人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)專題15.1分式的混合運算與化簡求值(壓軸題專項講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題15.1分式的混合運算與化簡求值【典例1】閱讀理解：材料1：已知x+1x=3解：活用倒數(shù)，∵x2∴xx材料2：將分式x2解：由分母x+1，可設(shè)x2?x+3=(x+1)(x+a)+b，則∵對于任意x上述等式成立，∴a+1=?1,a+b=3.解得∴x2根據(jù)材料，解答下面問題：（1）已知a+1a=5，則分式a（2）已知b?1b=?3，求分式b（3）已知x+1x?2=?73【思路點撥】（1）根據(jù)材料1，原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值；（2）根據(jù)材料1，原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值；（3）根據(jù)材料1和材料2，原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值．【解題過程】（1）解：∵a+∴2∴a故答案為：110（2）∵b?∴b?1b2∴b則：3∴b故答案為：129（3）3由分母x?2，可設(shè)x2則：x對于任意x上述等式成立，∴a?2=?3?2a+b=3，解得，a=?1∴3又∵x+1x?2∴3∴x?23故答案為：?11．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知實數(shù)x，y，z滿足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xA．12 B．14 C．727 2．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+A．-1 B．?12 C．2 3．（2022·福建·九年級統(tǒng)考競賽）若正數(shù)a，b，c滿足abc1，a+1b=3,b+4．（2022秋·上海徐匯·七年級上海市田林第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）計算：a2（2）2x?45．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）先化簡：（2a+2+a2?4a26．（2022春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)校考自主招生）先化簡，后求值：x3+xy2+1x37．（2023春·八年級單元測試）先閱讀，再答題：12×313×4……一般地，有1n（1）計算：1x+1（2）計算：1x8．（2022秋·全國·七年級期末）xyx+y=1，9．（2022春·八年級課時練習(xí)）已知3x?2y?4z=0，2x+y?5z=0且xyz≠0，求1z10．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知x,y為整數(shù)，且滿足1x+111．（2022秋·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b12．（2022·福建·九年級專題練習(xí)）已知x=a1b+1c（1）當(dāng)a=1，b=1，c=2時，求1x?1（2）當(dāng)ab+bc+ac≠0時,求1x+113．（2022·七年級單元測試）已知a、b、c為實數(shù)，且滿足下式：①a2②a1求a+b+c的值.14．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）Sn為n的各位數(shù)字之和，例S（1）當(dāng)10≤n≤99時，求nS（2）當(dāng)100≤n≤999時，求nS（3）當(dāng)1000≤n≤9999時，求nS15．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個問題：若a，b均不為零，求x=|a|a+|b|b的值．小明說：“考慮到要去掉絕對值符號，必須對字母a，b解：①當(dāng)兩個字母a，b中有2個正，0個負(fù)時，②當(dāng)兩個字母a，b中有1個正，1個負(fù)時，③當(dāng)兩個字母a，b中有0個正，2個負(fù)時．（1）根據(jù)小明的分析，求x=|a|（2）若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，求代數(shù)式|a+b|c16．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：x+1x?1=x?1+2x?1=x?1x?1（1）下列分式中，不屬于“和諧分式”的是（填序號）．①2x+3x

②3+x3

③x+4x+3（2）將“和諧分式”a2（3）應(yīng)用：先化簡3x+6x+1?x?117．（2023春·八年級課時練習(xí)）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“關(guān)聯(lián)分式”．（1）已知分式2a2?1，試說明2（2）小聰在求分式1x設(shè)1x2+y2∴1x2+請你仿照小聰?shù)姆椒ㄇ蠓质絰+y2x?3y（3）①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式ab?a②若n?2mx+m2+n是18．（2023春·八年級課時練習(xí)）閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”，例如：x2x+1?x?1x+1這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”，例如：1x+1，（1）參考上面的方法，將下列分式化為帶分式：?x2?2xx2+2x+1（2）解分式方程：x2（3）當(dāng)x取什么整數(shù)值時，分式x4（4）一個三位數(shù)m，個位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍，另一個兩位數(shù)n．