人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)專題14.1整式的乘除(壓軸題專項(xiàng)講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題14.1整式的乘除思想方法思想方法整體思想：指把研究對(duì)象的某一部分（或全部）看成一個(gè)整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。整體是與局部對(duì)應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(gè)（或多個(gè)）未知量時(shí)，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，從而使問題得到解決。配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二數(shù)和的平方，或二數(shù)差的平方，將配成的“平方”視作為一個(gè)整體，然后再根據(jù)已知條件進(jìn)行運(yùn)算，從而使題目簡(jiǎn)化得以解答。配方的方法：①根據(jù)已知條件的表現(xiàn)形式，去發(fā)現(xiàn)平方項(xiàng)和一次項(xiàng)的乘積形式，如果平方項(xiàng)互為倒數(shù)，則往往一次項(xiàng)以常數(shù)出現(xiàn)，隱藏了一次項(xiàng)的乘積不易發(fā)現(xiàn)，此時(shí)，就要抓住平方公式的特點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)和挖掘；②從要求的結(jié)果方面去配方，將要求的表達(dá)式向著已知條件的表現(xiàn)形式去配方，利用已知條件達(dá)到解題的目的.由于配方擴(kuò)大了已知條件和要求解的范圍，可能會(huì)產(chǎn)生不符合要求的結(jié)果，就要根據(jù)已知條件和所要求解的結(jié)果進(jìn)行討論，舍去不符合題意的答案.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、冪的運(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2.冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。3.積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。4.同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。注：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。二、整式的乘法單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：系數(shù)相乘，字母相乘．單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．三、整式的除法單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：系數(shù)相除，字母相除．多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：除法性質(zhì)．多項(xiàng)式÷多項(xiàng)式：大除法．四、乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。典例分析典例分析【典例1】閱讀理解：若x滿足60?xx?40=20，求解：設(shè)60?x=a，x?40=b，則ab=20，a+b=60?x+x?40=20．∴60?x=a=(a+b)==360；類比探究：（1）若x滿足70?xx?20=?30，求（2）若x滿足3?4x2x?5=92，求3?4x2（3）若x滿足2023?x2+2020?x解決問題：（4）如圖，正方形AEGO和長(zhǎng)方形KLMC重疊，重疊部分是長(zhǎng)方形BEFC其面積是300，分別延長(zhǎng)FC、BC交AO和OG于D、H兩點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形ABCD和CFGH都是正方形，四邊形ODCH是長(zhǎng)方形.設(shè)CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，F(xiàn)M=20，延長(zhǎng)AO至P，使OP=2OD，延長(zhǎng)AE至R，使RE=2BE，過點(diǎn)P、R作AP、AR垂線，兩垂線交于點(diǎn)N，求正方形ARNP的面積.（結(jié)果是一個(gè)具體的數(shù)值）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）將(3?4x)(2x?5)=92轉(zhuǎn)化為(3?4x)[2(2x?5)]=9，即（3）根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（4）根據(jù)已知可得BC=3x?54，CF=x?20，從而可得BC?CF=(3x?54)(x?20)=300，再根據(jù)題意得：AB=BC=3x?54，CF=BE=x?20，從而可得BR=3BE=3(x?20)，進(jìn)而可得AR=(3x?54)+(3x?60)，然后利用（3）的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解題過程】解：（1）設(shè)70?x=a，x?20=b，則ab=?30，a+b=70?x+x?20=50，∴(70?x)=a=(a+b)=50=2500+60=2560，∴(70?x)（2）∵3?4x2x?5∴(3?4x)[2(2x?5)]=9，∴(3?4x)(4x?10)=9，設(shè)3?4x=m，4x?10=n，則m+n=3?4x+4x?10=?7，mn=9，∴(3?4x)=(3?4x)=(3?4x)=m=(m+n)=(?7)=49?18=31，∴(3?4x)2+4(2x?5（3）設(shè)2023?x=p，2020?x=q，則p?q=2023?x?