9.2.3　總體集中趨勢的估計　9.2.4　總體離散程度的估計

9.2.3

總體集中趨勢的估計

9.2.4

總體離散程度的估計一二三四一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1.思考某次數(shù)學(xué)考試,婷婷得到78分.全班共30人,其他同學(xué)的成績?yōu)?個100分,4個90分,22個80分,以及1個2分和1個10分.(1)這30個分數(shù)的眾數(shù)是多少?(2)這30個分數(shù)的中位數(shù)是多少?(3)婷婷計算出平均分為77,她對媽媽說這次成績處在“中上水平”,你覺得婷婷說的對嗎?提示(1)80

(2)80(3)婷婷的說法不確切,由于受兩個極端分數(shù)影響導(dǎo)致平均數(shù)明顯下降,而婷婷的成績實際是倒數(shù)第三名.一二三四2.填空(1)眾數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個,也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)中位數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.一二三四(3)平均數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的②特征:平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計總體時的可靠性降低.一二三四名師歸納

三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點

一二三四3.做一做(1)10名工人某天生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有(

)A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a答案:D解析:將數(shù)據(jù)從小到大排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,則平均數(shù)a=×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7,中位數(shù)b=15,眾數(shù)c=17,顯然a<b<c,選D.一二三四(2)有一組數(shù)據(jù),其中10,12,13,15,16出現(xiàn)的頻率分別是0.15,0.2,0.3,0.2,0.15,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

.

答案:13.2解析:該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10×0.15+12×0.2+13×0.3+15×0.2+16×0.15=13.2.(3)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是1個或幾個,也可以沒有.(

)②一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能不存在.(

)③樣本量越小,樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù).(

)答案:①√

②×

③×一二三四二、探索圖表中的中位數(shù)與平均數(shù)數(shù)值規(guī)律1.思考(1)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計出平均數(shù)的值?提示平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,是直方圖的平衡點,因此,每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)的乘積之和即為平均數(shù)的估計值.一二三四(2)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,估計出中位數(shù)的值?你能利用在上一節(jié)中調(diào)查的100位居民的月均用水量的頻率分布直方圖加以說明嗎?提示根據(jù)中位數(shù)的意義,在樣本中,有50%的個體小于或等于中位數(shù),也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552.因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5,得到x≈6.71.因此,中位數(shù)約為6.71,如圖所示.這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)6.6相差不大.一二三四一二三四2.填空平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種分布形態(tài)中,平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系?一般來說,對一個單峰的頻率分布直方圖來說,如果直方圖的形狀是對稱的(圖1),那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多;如果直方圖在右邊“拖尾”(圖2),那么平均數(shù)大于中位數(shù);如果直方圖在左邊“拖尾”(圖3),那么平均數(shù)小于中位數(shù).也就是說,和中位數(shù)相比,平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.一二三四3.做一做AQI是表示空氣質(zhì)量的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,當(dāng)AQI指數(shù)值不大于100時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖是某地4月1日到12日AQI指數(shù)值的統(tǒng)計數(shù)據(jù),圖中點A表示4月1日的AQI指數(shù)值為201,則下列敘述不正確的是(

)A.這12天中有6天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”B.這12天中空氣質(zhì)量最好的是4月9日C.這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是90D.從4日到9日,空氣質(zhì)量越來越好一二三四答案:C解析:這12天中,空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的有95,85,77,67,72,92,共6天,故A正確;這12天中空氣質(zhì)量最好的是4月9日,AQI指數(shù)值為67,故B正確;這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是

=99.5,故C不正確;從4日到9日,AQI指數(shù)值越來越小,表示空氣質(zhì)量越來越好,故D正確.故選C.一二三四三、方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時也會使我們作出對總體的片面判斷,因為這個平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài).如:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲:7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙:9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價?一二三四如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價?①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?一二三四②難道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:(甲)(乙)從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對集中.一二三四(2)現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?提示通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.一二三四一二三四一二三四歸納提升

對標(biāo)準(zhǔn)差和方差的理解(1)樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則s=0.(3)當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時,就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標(biāo)準(zhǔn)差來衡量.(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度,通常用標(biāo)準(zhǔn)差——樣本方差的算術(shù)平方根來描述.一二三四(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會越過極差.(6)方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的取值范圍為[0,+∞).當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時,樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(7)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實際問題時,一般采用標(biāo)準(zhǔn)差.(8)在實際問題中,總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)一樣,通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機抽樣中,樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取,具有隨機性.一二三四3.做一做(1)對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:甲:27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.一二三四一二三四(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.(

)②若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大,則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.(

)答案:①√

②×一二三四四、有關(guān)平均數(shù)、方差的重要結(jié)論1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示由方差的定義知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,則mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是

.(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.一二三四3.做一做已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,s2=2,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為

,方差為

.

答案:11

8解析:因為樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為2+1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=8.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用例1某公司的33名人員的月工資如下:(1)求該公司人員月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)(精確到元);(2)假設(shè)副董事長的工資從20000元提升到30000元;董事長的工資從30000元提升到50000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么?(精確到元)(3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司人員的工資水平?結(jié)合此問題談一談你的看法.分析平均數(shù)定義→計算平均數(shù)→將數(shù)據(jù)從小到大排列→得中位數(shù)、眾數(shù)→結(jié)論探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)平均數(shù)是

=(30

000+20

000+15

000×2+10

000+8

000×5+6

000×3+4

500×20)÷33≈7

212(元),中位數(shù)是4

500元,眾數(shù)是4

500元.(2)平均數(shù)是

'=(50

000+30

000+15

000×2+10

000+8

000×5+6

000×3+4

500×20)÷33≈8

121(元),中位數(shù)是4

500元,眾數(shù)是4

500元.(3)在這個問題中,中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司人員的工資水平.因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個公司人員的工資水平.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