十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同，若這個三位數(shù)的平方能整除這個兩位數(shù)，求滿足條件的三位數(shù)m．19．（2023春·八年級課時練習(xí)）知識與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料：利用整體思想解題，運用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入；（4）整體求和等．例1：分解因式x解：將“x2+2x原式=y例2：已知ab=1，求11+a解：1請根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問題：（1）根據(jù)材料，請你模仿例1嘗試對多項式x2（2）計算：1?2?3???2021×（3）①已知ab=1，求11+②若abc=1，直接寫出5aab+a+120．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．材料一：在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運用約分化簡，以達(dá)到計算目的．例：已知：xx2+1解：∵xx2+1=∴x+1x材料二：在解決某些連等式問題時，通?？梢砸?yún)?shù)“k”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就可以通過適當(dāng)變形解決問題．例：若2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z解：令2x=3y=4z=k(k≠0)則x=k2，y=k3根據(jù)材料回答問題：（1）已知xx2?x+1（2）已知a5=b（3）若yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=x2+

專題15.1分式的混合運算與化簡求值【典例1】閱讀理解：材料1：已知x+1x=3解：活用倒數(shù)，∵x2∴xx材料2：將分式x2解：由分母x+1，可設(shè)x2?x+3=(x+1)(x+a)+b，則∵對于任意x上述等式成立，∴a+1=?1,a+b=3.解得∴x2根據(jù)材料，解答下面問題：（1）已知a+1a=5，則分式a（2）已知b?1b=?3，求分式b（3）已知x+1x?2=?73【思路點撥】（1）根據(jù)材料1，原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值；（2）根據(jù)材料1，原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值；（3）根據(jù)材料1和材料2，原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值．【解題過程】（1）解：∵a+∴2∴a故答案為：110（2）∵b?∴b?1b2∴b則：3∴b故答案為：129（3）3由分母x?2，可設(shè)x2則：x對于任意x上述等式成立，∴a?2=?3?2a+b=3，解得，a=?1∴3又∵x+1x?2∴3∴x?23故答案為：?11．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知實數(shù)x，y，z滿足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xA．12 B．14 C．727 【思路點撥】把zx+y+xy+z+yz+x=11兩邊加上3，變形可得x+y+zx+y【解題過程】解：∵z∴1+z即x+y+zx+y∴1而1x+y∴14∴x+y+z=12．故選：C．2．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+A．-1 B．?12 C．2 【思路點撥】觀察所給算式可得c?1=1?a?b,a?1=1?b?c,b?1=1?a?c,代入整理之后對算式進(jìn)行通分即可．【解題過程】解：由a+b+c=2可得：c?1=1?a?b,a?1=1?b?c,b?1=1?a?c，則1====∵a+b+c=2,∴a+b+c∴ac+bc+ab=1故原式=?1故選：D．3．（2022·福建·九年級統(tǒng)考競賽）若正數(shù)a，b，c滿足abc1，a+1b=3,b+【思路點撥】計算a+1bb+1c【解題過程】解：解法一：因為a+==abc+a+c+=所以3×17×c+解得c+1故答案為：1125解法二：由abc=1a+1b因此17?b=3b?1，b=9由此可得a=259，所以c+故答案為：11254．（2022秋·上海徐匯·七年級上海市田林第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）計算：a2（2）2x?4【思路點撥】（1）先分解因式，再化簡計算；（2）先計算括號里面的，再分解因式，計算除法.【解題過程】解：（1）a2===（2）2x?4===?x5．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）先化簡：（2a+2+a2?4a2【思路點撥】直接將括號里面進(jìn)行加減運算，再利用分式的除法運算法則計算得出答案，注意分式的有意義．【解題過程】解：2====1∵a?2≠0,aa?2∴a≠?2,0,2，當(dāng)a=1時，原式=16．（2022春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)校考自主招生）先化簡，后求值：x3+xy2+1x3【思路點撥】利用因式分解和整式運算法則逐步化簡整式，再借助已知條件計算x，y的值，代入求解即可．【解題過程】解：原式=x=xy(=====∵x?2+∴x?2+即x?2+∵x?2≥0，(y?3)∴x?2=0，y?3=0，解得：x=2，y=3，將其代入，可得原式=2×37．