專題114平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題（分層練習(xí)）（綜合練）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.14平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題（分層練習(xí)）（綜合練）1．（2023下·廣東汕頭·七年級(jí)?？计谀c(diǎn)E在射線上，點(diǎn)F、G為射線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，，平分．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，求證：；2．（2023下·江西贛州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)．

（1）求證：；（2）如圖，為線段上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)除外）與有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說(shuō)明理由．3．（2023下·廣東云浮·七年級(jí)校考期中）如圖，已知，．點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），平分，平分，分別交射線于點(diǎn)C，D．

（1）求，的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷與的度數(shù)有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，求的度數(shù)．4．（2023下·四川涼山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）直線交于M、N，P點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（1）如圖a，P點(diǎn)在線段上時(shí)，若，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖b，P點(diǎn)在射線上時(shí)，若時(shí)，證明、與的關(guān)系．5．（2023上·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和，交射線于點(diǎn)，．（1）求的度數(shù)；（2）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，求出的度數(shù)．6．（2022上·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師展示了一個(gè)問題：如圖1，直線，直線與，分別交于點(diǎn)C，D，點(diǎn)A在直線上，且在點(diǎn)C的左側(cè)，點(diǎn)B在直線上，且在點(diǎn)D的左側(cè)，點(diǎn)Р是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Р不與點(diǎn)C，D重合）．當(dāng)點(diǎn)Р在點(diǎn)C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題．實(shí)踐探究：勤學(xué)小組對(duì)此問題進(jìn)行了更深一步的思考：當(dāng)點(diǎn)Р在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，之間的數(shù)量關(guān)系又是如何？（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C上方時(shí)，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．7．（2022下·安徽銅陵·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠EBF為銳角，點(diǎn)C是∠EBF的邊BF上一點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)A從點(diǎn)B出發(fā)在∠EBF的邊BE上，沿BE方向運(yùn)動(dòng)，在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有過點(diǎn)A的射線．（1）在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，______（填“是”或“否”）存在某一時(shí)刻，使得AD平分∠EAC？（2）假設(shè)存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之間有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)AC⊥BC時(shí)，寫出AD與AC之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．8．（2022下·江西贛州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，點(diǎn)E在射線BC上，連接AE，DE，設(shè)∠BAE＝α，∠CDE＝β．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，∠AED＝______（用含α，β的式子表示）；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)．①判斷∠AED與α，β的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若M為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且MA∥ED，請(qǐng)直接寫出∠MAB與β的數(shù)量關(guān)系．9．（2022下·遼寧營(yíng)口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，ABCD，點(diǎn)M、N分別在AB、CD上，點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MP、NP．（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在圖1位置時(shí)，請(qǐng)?zhí)接憽螾與∠AMP、∠CNP之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在圖2位置時(shí)，請(qǐng)?zhí)接憽螾與∠AMP、∠CNP之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在圖3位置時(shí)，請(qǐng)?zhí)接憽螾與∠AMP、∠CNP之間的關(guān)系．（直接寫出答案，不需要說(shuō)明理由）（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在圖4位置時(shí)，請(qǐng)?zhí)接憽螾與∠AMP、∠CNP之間的關(guān)系．（直接寫出答案，不需要說(shuō)明理由）10．（2022下·北京·七年級(jí)北京市第二中學(xué)分校校聯(lián)考期中）已知：，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若點(diǎn)P為平行線之間一點(diǎn)，且滿足，則的度數(shù)為_____；（直接寫出答案）（2）拖動(dòng)點(diǎn)P至如圖2所示的位置時(shí)，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作和的角平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你試寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．11．（2024上·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知兩條直線被直線所截，交點(diǎn)分別為M、N，交于點(diǎn)P，且．（1）判斷是否平分，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，點(diǎn)E是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)P、N重合），平分交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)Q，①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)，（和（之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．12．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知兩條直線被直線所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)M，且．