(2020?x)=3，p2∴2pq=p=2061?3=2061?9=2052，∴(2023?x)(2020?x)=pq=1026，∴(2023?x)(2020?x)的值為1026；（4）∵CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，F(xiàn)M=20，∴BC=KC?KB=3x?54，CF=CM?FM=x?20，∵長(zhǎng)方形BEFC的面積是300，∴BC?CF=(3x?54)(x?20)=300，由題意得：AB=BC=3x?54，CF=BE=x?20，∵ER=2BE，∴BR=3BE=3(x?20)，∴AR=AB+BR=(3x?54)+3(x?20)=(3x?54)+(3x?60)，∵(3x?54)(x?20)=300，∴(3x?54)[3(x?20)]=900，∴(3x?54)(3x?60)=900，設(shè)3x?54=a，3x?60=b，則a?b=3x?54?(3x?60)=6，ab=900，∴正方形ARNP的面積=AR=[(3x?54)+(3x?60)]=(a+b)=(a?b)=6=36+3600=3636，∴正方形ARNP的面積為3636．學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2023下·湖南永州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a?b2=4，則代數(shù)式3a?A．－4 B．－5 C．4 D．52．（2023下·安徽宿州·七年級(jí)安徽省泗縣中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，為了書寫簡(jiǎn)便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進(jìn)了求和符號(hào)“∑”．如：記k=1nk=1+2+3+???+(n?1)+n；k=1n(x+k)=(x+1)+(x+2)+???+(x+n)．已知：k=1A．40 B．?70 C．?40 D．?203．（2023下·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶一中?？计谥校?duì)于五個(gè)整式，A：2x2；B：x+1；C：?2x；D：y2；E①若y為正整數(shù)，則多項(xiàng)式B?C+A+D+E的值一定是正數(shù)；②存在有理數(shù)x，y，使得A+D+2E的值為?2；③若關(guān)于x的多項(xiàng)式M=3A?B+m?B?C（m為常數(shù)）不含x的一次項(xiàng)，則該多項(xiàng)式M的值一定大于?3．上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（A．0 B．1 C．2 D．34．（2023下·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）關(guān)于x的多項(xiàng)式：anxn①2x?12②若多項(xiàng)式a3x3+a③多項(xiàng)式2x?14=b④關(guān)于x的多項(xiàng)式ax+bn，若a≠b，ab≠0，n為正整數(shù)，則ax+b以上說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023下·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：1012÷1?16．（2022下·四川成都·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知x2+2x?1＝0，則x3?5x+4的值為7．（2023·上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）請(qǐng)同學(xué)運(yùn)用計(jì)算a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，解決問題：已知x8．（2022上·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┰O(shè)x，y滿足x?13+4044y=2022，y?13+4044x=60669．（2022下·福建三明·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，則A－2022的末位數(shù)字是．10．（2022上·上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┮阎麛?shù)a，b，c滿足a2+b2+c211．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”（如圖所示），它揭示了(a+b)n（na+b1=a+ba+ba+b根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：（1）直接寫出a+b5（2）a+18的展開式中a（3）利用上述規(guī)律求11512．（2023下·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀：在計(jì)算x?1x【觀察】①(x?1)(x+1)=x②(x?1)x③(x?1)x……（1）【歸納】由此可得：x?1x（2）【應(yīng)用】請(qǐng)運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問題：計(jì)算：22023（3）計(jì)算：220（4）若x5+x13．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果xn=y，那么我們規(guī)定(x,y]=n．例如：因?yàn)?2（1）?2,16=______；若(2,y]=6，則y=（2）已知(4,12]=a，(4,5]=b，(4,y]=c，若（3）若(5,10]=a，(2,10①求25a②求t的值．14．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椤窘鉀Q問題】（1）數(shù)61“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】（2）已知x2+2y2（3）已知S=5x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，【拓展結(jié)論】（4）已知x、y滿足?x2+15．