2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第10講：拓展一：定義題(解答題)(學(xué)生版+解析)

第10講：拓展一：定義題（解答題）1．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，我們稱（規(guī)定）為無(wú)窮數(shù)列的指數(shù)型母函數(shù)．無(wú)窮數(shù)列1，1，…，1，…的指數(shù)型母函數(shù)記為，它具有性質(zhì)．(1)證明：；(2)記．證明：（其中i為虛數(shù)單位）；(3)以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列，．其中稱為伯努利數(shù)．證明：．且．2．（2024上·全國(guó)·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）設(shè)有兩個(gè)集合，如果對(duì)任意，存在唯一的，滿足，那么稱是一個(gè)的函數(shù).設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，那么是的函數(shù)，稱為和的復(fù)合，記為.如果兩個(gè)的函數(shù)對(duì)任意，都有，則稱.(1)對(duì)，分別求一個(gè)，使得對(duì)全體恒成立；(2)設(shè)集合和的函數(shù)以及的函數(shù).（i）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足；（ii）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，并且說(shuō)明如果存在其它的集合滿足存在的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，則存在唯一的的函數(shù)滿足.3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，恒成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為的上界．(1)若在上是以2為上界的有界函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知，為正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得對(duì)，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）對(duì)于函數(shù)，為函數(shù)定義域，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不增函數(shù)”.(1)若函數(shù)是“同比不增函數(shù)”，求的取值范圍；(2)是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不增函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）中心對(duì)稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個(gè)定點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)，我們學(xué)過(guò)的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對(duì)稱函數(shù)，它的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).類比奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對(duì)稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)，都有，則稱函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對(duì)稱中心.比如，函數(shù)就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心為.(1)判斷是否為中心對(duì)稱函數(shù)（不用寫理由），若是，請(qǐng)寫對(duì)稱中心；(2)若定義在上的函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，求的值；(3)判斷函數(shù)是否為中心對(duì)稱函數(shù)，若是，求出其對(duì)稱中心；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.6．（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.(1)判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，說(shuō)明理由．(2)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9．（2024上·廣東·高一統(tǒng)考期末）定義：函數(shù)若存在正常數(shù)，使得，為常數(shù)，對(duì)任意恒成；則稱函數(shù)為“代階函數(shù)”．(1)判斷下列函數(shù)是否為“代階函數(shù)”？并說(shuō)明理由．①，②.(2)設(shè)函數(shù)為“代階函數(shù)”，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù).若，求的值．10．（2024上·上海·高一上海市洋涇中學(xué)?？计谀?duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若．(1)已知，，試寫出、的表達(dá)式；(2)設(shè)且，函數(shù)，，如果與恰好為同一函數(shù)，求的取值范圍；(3)若，存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2024上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“函數(shù)”.(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，函數(shù)，為其定義域上的“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.12．（2024上·北京順義·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于定義域?yàn)镮的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)，的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”.(1)判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”?（直接寫出結(jié)論，不要求證明）(2)如果函數(shù)在R上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.第10講：拓展一：定義題（解答題）1．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，我們稱（規(guī)定）為無(wú)窮數(shù)列的指數(shù)型母函數(shù)．無(wú)窮數(shù)列1，1，…，1，…的指數(shù)型母函數(shù)記為，它具有性質(zhì)．(1)證明：；(2)記．證明：（其中i為虛數(shù)單位）；(3)以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列，．其中稱為伯努利數(shù)．證明：．且．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由，通過(guò)賦值即可證得；（2）根據(jù)的周期性，經(jīng)過(guò)多次推理，由求和可以證得；（3）構(gòu)造，可以推出，然后再可證得.【詳解】（1）令，則．由，令，則．因?yàn)?，故．?）證明：因?yàn)?，，，，，所以?）證明：令，則有，因此故且，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：主要考查了復(fù)數(shù)的周期性，考查推理論證能力，對(duì)學(xué)生思維要求比較高，綜合性很強(qiáng).2．（2024上·全國(guó)·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）設(shè)有兩個(gè)集合，如果對(duì)任意，存在唯一的，滿足，那么稱是一個(gè)的函數(shù).設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，那么是的函數(shù)，稱為和的復(fù)合，記為.如果兩個(gè)的函數(shù)對(duì)任意，都有，則稱.(1)對(duì)，分別求一個(gè)，使得對(duì)全體恒成立；(2)設(shè)集合和的函數(shù)以及的函數(shù).（i）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足；（ii）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，并且說(shuō)明如果存在其它的集合滿足存在的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，則存在唯一的的函數(shù)滿足.【答案】(1)，(2)（i），；（ii），，說(shuō)明見(jiàn)解析【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題干條件求解；（2）（i）利用常函數(shù)求解；（ii）結(jié)合（i）再證明唯一性即可.