3(3)函數(shù)的單調(diào)性與極值

函數(shù)單調(diào)性的判別法小結(jié)思考題

第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的極值第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1一、單調(diào)性的判別法分析則利用可知,利用導(dǎo)數(shù)的符號可以判斷函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與極值2定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)則單調(diào)增加的充要條件是:此時單調(diào)增區(qū)間.(單調(diào)減少)(減)函數(shù)的單調(diào)性與極值3證明:只證單調(diào)增加的情況.必要性:單調(diào)增加,從而有單調(diào)增加,得到所以,利用極限的保號性知道,函數(shù)的單調(diào)性與極值4充分性

拉氏定理函數(shù)的單調(diào)性與極值5推論設(shè)函數(shù)則嚴格單調(diào)增加(嚴格單調(diào)減少)注意:1.若推論中的條件改為其中使得的點不構(gòu)成的子區(qū)間,則推論的結(jié)論仍然成立.2.定理1和推論不論對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.函數(shù)的單調(diào)性與極值6如嚴格單調(diào)增加.又如,內(nèi)可導(dǎo),且等號只在(無窮多個離散點)處成立,故內(nèi)嚴格單調(diào)增加.函數(shù)的單調(diào)性與極值7例1討論函數(shù)的單調(diào)性.注意:判函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的步驟如下:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo);(3)找臨界點:(4)由臨界點將函數(shù)的定義域分成幾個區(qū)間,函數(shù)的單調(diào)性與極值在各個區(qū)間上再討論的符號,從而判定的單調(diào)性(要求列表).8例2確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.提示:不存在函數(shù)的單調(diào)性與極值9利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式.例3證明:提示:函數(shù)的單調(diào)性與極值10例4設(shè)證明:函數(shù)的單調(diào)性與極值11定義極大值(或極小值),

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值點.極小值(minimalvalue)極大值(maximalvalue)二、函數(shù)的極值及其求法1.函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點x0(自變量)稱為12函數(shù)的單調(diào)性與極值

函數(shù)的極大值、極小值

是局部性的.

在一個區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個極大值.只是一點附近的13函數(shù)的單調(diào)性與極值定理2(必要條件)注如,(1)駐點.可導(dǎo)函數(shù)的極值點駐點卻不一定是極值點.但函數(shù)的2.

極值的必要條件必是駐點,費馬引理如果函數(shù)可導(dǎo),處取得極值,那么補充極值,14函數(shù)的單調(diào)性與極值極值點也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點.如,但

怎樣從駐點中與導(dǎo)數(shù)不存在的點判斷一點單減的分界點,(2)不可導(dǎo).是極小值點.是不是極值點若x0是連續(xù)函數(shù)f(x)單增、則x0必為極值點.幾何上,?15函數(shù)的單調(diào)性與極值定理3(第一充分條件)則為極大值則不是極值.(極小值);極值的一階充分條件3.

極值的充分條件16函數(shù)的單調(diào)性與極值一般求函數(shù)的極值的步驟不是極值點(1)確定函數(shù)的定義域;(2)找臨界點:(3)列表考慮在臨界點左右兩邊的符號,(4)求極值.17函數(shù)的單調(diào)性與極值例1解(1)(2)駐點:導(dǎo)數(shù)不存在的點:(3)列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性,確定極值點和極值.18函數(shù)的單調(diào)性與極值非極值極小值不存在極大值駐點:導(dǎo)數(shù)不存在的點:單調(diào)增加區(qū)間:單調(diào)減少區(qū)間:19函數(shù)的單調(diào)性與極值定理3(第二充分條件)證極大值(極小值).極值的二階充分條件因此,當(dāng)充分小時,由極限的保號性可見,與異號.所以,第一充分條件

對于駐點,有時還可以利用函數(shù)在該點處的二階導(dǎo)數(shù)的正負號來判斷極值點.自己證極小值情形.20函數(shù)的單調(diào)性與極值例5求函數(shù)的極值.21函數(shù)的單調(diào)性與極值注仍用第一充分條件定理3(第二充分條件)不能應(yīng)用.事實上,可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒有極值.如,分別屬于上述三種情況.如,22函數(shù)的單調(diào)性與極值求函數(shù)練習(xí)的極值.23函數(shù)的單調(diào)性與極值充分條件來判定有無極值;對于只有駐點而沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點,可用第二充分條件判斷有無極值.

運用第一、第二充分條件需要注意:若函數(shù)有導(dǎo)數(shù)不存在的點時,則可用第一(1)(2)則24函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值三、小結(jié)

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.單調(diào)性的應(yīng)用:利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.25極值的判別法第一充分條件;第二充分條件,(注意使用條件