（2023下·安徽淮南·七年級(jí)校考期中）閱讀理解：條件①：無(wú)論代數(shù)式A中的字母取什么值，A都不小于常數(shù)M；條件②：代數(shù)式A中的字母存在某個(gè)取值，使得A等于常數(shù)M；我們把同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的常數(shù)M叫做代數(shù)式A的下確界．例如：x2∵(x+1)∴x當(dāng)x=?1時(shí)，x∴4是x2又例如：x2由于|x|≠?1，所以x2故4不是x2請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）求x2（2）若代數(shù)式2x2+mx+3（3）求代數(shù)式x216．（2022下·河北保定·七年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長(zhǎng)方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．

（1）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：___________；方法2：___________．（2）請(qǐng)你直接寫出三個(gè)代數(shù)式：a+b2，a2+根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：（3）已知m+n=5，m2+n（4）已知x?20212+x?202317．（2023下·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中校考階段練習(xí)）如圖1是長(zhǎng)為4a，寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．（1）觀察圖2，請(qǐng)你寫出a+b2（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5,xy=94，求（3）請(qǐng)求解下面實(shí)際問題：如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE=1,CF=3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊長(zhǎng)作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．18．（2023下·四川達(dá)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）知識(shí)生成：我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：由圖①可以得到(a+b)2（1）直接應(yīng)用：若xy=5，x+y=7，直接寫出x2（2）類比應(yīng)用：填空：①若x(4?x)=2，則x2②若(x?3)(x?5)=2，則(x?3)2（3）知識(shí)遷移：如圖②，一農(nóng)家樂準(zhǔn)備在原有長(zhǎng)方形用地（即長(zhǎng)方形ABCD）上進(jìn)行裝修和擴(kuò)建，先用長(zhǎng)為120m的裝飾性籬笆圍起該長(zhǎng)方形用地，再以AD，CD為邊分別向外擴(kuò)建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為2000m2，求原有長(zhǎng)方形用地

19．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解并解答：在學(xué)完乘法公式a±b2=a【初步思考】同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，總結(jié)出如下方法：解：?=?因?yàn)閤?12所以?x?1所以當(dāng)x=1時(shí)，?x?1所以當(dāng)?x?12=0所以?x【嘗試應(yīng)用】（1）求代數(shù)式?x2+4x+10（2）已知A=2x2?4x+1，B=x2【拓展提高】（3）將一根長(zhǎng)50cm20．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)沈陽(yáng)市南昌初級(jí)中學(xué)（沈陽(yáng)市第二十三中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）材料一：把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：a+2b（1）如圖2，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形，請(qǐng)你用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（用含a，b的式子表示）：方法一：________________；方法二：________________；對(duì)于以上，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來________________（直接寫出等式）（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，填空：①已知上述等式中的三個(gè)字母a，b，c可取任意實(shí)數(shù)，若a=7x?5，b=?4x+2，c=?3x+4，且a2+b②若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足2x×4y×材料二：若m2+2mn+2n2?6n+9=0解：∵m∴m∴m+n∴m+n=0，n?3=0，∴m=?3，n=3．問題：（3）若x2+2y（4）試探究關(guān)于x，y的代數(shù)式5x2+9y2專題14.1整式的乘除思想方法思想方法整體思想：指把研究對(duì)象的某一部分（或全部）看成一個(gè)整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。整體是與局部對(duì)應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(gè)（或多個(gè)）未知量時(shí)，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，從而使問題得到解決。