）典型例題例題1．（2023·江西·二模）在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.例題2．（2023·河北石家莊·一模）已知內角所對的邊長分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.例題3．（22-23高一下·安徽合肥·階段練習）已知為銳角三角形，角所對的邊分別為，且．(1)求的取值范圍；(2)若，求面積的取值范圍．練透核心考點1．（23-24高二上·河北秦皇島·開學考試）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大小和邊長b的值；(2)求面積的取值范圍．2．（22-23高一下·重慶萬州·階段練習）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求的外接圓的周長和面積.(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.3．（22-23高三下·安徽池州·階段練習）的內角的對邊分別為，已知.(1)求角的值；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.第08講拓展三：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高頻考點一遍過 1高頻考點一：求三角形面積（定值問題） 1高頻考點二：根據(jù)三角形面積求其它元素 7高頻考點三：求三角形面積最值 12高頻考點四：求三角形面積取值范圍（普通三角形面積取值范圍） 16高頻考點五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍） 19第一部分：基礎知識1、三角形面積的計算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).2、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.3、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：求三角形面積（定值問題）典型例題例題1．（23-24高一下·四川成都·階段練習）在中，已知．(1)求邊；(2)若為上一點，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理即可求得答案；（2）求出，即可求出的值，即可得，結合三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）依題意知，在中，，故，故；（2）由于，，故，故，則.例題2．（2024·陜西商洛·三模）在中，角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角的大小；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式即可得解；（2）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）在中，因為，由正弦定理得，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）在中，，由余弦定理得，即，，所以．例題3．（2024·全國·模擬預測）已知中，角、、的對邊分別是．(1)求角的大小；(2)若，為邊上一點，，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及誘導公式、恒等變換公式得到的正切值，進而求解即可；（2）解法一利用已知條件和向量的知識得到，進而實數(shù)化得到和的一個關系式，再由三角形余弦定理結合角的互補關系得出和的另一個關系式，聯(lián)立方程求解即可；解法二直接由第一問的結果結合余弦定理得出和的一個關系式，再由三角形余弦定理結合角的互補關系得出和的另一個關系式，聯(lián)立方程求解即可.【詳解】（1）由正弦定理得，因為故，即，即．而，故，又因為所以．而，故．（2）解法一：由知，兩邊同時平方得，即，化簡得．①在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，所以，故，即，②由①②得，由于，得，代入②得．所以的面積為．解法二：在中，由余弦定理可得，整理得，①在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，所以，故，即，②由①②得，由于，得，代入②得，所以的面積為．練透核心考點1．（23-24高二下·浙江·階段練習）在中，分別是角的對邊，且滿足．(1)求角的大?。?2)若為的中點且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理及正弦的和角公式化簡計算即可；（2）由余弦定理及三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得．又因為在中，有，所以，化簡得．因為，所以，所以，于是．因為，所以．（2）由為的中點，可得．又，所以，在和中，根據(jù)余弦定理從而可得．又，所以，可得．2．（2024·湖南·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，且．(1)證明：是銳角三角形；(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；（2）由兩角和的正弦公式求出，再由正弦定理和三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）證明：因為，所以由正弦定理得，整理得．則，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以是銳角三角形．（2）因為，所以，所以．在中，由正弦定理得，即，所以，所以的面積為．3．（2024·北京海淀·一模）在中，.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉角得到，再利用輔助角公式及特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結果；（2）根據(jù)（1）中及條件，由余弦定理得到，再結合，即可求出，再利用三角形面積公式，即可求出結果.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，得到，即，所以，又因為，所以，得到.（2）由（1）知，所以，又，得到①，又，得到代入①式，得到，所以的面積為.高頻考點二：根據(jù)三角形面積求其它元素典型例題例題1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面對問題中，并解答問題.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求；(2)若的面積為，D為AC的中點，求BD的最小值.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①：利用正弦定理邊化角結合兩角和的正弦化簡求解；選②：利用平方關系結合正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解；選③：利用正弦定理角化邊得即可求解；（2）由面積得，結合余弦定理和基本不等式求最值.【詳解】（1）若選擇①：，由正弦定理可得，因，,故，，則有，因,故.若選擇②：，則，由正弦定理可得，故，因,故.若選擇③；由正弦定理可得，，再由余弦定理得，，即，，．（2），又，在三角形BCD中，，，當且僅當時取等號，的最小值為．例題2．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換化簡可得，再由同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式得解；（2）由三角形面積公式、余弦定理及重要不等式即可求解.【詳解】（1）因為，因為，所以，由△ABC為鈍角三角形且，知，為鈍角，所以，即，所以.（2）因為，所以，由余弦定理，，當且僅當時，等號成立，此時的最小值為，所以c的最小值為.例題3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求C；(2)若面積為，，求AB邊上中線的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變化和的公式，得到，求得，即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式，求得，再由，求得，得到，結合正弦定理得到，聯(lián)立方程組求得，結合余弦定，即可求解.【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，因為，可得，又因為，可得，所以，即，又因為，可得，所以，所以，可得.（2）解：由（1）知，，因為面積為，可得，可得，又因為，可得，所以，又由正弦定理，即，解得，聯(lián)立方程組，解得，如圖所示，設邊的中點為，延長到點，使得，

可知AEBC為平行四邊形，在中，且，由余弦定理得，所以上的中線長為.練透核心考點1．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)在中，、、分別是角、、的對邊長，若，，的面積為，求的值.【答案】(1)最小正周期為，遞增區(qū)間為,(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)題意和角的范圍求出角，再由三角形面積公式求出，最后利用余弦定理求解.【詳解】（1），即，故最小正周期為，令，故，遞增區(qū)間為,.（2）由得，因為，故，故.又，故.故，故2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）在中，角的對邊分別為，已知．(1)求角的大??；(2)若的面積為，角的平分線與交于點，且，求邊的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得結果；（2）由三角形面積公式并利用可得，再由余弦定理即可求得.【詳解】（1）由，得，由正弦定理可得，即；因為，所以可得，又因為，所以．（2）易知，所以；如下圖所示：因為為角平分線，所以，即，即而，所以．3．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若的面積為，周長為18，求a.【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可根據(jù)輔助角公式求解；（2）根據(jù)面積公式可得，結合余弦定理即可求解.【詳解】（1）由正弦定理得，又，得，由輔助角公式可得.圖為中，所以，則，故.（2），而由余弦定理得，即，則，解得.高頻考點三：求三角形面積最值典型例題例題1．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）在中，分別是上的點，且與相交于點.(1)用表示；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設，，求出，表達出；（2）根據(jù)題意求解，求出的最大值，進而求出的最大值.【詳解】（1）設，，因此解得，因此.