（2023春·八年級單元測試）先閱讀，再答題：12×313×4……一般地，有1n（1）計算：1x+1（2）計算：1x【思路點撥】（1）根據(jù)題目提供結(jié)論化簡為1x+1（2）根據(jù)題目提供結(jié)論將原式變形為121x再進(jìn)行同分母分式加減，最后進(jìn)行異分母分式加減，化簡即可求解．【解題過程】（1）解：1====2（2）1======10118．（2022秋·全國·七年級期末）xyx+y=1，【思路點撥】對已知等式求倒數(shù)變形，整理求出1x+1y+1z的值，進(jìn)而分別求出1x、1y、1z的值，從而確定x，【解題過程】解：∵xyx+y∴x+yxy=1，y+z∴21x+∴1z∴x=12∴x+y+z=129．（2022春·八年級課時練習(xí)）已知3x?2y?4z=0，2x+y?5z=0且xyz≠0，求1z【思路點撥】先根據(jù)已知，求得x=2z，y=z，之后再化簡式子，化簡之后將我們求到的值代入即可求到最后的答案．【解題過程】解：由3x?2y?4z=0，2x+y?5z=0得x=2z，y=z．∴原式====將x=2z，y=z代入得9410．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知x,y為整數(shù)，且滿足1x+1【思路點撥】根據(jù)平方差公式和約分法則把原式化簡，根據(jù)取整法則解答即可．【解題過程】解：∵(1∴(1∴(1∴(1∴1x+1∴x+y=0或1x由1x?1由于x，y為整數(shù)，當(dāng)y=1時，x為整數(shù)-2，則x+y=-1；當(dāng)y=-1時，x為-25當(dāng)y=2時，x為整數(shù)-1，則x+y=1；當(dāng)y=-2時，x為-12綜上，x+y的值為0或±1．11．（2022秋·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b【思路點撥】先根據(jù)完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，進(jìn)一步推出ab+bc+ac=?6，由ca+3b+3=c?3a?3，由此代入所求式子中并化簡得到【解題過程】解：∵a+b+c=2，∴a+b+c2∴a2∵a2∴ab+bc+ac=?6，∵a+b+c=2，∴c=2?a?b，∴3c+3=9?3a?3b，∴ab+3c+3=ab+9?3a?3b==a=a?3同理可得：bc+3a+3=b?3ca+3b+3=c?3∴=======?712．（2022·福建·九年級專題練習(xí)）已知x=a1b+1c（1）當(dāng)a=1，b=1，c=2時，求1x?1（2）當(dāng)ab+bc+ac≠0時,求1x+1【思路點撥】（1）分別對x、y進(jìn)行化簡，然后求值即可；（2）分別求出x＋1、y＋1、和z＋1【解題過程】解：（1）∵x=ac+ab當(dāng)a=1,b=1,c=2時，∴x?1=∴y?1=∴（2）x+1=ac+aby+1=bc+abz+1=bc+ac∵ab+bc+∴1==1.13．（2022·七年級單元測試）已知a、b、c為實數(shù)，且滿足下式：①a2②a1求a+b+c的值.【思路點撥】先對②式進(jìn)行變形，主要是給等式左邊每一大項一個1，再整理成兩式積等于0的形式，討論每個式子等于0的情況，最后可求出a＋b＋c的所有值．【解題過程】解：將②式因式分解變形如下：a1即a1所以a+b+c1即a+b+cbc+ac+ab所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0，若bc+ac+ab=0，則a+b+c2=a2所以a+b+c=±1，所以a+b+c的值為0、1、?1.14．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）Sn為n的各位數(shù)字之和，例S（1）當(dāng)10≤n≤99時，求nS（2）當(dāng)100≤n≤999時，求nS（3）當(dāng)1000≤n≤9999時，求nS【思路點撥】（1）設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則nSn=10a+ba+b（2）設(shè)這個三位數(shù)的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c，根據(jù)（1）中的方法進(jìn)行求值即可；（3）設(shè)這個四位數(shù)的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字是d，參照（1）中的方法進(jìn)行求解即可．【解題過程】解：（1）設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則nS要使nSn的值最小，則則∵10≤n≤99，∴a=1,b=9，∴nSn最小為（2））設(shè)這個三位數(shù)的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c；要使nSn=∵100≤n≤999，∴a=1,c=9，∴nS∴b=9，∴（3）設(shè)這個四位數(shù)的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字是d；則nS則a=1,d=9，∴nSn=∴nSn的最小值為15．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個問題：若a，b均不為零，求x=|a|a+|b|b的值．小明說：“考慮到要去掉絕對值符號，必須對字母a，b解：①當(dāng)兩個字母a，b中有2個正，0個負(fù)時，②當(dāng)兩個字母a，b中有1個正，1個負(fù)時，③當(dāng)兩個字母a，b中有0個正，2個負(fù)時．（1）根據(jù)小明的分析，求x=|a|（2）若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，求代數(shù)式|a+b|c【思路點撥】（1）根據(jù)a，b，是非零實數(shù)，分三種情況進(jìn)行討論：①兩正零負(fù)；②一正一負(fù)時；③零正2負(fù)時；分情況討論求值即可．（2）根據(jù)a，b，c是非零實數(shù)，分兩種情況進(jìn)行討論：①分兩正一負(fù)；②一正兩負(fù)；分情況討論求值即可．【解題過程】解：（1）①當(dāng)a，b中有2個正，0個負(fù)時，原式x=|a|②當(dāng)a,b中有1個正，1個負(fù)時，原式x=|a|③當(dāng)a,b中有0個正，2個負(fù)時，原式x=|a|綜上所述，x的值為?2或0或2．（2）∵a+b+c=0，∴a+b=?c，b+c=?a，c+a=?b，a，b，c不可能都為正或都為負(fù)，∴|a+b|c①當(dāng)a，b，c中有兩正一負(fù)時，原式=|?c|②當(dāng)a，b，c中有一正兩負(fù)時，原式=|?c|綜上所述|a+b|c+|b+c|16．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：x+1x?1=x?1+2x?1=x?1x?1（1）下列分式中，不屬于“和諧分式”的是（填序號）．①2x+3x

