人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)專題11.4雙角平分線模型(壓軸題專項(xiàng)講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題11.4雙角平分線模型1．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)D，且∠EBC=25∠ABC、∠ECB=25∠ACB，則A．5∠E?4∠D=180° B．5∠D?4∠E=180°C．5∠E?4∠D=90° D．5∠D?4∠E=90°2．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCDA．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④3．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠DCE的平分線交BE于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①∠1=∠2；②∠F=∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，則∠4=2∠3．其中正確的結(jié)論有（

）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④4．（23-24七年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，AB∥CD，EG、EM、FM分別平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，有下列結(jié)論：①∠EMF=90°；②GE⊥ME；③FM∥GE；④∠EGF與A．1 B．2 C．3 D．45．（23-24七年級(jí)下·黑龍江雞西·期末）如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分別是BA，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中結(jié)論正確的有（）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④6．（23-24七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A>∠D,∠ACD?∠ABD=64°，∠P=18°，則∠A的度數(shù)為．7．（23-24七年級(jí)下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知△ABC，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線分別交AB，AC于點(diǎn)F，E．則∠EOB與8．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PD⊥CB于點(diǎn)D,∠BCA的平分線與∠BPD的平分線交于點(diǎn)F．當(dāng)∠BAC=50°時(shí)，則∠PFC的度數(shù)為．

9．（23-24七年級(jí)下·湖北孝感·期中）如圖，直線EF∥MN，點(diǎn)A，B分別是EF，MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分線交于點(diǎn)D，若∠D=52°，則m的值為．

10．（23-24七年級(jí)下·廣東河源·期末）如圖，在△ABC中，AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O．

（1）若∠C=72°，則∠AOB的度數(shù)為_______；（2）猜想∠AOB的度數(shù)與∠C的度數(shù)存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．11．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知∠MON，點(diǎn)A，B分別在射線ON，OM上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，AD（或其反向延長(zhǎng)線）與（1）如圖①，若∠MON=90°，試猜想∠ACB的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果；（2）如圖②，若∠MON=α，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)A，B在射線ON，OM上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，12．（23-24八年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）【感知】（1）如圖①，線段AB,CD相交于點(diǎn)O，連接AC,BD．求證：∠A+∠C=∠B+∠D；【探究】（2）如圖②，分別作圖①中∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，且與CD,AB分別相交于點(diǎn)M、N．若∠B=70°,∠C=100°，求∠P的度數(shù)；【應(yīng)用】（3）如圖③，分別作圖①中∠CAB和∠BDC的內(nèi)部作射線AP和DP相交于點(diǎn)P，與CD,AB分別相交于點(diǎn)M、N，且使∠CAP=13∠BAC,∠CDP=13∠BDC．若13．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中∠A=60°．

（1）∠ABC，∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，求（2）∠ABC，∠ACB的三等分線分別相交于點(diǎn)P1（3）∠ABC，∠ACB的n等分線分別相交于點(diǎn)P1,P2,…Pn?1，則∠BP1C=________（結(jié)果用含n的式子表示），14．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．

（1）若∠A=60°，則∠BPC的度數(shù)是；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．15．（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B分別在∠MON的邊OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D．（1）如圖（1）當(dāng)∠MON=90°，∠OAB=60°時(shí)，∠D=°．（2）如圖（2）當(dāng)∠D=60°時(shí)，∠MON=°．（3）在解題過(guò)程中，你認(rèn)為∠D與∠MON是否有數(shù)量關(guān)系，如有請(qǐng)寫出關(guān)系式并說(shuō)明理由．16．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）已知ON⊥GM于點(diǎn)O，直線CD交ON于點(diǎn)B，點(diǎn)A在射線OM上．（1）如圖1，若CD⊥AB于點(diǎn)B，AE平分∠OAB，交CD于點(diǎn)E，交ON于點(diǎn)F，求證：∠BEF=∠BFE；（2）如圖2，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于點(diǎn)E，∠OAB=58°，則∠OEB的度數(shù)為________．（3）如圖3，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于點(diǎn)E，BF平分∠OBA交OE反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在△BEF中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)求出∠BAO的度數(shù)．17．（23-24七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)，∠AEB__________．（2）如圖2，已知AB不平行于CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的平分線，DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的度數(shù)將不發(fā)生變化，∠CED=．（3）如圖3，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長(zhǎng)線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，試求∠ABO的度數(shù)．18．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，連接BE、CD，且∠EBA+∠ACD=∠BAC．（1）證明：BE∥CD；（2）若∠E=82°，∠A=44°，求∠D的度數(shù)；（3）作∠BEC與∠BDC的角平分線交于點(diǎn)G，探究∠BAC、∠EGD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．19．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）已知：如圖，在△ABC中，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分∠ABC，CP平分∠ACP．