（2）由（1）得，，因此，又因為，因此，由，當時，最大為，因此的最大值為.例題2．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足．(1)求角；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡得出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用余弦定理結合基本不等式可求得的最大值，再結合三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1）解：因為，由正弦定理可得，因為、，則，可得，所以，，故.（2）解：由余弦定理可得，當且僅當時，等號成立，故，因此，面積的最大值為.練透核心考點1．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）在中，角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若點是上的點，平分，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角結合兩角和的正弦公式，化簡已知等式，可得，結合同角的三角函數(shù)關系，即可求得答案；（2）利用面積相等，即，推出，利用基本不等式結合三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知中，，故，即,即,所以，而，故，即，又，故；（2）由于點是上的點，平分，且，則，由，得，即，則，當且僅當時取等號，故，當且僅當時取等號，所以，即面積的最小值為.2．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若角的平分線交于點，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，得到，利用正弦定理角轉邊，得到，再利用余弦定理即可求出結果；（2）利用條件，結合，得到，再利用基本不等式，得到，從而求出結果.【詳解】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即．再由余弦定理得．又，所以.（2）因為是角的平分線，則，又，又，所以，得到，又因為，得到，解得，即，當且僅當時等號成立，所以，即面積的最小值是．高頻考點四：求三角形面積取值范圍（普通三角形面積取值范圍）典型例題例題1．（2024·山西·一模）中角所對的邊分別為，其面積為，且.(1)求；(2)已知，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積公式以及余弦定理即可求解，進而可求解，（2）根據(jù)余弦定理結合不等式即可求解.【詳解】（1）因為三角形的面積為，則，所以，又，則；（2）由于，所以，即，取等號，故，故例題2．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在，角所對的邊分別是，且．(1)求的大??；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角得到，知值由范圍求角即可；（2）由（1），已知，由一組對邊角已知可得，借助這一常數(shù)利用正弦定理化邊為角，再由三角恒等變換化簡面積表達式求解最值.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，整理可得，又，所以．（2）因為，所以由正弦定理得，所以，又，所以，所以又因為，可得，所以（當且僅當時，等號成立），可得，由，,即面積的取值范圍是．練透核心考點1．（22-23高三下·四川雅安·階段練習）在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關系將切化弦得到，即可得解；（2）利用正弦定理將邊化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出，由對數(shù)的運算性質及誘導公式得到，即可求出的取值范圍，在結合三角形面積公式計算可得.【詳解】（1）因為，所以．在中，，所以，則．因為，所以．（2）由及正弦定理得，所以．由余弦定理得，所以，當且僅當時，等號成立．因為，所以，則，所以，因為的面積為，所以面積的取值范圍是．2．（22-23高一下·廣東廣州·階段練習）在中，設a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知向量，，且.(1)求角C的大?。?2)若，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量平行坐標表示、正弦邊角關系得，由余弦定理求，即可得結果．（2）由三角形面積公式有，由及基本不等式求范圍，即可得面積的范圍．【詳解】（1）由，，且，所以，由正弦定理得：，化為：，由余弦定理得：，，故.（2）由，又，即，當且僅當時等號成立，所以，綜上，.高頻考點五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍）典型例題例題1．（2023·江西·二模）在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，余弦定理求解即可；（2）由題知，進而結合正弦定理得，再根據(jù)面積公式，結合三角恒等變換求解即可.【詳解】（1）解：因為所以整理可得，所以，由正弦定理可得：.由余弦定理知，，因為，所以（2）解：由（1）知，，所以，又是銳角三角形，所以，且，解得，因為，由正弦定理知：，，所以所以因為，所以，所以所以，面積的取值范圍為.例題2．（2023·河北石家莊·一模）已知內角所對的邊長分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可得，結合三角形內角性質求角的大?。唬?）法一：由已知可得，應用正弦邊角關系及三角形面積公式可得即可得范圍；法二：根據(jù)三角形為銳角三角形，應用幾何法找到邊界情況求面積的范圍.【詳解】（1）由余弦定理得，即，所以，又，則.（2）法一：為銳角三角形，，則，所以，可得，又，則，故由，即而，所以，故面積的取值范圍為.法二：由，畫出如圖所示三角形，為銳角三角形，點落在線段（端點除外）上，當時，，當時，，.例題3．（22-23高一下·安徽合肥·階段練習）已知為銳角三角形，角所對的邊分別為，且．(1)求的取值范圍；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得.根據(jù)三角形是銳角三角形求得的取值范圍，利用正弦定