【詳解】（1）因?yàn)?，而，?duì)全體恒成立；故對(duì)所有成立.（2）（i）考慮以及兩個(gè)函數(shù)，對(duì)任意，因?yàn)?，所?（ii）我們可以繼續(xù)使用（i）的構(gòu)造，任意取，因?yàn)?，所以，所以，則，因此存在滿足條件；如果符合題意，即，則，由定義得到；所以存在唯一的的函數(shù)滿足題意.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分利用題目定義的新函數(shù)證明唯一性是關(guān)鍵.3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，恒成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為的上界．(1)若在上是以2為上界的有界函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知，為正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得對(duì)，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用上界的定義，換元令轉(zhuǎn)化函數(shù)式得，再結(jié)合與的單調(diào)性計(jì)算即可；（2）假設(shè)存在滿足題意，分離參數(shù)得，然后分類討論為奇數(shù)或偶數(shù)，結(jié)合的取值范圍計(jì)算即可.【詳解】（1）令，，則，由題意可得，在上恒成立，則在上恒成立，∴，即，易知在上單調(diào)遞減，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞增，則，綜上：．（2）假設(shè)存在滿足題意，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，即設(shè)，易知，則，，∴；當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，即同理設(shè)，易知，則，，∴；若存在，則且，即，∴，即，∴．4．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）對(duì)于函數(shù)，為函數(shù)定義域，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不增函數(shù)”.(1)若函數(shù)是“同比不增函數(shù)”，求的取值范圍；(2)是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不增函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，且【分析】（1）由恒成立，分離常數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的最值來(lái)求得的取值范圍.（2）結(jié)合的圖象以及圖象變換的知識(shí)求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是“同比不增函數(shù)”，則恒成立，所以恒成立，所以，即，由于，所以.所以的取值范圍是.（2）存在，理由如下：，畫出的圖象如下圖所示，

的圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位所得，由圖可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有成立，所以存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不增函數(shù)”，且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用題中的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，本題第（2）問(wèn)利用數(shù)形結(jié)合思想求解比較直觀簡(jiǎn)單.5．（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）中心對(duì)稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個(gè)定點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)，我們學(xué)過(guò)的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對(duì)稱函數(shù)，它的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).類比奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對(duì)稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)，都有，則稱函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對(duì)稱中心.比如，函數(shù)就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心為.(1)判斷是否為中心對(duì)稱函數(shù)（不用寫理由），若是，請(qǐng)寫對(duì)稱中心；(2)若定義在上的函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，求的值；(3)判斷函數(shù)是否為中心對(duì)稱函數(shù)，若是，求出其對(duì)稱中心；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)是中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心為(2)(3)是中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心為.【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，即可得結(jié)論；（2）若定義在上的函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)必為，由可知，，即可得出的值；（3）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，即可得結(jié)論．【詳解】（1）根據(jù)題意，的定義域?yàn)椋?，若?duì)，都有，所以中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心為；（2）若定義在上的函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，明顯定義域僅關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)必為，則，因?yàn)闉橹行膶?duì)稱函數(shù)，則為定值，則，即，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（3）函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為點(diǎn)解方程得，所以函數(shù)的定義域?yàn)槊黠@定義域僅關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱所以若函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則其對(duì)稱中心橫坐標(biāo)必為設(shè)其對(duì)稱中心為點(diǎn)，則由題意可知有，令，可得，所以所以若函數(shù)為中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心必定為點(diǎn)下面論證函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形：即只需證明，，得證.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.6．（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)試判斷的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(3)定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”．若函數(shù)存在“完美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由函數(shù)解析式直接求定義域；（2）法一：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定；法二：定義法證明單調(diào)性；（3）由題意可知方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．再利用基本不等式求出函數(shù)的值域即可.【詳解】（1）要使函數(shù)的表達(dá)式有意義，須使，解得，所以函數(shù)的定義域是．（2）在上單調(diào)遞增．理由如下：法一：因?yàn)?，又在上為增函?shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增．法二：因?yàn)椋瑢?duì)任意，，且，可知，則，又，可知，所以，即．故在上單調(diào)遞增，（3）由（2）可知在上單調(diào)遞增，設(shè)區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”．則，．可知方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以．