2025屆山西省大同市平城區(qū)第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末預(yù)測(cè)試題含解析

2025屆山西省大同市平城區(qū)第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末預(yù)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若集合，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.3．設(shè)函數(shù)，若，則A. B.C. D.4．集合，，則（）A. B.C. D.5．已知集合，，，則（）A. B.C. D.6．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為A. B.C.或 D.7．下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的為（）A.有些四邊形的內(nèi)角和不等于360° B.，C.， D.所有能被4整除的數(shù)都是偶數(shù)8．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.9．設(shè)命題p：，命題q：，則p是q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)值為（）A.0 B.-3C.1 D.-1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則________.12．已知，則__________13．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)根.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.14．已知向量,其中，若，則的值為_(kāi)________.15．計(jì)算_______.16．若，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)的圖象在定義域(0，+∞)上連續(xù)不斷，若存在常數(shù)T>0，使得對(duì)于任意的x>0，恒成立，稱函數(shù)滿足性質(zhì)P(T).（1）若滿足性質(zhì)P(2)，且，求的值；（2）若，試說(shuō)明至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)T1、T2，同時(shí)使得函數(shù)滿足性質(zhì)P(T1)和P(T2)；（3）若函數(shù)滿足性質(zhì)P(T)，求證：函數(shù)存在零點(diǎn).18．榴彈炮是一種身管較短，彈道比較彎曲，適合于打擊隱蔽目標(biāo)和地面目標(biāo)的野戰(zhàn)炮，是地面炮兵的主要炮種之一．為中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年獻(xiàn)禮，某軍工研究所對(duì)某類型榴彈炮進(jìn)行了改良．如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為．改良后的榴彈炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知該炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)（1）求該類型榴彈炮的最大射程；（2）證明：該類型榴彈炮發(fā)射的高度不會(huì)超過(guò)19．如圖，函數(shù)（，）的圖象與y軸交于點(diǎn)，最小正周期是π（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段PA中點(diǎn)，且，求的值20．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x萬(wàn)件，其總成本為萬(wàn)元，其中固定成本為3萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1萬(wàn)件的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入滿足，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)的解析式（利潤(rùn)=銷售收入?總成本）；（2）工廠生產(chǎn)多少萬(wàn)件產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？21．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若存在，使得關(guān)于的不等式成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】利用元素與集合，集合與集合的關(guān)系判斷.【詳解】因?yàn)榧鲜瞧鏀?shù)集，所以，，，A，故選：C2、C【解析】根據(jù)函數(shù)解析式求得，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】解：函數(shù)，定義域?yàn)?，且為連續(xù)函數(shù)，，，，故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】由的函數(shù)性質(zhì)，及對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，即，故選擇A【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，要求熟記幾種類型的冪函數(shù)性質(zhì)4、B【解析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：B.5、C【解析】解一元二次不等式求出集合，解不等式求出集合，再進(jìn)行交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C.6、A【解析】由函數(shù)為冪函數(shù)得，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，符合題意．當(dāng)時(shí)，，不和題意綜上．選A7、D【解析】根據(jù)定義分析判斷即可.【詳解】A和C都是存在量詞命題，B是全稱量詞命題，但其是假命題，如時(shí)，，D選項(xiàng)為全稱命題且為真命題故選：D.8、D【解析】解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解不等式，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】先解不等式，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷【詳解】由，得，所以命題p：，由，得，所以命題q：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不一定成立，當(dāng)時(shí)，一定成立，所以p是q成立的必要不充分條件，故選：B10、C【解析】根據(jù)，由求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，解得，故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得到原式，代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，由故答案為?2、【解析】將題干中的兩個(gè)等式先平方再相加，利用兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】由，，兩式相加有，可得故答案為：.13、或或【解析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，分關(guān)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，和兩相等實(shí)數(shù)根進(jìn)行討論，當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，再檢驗(yàn)，當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí)，或，再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布進(jìn)行討論求解即可.【詳解】作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖，令，要使關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不同的實(shí)根，（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，由，即，此時(shí)當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)由圖可知方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)不滿足.當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)由圖可知方程有6個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)滿足條件(2)當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí)，則或當(dāng)時(shí)，由可得則的根為由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)滿足條件.當(dāng)時(shí)，設(shè)由，則，即綜上所述：滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或故答案為：或或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵由條件結(jié)合函數(shù)的圖象，分析方程的根情況及其范圍，再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布解決問(wèn)題，屬于難題.14、4【解析】利用向量共線定理即可得出【詳解】∵∥，∴＝8，解得，其中，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】利用指數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】原式.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)的運(yùn)算法則.屬于容易題.16、##【解析】依題意利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所?故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）0；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由滿足性質(zhì)可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；(2）設(shè)滿足，利用零點(diǎn)存在定理證明關(guān)于的方程至少有兩個(gè)解，證明至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)，同時(shí)使得函數(shù)滿足性質(zhì)和；（3）分別討論，，時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)的存在性，由此完成證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闈M足性質(zhì)，所以對(duì)于任意的x，恒成立.又因?yàn)椋?，，由可得，所以，；【小?wèn)2詳解】若正數(shù)滿足，等價(jià)于，記，顯然，，因?yàn)?，所以，，?因?yàn)榈膱D像連續(xù)不斷，所以存，使得，因此，至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)，使得函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì)和.【小問(wèn)3詳解】若，則1即為零點(diǎn)；因?yàn)椋?，則，矛盾，故，若，則，，，可得.取即可使得，又因?yàn)榈膱D像連續(xù)不斷，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，若，則由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因?yàn)榈膱D像連續(xù)不斷，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，綜上，函數(shù)存在零點(diǎn).【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）解一元二次方程即可求得該類型榴彈炮的最大射程；（2）以二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域的方法去解決即可.【小問(wèn)1詳解】令，得，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知，故，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以炮的最大射程為；【小問(wèn)2詳解】，由，可知因此，所以該類型榴彈炮發(fā)射的高度不會(huì)超過(guò)19、（1）；（2），或.【解析】（1）根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是π，，所以有，即，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，即；【小?wèn)2詳解】設(shè)，即，因?yàn)辄c(diǎn)是線段PA的中點(diǎn)，所以有，代入，得，因?yàn)?，所以，因此有，或，解得：，?20、（1）（2）4萬(wàn)件【解析】（1）由題意，總成本，由即可得利潤(rùn)函數(shù)解析式；（2）根據(jù)反比例函數(shù)及二次函數(shù)的單調(diào)性，求出分段函數(shù)的最大值即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，總成本，因?yàn)殇N售收入滿足，所以利潤(rùn)函數(shù)；小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，所以萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為13(萬(wàn)元).所以當(dāng)工廠生產(chǎn)4萬(wàn)件產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多為13