3.9 解決問題（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)五年級下冊同步培優(yōu)講義（人教版）

3.9解決問題第一部分第一部分學(xué)問清單高級單位轉(zhuǎn)換成低級單位，用乘進(jìn)率；低級單位轉(zhuǎn)換成高級單位，用除以進(jìn)率。在解決有關(guān)體積的實際問題時,要看清已知條件的單位是否統(tǒng)一,假如不統(tǒng)一,要先統(tǒng)一單位,再進(jìn)行計算。其次部分其次部分典型例題例1：如圖是若干個小正方體拼成的大正方體，要給它的表面涂色，沒有涂色的小正方體有（

）個。A．8 B．12 C．18 D．24答案：A分析：沒有涂色的小正方體在大正方體的中間，大正方體棱長－2＝中間正方體的棱長，依據(jù)正方體體積＝棱長×棱長×棱長，即可求出沒有涂色的小正方體個數(shù)。詳解：4－2＝2（個）2×2×2＝8（個）沒有涂色的小正方體有8個。故答案為：A例2：假如把長方體的長、寬、高都擴大到原來的3倍，那么它的體積擴大到原來的（

）倍。A．3 B．3000 C．27答案：C分析：假設(shè)長方體長為3、寬為2、高為1，長、寬、高都擴大到原來的3倍，依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，求出擴大前后長方體的體積，進(jìn)而求出它們之間的關(guān)系。詳解：假設(shè)長方體長為3、寬為2、高為1，3×2×1＝63×3＝92×3＝61×3＝39×6×3＝162162÷6＝27假如把長方體的長、寬、高都擴大到原來的3倍，那么它的體積擴大到原來的27倍。故答案為：C例3：一個長6厘米的長方體木塊，剛好能截成兩個相同的正方體，每個正方體的表面積是()，體積是()。答案：54平方厘米/54cm227立方厘米/27cm3分析：一個長6厘米的長方體木塊，剛好能截成兩個相同的正方體，可知正方體的邊長是3厘米，依據(jù)S＝6a2，V＝a3解答。詳解：依據(jù)題意可知正方體邊長是3厘米表面積：6×32＝6×9＝54（平方厘米）體積：33＝3×3×3＝27（立方厘米）每個正方體的表面積是54平方厘米，體積是27立方厘米。例4：從兩個棱長為6厘米的正方體木塊上，分別鋸掉長6厘米，寬和高都是1厘米的小長方體木塊，得到甲乙兩種外形的木塊，如圖所示。則甲的體積()乙的體積，甲的表面積()乙的表面積。（填寫“＞”“＜”或“＝”）答案：＝＜分析：依據(jù)題意可知，兩個正方體的體積相等，都鋸掉一個長是6厘米，寬和高都是1厘米的長方體，依據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高，兩個正方體鋸掉的體積都相等的長方體，即兩個正方體都減去一個相同的體積，甲的體積＝乙的體積；甲正方體鋸掉一個長方體，削減兩個長6厘米，寬1厘米的長方形面積，又增加兩個同樣的面積，同時加又削減兩個邊長1厘米的正方形面積，所以變面積比原來削減了兩個正方形的面積；乙正方體鋸掉一個長方體，削減一個長6厘米，寬1厘米的長方形面積和兩個邊長1厘米的正方形面積；同時又增加了三個長6厘米，寬1厘米的長方形面積，即乙增加的面積是：6×1×3－6×1－1×1×2＝10平方厘米，所以甲的表面積小于乙的表面積。據(jù)此解答。詳解：依據(jù)分析可知，從兩個棱長為6厘米的正方體木塊上，分別鋸掉長6厘米，寬和高都是1厘米的小長方體木塊，得到甲乙兩種外形的木塊，如圖所示。則甲的體積＝乙的體積，甲的表面積＜乙的表面積。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．用鐵絲焊接一個長方體框架，同一頂點上的三根鐵絲的長度分別是20厘米、15厘米、12厘米，則這個長方體框架的鐵絲共長（