②3+x3

③x+4x+3（2）將“和諧分式”a2（3）應(yīng)用：先化簡3x+6x+1?x?1【思路點撥】（1）把給出的各式進(jìn)行處理，根據(jù)和諧分式的定義判斷；（2）把分式先變形為a2（3）先算除法，把分式轉(zhuǎn)化成和諧分式，再確定x的值．【解題過程】解：（1）①2x+3x=2+3x；②3+x3∴①③④屬于和諧分式，②不屬于和諧分式；故答案為：②；（2）原式=a（3）原式====2x+4根據(jù)題意得：原式=2(x+1)+2當(dāng)原式的值為整數(shù)時，x+1應(yīng)該是2的因數(shù)，∴x+1=1或x+1=?1或x+1=2或x+1=?2解得：x=0或x=?2或x=1或x=?3，∵x≠0且x≠?1且x≠1且x≠?2，∴當(dāng)x=?3時，該式的值為整數(shù)．17．（2023春·八年級課時練習(xí)）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“關(guān)聯(lián)分式”．（1）已知分式2a2?1，試說明2（2）小聰在求分式1x設(shè)1x2+y2∴1x2+請你仿照小聰?shù)姆椒ㄇ蠓质絰+y2x?3y（3）①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式ab?a②若n?2mx+m2+n是【思路點撥】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)分式”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）仿照小聰?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解即可；（3）①根據(jù)解析（2）找規(guī)律求出ab?a②根據(jù)關(guān)聯(lián)分式分子，分母規(guī)律可知，n?2=m+2①【解題過程】（1）解：∵2a2a∴2a2+1（2）解：設(shè)x+y2x?3y的關(guān)聯(lián)分式是N，則：x+y∴x+y2x?3y∴3x?2y2x?3y∴N=x+y（3）解：①根據(jù)解析（2）可知，ab?aab?a故答案為：ab②∵n?2mx+m2∴n?2=m+2①由①得m?n=?4，由②得：m2即m+nm?n把m?n=?4代入得：?4m+n解得：m+n=1故答案為：1218．（2023春·八年級課時練習(xí)）閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”，例如：x2x+1?x?1x+1這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”，例如：1x+1，（1）參考上面的方法，將下列分式化為帶分式：?x2?2xx2+2x+1（2）解分式方程：x2（3）當(dāng)x取什么整數(shù)值時，分式x4（4）一個三位數(shù)m，個位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍，另一個兩位數(shù)n．十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同，若這個三位數(shù)的平方能整除這個兩位數(shù)，求滿足條件的三位數(shù)m．【思路點撥】（1）兩式根據(jù)材料中的方法變形即可得到結(jié)果；（2）原式利用材料中的方法變形化簡方程即可求解；（3）原式利用材料中的方法變形，即可確定出分式的值為整數(shù)時，整數(shù)x的值；（4）設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，然后表示出m，n的表達(dá)式，再計算m2【解題過程】解：（1）?3（2）xx3?2∴x2-x-6=x2-4x+4，∴3x=10，∴x=10經(jīng)檢驗：x=10（3）x=∴當(dāng)x=0時，原式=2為整數(shù)；（4）設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則個位數(shù)字為2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y，∵2x＜10，∴x＜5，m===100(10x+y)+40x+∵m2∴4x∵0＜x＜5且x為整數(shù)，0＜y＜10且y為正整數(shù)，當(dāng)x=3，y=6時，4x∴m=366．19．（2023春·八年級課時練習(xí)）知識與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料：利用整體思想解題，運用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入；（4）整體求和等．例1：分解因式x解：將“x2+2x原式=y例2：已知ab=1，求11+a解：1請根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問題：（1）根據(jù)材料，請你模仿例1嘗試對多項式x2（2）計算：1?2?3???2021×（3）①已知ab=1，求11+②若abc=1，直接寫出5aab+a+1【思路點撥】（1）將x2?6x+8看成一個整體，令（2