配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二數(shù)和的平方，或二數(shù)差的平方，將配成的“平方”視作為一個(gè)整體，然后再根據(jù)已知條件進(jìn)行運(yùn)算，從而使題目簡(jiǎn)化得以解答。配方的方法：①根據(jù)已知條件的表現(xiàn)形式，去發(fā)現(xiàn)平方項(xiàng)和一次項(xiàng)的乘積形式，如果平方項(xiàng)互為倒數(shù)，則往往一次項(xiàng)以常數(shù)出現(xiàn)，隱藏了一次項(xiàng)的乘積不易發(fā)現(xiàn)，此時(shí)，就要抓住平方公式的特點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)和挖掘；②從要求的結(jié)果方面去配方，將要求的表達(dá)式向著已知條件的表現(xiàn)形式去配方，利用已知條件達(dá)到解題的目的.由于配方擴(kuò)大了已知條件和要求解的范圍，可能會(huì)產(chǎn)生不符合要求的結(jié)果，就要根據(jù)已知條件和所要求解的結(jié)果進(jìn)行討論，舍去不符合題意的答案.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、冪的運(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2.冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。3.積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。4.同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。注：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。二、整式的乘法單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：系數(shù)相乘，字母相乘．單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．三、整式的除法單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：系數(shù)相除，字母相除．多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：除法性質(zhì)．多項(xiàng)式÷多項(xiàng)式：大除法．四、乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。典例分析典例分析【典例1】閱讀理解：若x滿足60?xx?40=20，求解：設(shè)60?x=a，x?40=b，則ab=20，a+b=60?x+x?40=20．∴60?x=a=(a+b)==360；類比探究：（1）若x滿足70?xx?20=?30，求（2）若x滿足3?4x2x?5=92，求3?4x2（3）若x滿足2023?x2+2020?x解決問題：（4）如圖，正方形AEGO和長(zhǎng)方形KLMC重疊，重疊部分是長(zhǎng)方形BEFC其面積是300，分別延長(zhǎng)FC、BC交AO和OG于D、H兩點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形ABCD和CFGH都是正方形，四邊形ODCH是長(zhǎng)方形.設(shè)CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，F(xiàn)M=20，延長(zhǎng)AO至P，使OP=2OD，延長(zhǎng)AE至R，使RE=2BE，過點(diǎn)P、R作AP、AR垂線，兩垂線交于點(diǎn)N，求正方形ARNP的面積.（結(jié)果是一個(gè)具體的數(shù)值）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）將(3?4x)(2x?5)=92轉(zhuǎn)化為(3?4x)[2(2x?5)]=9，即（3）根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（4）根據(jù)已知可得BC=3x?54，CF=x?20，從而可得BC?CF=(3x?54)(x?20)=300，再根據(jù)題意得：AB=BC=3x?54，CF=BE=x?20，從而可得BR=3BE=3(x?20)，進(jìn)而可得AR=(3x?54)+(3x?60)，然后利用（3）的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解題過程】解：（1）設(shè)70?x=a，x?20=b，則ab=?30，a+b=70?x+x?20=50，∴(70?x)=a=(a+b)=50=2500+60=2560，∴(70?x)（2）∵3?4x2x?5∴(3?4x)[2(2x?5)]=9，∴(3?4x)(4x?10)=9，設(shè)3?4x=m，4x?10=n，則m+n=3?4x+4x?10=?7，mn=9，∴(3?4x)=(3?4x)=(3?4x)=m=(m+n)=(?7)=49?18=31，∴(3?4x)2+4(2x?5（3）設(shè)2023?x=p，2020?x=q，則p?q=2023?x?(2020?x)=3，p2∴2pq=p=2061?3=2061?9=2052，∴(2023?x)(2020?x)=pq=1026，∴(2023?x)(2020?x)的值為1026；（4）∵CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，F(xiàn)M=20，∴BC=KC?KB=3x?54，CF=CM?FM=x?20，∵長(zhǎng)方形BEFC的面積是300，∴BC?CF=(3x?54)(x?20)=300，由題意得：AB=BC=3x?54，CF=BE=x?20，∵ER=2BE，∴BR=3BE=3(x?20)，∴AR=AB+BR=(3x?54)+3(x?20)=(3x?54)+(3x?60)，∵(3x?54)(x?20)=300，∴(3x?54)[3(x?20)]=900，∴(3x?54)(3x?60)=900，設(shè)3x?54=a，3x?60=b，則a?b=3x?54?