專題講座：正余弦定理

“模塊”復(fù)習(xí)專題精講

——送教108中學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)“專題”講座大連八中：周鵬家必修五復(fù)習(xí)專題一：

“互余、互補(bǔ)”與“正、余弦定理”在解三角形時(shí)，運(yùn)用正弦定理、余弦定理再結(jié)合角的互余關(guān)系、互補(bǔ)關(guān)系來(lái)解決的一類(lèi)問(wèn)題，常使人思維短路，得分率較低。究其原因主要是隱含條件挖掘不夠，重要的“兩互”關(guān)系常常被忽略，思想方法的運(yùn)用不夠協(xié)調(diào)所致。讓我們共同來(lái)探究一番。例1：如圖：要在一座山中打一個(gè)涵洞，在山周?chē)∷膫€(gè)點(diǎn)A，B，C，D，使又測(cè)得CA=3，AD=7，BD=（單位均為km）求：涵洞AB的長(zhǎng)ABCD分析解答：（方法一）設(shè)AB=，設(shè)，則其余角

由正弦定理，得

-----（1）

再由余弦定理，得

由（1）（2）可得：

答：涵洞的長(zhǎng)為7km。解得（方法二）過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用平面幾何中的相關(guān)知識(shí)，也可以解決此題。請(qǐng)大家嘗試一下例2：如圖：已知正方形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，，求正方形的邊長(zhǎng)。設(shè)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x(1<x<3)

由，得即而故

例2：

例3：如圖:有一個(gè)人在V型碼頭EOF內(nèi)位于P點(diǎn)的一艘船上，要想到達(dá)O地上岸，現(xiàn)有三種方案:自P直接航行到O；②自P與OE垂直航行到A點(diǎn)登陸，再由陸路乘車(chē)直達(dá)O;③自P與OF垂直航行到B點(diǎn)登陸，再由陸路乘車(chē)直達(dá)O;現(xiàn)已知陸路車(chē)速為船速的2倍，PA=2km,PB=5km,問(wèn)：選擇那種方案用時(shí)最?。坎⑼ㄟ^(guò)計(jì)算加以說(shuō)明。，由余弦定理

km分析解答：由已知得即由正弦定理得

由勾股定理得設(shè)船速為,則方案②用時(shí)為方案③用時(shí)為；

方案①用時(shí)為所以方案②用時(shí)最省，故選擇方案②。例4：在ΔABC中，已知AC邊上的中線BD=求的值分析解答：解法（一）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE//AB，且設(shè)，在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得或（舍去）

故BC=2，從而解得

再由得，由正弦定理得：

解得

解法（二）：如右圖

添加輔助線后

由已知可求得；；由勾股定理得；

再由正弦定理得。此法輔助線不好添，計(jì)算也并不簡(jiǎn)便。解法（三）：首先利用中線定理，再運(yùn)用余弦定理，最后運(yùn)用正弦定理得到結(jié)果。此法相對(duì)比較繁瑣一些。解法（四）：首先由向量運(yùn)算：兩邊平方得到再利用余弦定理求得最后由正弦定理得結(jié)論（過(guò)程略），此法較便捷，希望同學(xué)們一定親手試一試。

總結(jié)：方法一比較好，但添加輔助的平行線，創(chuàng)設(shè)出的互補(bǔ)關(guān)系，并利用互補(bǔ)關(guān)系是解題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)。本來(lái)過(guò)中點(diǎn)添平行線比較常見(jiàn)，但利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再結(jié)合正、余弦定理這就要看平時(shí)是否訓(xùn)練到位了，方法四也比較好，若能從中點(diǎn)想到向量加法，再經(jīng)過(guò)平方、數(shù)量積運(yùn)算得到邊長(zhǎng)，是非常好的，這就要求平時(shí)多進(jìn)行思維的靈活性、創(chuàng)造性、深刻性、敏捷性訓(xùn)練，真正去培養(yǎng)自己的解題能力，在嘗試、探究、解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)成功逐漸提升能力，在此提醒大家一定要“鍥而不舍”，決不能“淺嘗輒止”。例5：(06年湖南高考題)

如圖：是直角三角形斜邊上一點(diǎn)，，記證明：（2）若求角。

解:(1)由已知得，

故

(2)

又在三角形由正弦定理得中再結(jié)合可得

即

解得或(舍)所求角