專題528相交線與平行線常見幾何模型（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題5.28相交線與平行線常見幾何模型（知識梳理與考點分類講解）【模型一】豬蹄型已知：如圖，AB//CD，求證：∠B+∠D=∠E.證明：如圖，過點E作MN//AB.∵MN//AB（作輔助線）.∴∠B=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.∵MN//AB（輔助線），AB//CD（已知）∴MN//CD（平行于同一直線的兩直線互相平行）∴∠2=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠1+∠2=∠BED（等式性質(zhì)）∴∠B+∠D=∠BED（等量代換）拓展與延伸：延伸與拓展：朝左的角之和=朝右的角之和【模型二】鉛筆型解：（1）∵AB∥CD（已知）∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）（2）過點E作一條直線EF平行于AB，∵AB∥EF，AB∥CD（已知）∴CD∥EF（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性質(zhì)）∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代換）（3）過點E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD（已知）∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性質(zhì)）∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代換）延伸與拓展：根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n2）條輔助線，運用（n1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補．即可得到n組同旁內(nèi)角，n個角的和是180（n1）°．【模型三】前揚角型∠B=∠E+∠C過點E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性質(zhì)）∴∠B=∠BEC+∠C（等量代換）【模型四】后翻角型結(jié)論：∠C=∠E+∠B證明：過點E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性質(zhì)）∴∠C=∠B+∠CEB（等量代換）【模型五】潛望鏡模型如下圖：【模型六】綜合型∠B+∠E∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC綜上所述：幾個幾何模型共同點：都是通過作輔導(dǎo)線達到角度大小轉(zhuǎn)化目的?！究键c1】豬蹄型模型；【考點2】鉛筆型模型；【考點3】前揚角型模型；【考點4】后翻角型模型；【考點5】潛望鏡模型；【考點6】樓梯模型.【考點一】豬蹄型模型【例1】（2024上·甘肅白銀·八年級統(tǒng)考期末）【問題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】（1）如圖1，，為、之間一點，連接、．可以得到與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【靈活應(yīng)用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數(shù)．【答案】（1），理由見分析；（2）【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理，并能熟練應(yīng)用．（1）過點作，利用平行線的性質(zhì)即可解答；（2）先利用三角形的內(nèi)角和定理可得，從而利用對頂角相等可得，然后利用“豬蹄模型”可得，最后進行計算即可解答．解：（1），理由：如圖，過點作，，，，，，；（2），，，，，由（1）可得：，，．【舉一反三】【變式1】（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，將一個含角的直角三角板如圖放置，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，過點A作，利用平行線的性質(zhì)可以推出∠1+∠2=90°，由此即可得到答案．解：如圖所示，過點A作，∵，∴，∴∠1=∠BAD，∠2=∠CAD，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=30°，∴∠2=90°∠1=60°，故選B．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計算，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·四川眉山·七年級期末）如圖，一副三角板的一邊重合，得到四邊形ABCD，過點A作直線AE∥BC，∠1的度數(shù)為．【答案】15°/15度【分析】延長、相交于點，根據(jù)和是一副三角板求出的度數(shù)，再根據(jù)即可求出的度數(shù)．解：延長、相交于點，如圖所示∵和是一副三角板∴，，∴∴∵∴故答案為：．【點撥】本題考查了一副三角板的度數(shù)、平行線的性質(zhì)等知識點，解答本題的關(guān)鍵是牢記三角板各個角的度數(shù)，正確作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)求解．【考點二】鉛筆型模型【例2】（2020下·江西南昌·七年級階段練習(xí)）閱讀第（1）題解答過程填理由，并解答第（2）題．（1）已知：如圖1，，為之間一點，求的大小．解：過點作，（已知），______________，，，，．（2）我們生活中經(jīng)常接觸小刀，小刀刀柄外形是一個直角梯形（挖去一個小半圈）如圖2，刀片上、下是平行的，轉(zhuǎn)動刀片時會形成和，那么的大小是否會隨刀片的轉(zhuǎn)動而改變？說明理由．

【答案】（1）平行于同一條直線的兩直線平行；（2）不改變，理由見分析【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）如解圖所示，過點P作PM∥AB，根據(jù)平行線的判定定理可得，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1=∠APM，∠2=∠CPM，再根據(jù)∠APM＋∠CPM=∠APC=90°，即可得出結(jié)論．解：（1）過點作，（已知），（平行于同一條直線的兩直線平行），，，，．故答案為：平行于同一條直線的兩直線平行．（2）不改變，理由如下如圖所示，過點P作PM∥AB，由題意可得（已知），∠APC=90°（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠1=∠APM，∠2=∠CPM，∵∠APM＋∠CPM=∠APC=90°，∴∠1＋∠2=∠APM＋∠CPM=90°．∴的大小不會隨刀片的轉(zhuǎn)動而改變.【點撥】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法、平行線的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023下·七年級課時練習(xí)）軒軒準(zhǔn)備參加馬拉松比賽，得知一段跑道示意圖（如圖），其中AB∥DE，測得∠EDC=110°，∠ABC=130°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．120° B．100° C．240° D．90°【答案】A【分析】過點C作CF∥AB，由平行線性質(zhì)可得∠ABC，∠EDC，∠BCF，∠DCF的關(guān)系，進而求得∠BCD．解：如圖所示：過點C作CF∥AB．∵AB∥DE，∴DE∥CF，∴∠BCF=180°∠ABC=50°，∠DCF=180°∠EDC=70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=120°．故選：A．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和平行線公理．主要應(yīng)用到兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．能正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵【變式2】（2023上·甘肅·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有三條兩兩相交的公路、、，從地測得公路的走向是北偏東50°，從地測得公路的走向是北偏西40°．若、、的長分別為千米，千米、千米，點是公路上任意一點，則線段的最小值為千米．（用含、、的式子表示）