(3x?60)=6，ab=900，∴正方形ARNP的面積=AR=[(3x?54)+(3x?60)]=(a+b)=(a?b)=6=36+3600=3636，∴正方形ARNP的面積為3636．學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2023下·湖南永州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a?b2=4，則代數(shù)式3a?A．－4 B．－5 C．4 D．5【思路點(diǎn)撥】先整體代入，將原式轉(zhuǎn)化為只含有a的代數(shù)式，直接求最大值即可．【解題過程】解：a?b23a?=?(∵a=∴a=4時(shí)，3a?a3a?故選：A2．（2023下·安徽宿州·七年級(jí)安徽省泗縣中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，為了書寫簡(jiǎn)便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進(jìn)了求和符號(hào)“∑”．如：記k=1nk=1+2+3+???+(n?1)+n；k=1n(x+k)=(x+1)+(x+2)+???+(x+n)．已知：k=1A．40 B．?70 C．?40 D．?20【思路點(diǎn)撥】可求k=1n(x+k)(x?k+1)=k=1【解題過程】解：由題意得：k=1=k=1當(dāng)n=4時(shí)，k=1==4x因?yàn)閗=1所以4x所以m=?20．故選：D．3．（2023下·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶一中校考期中）對(duì)于五個(gè)整式，A：2x2；B：x+1；C：?2x；D：y2；E①若y為正整數(shù)，則多項(xiàng)式B?C+A+D+E的值一定是正數(shù)；②存在有理數(shù)x，y，使得A+D+2E的值為?2；③若關(guān)于x的多項(xiàng)式M=3A?B+m?B?C（m為常數(shù)）不含x的一次項(xiàng)，則該多項(xiàng)式M的值一定大于?3．上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（A．0 B．1 C．2 D．3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)整式的乘法混合運(yùn)算，及完全平方公式為非負(fù)的特點(diǎn)，結(jié)合特殊值代入法求解．【解題過程】解：①B?C+A+D+E=?2x(x+1)+2x當(dāng)y=1時(shí)，B?C+A+D+E=0②當(dāng)A+D+2E=?2，即2x∴2(x+1)當(dāng)x=?1時(shí)，y=0或者y③∵M(jìn)=3(A?B)+m?B?C=3(2=(6?2m)x∵M(jìn)不含x的一次項(xiàng)，∴?3?2m=0，∴m=?1.5，∴M=9x綜上，只有②是正確的．故選：B．4．（2023下·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）關(guān)于x的多項(xiàng)式：anxn①2x?12②若多項(xiàng)式a3x3+a③多項(xiàng)式2x?14=b④關(guān)于x的多項(xiàng)式ax+bn，若a≠b，ab≠0，n為正整數(shù)，則ax+b以上說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】①將2x?12展開，進(jìn)行判斷即可；②合并同類項(xiàng)后，進(jìn)行判斷即可；③計(jì)算出2x?1【解題過程】解：①∵2x?12∴2x?12②∵a3∴a3③2x?14∴2x?14∵2x?14∴b4∴b4④當(dāng)a=1，b=?1，n=4時(shí)：x?14綜上：正確的有2個(gè)；故選：B．5．（2023下·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：1012÷1?1【思路點(diǎn)撥】利用平方差公式將1?1n2【解題過程】解：1012÷=1012÷1?1=1012÷=1012÷=1012×=2023故答案為：2023．6．（2022下·四川成都·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知x2+2x?1＝0，則x3?5x+4的值為【思路點(diǎn)撥】由x2+2x?1＝0可得x2＝-2x+1,x2+【解題過程】解:∵x2∴x2＝-2x+1∴x=x=x=x=?2=?2=2；∵x∴x+2?1x∴x?∴x2?2+1故答案為：2，6．7．（2023·上海·七年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)同學(xué)運(yùn)用計(jì)算a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，解決問題：已知x【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)x?y2【解題過程】解：∵x2∴x?y==2=8?2xy+yz+zx∵x+y+z2∴2xy+2xz+2yz=∴原式=8+=12?x+y+z∵x+y+z∴原式≤12．故原式的最大值是12；故答案為：12．8．（2022上·北京海淀·七年級(jí)清華附中校考期末）設(shè)x，y滿足x?13+4044y=2022，y?13+4044x=6066【思路點(diǎn)撥】將x?13+4044y=2022，【解題過程】解：將x?13+4044y=2022，x?13即x+y?2x?1即x+y?2x?1∵x?12∴x+y?2=0，即x+y=2，x+y3故答案為：8．9．（2022下·福建三明·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，則A－2022的末位數(shù)字是．【思路點(diǎn)撥】將A乘以（2－1），然后用平方差公式計(jì)算，再用列舉法找出2n的個(gè)位數(shù)的規(guī)律，推出A【解題過程】解：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1＝(216-1)(216＋1)＋1=232-1+1＝232；∵21=2，22=4，25=32，26=64，∴尾數(shù)是2，4，8，6，……四個(gè)一循環(huán)，∵32÷4=8，∴232的末位數(shù)字是6，即A的末位數(shù)字是6，則A－2022的末位數(shù)字是4．