第二學(xué)期高數(shù)(下)期末考試試卷及答案

PAGEPAGE25第二學(xué)期期末高數(shù)（下）考試試卷及答案1填空題(每空3分,共15分)1.設(shè)，則。=2\＊Arabic2.曲面在點(diǎn)處的切平面方程是.=3\＊Arabic3.交換累次積分的次序:。=4\*Arabic4。設(shè)閉區(qū)域D是由分段光滑的曲線L圍成，則：使得格林公式:成立的充分條件是：.其中L是D的取正向曲線;=5\＊Arabic5.級(jí)數(shù)的收斂域是.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分)=1\*Arabic1。當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的極限是A.等于0；B.等于；C。等于；D。不存在.=2\*Arabic2.函數(shù)在點(diǎn)處具有偏導(dǎo)數(shù),是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的A。充分必要條件;B。充分但非必要條件;C。必要但非充分條件;D。既非充分又非必要條件.=3\*Arabic3。設(shè),則A.;B.;C.;D.。=4\*Arabic4。若級(jí)數(shù)在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處A.絕對(duì)收斂;B.條件收斂；C.發(fā)散；D.收斂性不確定.=5\*Arabic5。微分方程的特解應(yīng)設(shè)為A.；B。；C。；D..三.（8分)設(shè)一平面通過(guò)點(diǎn),而且通過(guò)直線，求該平面方程.解：平行該平面該平面的法向量所求的平面方程為：即:=4\*CHINESENUM3四.（8分）設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),試求和。解：令，五.（8分）計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分其中是圓周與直線在第一象限所圍區(qū)域的邊界.解：其中：：：：而故：六、(8分）計(jì)算對(duì)面積的曲面積分,其中為平面在第一卦限中的部分。解：：,=7\*CHINESENUM3七.（8分）將函數(shù),展開成的冪級(jí)數(shù)。解：，而，，,=8\＊CHINESENUM3八.（8分）求微分方程：的通解.解：,原方程為：通解為：=9\*CHINESENUM3九。冪級(jí)數(shù):=1\＊Arabic1.試寫出的和函數(shù);（4分）=2\*Arabic2.利用第=1\*Arabic1問(wèn)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).（8分)解：1、于是2、令：由1知：且滿足：通解：由,得:；故：=10\*CHINESENUM3十。設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且滿足條件其中是由曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面（參數(shù))所圍成的空間區(qū)域。1、將三重積分寫成累次積分的形式；（3分）2、試求函數(shù)的表達(dá)式.（7分）解：1、旋轉(zhuǎn)曲面方程為:由，得：故在面的投影區(qū)域?yàn)椋海?、由1得:記：則：兩邊乘以：，再在上積分得：解得：故：第二學(xué)期期末高數(shù)（下）考試試卷及答案2填空題（每空3分，共15分）曲線,繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是.=2\＊Arabic2。曲線在點(diǎn)處的法平面方程是.=3\*Arabic3。設(shè),其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,，則。=4\＊Arabic4.級(jí)數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)收斂.=5\＊Arabic5。級(jí)數(shù)的收斂域是.單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)=1\*Arabic1。設(shè)與為非零向量,則是A。的充要條件；B。的充要條件；C。的充要條件；D。的必要但非充分條件.=2\＊Arabic2。平面的位置是A。垂直于軸；B。平行于軸;C.平行于面；D.通過(guò)軸.=3\*Arabic3.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是A。存在且在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也存在；B。存在但在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在;C。不存在但在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在;D。不存在且在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也不存在；=4\＊Arabic4。曲線為圓周，則等于A.;B.;C。；D。.=5\*Arabic5.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則必有A。；B。；C.；D。.三.（8分）在平面上求一直線，使得它與直線垂直相交。解：方法1：直線的方向向量為它與平面的交點(diǎn)為所求直線通過(guò)這一點(diǎn)，所求直線的方向向量為：故所求的直線方程為：方法2:直線的方向向量為它與平面的交點(diǎn)為所求直線通過(guò)這一點(diǎn)，過(guò)交點(diǎn)且與直線垂直的平面方程為:即：故所求的直線方程為：或：=4\*CHINESENUM3四.（8分）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求:，和，解：設(shè)，則：，，,當(dāng)，時(shí)，,，，五.(8分）計(jì)算曲線積分其中為從經(jīng)的上半圓到的一弧段。解：由知與路經(jīng)無(wú)關(guān).取，作新路經(jīng)折線，于是:六、（8分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中為球面：的上半部分的上側(cè)。解：作：取下側(cè)。則而故：=7\＊CHINESENUM3七。(8分）將函數(shù)，展開成的冪級(jí)數(shù)。解：而：=8\＊CHINESENUM3八。(8分）求微分方程：的通解。解：是特征方程的單根,所以設(shè)代入原方程得:故原方程的通解為:=9\＊CHINESENUM3九.(12分)求由曲面和所圍成立體的體積。解：:=10\*CHINESENUM3十.