）厘米。A．47 B．188 C．3602．如圖，一個長和寬均為10cm，高為4cm的長方體容器中盛有一些水，水深3cm?，F(xiàn)將一塊棱長為5cm的正方體鐵塊放入容器中，并使其底面與容器底面接觸，那么容器中的水（

）。

A．有部分溢出 B．不會溢出 C．是否溢出不能確定3．李師傅方案用5塊玻璃（如圖）粘成一個無蓋魚缸。假如接縫處都要涂上玻璃膠，涂膠的長度至少是（

）分米。A．40 B．38 C．60 D．424．（如圖）用的小正方體拼成一個長方體后，從前面、右面看到的圖形。這個長方體的體積是（

）。（圖中每個小方格的面積是）

A． B． C．5．一個長方體被挖掉一小塊（如圖），下面說法正確的是（

）。

A．表面積不變，體積變小 B．表面積變大，體積不變C．表面積變大，體積變小 D．表面積不變，體積變大6．一個長為20厘米的長方體，按圖中的橫截面切成兩段，表面積增加了40平方厘米，原來長方體的體積是（

）立方厘米。A．1600 B．800 C．400 D．200二、填空題7．如圖，用棱長為2cm的小正方體搭成一個魔方，角上少了一個小正方體?，F(xiàn)在這個魔方的體積是()cm3，表面積是()cm2。8．一根長2米的長方體木料，沿著橫截面將它鋸成4段，表面積增加24平方分米，這根木料的體積是()立方分米。9．一個長方體的表面積是360平方厘米，它恰好可以切成兩個相同的正方體。每個正方體的體積是()立方厘米。10．如圖分別是長方體紙盒的左面和前面，那么這個紙盒的底面積是()平方厘米，容積是()立方厘米（厚度忽視不計）。11．一根8米長的方鋼，把它截成3段時，表面積增加了64平方厘米，原來方鋼的體積是()立方厘米。三、推斷題12．用8個同樣的小正方體拼成一個大正方體，從中拿出一個小正方體后，大正方體的體積削減了，但是表面積不變。()13．用2個棱長為1厘米的小正方體拼成一個長方體，長方體的體積是2立方厘米，表面積是12平方厘米。()14．假如一個長方體和一個正方體的底面周長相等，高也相等，那么正方體的體積肯定大于長方體的體積。()15．若一個水池正好能裝10m3的水，則10m3既是水池的容積，又是水的體積。()16．把3個相同的正方體拼成一個長方體，拼成的長方體的表面積削減了，但體積不變。()：培優(yōu)提升練四、計算題17．計算下面圖形的體積。（單位：厘米）（1）

（2）五、解答題18．建筑工地要打40根水泥方柱，每根方柱橫截面的面積是4.5平方分米，長是4米。這些水泥方柱一共是多少方？19．一個長方體容器，從里面量長30厘米，寬20厘米，水深10厘米，放入一個石頭后（全部沒過），此時水深12.5厘米，那么這塊石頭的體積是多少立方厘米？20．修路工人把10.5立方米的沙子鋪在一段長25米、寬3米的路上，可以鋪多厚？（用方程解）21．王叔叔從開車上班改為騎自行車上班，這樣一周可以少用15升汽油。依據(jù)少用1升汽油可以削減碳排放量620克計算，王叔叔一周可以削減碳排放量多少克？22．五班級老師用一個從里面量長6分米，寬和高都是4分米的容器裝飾辦公室。他們在容器內(nèi)倒進(jìn)3分米高的水，再放進(jìn)一塊5立方分米的石頭，這時容器內(nèi)所裝物體的體積是多少立方分米？23．下圖是李師傅為小明做的一個底面為正方形，內(nèi)高是20厘米的無蓋玻璃容器。

（1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一個蘋果沉入容器（蘋果被水全部沉沒），結(jié)果水面上升了3厘米，這個蘋果的體積是多少立方厘米？（2）制作這個玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？