故答案為：4．10．（2022上·上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┮阎麛?shù)a，b，c滿足a2+b2+c2【思路點(diǎn)撥】移項(xiàng)，配成完全平方式，利用平方的非負(fù)性，計(jì)算即可．【解題過程】解：因?yàn)閍2所以a所以a?b所以a?b因?yàn)閍?b22≥0,c?b2所以a?b解得a?b所以a=c=2,b=4．11．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”（如圖所示），它揭示了(a+b)n（na+b1=a+ba+ba+b根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：（1）直接寫出a+b5（2）a+18的展開式中a（3）利用上述規(guī)律求115【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)給出的等式的特點(diǎn)，可以得到等式右邊的多項(xiàng)式按照a的降冪，b的升冪順序排列，項(xiàng)數(shù)為n+1項(xiàng)，第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)的系數(shù)相同均為1，第二項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)的系數(shù)相同，等于上一個(gè)等式的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的系數(shù)之和，第三項(xiàng)和倒數(shù)第三項(xiàng)相同，等于上一個(gè)等式的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的和，依次類推，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)a+18（3）根據(jù)115【解題過程】（1）解：∵a+b1a+b2a+b3a+b4∴a+b5故答案為：a5（2）解：∵a+18∴a項(xiàng)的系數(shù)是8×1故答案為：8；（3）解：11==100000+50000+10000+1000+50+1=161051．12．（2023下·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀：在計(jì)算x?1x【觀察】①(x?1)(x+1)=x②(x?1)x③(x?1)x……（1）【歸納】由此可得：x?1x（2）【應(yīng)用】請(qǐng)運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問題：計(jì)算：22023（3）計(jì)算：220（4）若x5+x【思路點(diǎn)撥】（1）利用已知得出式子變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案；（2）利用（2）中變化規(guī)律進(jìn)而得出答案；（3）將220?2（4）利用（2）中變化規(guī)律得出x的值，進(jìn)而得出答案．【解題過程】（1）解：①(x?1)(x+1)=x②(x?1)x③(x?1)x……；∴x?1x故答案為：xn+1（2）解：2==2（3）解：2==?=?=1故答案為：13（4）解：∵x?1x∴x=±1，∵x5∴x≠1，∴x202213．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如果xn=y，那么我們規(guī)定(x,y]=n．例如：因?yàn)?2（1）?2,16=______；若(2,y]=6，則y=（2）已知(4,12]=a，(4,5]=b，(4,y]=c，若（3）若(5,10]=a，(2,10①求25a②求t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）由(?2)4=1，可直接得出(?2,16]=4（2）由題意可得出4a=12，4b=5，4c=y．根據(jù)a+b=c，得出（3）①由題意可得出5a=10，2b=10，再根據(jù)25a=52a=5a2=100，16b=24b【解題過程】（1）解：∵(?2)∴(?2,16∵(2,y]=6，且26∴y=64．故答案為：4，64；（2）解：∵(4,12]=a，(4,5]=b，∴4a=12，4∵a+b=c，∴4a+b=∴y=12×5=60；（3）解：①∵(5,10]=a，∴5a=10∴25a=∴25②∵(5∴5∴(5,10由①知：5a∴5∴(5,10∴ab=a+b，∴t=2ab14．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椤窘鉀Q問題】（1）數(shù)61“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】（2）已知x2+2y2（3）已知S=5x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，【拓展結(jié)論】（4）已知x、y滿足?x2+【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)新定義求解；（2）先把登上的左邊進(jìn)行配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，再求x+y；（3）先根據(jù)S的前四項(xiàng)進(jìn)行配方，再根據(jù)相等的條件求解；（4）根據(jù)條件求出7x?3y的值，再進(jìn)行配方求解．【解題過程】（1）解：∵61=5∴61是“完美數(shù)”，故答案為：是；（2）解：∵x2∴x=2，y=?1，∴x+y=1，故答案為：1；（3）解：∵S=5==x+yS為“完美數(shù)”，∴k?9=0∴k=9；（4）解：∵?x∵?y=x∴?3y=3x∴7x?3y=3x∴當(dāng)x=?56，時(shí)，7x?3y的最小值為：?15．（2023下·安徽淮南·七年級(jí)校考期中）閱讀理解：條件①：無(wú)論代數(shù)式A中的字母取什么值，A都不小于常數(shù)M；條件②：代數(shù)式A中的字母存在某個(gè)取值，使得A等于常數(shù)M；我們把同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的常數(shù)M叫做代數(shù)式A的下確界．