1.深刻理解和把握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在反映樣本數(shù)據(jù)上的特點,并結(jié)合實際情況,靈活應(yīng)用.2.如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù),說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值;反之,說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.在實際應(yīng)用中,如果同時知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù),可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息,幫助我們作出決策.3.平均數(shù)對極端值敏感,而中位數(shù)對極端值不敏感.因此兩者結(jié)合,可較好地分析總體的情況.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1從某中學(xué)高三年級甲、乙兩個班各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,他們?nèi)〉玫某煽?滿足100分)如下:甲:79

78

80

x

85

92

96乙:72

81

81

y

91

91

96其中甲班學(xué)生成績的平均分和乙班學(xué)生成績的中位數(shù)都是85,則x+y的值為(

)A.152 B.168 C.190 D.170答案:D解析:由數(shù)據(jù)知,乙班成績的中位數(shù)是y=85.又甲班學(xué)生成績的平均分為85,即79+78+80+x+85+92+96=85×7,解得x=85,∴x+y=170.故選D.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練平均數(shù)與方差的性質(zhì)與應(yīng)用(2)甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件,為檢驗質(zhì)量,各從中抽取6件測量,數(shù)據(jù)為:甲:99

100

98

100

100

103乙:99

100

102

99

100

100①分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;②根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.分析求平均數(shù)→求方差s2探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練

反思感悟

在實際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差):方差大說明取值分散性大,數(shù)值不穩(wěn)定;方差小說明取值分散性小,數(shù)值集中、穩(wěn)定.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練2一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,標(biāo)準(zhǔn)差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為(

)A.57.2

3.6 B.57.2

56.4C.62.8

63.6 D.62.8

3.6答案:D解析:一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60后,新數(shù)據(jù)的平均數(shù)也增加60,即為2.8+60=62.8,而標(biāo)準(zhǔn)差保持不變,仍為3.6.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練頻率分布直方圖(頻率分布折線圖)中的“隱藏”的數(shù)據(jù)信息例3如圖為學(xué)生身高頻率分布直方圖.(1)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計出眾數(shù)的值?(2)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計出中位數(shù)的值?(3)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計出平均數(shù)的值?(4)從樣本數(shù)據(jù)可知,該樣本的眾數(shù)是166cm,172cm,中位數(shù)是171cm,平均數(shù)是170.1cm,這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差,你能解釋一下原因嗎?探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)眾數(shù)大致的值就是樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中最高小長方形的中點的橫坐標(biāo).由直方圖可估計學(xué)生身高眾數(shù)應(yīng)為174.5

cm.(2)在樣本中,有50%的個體小于或等于中位數(shù),也有50%的個體大于或等于中位數(shù),因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)使得在它左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計中位數(shù)的值,如圖,由于0.08+0.22=0.3,0.08+0.22+0.22=0.52,所以中位數(shù)落在區(qū)間[167,172)內(nèi).設(shè)中位數(shù)是x,由0.08+0.22+(x-167)×=0.5,解得x≈171.55.所以學(xué)生身高的中位數(shù)約為171.55

cm.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,是頻率分布直方圖的平衡點,因此,每個小長方形的面積與小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)的乘積之和為平均數(shù).由159.5×0.08+164.5×0.22+169.5×0.22+174.5×0.36+179.5×0.12=170.6,得學(xué)生身高的平均數(shù)為170.6

cm.(4)因為樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的形狀,從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,也就是說頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)的信息,得到的是一個估計值,且所得估計值與數(shù)據(jù)分組有關(guān),所以估計的值有一定的偏差.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

1.利用直方圖或折線圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值,往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致.但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).2.利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征:(1)眾數(shù)是最高小長方形的底邊中點的橫坐標(biāo);(2)中位數(shù)使得在它左、右兩側(cè)直方圖的面積相等;(3)平均數(shù)等于每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練3甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次,每次射靶的成績情況如圖所示.請從下列四個不同的角度對這次測試結(jié)果進行分析.(1)從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績好些);(2)從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些);(3)從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些);(4)從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看(分析誰更有潛力).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:根據(jù)各問情況作如下統(tǒng)計表.∴甲的成績比乙好.(2)∵平均數(shù)相同,甲的中位數(shù)<乙的中位數(shù),∴乙的成績比甲好.(3)∵平均數(shù)相同,且乙命中9環(huán)及9環(huán)以上次數(shù)比甲多,∴乙的成績比甲好.(4)∵甲的成績在平均線上下波動;而乙處于上升趨勢,從第四次以后就沒有比甲少的情況發(fā)生,∴乙更有潛力.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.找齊法在計算平均數(shù)時,如果這些數(shù)字都在某個數(shù)字左右擺動,就選取一個數(shù)字作為標(biāo)準(zhǔn)進行找齊.典例1計算數(shù)據(jù)87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的平均數(shù)和方差.分析這組數(shù)據(jù)都在85左右擺動,把每個數(shù)字都減去85后進行計算.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練典例2計算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根據(jù)簡化公式進行計算,也可以把每個數(shù)據(jù)減去一個數(shù),用找齊法計算.歸納提升方差反映的是數(shù)據(jù)組偏離平均值的程度,因此把數(shù)據(jù)組中的每一個數(shù)據(jù)都加上或者都減去一個相同的數(shù)不影響方差的大小,當(dāng)我們計算的數(shù)據(jù)較大時,這個方法能有效地簡化運算.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19,x,23,27,28,31,其中位數(shù)為22,則x等于(

)A.21 B.22 C.20 D.23答案:A解析:根據(jù)題意知,中位數(shù)22=