（1）如圖1，當(dāng)∠A=100°時(shí)，則∠BPC的度數(shù)為__________．（2）如圖2，過(guò)C作CQ⊥CP，交BP延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求證：∠Q=1（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)C作CM⊥PQ，延長(zhǎng)CM與BA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，若∠ABP=57∠HCM，且∠AHQ?5∠PCB=∠ABC20．（23-24七年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)M在CB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段AC上，連接MN交AB于點(diǎn)D，∠BAN和∠CMN的平分線交于點(diǎn)P．①若∠C=60°，∠BDN=140°，請(qǐng)你測(cè)量∠P的度數(shù)為______；猜想出∠C、∠BDN和∠P之間的數(shù)量關(guān)系為______；②請(qǐng)寫出求∠P度數(shù)的過(guò)程．（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)M在線段CB上，點(diǎn)N在CA延長(zhǎng)線上，連接MN交AB于點(diǎn)D，∠BAN和∠BMN的平分線交于點(diǎn)P，求∠C、∠BDN和∠P之間的數(shù)量關(guān)系．專題11.4雙角平分線模型1．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)D，且∠EBC=25∠ABC、∠ECB=25∠ACB，則A．5∠E?4∠D=180° B．5∠D?4∠E=180°C．5∠E?4∠D=90° D．5∠D?4∠E=90°【思路點(diǎn)撥】本題考查了角平分線定義，三角形內(nèi)角和，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵；由角平分線定義及三角形內(nèi)角和得∠D=90°+12∠A．再由∠EBC=25∠ABC、【解題過(guò)程】解：∵BD、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∴∠DBC=1∴∠DBC+∠DCB=1∴∠D=180°?(∠DBC+∠DCB)=90°+1∵∠EBC=25∴∠EBC+∠ECB=2∴∠E=180°?(∠EBC+∠ECB)=3∵∠D=90°+1∴∠A=2∠D?180°，∴∠E=3整理得：5∠E?4∠D=180°．故選：D．2．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCDA．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷④；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出∠BFC=135°，即可判斷②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法推出⑤．【解題過(guò)程】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC=1∴∠BFC=180°?∠FBC?∠FCB=180°?1∴∠EFC=180°?∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，∴∠EFC=1∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②錯(cuò)誤；∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，根據(jù)現(xiàn)有條件，無(wú)法推出CG=CE，即無(wú)法得到△EGC是等腰直角三角形，故⑤錯(cuò)誤；∴正確的有①③④，故選：D．3．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠DCE的平分線交BE于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①∠1=∠2；②∠F=∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，則∠4=2∠3．其中正確的結(jié)論有（

