2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第05講復(fù)數(shù)(知識(shí)+真題+7類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第05講復(fù)數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念 3高頻考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義 4高頻考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)分類 5高頻考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)模 6高頻考點(diǎn)五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù) 7高頻考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 7高頻考點(diǎn)七：共軛復(fù)數(shù) 8第四部分：新定義題（解答題） 9第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.2、復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.3、復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:4、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量5、復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；特別的，時(shí)，復(fù)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對(duì)值).6、共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.7、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法（減法）運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：顯然：兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作注意：①兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；②兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·（乙卷文））（

）A．1 B．2 C． D．53．（2023·全國·（甲卷文））（

）A． B．1 C． D．4．（2023·全國·（新高考Ⅰ卷））已知，則（

）A． B． C．0 D．15．（2023·全國·（新高考Ⅱ卷））在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念典型例題例題1．（2024下·上?！じ呷_學(xué)考試）下列命題不正確的為（

）A．若復(fù)數(shù)，的模相等，則，是共軛復(fù)數(shù)B．，都是復(fù)數(shù)，若是虛數(shù)，則不是的共軛復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是D．，，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段例題2．（多選）（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．的共軛復(fù)數(shù) D．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和是（

）A．7 B．13 C．21 D．272．（2024下·高一單元測試）已知復(fù)數(shù)①在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)；②復(fù)數(shù)的虛部為；③復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為；④；⑤復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根.以上5個(gè)結(jié)論中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4高頻考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義典型例題例題1．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例題2．（2024上·四川成都·高三樹德中學(xué)校考期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則的模是（

）A．5 B． C．2 D．例題3．（多選）（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面原點(diǎn)若．（i為虛數(shù)單位），向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，且模伸長為原來的2倍后與向量重合，則（

）A．的虛部為 B．點(diǎn)B在第二象限C． D．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·廣東佛山·高三石門中學(xué)校考期末）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（多選）（2024下·高一單元測試）關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則或B．復(fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)向量與，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為C．若z是復(fù)數(shù)，則D．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們滿足下列兩個(gè)條件：①；②兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為高頻考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)分類典型例題例題1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2例題2．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍使得：(1)z為純虛數(shù)；(2)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．高頻考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)模典型例題例題1．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為.例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是．例題3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則的最大值為.練透核心考點(diǎn)1．（2024·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知是純虛數(shù)（其中，是虛數(shù)單位），則；2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，且滿足，則的最大值為.3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則．高頻考點(diǎn)五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù)典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則．例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）滿足，的一個(gè)復(fù)數(shù)．練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足，，，則.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則的最大值為.高頻考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算典型例題例題1．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）下列各式的運(yùn)算結(jié)果不是純虛數(shù)的是（

）A． B．C． D．例題2．（2024上·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）若，則（

）A．2 B．1 C． D．例題3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A．8 B．6 C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則等于（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部為.高頻考點(diǎn)七：共軛復(fù)數(shù)典型例題例題1．（2024上·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A．8 B．6 C． D．例題2．（2024上·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┰趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則的模是（

）A．5 B． C．2 D．例題3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）設(shè)，則的共軛復(fù)數(shù)為．練透核心考點(diǎn)1．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面表示的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則.第四部分：新定義題（解答題）1．（2024下·浙江麗水·高三?？奸_學(xué)考試）數(shù)學(xué)中的數(shù)，除了實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)之外，還有四元數(shù)．四元數(shù)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有廣泛應(yīng)用，主要用于描述空間中的旋轉(zhuǎn)．集合中的元素稱為四元數(shù)，其中i,j,k都是虛數(shù)單位，d稱為的實(shí)部，稱為的虛部．兩個(gè)四元數(shù)之間的加法定義為．兩個(gè)四元數(shù)的乘法定義為：,四元數(shù)的乘法具有結(jié)合律，且乘法對(duì)加法有分配律．對(duì)于四元數(shù)，若存在四元數(shù)使得，稱是的逆，記為．實(shí)部為0的四元數(shù)稱為純四元數(shù)，把純四元數(shù)的全體記為W．(1)設(shè),四元數(shù)．記表示的共軛四元數(shù)．（i）計(jì)算；（ii）若，求；（iii）若，證明：；(2)在空間直角坐標(biāo)系中，把空間向量與純四元數(shù)看作同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象．設(shè)．（i）證明：;（ii）若是平面X內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，證明：是X的一個(gè)法向量．第05講復(fù)數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念 4高頻考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義 6高頻考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)分類 9高頻考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)模 13高頻考點(diǎn)五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù) 15高頻考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 17高頻考點(diǎn)七：共軛復(fù)數(shù) 19第四部分：新定義題（解答題） 21第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.2、復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.3、復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:4、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量5、復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；特別的，時(shí)，復(fù)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對(duì)值).6、共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.7、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法（減法）運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：顯然：兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作注意：①兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；②兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.【詳解】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.故選：D2．（2023·全國·（乙卷文））（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由題意首先化簡，然后計(jì)算其模即可.【詳解】由題意可得，則.故選：C.3．（2023·全國·（甲卷文））（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】故選：C.4．（2023·全國·（新高考Ⅰ卷））已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因?yàn)?，所以，即．故選：A．5．（2023·全國·（新高考Ⅱ卷））在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念典型例題例題1．（2024下·上?！じ呷_學(xué)考試）下列命題不正確的為（