1．B分析：依據(jù)長方體的特征可知，相交于一個頂點的三條棱分別是長方體的長、寬和高，再依據(jù)長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，據(jù)此計算解答。詳解：（20＋15＋12）×4＝47×4＝188（厘米）則這個長方體框架的鐵絲共長188厘米。故答案為：B2．B分析：由題意可知，設(shè)鐵塊入水后的高度為xcm，依據(jù)等量關(guān)系：原來水的體積＋鐵塊入水的體積＝放入鐵塊后水的體積，據(jù)此求出鐵塊入水后的高度，若鐵塊入水后的高度高于容器的高度，則水會溢出；反之，則不會溢出。詳解：解：設(shè)鐵塊入水后的高度為xcm。10×10×3＋5×5×x＝10×10×x300＋25x＝100x300＋25x－25x＝100x－25x75x＝30075x÷75＝300÷75x＝44＝4則容器中的水不會溢出。故答案為：B點睛：本題考查正方體和長方體的體積，求出鐵塊入水后水的高度是解題的關(guān)鍵。3．A分析：看圖，圍成的無蓋魚缸的長、寬、高分別是60厘米、40厘米和50厘米。由于是無蓋的魚缸，那么涂上玻璃膠時，上面不涂，只需要涂2條長、2條寬以及4條高。據(jù)此列式解題即可。詳解：60×2＋40×2＋50×4＝120＋80＋200＝400（厘米）400厘米＝40分米所以，涂膠的長度至少是40分米。故答案為：A點睛：本題考查了長方體有關(guān)棱長的計算，解題關(guān)鍵是要明確是求哪一些棱長的和。4．A分析：的小正方體的棱長為1cm，由前面和右面看到的圖形可知，這個長方體的長為1×3＝3cm，寬和高都為2×1＝2cm，再依據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此進(jìn)行計算即可。詳解：1×3＝3（cm）2×1＝2（cm）3×2×2＝6×2＝12（cm3）則這個長方體的體積是12。故答案為：A點睛：本題考查長方體的體積，明確該長方體的長、寬、高分別是多少是解題的關(guān)鍵。5．C分析：從圖中可知，在沒挖之前，此處外露2個面；挖掉一小塊后，此處外露4個面，此時表面積比原來多了2個面，表面積變大。從圖中可知，長方體挖掉一小塊后，體積就削減這一小塊的體積，體積變小。詳解：一個長方體被挖掉一小塊，表面積比原來多了2個面，體積比原來削減了挖掉的這一小塊的體積，所以表面積變大，體積變小。故答案為：C點睛：關(guān)鍵是求有缺口的立體圖形的表面積時，要留意缺口的位置，原來這個位置有幾個面，挖掉后露出了幾個面，與原來的面相比較，是否一樣，還是多或少了，進(jìn)而得出表面積變化。6．C分析：依據(jù)題意可知，比這個長方體橫截成兩段，表面積增加兩個截面的面積，據(jù)此可以求出長方體的底面積，再依據(jù)長方體的體積＝底面積×高，把數(shù)據(jù)代入公式解答。詳解：40÷2×20＝20×20＝400（立方厘米）則原來長方體的體積是400立方厘米。故答案為：C。點睛：此題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的機敏運用，關(guān)鍵是熟記公式。7．208216分析：依據(jù)正方體的體積、表面積的意義，從正方體的頂點上挖掉一個小正方體，由于這個小正方體原來外露3個面，挖掉這個小正方體后又外露與原來相同的3個面，所以剩下圖形的表面積與原來的表面積不變，體積削減了一個棱長為2cm的小正方體的體積，依據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此解答即可。詳解：2×3＝6（cm）6×6×6－2×2×2＝216－8＝208（cm3）6×6×6＝36×6＝216（cm2）則現(xiàn)在這個魔方的體積是208cm3，表面積是216cm2。