）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】本題考查的是角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練的利用以上知識(shí)解決問(wèn)題是關(guān)鍵；先證明∠2=∠FBC，∠1=∠FBC，可判斷①，由∠ABC+∠BCD=180°，∠FBC+∠F+∠FCB=180°可判斷②，由CE⊥BF可得∠ECB=12∠DCB【解題過(guò)程】解：∵AD∥∴∠2=∠FBC，∵∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∴∠1=∠FBC，∴∠1=∠2，故①符合題意；∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠1+∠FBC+∠FCB+∠3=180°，∵∠FBC+∠F+∠FCB=180°，∴∠F=∠1+∠3，故②符合題意；∵∠ABC+∠BCD=180°，∴12若CE⊥BF，∴∠EBC+∠ECB=90°，而∠EBC=1∴∠ECB=1由③可得：當(dāng)CE⊥BF，∴∠ECB=1∵CF平分∠DCE，∴∠3=∠ECF=1∴∠ECB=2∠3，∵AD∥∴∠4=∠ECB，∴∠4=2∠3，故④符合題意；故選C4．（23-24七年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，AB∥CD，EG、EM、FM分別平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，有下列結(jié)論：①∠EMF=90°；②GE⊥ME；③FM∥GE；④∠EGF與A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及角平分線的定義，可得∠MEF+∠EFM=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可判斷①正確，由角平分線的定義，和平角的定義，即可判斷②正確，由①②的結(jié)論，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可判斷③正確，由②的結(jié)論，∠BEM+∠AEG=90°，根據(jù)兩直線平行同位角相等，得到∠AEG=∠EGF，根據(jù)等角的余角相等，即可判斷④正確，本題考查了，平行線的性質(zhì)與判定，交平分線的定義，等角的余角相等，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【解題過(guò)程】解：∵AB∥∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EM、FM分別平分∠BEF、∠EFD，∴∠BEM=∠MEF=12∠BEF∴∠MEF+∠EFM=1∴∠M=180°?∠MEF+∠EFM∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠GEF=1∴∠GEF+∠MEF=1∴∠GEM=90°，∴GE⊥ME，故②正確，∵∠GEM=∠M=90°，∴∠GEM+∠M=180°，∴FM∥∵∠GEM=90°，∴∠BEM+∠AEG=180°?∠GEM=90°，∵AB∥∴∠AEG=∠EGF，∴∠BEM+∠EGF=90°，∴∠EGF與∠BEM互余，故④正確，綜上所述，其中正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選：D．5．（23-24七年級(jí)下·黑龍江雞西·期末）如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分別是BA，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中結(jié)論正確的有（）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，求出∠B+∠C=180°，即可判斷①；求出∠AEB+∠ADC≠180°即可判斷②；求出∠EDA=∠2，即可判斷③；求出∠EAF+∠EDF=12∠EAM+∠EDN【解題過(guò)程】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°=∠AEB+∠DEC，∴∠1=∠DEC，∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠AEB≠∠EAD，∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②錯(cuò)誤；∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠EAD=∠1=1∵∠EAD+∠EDA=90°，∠1+∠2=90°，∴∠EDA=∠2，∴DE平分∠ADC，故③正確；∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠EAF=∠MAF=12∠EAM∵∠1+∠2=90°，∠1+∠EAM=180°，∠2+∠EDN=180°，∴∠EAM+∠EDN=270°，∴∠EAF+∠EDF=1∴∠F=360°?∠EAF?∠EDF?∠AED=135°，為定值，故④正確；綜上所述，正確的有①③④，故選：C．6．（23-24七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A>∠D,∠ACD?∠ABD=64°，∠P=18°，則∠A的度數(shù)為．【思路點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)．根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠1=∠P+∠3，根據(jù)∠ACD?∠ABD=64°，可推出∠3?∠1=32°，又因?yàn)椤螾=18°【解題過(guò)程】解：如圖，∵∠ABD，∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，∴∠1=∠2，∠3由三角形的內(nèi)角和定理得，∠A+∠1=∠P+∠3，∵∠ACD?∠ABD=64°，即∠3+∠4?∠1?∠2=64°，∴∠3?∠1=32°，∵∠P=18°，∴∠A=∠P+∠3?∠1=18°+32°=50°，故答案為：50°．7．（23-24七年級(jí)下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知△ABC，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線分別交AB，AC于點(diǎn)F，E．則∠EOB與【思路點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，由∠A=80°可得∠ABC+∠ACB=100°，，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠OBC=12∠ABC，∠OCB=，由平行線的性質(zhì)可得∠EOB=180°?∠OBC，∠COF=180°?∠OCB，兩角相加即可求解，掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解題過(guò)程】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°?80°=100°，∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∵EF∥∴∠EOB+∠OBC=180°，∠COF+∠OCB=180°，∴∠EOB=180°?∠OBC，∠COF=180°?∠OCB，∴∠EOB+∠COF=180°?∠OBC+180°?∠OCB=360°?∠OBC+∠OCB故答案為：310°．8．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PD⊥CB于點(diǎn)D,∠BCA的平分線與∠BPD的平分線交于點(diǎn)F．當(dāng)∠BAC=50°時(shí)，則∠PFC的度數(shù)為．

【思路點(diǎn)撥】如圖所示，設(shè)PD交CF于點(diǎn)Q，根據(jù)PD⊥CB可求出∠BPD,∠PQF的關(guān)系，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DPF,∠BCF的關(guān)系，由此可得∠PQF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解題過(guò)程】解：如圖所示，設(shè)PD交CF于點(diǎn)Q，