）A．若復(fù)數(shù)，的模相等，則，是共軛復(fù)數(shù)B．，都是復(fù)數(shù)，若是虛數(shù)，則不是的共軛復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是D．，，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段【答案】A【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷ABC，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若復(fù)數(shù)，的模相等，則，還可能是相等的復(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若和是共軛復(fù)數(shù)，則相加為實(shí)數(shù)，不會(huì)為虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C，若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，從而，所以，反之若，則由得，所以，所以復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知表示點(diǎn)到點(diǎn)和距離之和為2，而點(diǎn)和之間距離為2，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段，故D正確.故選：A例題2．（多選）（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．的共軛復(fù)數(shù) D．【答案】CD【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)可判斷A；由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B；由共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C；由復(fù)數(shù)的模長公式可判斷D.【詳解】，對(duì)于A，的虛部為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的共軛復(fù)數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：CD.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和是（

）A．7 B．13 C．21 D．27【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和是，故選：B.2．（2024下·高一單元測試）已知復(fù)數(shù)①在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)；②復(fù)數(shù)的虛部為；③復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為；④；⑤復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根.以上5個(gè)結(jié)論中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)判斷①的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷②的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)可以判斷③的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念判斷④的正誤，利用方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解判斷⑤的正誤.【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)，所以①正確；復(fù)數(shù)的虛部為，所以②錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以③錯(cuò)誤；，所以④正確；方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為，所以復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根，所以⑤正確；所以正確的命題個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C.高頻考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義典型例題例題1．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限的等價(jià)條件，利用集合的包含關(guān)系及充分條件、必要條件求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，而成立推不出成立，，所以是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限的必要不充分條件，故選：B例題2．（2024上·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┰趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則的模是（

）A．5 B． C．2 D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的除法化簡，模長公式求模.【詳解】復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則有，，，，.故選：D例題3．（多選）（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面原點(diǎn)若．（i為虛數(shù)單位），向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，且模伸長為原來的2倍后與向量重合，則（

）A．的虛部為 B．點(diǎn)B在第二象限C． D．【答案】BD【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，依題意求解出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，然后逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，，向量與軸夾角為

由題意可知，且，選項(xiàng)B正確；，的虛部為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，選項(xiàng)D正確；故選：BD.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·廣東佛山·高三石門中學(xué)?？计谀?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法以及幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D．2．（多選）（2024下·高一單元測試）關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則或B．復(fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)向量與，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為C．若z是復(fù)數(shù)，則D．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為【答案】ABC【分析】對(duì)于，結(jié)合特殊值法，即可求解；對(duì)于，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解；對(duì)于，結(jié)合特殊值法，即可求解；對(duì)于，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】對(duì)于A，取，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，但知C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)，則由可知，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為，D正確．故選：ABC．3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們滿足下列兩個(gè)條件：①；②兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為【答案】20【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及集合意義可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程求得的值，從而可得向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算確定模長與角度，從而得的面積.【詳解】設(shè)，則.所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，解得.又的面積為.故答案為：.高頻考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)分類典型例題例題1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則以及純虛數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以解得，故選：.例題2．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍使得：(1)z為純虛數(shù)；(2)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)z為純虛數(shù)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，列出不等式組，即可求解；【詳解】（1），若z為純虛數(shù)，則，解得：.（2）由題意知，，解得：.例題3．（2023下·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）已知，，復(fù)數(shù)，且，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.(1)求復(fù)數(shù)；(2)若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，得到，再根據(jù)條件得到，又由題設(shè)知，從而求出得到結(jié)果；（2）利用（1）中的結(jié)果和復(fù)數(shù)的除法，再結(jié)合條件即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.練透核心考點(diǎn)1．（2024·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知是純虛數(shù)（其中，是虛數(shù)單位），則；【答案】【分析】根據(jù)實(shí)部為0虛部不為0，解方程可得復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算模長即可.【詳解】由題意，解得，∴，．故答案為：．2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知復(fù)數(shù)滿足.（1）若是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)；（2）求的取值范圍.【答案】（1）復(fù)數(shù)或；（2）.【分析】（1）利用實(shí)數(shù)概念及模長，即可得到復(fù)數(shù)；（2）利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得到取值范圍.【詳解】（1）設(shè)i，、，則，又是實(shí)數(shù)，∴，又，∴或，∴復(fù)數(shù)或；（2）表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離，而復(fù)數(shù)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為5的圓上，如圖所示，，∴.