8．80分析：鋸成4段，鋸了（4－1）次，每鋸1次，增加2個橫截面，也就是長方體的底面積，用鋸的次數(shù)乘2，可得總共增加了多少個底面積，用增加的總表面積除以底面積的個數(shù)，可得1個底面積是多少平方分米；由高級單位米轉(zhuǎn)化成低級單位分米，乘進(jìn)率10，將長方體的高轉(zhuǎn)化成分米為單位，依據(jù)長方體體積＝底面積×高，代入數(shù)據(jù)求值即可。詳解：由分析可得：（4－1）×2＝3×2＝6（個）24÷6＝4（平方分米）2米＝2×10＝20分米4×20＝80（立方分米）綜上所述：一根長2米的長方體木料，沿著橫截面將它鋸成4段，表面積增加24平方分米，這根木料的體積是80立方分米。點睛：本題考查了通過長方體橫截面求長方體的體積，解題的關(guān)鍵是明精確?????一次會增加兩個面，然后橫截面等于底面積。9．216分析：長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，它恰好可以切成兩個相同的正方體，則這個長方體的寬、高相等，長是寬、高的兩倍，據(jù)此可得出正方體的棱長，依據(jù)正方體＝棱長×棱長×棱長，進(jìn)而得出答案。詳解：360÷（4×2＋2）＝360÷10＝36（平方厘米）由于6×6＝36，所以正方體的棱長為6厘米，則正方體的體積為：6×6×6＝216（立方厘米）即每個小正方體的體積是216立方厘米。點睛：本題主要考查的是長方體表面積、正方體體積的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是嫻熟把握計算公式，進(jìn)而得出答案。10．54216分析：依據(jù)長方體的開放圖知，這個長方體的長是9厘米，寬6厘米，高是4厘米，求這個紙盒的底面積，依據(jù)長方形的面積＝長×寬解答，且容積＝底面積×高，把數(shù)據(jù)代入公式解答。詳解：9×6＝54（平方厘米）9×6×4＝54×4＝216（立方厘米）則這個紙盒的底面積是54平方厘米，容積是216立方厘米。點睛：此題主要考查長方體的底面積和體積公式的機敏運用。11．12800分析：把長方體方鋼截成3段后，表面積比原來增加了64平方厘米，增加的是這個長方體方鋼4個橫截面的面積，用64除以4，即可求出長方體橫截面的面積，再依據(jù)長方體的體積公式：V＝Sh，進(jìn)行解答即可。詳解：8米＝800厘米64÷4×800＝16×800＝12800（立方厘米）即原來方鋼的體積是是12800立方厘米。點睛：此題考查長方體的體積公式的計算應(yīng)用，抓住長方體的切割特點，求出長方體的底面積是解決本題的關(guān)鍵。12．√分析：由于2的立方是8，所以用8個同樣大的小正方體，拼成了一個大正方體，這個大正方體的棱長是小正方體棱長的2倍，也就是每個小正方體都在頂點處，所以從中任意取走一個小正方體，剩余部分的表面積與原來的大正方體的表面積相等，體積比原來削減了一個小正方體的體積。據(jù)此解答。詳解：由分析可知：用8個同樣的小正方體拼成一個大正方體，從中拿出一個小正方體后，大正方體的體積削減了，但是表面積不變。說法正確。故答案為：√點睛：本題考查正方體的表面積和體積，明確表面積和體積的定義是解題的關(guān)鍵。13．×分析：用2個棱長為1厘米的小正方體拼成一個長方體，則該長方體的長為1×2＝2厘米，寬和高都是1厘米，依據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，據(jù)此進(jìn)行計算即可。詳解：1×2＝2（厘米）2×1×1＝2×1＝2（立方厘米）（2×1＋2×1＋1×1）×2＝（2＋2＋1）×2＝5×2＝10（平方厘米）則長方體的體積是2立方厘米，表面積是10平方厘米。