∵PD⊥CB，∴∠BPD=90°?∠B，∠PQF=∠CQD=90°?∠BCF，∵PF平分∠BPD，∴∠DPF=1∵CF平分∠BCA，∴∠BCF=1∵∠BCA=180°?∠BAC?∠B=180°?50°?∠B=130°?∠B，∴∠BCF=1∴∠PQF=90°?∠BCF=90°?1∵∠PFC+∠PQF+∠DPF=180°，∴∠PFC=180°?∠PQF?∠DPF=180°?90°?故答案為：110°．9．（23-24七年級(jí)下·湖北孝感·期中）如圖，直線EF∥MN，點(diǎn)A，B分別是EF，MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分線交于點(diǎn)D，若∠D=52°，則m的值為．

【思路點(diǎn)撥】先由平行線的性質(zhì)得到∠ACB=∠5+∠1+∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出m的值．【解題過(guò)程】解：過(guò)點(diǎn)C作CH∥MN，∵CH∥MN，∴∠6=∠5，∠7=∠1+∠2，∵∠ACB=∠6+∠7，∴∠ACB=∠5+∠1+∠2，∵∠D=52°，∴∠1+∠5+∠3=180°?52°=128°，由題意可得GD為∠AGB的角平分線，BD為∠CBN的角平分線，∴∠1=∠2，∠3=∴m°=∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5，∠4=180°?∠5+∠3∴∠3=∠4=∠1+52°，∴∠1+∠5+∠3=∠1+∠5+∠1+52°=2∠1+∠5+52°=m°+52°，∴m°+52°=128°，∴m=76．故答案為：76．10．（23-24七年級(jí)下·廣東河源·期末）如圖，在△ABC中，AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O．

（1）若∠C=72°，則∠AOB的度數(shù)為_______；（2）猜想∠AOB的度數(shù)與∠C的度數(shù)存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵．（1）先由三角形內(nèi)角和為180度求出∠CBA+∠CAB=108°，再由角平分線的定義推出∠OBA+∠OAB=54°，則由三角形內(nèi)角和定理可得∠AOB=180°?∠OAB?∠OBA=126°．（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠OBA=12∠CBA【解題過(guò)程】（1）解：∵在△ABC中，∠C=72°，∴∠CBA+∠CAB=180°?∠C=108°，∵AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)∴∠OBA=1∴∠OBA+∠OAB=1∴∠AOB=180°?∠OAB?∠OBA=126°；（2）解：在△ABC中，∠CBA+∠CAB=180°?∠C，∵AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)∴∠OBA=1∴∠OBA+∠OAB====90°?1∴∠AOB=180°?=180°?=90°+111．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知∠MON，點(diǎn)A，B分別在射線ON，OM上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，AD（或其反向延長(zhǎng)線）與（1）如圖①，若∠MON=90°，試猜想∠ACB的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果；（2）如圖②，若∠MON=α，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)A，B在射線ON，OM上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，【思路點(diǎn)撥】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義得出∠NAD=∠BAD=12∠BAN，∠ABC=∠MBC=12（2）由角平分線的定義得出∠NAD=∠BAD=12∠BAN，∠ABC=∠MBC=12【解題過(guò)程】（1）解：∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，∴∠NAD=∠BAD=12∠BAN∵∠BAO+∠ABO=180°?∠AOB=90°，∴∠CAB+∠CBA=1∴∠ACB=180°?135°=45°．（2）解：∠ACB的度數(shù)不改變．∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，∴∠NAD=∠BAD=12∠BAN∵∠BAO+∠ABO=180°?∠AOB=180°?α，∴∠CAB+∠CBA=1∴∠ACB=180°?∠CAB+∠CBA12．（23-24八年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）【感知】（1）如圖①，線段AB,CD相交于點(diǎn)O，連接AC,BD．求證：∠A+∠C=∠B+∠D；【探究】（2）如圖②，分別作圖①中∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，且與CD,AB分別相交于點(diǎn)M、N．若∠B=70°,∠C=100°，求∠P的度數(shù)；【應(yīng)用】（3）如圖③，分別作圖①中∠CAB和∠BDC的內(nèi)部作射線AP和DP相交于點(diǎn)P，與CD,AB分別相交于點(diǎn)M、N，且使∠CAP=13∠BAC,∠CDP=13∠BDC．若【思路點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關(guān)角平分線的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“8字形”求解．（1）利用三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據(jù)“8字形”得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C?∠P=∠P?∠B，即∠P=1（3）根據(jù)∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，可得【解題過(guò)程】（1）證明：在△AOC中，∠A+∠C=180°?∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D=180°?∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P①，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B②，由①?②，得：即∠P=1∵∠B=70°,∠C=100°，∴∠P=1（3）∵∠CAP=1∴∠BAP=23∠BAC∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C?∠P=13∠BDC?∴2∠C?∠P∴∠P=1∵∠B=70°,∠C=100°，∴∠P=113．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中∠A=60°．