3．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）已知，復(fù)數(shù)，當(dāng)m為何值時(shí)，（1）z為實(shí)數(shù)？（2）z為虛數(shù)？（3）z為純虛數(shù)？（4）z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限？【答案】（1）或（2）且（3）（4）【分析】由題意得解得，（1）由，求出m即可；（2），即可得出m；（3）由，解得范圍；（4）根據(jù)象限特征，由，解得范圍.【詳解】解：，（1）由得或，即當(dāng)或時(shí)，z為實(shí)數(shù)；（2）由得且，即當(dāng)且時(shí)，z為虛數(shù)；（3）由得，即當(dāng)時(shí)，z為純虛數(shù)；（4）由解得，即當(dāng)時(shí)，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其運(yùn)算法則、方程與不等式的解法，考查推理能力與計(jì)算能力．高頻考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)模典型例題例題1．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為.【答案】/【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)幾何意義求目標(biāo)式的最大值.【詳解】令復(fù)數(shù)，，，則，所以，所以，，即.又因?yàn)?，即在?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.又點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以的最大值為.故答案為：.例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是．【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的幾何意義及橢圓的定義可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后利用三角代換結(jié)合條件即可求解．【詳解】設(shè)，由，得，因此在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上，所以可設(shè)橢圓方程為，則，所以橢圓方程為，而表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，可設(shè)，所以與點(diǎn)的距離，所以當(dāng)時(shí)，，即的最大值是.故答案為：例題3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則的最大值為.【答案】6【分析】將問題化為定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最大值，即可求解.【詳解】令且，則，即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，而，即點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最大值，所以的最大值為.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2024·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知是純虛數(shù)（其中，是虛數(shù)單位），則；【答案】【分析】根據(jù)實(shí)部為0虛部不為0，解方程可得復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算模長即可.【詳解】由題意，解得，∴，．故答案為：．2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，且滿足，則的最大值為.【答案】3【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】，復(fù)數(shù)的軌跡表示以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如圖，當(dāng)過點(diǎn)和圓的圓心，即為最大值.

故答案為：3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則．【答案】【分析】設(shè)，，利用復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等可得出、以及的值，再利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)的模長公式可求得的值.【詳解】設(shè)，，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋?，，即，由，可得，故，解得，由，可得，所以，，所以?故答案為：.高頻考點(diǎn)五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù)典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則．【答案】【分析】設(shè)，，利用復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等可得出、以及的值，再利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)的模長公式可求得的值.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，，即，由，可得，故，解得，由，可得，所以，，所以?故答案為：.例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）滿足，的一個(gè)復(fù)數(shù)．【答案】（或中的一個(gè)，答案不唯一）【分析】設(shè)，根據(jù)可得出或，分、兩種情況討論，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得復(fù)數(shù)的值.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，則，即或.當(dāng)時(shí)，即，由，解得或，此時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，即，由，解得，此時(shí)，.綜上所述，或.故答案為：（或中的一個(gè)，答案不唯一）練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足，，，則.【答案】/【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的公式即可求解.【詳解】設(shè)，且，則，又，所以，即，則，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則的最大值為.【答案】6【分析】將問題化為定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最大值，即可求解.【詳解】令且，則，即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，而，即點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最大值，所以的最大值為.故答案為：高頻考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算典型例題例題1．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）下列各式的運(yùn)算結(jié)果不是純虛數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)一一化簡即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：D.例題2．（2024上·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）若，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的概念，乘法、加法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模得解.【詳解】.故選：D例題3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則．【答案】【分析】設(shè)，，利用復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等可得出、以及的值，再利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)的模長公式可求得的值.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，，即，由，可得，故，解得，由，可得，所以，，所以?故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A．8 B．6 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】因?yàn)?，解得，即，所以，故選：A2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：B．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部為.【答案】10