原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：本題考查長方體的體積和表面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。14．√分析：長方體體積＝長×寬×高，正方體體積＝棱長×棱長×棱長，假設(shè)長方體和正方體的底面周長都是24厘米，高都是6厘米，分別確定長方體長、寬、高，正方體棱長，求出體積，比較即可。詳解：假設(shè)長方體和正方體的底面周長都是24厘米，高都是6厘米。長方體的長＋寬＝24÷2＝12（厘米）假如長是10厘米，那么寬是2厘米。正方體的底面邊長是24÷4＝6（厘米）長方體的體積是10×2×6＝120（立方厘米）正方體的體積是6×6×6＝216（立方厘米）216＞120所以一個長方體和一個正方體的底面周長相等，高也相等，正方體的體積肯定大于長方體的體積。因此題干中的結(jié)論是正確的。故答案為：√點睛：關(guān)鍵是把握并機敏運用長方體和正方體體積公式。15．√分析：物體所占空間的大小叫做物體的體積；容器所能容納物體的體積叫做它們的容積。詳解：若一個水池正好能裝10m3的水，則10m3既是水池的容積，又是水的體積。原題說法正確。故答案為：√點睛：本題考查體積和容積的意義及應(yīng)用。16．√分析：依據(jù)題意，把3個相同的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積比原來削減正方體的4個面的面積，拼成的長方體的體積等于3個正方體的體積之和，據(jù)此推斷。詳解：把3個相同的正方體拼成一個長方體，拼成的長方體的表面積削減了，但體積不變。原題說法正確。故答案為：√點睛：本題考查立體圖形的拼接，明確把小正方體拼成一個長方體，表面積會變化，體積不變。17．（1）260立方厘米；（2）187立方厘米分析：（1）長方體體積＝長×寬×高；（2）組合體的體積＝長方體體積＋正方體體積，正方體體積＝棱長×棱長×棱長，據(jù)此列式計算。詳解：（1）13×5×4＝260（立方厘米）（2）8×4×5＋3×3×3＝160＋27＝187（立方厘米）18．7.2方分析：依據(jù)1平方米＝100平方分米，將4.5平方分米化為0.045平方米，然后依據(jù)長方體的體積＝橫截面積×長，用0.045×4即可求出1根水泥方柱的體積，再乘40即可求出全部水泥方柱的體積，最終依據(jù)1立方米＝1方，將單位換算成方。詳解：4.5平方分米＝0.045平方米0.045×4×40＝7.2（立方米）7.2立方米＝7.2方答：這些水泥柱一共是7.2方。點睛：本題主要考查了長方體體積公式的機敏應(yīng)用，要嫻熟把握相關(guān)公式。19．1500立方厘米分析：由題意可知，這塊石頭的體積等于放入石頭后上升部分水的體積，上升部分水的體積＝容器的長×容器的寬×上升部分的水面高度，據(jù)此解答。詳解：30×20×（12.5－10）＝600×2.5＝1500（立方厘米）答：這塊石頭的體積是1500立方厘米。點睛：此題考查的目的是理解把握不規(guī)章物體體積的測量方法及應(yīng)用，長方體的體積公式及應(yīng)用。20．0.14米分析：可以把所鋪的道路外形看作是一個長為25米，寬為3米，高（厚）未知的長方體，依據(jù)長方體的體積公式（長方體的體積＝長×寬×高），求出長方體的高即道路的厚度。詳解：解：設(shè)可以鋪x米。3×25x＝10.575x＝10.575x÷75＝10.5÷75x＝0.14答：可以鋪0.14米厚。點睛：本題考查長方體的體積公式在實際生活中的應(yīng)用以及依據(jù)等量關(guān)系列方程解決問題。21．9300克分析：用一周少用汽油容量乘少用1升汽油可以削減碳排放量重量，求出一周可以削減碳排放量總重量。詳解：15×620＝9300（克）答：王叔叔一周可以削減碳