（1）∠ABC，∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，求（2）∠ABC，∠ACB的三等分線分別相交于點(diǎn)P1（3）∠ABC，∠ACB的n等分線分別相交于點(diǎn)P1,P2,…Pn?1，則∠BP1C=________（結(jié)果用含n的式子表示），【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根據(jù)角平分線的定義即可求出∠PBC+∠PCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根據(jù)三等分線的定義即可求出∠P（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根據(jù)n等分線的定義即可求出∠P【解題過(guò)程】（1）解：∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°?∠A=120°，∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12=12=60°，∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=120°，故答案為：120°．（2）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°?∠A=120°，∵∠ABC和∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)P1，P∴∠P1∴∠==40°，∴∠BP1∵∠ABC和∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)P1，P∴∠P2BC=23∠ABC，∠∴∠P2BC+∠P2CB=2=23=80°，∴∠BP2（3）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°?∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)P1，P2，……∴∠∴∠B∴∠Pn?1BC=n?1n∠ABC，∠∴∠Pn?1BC+∠Pn?1CB=n?1=n?1n=∴∠∴∠BPk故答案為：180°?120°n14．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．

（1）若∠A=60°，則∠BPC的度數(shù)是；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理得∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=12180°?∠A（2）由三角形的外角定理及三角形三角形內(nèi)角和定理得∠MBC+∠NCB=180°+∠A，再由角平分線定義得∠QBC+∠QCB=12∠MBC+∠NCB=90°+1（3）先求出∠EBQ=90°，根據(jù)∠Q=90°?12∠A此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，角平分線定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，理解角平分線定義是解題的關(guān)鍵．【解題過(guò)程】（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，∴PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°?∵∠A=60°，∴∠BPC=90°+1故答案為：120°；（2）∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系是∠Q=90°?1∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵點(diǎn)Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠QBC=1∴∠QBC+∠QCB=1∴∠Q=180°?∠QBC+∠QCB∴∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系是∠Q=90°?1（3）∵PB平分∠ABC,BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC=180°，∴∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠QBC=1即∠EBQ=90°，∴∠E+∠Q=90°，由（2）可知:∠Q=90°?1∴∠E+90∴∠A=2∠E，如果在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么有以下四種情況：①當(dāng)∠EBQ=3∠E時(shí),則3∠E=90°，∴∠E=30°，此時(shí)∠A=2∠E=60°，②當(dāng)∠EBQ=3∠Q時(shí)，則3∠Q=90°，∴∠Q=30°，則∠E=60°，此時(shí)∠A=2∠E=120°，③當(dāng)∠Q=3∠E時(shí)，則∠E+3∠E=90°，∴∠E=22.5°，此時(shí)∠A=2∠E=45°，④當(dāng)∠E=3∠Q時(shí)，則3∠Q+∠Q=90°，∴∠Q=22.5°，∴∠E=67.5°，此時(shí)∠A=2∠E=135°，綜上所述，∠A的度數(shù)是45°或60°或120°或135°．15．（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B分別在∠MON的邊OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D．（1）如圖（1）當(dāng)∠MON=90°，∠OAB=60°時(shí)，∠D=°．（2）如圖（2）當(dāng)∠D=60°時(shí)，∠MON=°．（3）在解題過(guò)程中，你認(rèn)為∠D與∠MON是否有數(shù)量關(guān)系，如有請(qǐng)寫出關(guān)系式并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（3）由（2）的思路可得結(jié)論．