2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講：拓展一：基本不等式(學(xué)生版+解析)

第06講：拓展一：基本不等式目錄TOC\o"1-1"\h\u方法一：直接法 3方法二：湊配法 4方法三：分離法 7方法四：換元法 8方法五：常數(shù)代換“1”的代換 11方法六：消元法 15方法七：對鉤函數(shù) 161、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積有最大值；4、對鉤函數(shù)：對鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：（）的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.函數(shù)（）?？紝︺^函數(shù)（）定義域定義域值域值域奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減5、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.基本不等式高頻考點方法方法一：直接法典型例題例題1．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）當(dāng)時，的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．例題2．（2024上·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）若正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．10 B．20 C．100 D．200練透核心考點1．（2024上·湖南長沙·高一校考期末）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．22．（2024上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為．方法二：湊配法典型例題例題1．（2024下·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3例題2．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，則的（

）A．最小值為1 B．最大值為1 C．最小值為 D．最大值為例題3．（2024上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，的最小值為（

）A． B． C． D．練透核心考點1．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為2．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知，則的最小值為.3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末），恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.方法三：分離法典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是（

）A．2 B． C． D．例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．122．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為.方法四：換元法典型例題A．9 B．10 C．12 D．13例題2．（多選）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，若，則（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為8例題3．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則，若，，則的最小值為.練透核心考點1．（多選）（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正實數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．2．（多選）（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若，，且，則（

）A． B．C． D．3．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）若存在正實數(shù)滿足，且使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是.方法六：消元法典型例題例題1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知，，則的最小值為（）A．8 B．4 C． D．例題2．（2024上·四川眉山·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值為．練透核心考點1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．2．（2023上·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）若、，且，則的最大值為．方法七：對鉤函數(shù)典型例題例題1．（2022上·全國·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．例題2．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題5．（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）若，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是.練透核心考點1．（2023上·海南?？凇じ咭缓Ｄ先A僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023上·四川宜賓·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，當(dāng)時，求的最小值為．3．（2024上·山東日照·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．第06講：拓展一：基本不等式目錄TOC\o"1-1"\h\u方法一：直接法 3方法二：湊配法 4方法三：分離法 7方法四：換元法 8方法五：常數(shù)代換“1”的代換 11方法六：消元法 15方法七：對鉤函數(shù) 161、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積有最大值；4、對鉤函數(shù)：對鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：（）的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.函數(shù)（）?？紝︺^函數(shù)（）定義域定義域值域值域奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減5、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.基本不等式高頻考點方法方法一：直接法典型例題例題1．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）當(dāng)時，的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，故的最小值為2．故選：C．例題2．（2024上·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）若正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．10 B．20 C．100 D．200【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式求出最值.【詳解】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是20．故選：B練透核心考點1．（2024上·湖南長沙·高一校考期末）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：D.2．（2024上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為．【答案】【分析】由基本不等式求積的最大值.【詳解】，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最大值為.故答案為：方法二：湊配法典型例題例題1．（2024下·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由于，所以，由,（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），可得的最小值為3，故選：D．例題2．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，則的（

）A．最小值為1 B．最大值為1 C．最小值為 D．最大值為【答案】D【分析】由基本不等式得出結(jié)果.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號；故最大值為，故選：D.例題3．（2024上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得該函數(shù)的最小值.【詳解】因為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)，的最小值為.故選：B.練透核心考點1．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為【答案】【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.故答案為：2．（2024上·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┮阎瑒t的最小值為.【答案】8【分析】利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】時，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故答案為：8.3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末），恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用基本不等式求出，從而得到，求出答案.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：方法三：分離法典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】化簡函數(shù)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，所以即函數(shù)的最大值是.故選：C.例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【分析】由基本不等式求解，【詳解】因為所以，(當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立故最小值為，故選：A2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為.【答案】/【分析】首先化簡可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為，則，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為.故答案為：.方法四：換元法典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】7【分析】換元轉(zhuǎn)化成基本不等式的形式，利用積為定值即可求和的最小值.【詳解】令，；則(當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立)，故函數(shù)，的最小值為故答案為：7例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）10.【分析】（1）化簡整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.（2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.【詳解】（1）∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時取等號）的最小值為3；（2）令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即t=3時取等號y的最小值為10練透核心考點1．（2023上·江西南昌·高一南昌二中?？茧A段練習(xí)）求函數(shù)的最小值．【答案】9．【分析】令，則，利用基本不等式計算可得；【詳解】因為，所以，令，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；所以函數(shù)的最小值為．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）；（3）.【答案】（1）3；（2）；（3）10.【分析】對分式函數(shù)利用分離常數(shù)法構(gòu)造基本不等式（對勾函數(shù)）的結(jié)構(gòu)，或利用基本不等式（1,、2）或利用函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】（1）∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時取“=”）即的最小值為3；（2）令，則在是單增，∴當(dāng)t=2時，y取最小值；即y的最小值為（3）令，則可化為：當(dāng)且僅當(dāng)t=3時取“=”即y的最小值為10【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．方法五：常數(shù)代換“1”的代換典型例題例題1．（2024上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎?，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．12 D．13【答案】D【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：D.例題2．（多選）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，若，則（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為8【答案】ABD【分析】對于AB：根據(jù)題意消去，結(jié)合的取值范圍分析求解；對于C：根據(jù)基本不等式運算求解；對于D：根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式分析求解.【詳解】因為，，則，可得，對于選項AB：因為，所以，，故AB正確；對于選項C：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為，故C錯誤；對于選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為8，故D正確；故選：ABD.例題3．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則，若，，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得的值；結(jié)合已知用表示，結(jié)合三點共線可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值.【詳解】在中，，，則，故，故；又，而，，所以，則，又三點共線，所以，結(jié)合已知可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，取等號；即的最小值為，故答案為：；【點睛】結(jié)論點睛：若，則三點共線.練透核心考點1．（多選）（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正實數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)基本不等式判斷選項ABC，消元利用二次函數(shù)求最值判斷D.【詳解】對A：由及基本不等式得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對B：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故B錯誤；對C：因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以即，故C正確；對D：，其中，所以，故D正確.故選：ACD2．（多選）（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、D選項由基本不等式直接求解即可；B選項將原式平方，結(jié)合A的結(jié)論即可判斷；C選項利用乘“1”法進(jìn)行求解.【詳解】對于A，若m，，且，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A正確；對于B，，由A可得，故，所以，故B不正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；對于D，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故D不正確，故選：AC.3．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）若存在正實數(shù)滿足，且使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，再利用能成立問題得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.【詳解】因為正實數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，若不等式有解，則，解得或，則實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.方法六：消元法典型例題例題1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┮阎?，，則的最小值為（）A．8 B．4 C． D．【答案】A【分析】首先由條件可得，再變形，最后利用基本不等式，即可求解.【詳解】由，，可得，則則，當(dāng)，得時，等號成立，所以的最小值為8.故選：A例題2．（2024上·四川眉山·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值為．【答案】2【分析】將已知式子適當(dāng)變形替換，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意，所以，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為2.故答案為：2.練透核心考點1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】通過求出，代入所求式消元，運用基本不等式求解即得.【詳解】由可知，則，代入得：，當(dāng)時等號成立，即當(dāng)時，取得最小值.故選：D.2．（2023上·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）若、，且，則的最大值為