例如：x2∵(x+1)∴x當(dāng)x=?1時(shí)，x∴4是x2又例如：x2由于|x|≠?1，所以x2故4不是x2請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）求x2（2）若代數(shù)式2x2+mx+3（3）求代數(shù)式x2【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式變型、運(yùn)算，（1）根據(jù)題干示例的方法計(jì)算即可作答；（2）根據(jù)題意設(shè)2x2+mx+3=2x+t2（3）將x看作常數(shù)進(jìn)行配方，可將x2+2y【解題過程】解：（1）x2∵(x?2)∴x當(dāng)x=2時(shí)，x2∴?3是x2（2）∵代數(shù)式2x∴設(shè)2x∵2x+t∴2x∴4t=m2解得：m=±4t=±1即：m=±4；（3）x=2=2=2=2y+∵2y+x?22∴x當(dāng)x=0，y+x?22=0，即x=0，y=1∴8是x216．（2022下·河北保定·七年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長(zhǎng)方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．

（1）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：___________；方法2：___________．（2）請(qǐng)你直接寫出三個(gè)代數(shù)式：a+b2，a2+根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：（3）已知m+n=5，m2+n（4）已知x?20212+x?2023【思路點(diǎn)撥】（1）利用陰影部分直接求和和總面積減去空白部分面積兩種方法列出正確結(jié)果；（2）由圖2中陰影部分的面積表示可得：a2（3）由a2+b2=(a+b)2（4）設(shè)a=x?2021，b=x?2023，可得(a+b)2=a2+2ab+【解題過程】（1）解：陰影兩部分求和為a2+b故答案為：a2+b（2）解：由題意得，a2（3）解：由（2）題結(jié)論a2+b∴m+n=5，m2mn===5(m?n)=m=20?2×=20?5=15；（4）解：設(shè)a=x?2021，b=x?2023，可得a+b=2(x?2022)，∴x?2022=a+b(x?2022)2又∵(a?b)且由(a?b)2可得2ab=(a∴(x?2022)17．（2023下·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖1是長(zhǎng)為4a，寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．（1）觀察圖2，請(qǐng)你寫出a+b2（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5,xy=94，求（3）請(qǐng)求解下面實(shí)際問題：如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE=1,CF=3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊長(zhǎng)作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形的面積可得到a+b2，a?b2，（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用完全平方公式變形求值即可求解；（3）根據(jù)題意找出題中各線段之間的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，設(shè)a=x?3，b=x?1，即ab=48，陰影部分面積=NR2?D【解題過程】（1）解：∵如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，∴圖1的長(zhǎng)方形面積為：4ab，∵圖2的邊長(zhǎng)為a+b，圖2陰影部分的面積為：b?a，∴a+b2即a+b2故答案為：a+b2（2）解：∵x+y=5,xy=9∴x?y2==16（3）解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，正方形MFRN和正方形GFDH，AE=1,CF=3，∴EM=HG=DF=x?3，MG=EH=x?1?x?3=2，∵長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，∴x?3x?1設(shè)a=x?3，b=x?1，即ab=48，則b?a=2，∴陰影部分面積=N===2b+a∵b+a2=b?a∴b+a=14（負(fù)值舍去），∴2b+a即陰影部分面積為28．18．（2023下·四川達(dá)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）知識(shí)生成：我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：由圖①可以得到(a+b)2（1）直接應(yīng)用：若xy=5，x+y=7，直接寫出x2（2）類比應(yīng)用：填空：①若x(4?x)=2，則x2②若(x?3)(x?5)=2，則(x?3)2（3）知識(shí)遷移：如圖②，一農(nóng)家樂準(zhǔn)備在原有長(zhǎng)方形用地（即長(zhǎng)方形ABCD）上進(jìn)行裝修和擴(kuò)建，先用長(zhǎng)為120m的裝飾性籬笆圍起該長(zhǎng)方形用地，再以AD，CD為邊分別向外擴(kuò)建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為2000m2，求原有長(zhǎng)方形用地

【思路點(diǎn)撥】（1）x2+y（2）①x2+(x?4)2=x2+(4?x)2（3）設(shè)AB=x?m，BC=y?m，可得2(x+y)=120，可求x2【解題過程】（1）解：x=x+y=7故答案：39．（2）解：①x=x=x+=4故答案：12；②因?yàn)?x?3)(x?5)=2，所以(x?3)(5?x)=?2，(x?3)=(x?3)=(x?3)+(5