【解題過(guò)程】（1）解：∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴∠ABN=150°，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠OBD=∠CBN=1∵AD平分∠BAO，∴∠DAB=30°，∴∠D=180°?∠ABD?∠BAD?∠AOB=180°?75°?30°?30°=45°，（2）設(shè)∠BAD=α，∠MON=β，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∴∠ABN=180°?∠ABO=∠AOB+∠BAO=β+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=1∵∠ABC=180°?∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC?∠BAD=1∴β=120°．（3）∠D=1設(shè)∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，設(shè)∠MON=β，∴∠ABN=180°?∠ABO=∠AOB+∠BAO=β+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=1∵∠ABC=180°?∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC?∠BAD=116．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）已知ON⊥GM于點(diǎn)O，直線CD交ON于點(diǎn)B，點(diǎn)A在射線OM上．（1）如圖1，若CD⊥AB于點(diǎn)B，AE平分∠OAB，交CD于點(diǎn)E，交ON于點(diǎn)F，求證：∠BEF=∠BFE；（2）如圖2，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于點(diǎn)E，∠OAB=58°，則∠OEB的度數(shù)為________．（3）如圖3，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于點(diǎn)E，BF平分∠OBA交OE反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在△BEF中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)求出∠BAO的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)ON⊥GM，CD⊥AB，可得∠BEF+∠BAE=90°=∠OAE+∠AFO，再結(jié)合角平分線的定義可得∠BEF=∠AFO，然后根據(jù)對(duì)頂角相等，即可求證；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠ABO=32°，再由鄰補(bǔ)角可得∠ABN=148°，從而得到∠ABC=12∠ABN=74°，進(jìn)而得到∠OBE=180°?∠ABO?∠ABC=74°（3）根據(jù)題意可得∠CBF=∠ABC+∠ABF=12∠ABN+∠ABO=90°，從而得到∠F+∠BEF=90°，再由三角形內(nèi)角和定理，可得∠BOE=∠F+∠OBF=45°，從而得到∠F<45°，∠BEF>45°，然后分兩種情況：當(dāng)即可求解．【解題過(guò)程】（1）證明：∵ON⊥GM，CD⊥AB，∴∠ABE=∠AOF=90°，∴∠BEF+∠BAE=90°=∠OAE+∠AFO，∵AE平分∠OAB，∴∠BAE=∠OAE，∴∠BEF=∠AFO，∵∠BFE=∠AFO，∴∠BEF=∠BFE；（2）解：∵∠AOB=90°，∠OAB=58°，∴∠ABO=32°，∴∠ABN=180°?∠ABO=148°，∵CD平分∠NBA，∴∠ABC=1∴∠OBE=180°?∠ABO?∠ABC=74°，∵∠BOG=90°，∵OE平分∠BOG，∴∠BOE=1∴∠BEO=180°?∠OBE?∠BOE=61°；故答案為：61°（3）解：∵CD平分∠NBA，BF平分∠OBA，∴∠ABC=1∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=1∴∠EBF=180°?∠CBF=90°，∴∠F+∠BEF=90°，∵OE平分∠BOG，∴∠BOE=1∵∠BOE+∠BOF=180°，∠F+∠OBF+∠BOF=180°，∴∠BOE=∠F+∠OBF=45°，∴∠F<45°，∴∠BEF>45°，當(dāng)∠EBF=3∠F時(shí)，∠F=30°，∴∠BEF=60°，∴∠OBE=180°?∠BOE?∠BEF=75°，∴∠OBF=∠EBF?∠OBE=15°，∴∠ABO=2∠OBF=30°，∴∠BAO=90°?∠ABOF=60°；當(dāng)∠BEF=3∠F時(shí)，∵∠BEF+∠F=90°，∴∠F=22.5°，∴∠BEF=67.5°，∴∠OBE=180°?∠BOE?∠BEF=67.5°，∴∠OBF=∠EBF?∠OBE=22.5°，∴∠ABO=2∠OBF=45°，∴∠BAO=90°?∠ABOF=45°17．（23-24七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)，∠AEB__________．（2）如圖2，已知AB不平行于CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的平分線，DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的度數(shù)將不發(fā)生變化，∠CED=．（3）如圖3，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長(zhǎng)線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，試求∠ABO的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線的定義，可得∠BAE=12∠BAO，∠ABE=12∠ABO，在△BEA中應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理，可得∠AEB=180°?1（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和，角平分線定義，可得∠CED=14∠PAB+∠MBA，在△AOB（3）由∠BAO的平分線與∠BOQ的角平分線，可得∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，結(jié)合三角形外角定理，得出∠E=12∠ABO，由AE、AF本題考查了，與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定理．