故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第三問(wèn)由題意，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．接下來(lái)利用換元法求出函數(shù)的值域即可.7．（2024·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我們把（其中，）稱為一元n次多項(xiàng)式方程．代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程（即，，，…，為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積．即，其中k，，，，，……，為方程的根．進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即，，，…，為實(shí)數(shù)），方程的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，由待定系數(shù)法可知，．(1)解方程：；(2)設(shè)，其中，，，，且．（i）分解因式：；（ii）記點(diǎn)是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)．求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)，，(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）觀察得到是方程的一個(gè)根，從而設(shè)，對(duì)照系數(shù)得到，，，得到，求出方程的根；（2）（i）是方程的一個(gè)根，設(shè)，對(duì)照系數(shù)得到，，，從而得到答案；（ii）令，故是方程的最小正實(shí)根，由（i）知：，設(shè)，根據(jù)的開口方向，結(jié)合，則一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為t，結(jié)合得到，故，得到.【詳解】（1）觀察可知：是方程的一個(gè)根；所以，由待定系數(shù)法可知，，解得，，；所以，即或，則方程的根為，，．（2）（i）由可知，是方程的一個(gè)根；所以，即，對(duì)照系數(shù)得，，，，故，，；所以．（ii）令，即，點(diǎn)是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)，等價(jià)于是方程的最小正實(shí)根；由（i）知：是方程的一個(gè)正實(shí)根，且，設(shè)，由，，，可知為開口向上的二次函數(shù)；又因?yàn)?，則一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為t；又，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，即是方程的最小正實(shí)根．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三次函數(shù)是近兩年高考常考考點(diǎn)，需要對(duì)三次函數(shù)理解到位，求解三次函數(shù)的零點(diǎn)，常常需要先觀察函數(shù)，直接法得到其中一個(gè)零點(diǎn)，將三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究三次函數(shù)的性質(zhì).8．（2024上·江蘇蘇州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.(1)判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，說(shuō)明理由．(2)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)是，(2)【分析】（1）根據(jù)定義，結(jié)合單調(diào)性即可求解；（2）先求出的值域，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，然后對(duì)a進(jìn)行分類討論可得；【詳解】（1）由定義可得，對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），即，由，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在使成立，當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，故對(duì)于任意，都有唯一一個(gè)，使得，綜上所述，對(duì)于任意，都有唯一一個(gè)，使得，是的“重覆蓋函數(shù)”，且；（2）由可得，故，，即，存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得，其中，由時(shí)，，故，即，故，故對(duì)任意，，，即對(duì)任意，都有2個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，且在上遞增，故時(shí)，都有唯一確定的實(shí)根，故當(dāng)時(shí)，亦有且有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，為開口向下的拋物線，不符合要求，故舍去。當(dāng)時(shí)，則需對(duì)稱軸，且，即，且，即，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.9．（2024上·廣東·高一統(tǒng)考期末）定義：函數(shù)若存在正常數(shù)，使得，為常數(shù)，對(duì)任意恒成；則稱函數(shù)為“代階函數(shù)”．(1)判斷下列函數(shù)是否為“代階函數(shù)”？并說(shuō)明理由．①，②.(2)設(shè)函數(shù)為“代階函數(shù)”，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù).若，求的值．【答案】(1)①是代階函數(shù)，②不是代階函數(shù)，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用“代階函數(shù)”的定義判斷即可；（2）根據(jù)“代階函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)的奇偶性變形，得到，求解即可.【詳解】（1）①是代階函數(shù)，因?yàn)?，此時(shí)，，所以為代階函數(shù)；②不是代階函數(shù)，因?yàn)?，所以不是代階函數(shù)；（2）由已知存在常數(shù)滿足，即，令，則①，令，則②，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，，，①②，整理得，令，則，又因?yàn)?，且，可得，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)：通過(guò)給定一個(gè)新的概念，根據(jù)題目提供的信息，結(jié)合所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；遇到新定義的題目，要耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)和性質(zhì)，按新定義的要求求解.10．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ醒鬀苤袑W(xué)?？计谀?duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若．(1)已知，，試寫出、的表達(dá)式；(2)設(shè)且，函數(shù)，，如果與恰好為同一函數(shù)，求的取值范圍；(3)若，存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)、(2)(3)是，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)、在上的單調(diào)性可得出、的表達(dá)式；（2）若與恰好為同一函數(shù)，只須在上是單調(diào)遞減，討論的取值由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)在上的值域，寫出、的解析式，再由求出的范圍得到答案．故是上的“階收縮函數(shù)”，且小正整數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于確定新函數(shù)的解析式，根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式成立的問(wèn)題，再結(jié)合恒成立思想求解.11．（2024上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“函數(shù)”.(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，函數(shù)，為其定義域上的“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)是“函數(shù)”，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）直接由新定義判斷方程是否有解即可.（2）由題意得首先得，然后對(duì)分類討論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為方程有解求參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）由題意，若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，可得，即.當(dāng)時(shí)，上式成立，所以存在，滿