（10分）設(shè)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)，的一段連續(xù)曲線，為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為在軸上的投影，為坐標(biāo)原點(diǎn).若梯形的面積與曲邊三角形的面積之和為.試建立所滿足的微分方程,并求的表達(dá)式.解：梯形的面積為：曲邊三角形的面積為:根據(jù)題意得：兩邊關(guān)于求導(dǎo)得：即：故：由:，得：，故：第二學(xué)期高數(shù)（下）期末考試試卷及答案3填空題（每空3分,共15分)1.已知向量，，則以，為邊的平行四邊形的面積等于.2。曲面在點(diǎn)處的切平面方程是。3。交換積分次序。4.對(duì)于級(jí)數(shù)（a＞0），當(dāng)a滿足條件時(shí)收斂.5。函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)為。單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分)1。平面的位置是（）2.，,是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的（）3.4。處收斂，則此級(jí)數(shù)在處5.三、(本題滿分8分)設(shè)平面通過(guò)點(diǎn)，而且通過(guò)直線,求該平面方程解:由于平面通過(guò)點(diǎn)及直線上的點(diǎn),因而向量平行于該平面.該平面的法向量為：則平面方程為：或:即：四、（本題滿分8分)設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求和解：,五、（本題滿分8分)計(jì)算三重積分，其中解:六、（本題滿分8分）解法一:解法二：（的弧長(zhǎng))解法三:令，，,七、(本題滿分9分）計(jì)算曲面積分，其中是柱面與平面和所圍成的邊界曲面外側(cè)解:,,，由高斯公式：八、（本題滿分9分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)解:收斂半徑：易判斷當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)收斂域?yàn)榫?、（本題滿分9分）求微分方程的通解解：特征方程為：特征根為:,的通解為：設(shè)原方程的一個(gè)特解為：,原方程的一個(gè)特解為：故原方程的一個(gè)通解為：十、(本題滿分11分）設(shè)是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，記1．證明曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；2．求的值．證明1:因?yàn)樯习肫矫媸菃芜B通域，在內(nèi)：，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且：,，。所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān).解2：設(shè),，，由于曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，故可取折線路徑:。東北大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）期末考試試卷2007.7.一．選擇題（4分6=24分）1、設(shè)為非零向量，則=[］．（A）(B）(C)(D）。2．．3．設(shè)，在上連續(xù)．=[］．(A）（B）（C）（D)4若級(jí)數(shù)與都發(fā)散，則必有[]．（A)發(fā)散（B）發(fā)散（C)收斂(D)收斂二、填空題（4分6=24分)1．直線與平面的交點(diǎn)是____________．2．用鋼板做體積為的有蓋長(zhǎng)方體水箱．最少用料S=_____．3．二次積分的值是_____________．4．設(shè)為球面，則=__________________．5．小山高度為．在處登山,最陡方向是_____________．6．設(shè)為周期為的周期函數(shù)，它在的表達(dá)式為，若的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為，則=________________．三、（10分）求過(guò)點(diǎn)垂直于直線而與平面的平行的直線方程．四．（10分）將函數(shù)展開成(x-1)的冪級(jí)數(shù)．并給出收斂域。五．（10分）計(jì)算三重積分，其中W是由拋物面x2+y2=2z及平面z=5所圍成的空間閉區(qū)域.六．（10分）設(shè)L是由直線上從到一段及圓弧上從再到的有向曲線，計(jì)算七．（10分）計(jì)算曲面積分，其中為球面八．（10分）設(shè),具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而由方程確定,求。高等數(shù)學(xué)參考答案2007.7一．選擇題（本題共4小題,每小題4分，共計(jì)16分）1、【解】應(yīng)選擇D。===2．【解】應(yīng)選擇A。連續(xù)處可微分3?！窘狻繎?yīng)選擇C。在極坐標(biāo)下=4?！窘狻繎?yīng)選擇B。二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共計(jì)24分）1．【解】應(yīng)填直線化為參數(shù)式代入平面方程得代入?yún)?shù)方程得故交點(diǎn)為2．【解】應(yīng)填24設(shè)水箱的長(zhǎng)為xm,寬為ym，則其高應(yīng)為m.此水箱所用材料的面積為.令,，得x=2,y=2.即當(dāng)水箱的長(zhǎng)為2m、寬為2m、高為m時(shí)，水箱所用的材料最省。最少用料為3．【解】應(yīng)填====4．【解】應(yīng)填=====5．【解】應(yīng)填在處登山，最陡方向是在的梯度方向．=6．【解】應(yīng)填由于是間斷點(diǎn)，故，而是連續(xù)點(diǎn)，于是=三．【解】已知直線方向向量,已知平面法向量…………（4分)設(shè)所求直線方向向量,則…….。。（8分）所求直線方程為……………（10分）四．【解】因?yàn)椤?分）………………(4分）………………（6分）…………(8分)收斂域滿足…………（9分）解出收斂域?yàn)椋骸?0分)五?！窘狻糠e分區(qū)域W關(guān)于面對(duì)稱，在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,,，…………………（2分）…………（4分)……（6分）……（8分）………（10分）六．【解】補(bǔ)充為x軸上由到有向直線段,則L和圍成閉區(qū)域D，…………（2分）。?！?分）則由Green公式原式………（6分)……………….（8分）……………….。（1