【解題過(guò)程】（1）解：∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，∴∠BAE=12∠BAO∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，∴12∠BAO+1∵∠BAO+∠ABO+∠BOA=180°，即：∠BAO+∠ABO=180°?∠BOA，∴∠AEB=180°?1∵∠BOA=90°，∴∠AEB=90°+1故答案為：135°，（2）解：∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的平分線，DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的平分線，∴∠DAB=12∠PAB，∠CBA=12∵∠DAB+∠CBA+∠CDA+∠DCB=360°，∴12∠PAB+1∵∠CED=180°?∠CDE+∠DCE∴∠CED=180°?180°?∵∠PAB+∠MBA+∠BAO+∠ABO=360°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PAB+∠MBA+90°=360°，即：∠PAB+∠MBA=270°，∴∠CED=1故答案為：67.5°，（3）解：∵∠BAO的平分線與∠BOQ的角平分線相交于E，∴∠EAO=12∠BAO∴∠E=∠EOQ?∠EAO=1∵AE、AF分別是∠BAO、∠OAG的角平分線，∴∠EAF=90°，當(dāng)∠EAF=3∠E時(shí)，∠E=13∠EAF=當(dāng)∠EAF=3∠F時(shí)，∠F=30°，∠E=60°，∠ABO=2∠E=2×60°=120°（舍），當(dāng)∠F=3∠E時(shí)，∠E=90°×14=22.5°當(dāng)∠E=3∠F時(shí)，∠E=90°×34=67.5°∴∠ABO=60°，或∠ABO=45°，故答案為：60°或45°．18．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，連接BE、CD，且∠EBA+∠ACD=∠BAC．（1）證明：BE∥CD；（2）若∠E=82°，∠A=44°，求∠D的度數(shù)；（3）作∠BEC與∠BDC的角平分線交于點(diǎn)G，探究∠BAC、∠EGD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，平行公理可得結(jié)論；（2）設(shè)∠CBD=α，∠BCE=β，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：∠BFE+∠E+∠EBF+∠D+∠CFD+∠DCF=360°，從而可得結(jié)論；（3）如圖2，設(shè)∠CDG=x，∠BEG=y，根據(jù)角平分線的定義可得∠BEG=∠CEG=y，∠CDG=∠BDG=x，根據(jù)8字形可得∠ABD+∠ABE+y=∠EGD+x①，x+∠ACD+∠ACE=∠EGD+y②，由①+②可得結(jié)論．本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用8字形和三角形的內(nèi)角和定理解決問(wèn)題．【解題過(guò)程】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AP∥BE，∴∠EBA=∠BAP，∵∠EBA+∠ACD=∠BAC=∠BAP+∠CAP，∴∠ACD=∠CAP，∴AP∥CD，∴BE∥CD；（2）解：設(shè)∠CBD=α，∠BCE=β，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠CBD=∠ABD=α，∠ACE=∠BCE=β，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=α+β，∵∠BAC=44°，∴∠ABC+∠ACB=2α+2β=180°?44°=136°，∴α+β=68°，在△BEF和△CFD中，∠BFE+∠E+∠EBF+∠D+∠CFD+∠DCF=360°，∵∠E=82°，∠BAC=44°，∴∠ABE+∠ACD=44°，∴3α+3β+82°+44°+∠D=360°，∴3×68°+126°+∠D=360°，∴∠D=30°；（3）解：如圖2，∠EGD=1設(shè)∠CDG=x，∠BEG=y，∵EG平分∠BEC，DG平分∠BDC，∴∠BEG=∠CEG=y，∠CDG=∠BDG=x，∵∠BME=∠DMG，∴∠DBE+∠BEG=∠EGD+∠BDG，即∠ABD+∠ABE+y=∠EGD+x①，∵∠DNC=∠ENG，∴∠EGD+∠NEG=∠CDN+∠DCN，即x+∠ACD+∠ACE=∠EGD+y②，由（1）知：∠BAC=∠ABE+∠ACD，由（2）知：∠ABD+∠ACE=90°?1①+②得：∴∠EGD=119．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）已知：如圖，在△ABC中，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分∠ABC，CP平分∠ACP．

（1）如圖1，當(dāng)∠A=100°時(shí)，則∠BPC的度數(shù)為__________．（2）如圖2，過(guò)C作CQ⊥CP，交BP延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求證：∠Q=1（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)C作CM⊥PQ，延長(zhǎng)CM與BA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，若∠ABP=57∠HCM，且∠AHQ?5∠PCB=∠ABC【思路點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和是180度，以及角平分線的定義．（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠ABC+∠ACB=80°，則∠PBC+∠PCB=1（2）由圖可知∠CPQ=180°?∠BPC，推出