【答案】【分析】過C作于P，依據(jù)，可得在中，得出，代入數(shù)值求解即可．解：如圖，過C作于P，

由題可得，，∴，∴∴中，，∴，即線段的最小值為，故答案為．【點撥】此題是一道方向角問題，結(jié)合生活中的實際問題，將解三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．【考點三】前揚角型模型【例3】（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點在上，點在上．求證：．【類比遷移】（2）如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知，，，則°．【答案】（1）見分析；（2）；（3）20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：（1）證明：如圖①，過點作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過作，，∵，∴，，，故答案為：20．【舉一反三】【變式1】（2023下·重慶九龍坡·七年級重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，ABCD，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點E作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FEC=∠C，∠FEA=∠A，然后代入數(shù)值計算即可．解：過點E作，又，∴，∴∠FEC=∠C，又∠C=70°，∴∠FEC=70°，又∠AEC=28°，∴∠FEA=∠FEC∠AEC=42°，又，∴∠A=∠FEA=42°．故選：C．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理的推論等知識，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022下·西藏那曲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，則，，的關(guān)系是.

【答案】【分析】過作，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得，，的關(guān)系．解：過作，

，，，，，，，．故答案為：．【點撥】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【考點四】后翻角型模型【例4】（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級校聯(lián)考期中）已知：，點為平面內(nèi)一點，點在上，點在上，連接、，平分交于．（1）如圖1，，，則______；（2）如圖2，延長交于點，若，，求；（3）當(dāng)點在下方，若，，請將圖形補充完整，并求出的度數(shù)，交于點．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）過點作，由平行線的性質(zhì)可得出因為平分,可以得出，再由平行線的性質(zhì)推出；（2）過點作，使，設(shè)，則，由平行線的性質(zhì)可得出，，由是角平分線可以求得，最后根據(jù)平角的定義求出;（3）本題分兩種情況討論：當(dāng)在左側(cè)時,過點作,設(shè)，則,根據(jù)平分線定義，推出，再有平行線性質(zhì)得出，求出，最后得出；當(dāng)在右側(cè)時，過點作，設(shè)，則,由平行線的性質(zhì)得出，因為平分，所以，由得出,再由平行線的性質(zhì)得出，.（1）解：過點作，使

，，，，，，，平分，，，，，，，，（2）解：過點作，使，

，，，，設(shè)，則，，，，，，平分，，，，，，，，.（3）解：①當(dāng)在左側(cè)時，過點作，使，

，，，，，，，，設(shè)，則，，平分，，，，，，，②當(dāng)在右側(cè)時，過點作，使，

，，，，設(shè)，則，，，，，，，平分，，，，，，，，或答：的度數(shù)為【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，角度的計算，關(guān)鍵要理解并且會應(yīng)用平行線的性質(zhì)求角度，還要注意分類討論的思想.【舉一反三】【變式1】（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】略【變式2】（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有一塊含有角的直角三角板的兩個頂點放在矩形的對邊上．如果，那么的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，兩直線平行，內(nèi)錯角相等計算即可．解：如圖：

∵在中，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案是：．【點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點五】潛望鏡模型【例5】（2023上·甘肅天水·七年級?？计谀┤鐖D所示的是一個潛望鏡模型示意圖，，代表鏡子擺放的位置，并且與平行，光線經(jīng)過鏡子反射時，滿足，．證明離開潛望鏡的光線平行于進入潛望鏡的光線．請補全下述證明過程：∵，∴______．∵，，∴．∵，______，∴______．∴______．【答案】；；；（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)平行線判定推出即可．解：∵，∴．∵，，∴．∵，，∴．∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：；；；（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點撥】本題主要考查了平行線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答．【舉一反三】【變式1】（2024上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小穎繪制一個潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面與平行，入射光線與出射光線平行．若入射光線與鏡面的夾角，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行性的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，由，可得，進而可求．解：由題意知，入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，即，，∵，∴，∴，故選：B．【變式2】（2023下·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一塊長方形的場地，長米，寬米，從、兩處入口的小路寬都為1米，兩小路匯合處的路寬是2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為．【答案】【分析】可以將草坪拼成一塊完整的長方形，分別表示出它的長和寬即可求出面積．解：可以將草坪拼成一塊完整的長方形，這個長方形的長是：米，寬是：米，∴草坪的面積是：（平方米）．故答案是：．【點撥】本題考查多項式的乘法和圖形的平移，解題的關(guān)鍵是通過平移的方法將不規(guī)則的圖形拼成規(guī)則圖形進行求解．【考點六】樓梯模型【例6】（2022下·甘肅隴南·七年級校考期末）星期天早晨，小剛和爸爸正在商量往樓梯上鋪地毯的事，如圖所示，爸爸：“小剛，你幫我算一下，從一層鋪到二層需要地毯幾米？”小剛：“我早已用盒尺量好了，每階高，寬為

…”爸爸：（打斷小剛的話）“不量每階的高度和寬度，你想想有沒有辦法？”小剛：（思索）“有了，只需要量出樓梯