（1）判斷直線與直線是否平行，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，點(diǎn)G是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），平分交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，設(shè)．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若，求α的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．13．（2023下·山西晉城·七年級(jí)期末）如圖甲所示，已知點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)F，G在直線上，且，平分．（1）判斷直線與直線是否平行，并說(shuō)明理由．（2）如圖乙所示，H是上點(diǎn)E右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，①若，，求的值．②設(shè)，．點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過程中，寫出和的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．14．（2022下·河南三門峽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）“一條彩虹路，盡覽紅葉美，”澠池縣以打造最美旅游公路為重點(diǎn)，弘揚(yáng)地域文化、彰顯仰韶特色．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個(gè)問題：如圖1，已知，，，求的度數(shù)．小明同學(xué)的思路：過點(diǎn)P作，點(diǎn)G在點(diǎn)P的左側(cè)，進(jìn)而推出，由平行線的性質(zhì)來(lái)求，得______．（2）圖2、圖3均是由一塊直角三角尺和一把直尺拼成的圖形，，，與相交于點(diǎn)E，有一動(dòng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，，記，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．

15．（2023上·湖南懷化·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，，點(diǎn)為直線上一定點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線與之間且在線段的右方作點(diǎn)，使得．設(shè)（為銳角）．

（1）求與的和；（提示過點(diǎn)D作）（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)的過程中，若平分，也恰好平分，請(qǐng)求出此時(shí)的值．16．（2022上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，平分，點(diǎn)E在射線上，，垂足為D，平分，交射線于點(diǎn)F，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，連接．

（1）當(dāng)平分時(shí)，______°；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，______°；（4）當(dāng)時(shí)，直接寫出此時(shí)的度數(shù)．17．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知直線與直線，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分交直線于點(diǎn)M，且．

（1）求證：；（2）點(diǎn)G是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），平分交直線于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作交直線于點(diǎn)N，設(shè)．①點(diǎn)G在點(diǎn)F右側(cè)，且，求的度數(shù)；②點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出結(jié)論．18．（2023下·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）問題情境：（1）如圖①，已知，，，求的度數(shù)．佩佩同學(xué)的思路：過點(diǎn)作，進(jìn)而，由平行線的性質(zhì)來(lái)求，求得______；

問題遷移：（2）圖②，圖③均是由一塊三角尺和一把直尺拼成的圖形，三角尺的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，，記，．

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖③，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展延伸：（3）當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，的平分線，相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．19．（2023下·山東青島·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形中，已知，，且點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是以每秒個(gè)單位的速度從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)，求四邊形面積．（2）若，，求的度數(shù)．（3）求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，三角形的面積等于長(zhǎng)方形面積的六分之一．20．（2023下·天津西青·七年級(jí)期末）已知直線分別與直線，交于點(diǎn)，，平分交直線于點(diǎn)，且，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），平分，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，設(shè)，．

（1）如圖①，求證；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，，求的度數(shù)．21．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，．過點(diǎn)A作．

（1）判斷是否平分，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），平分交射線于E，過點(diǎn)E作于F．①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，若，求的度數(shù)；②點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并說(shuō)明理由．22．（2023下·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，，，，是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)．

（1）求的度數(shù)．（2）點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且時(shí)，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2023下·廣東肇慶·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，已知直線，點(diǎn)C為直線，之間（不在直線上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，平分，平分，和交于點(diǎn)F．

（1）證明：，（2）如圖2，連接，則在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)滿足，時(shí)：①若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；②若，求的度數(shù)．24．（2023下·貴州黔東南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，直線分別與交于C，D兩點(diǎn).點(diǎn)A，B分別在直線上，且與點(diǎn)C，D不重合，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）【問題解決】寫出圖1中一對(duì)相等的角；（2）【問題探究】如圖1，若點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，試探究，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】如圖2，若點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．參考答案：1．（1）證明見分析；（2）證明見分析【分析】（1）先根據(jù)平分，可得出,從而得到,然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得出，又，所以,根據(jù)同位角相等，兩直線平行，及可得出答案；（2）過點(diǎn)G作，交于點(diǎn)H，可得到,所以，，故可得到．解：（1）證明：（1）∵平分，∴,又∵，

∴,∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴,∵，∴,∴（同位角相等，兩直線平行）；（2）證明：過點(diǎn)G作，交于點(diǎn)H，如圖，

由（1）可得，∴,∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到各個(gè)角度之間的關(guān)系．2．（1）見分析；（2），證明見分析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義即可得出，進(jìn)而即可得證；（2）過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出．解：（1）證明：，平分，平分，（2）證明：過點(diǎn)作，

，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（1），；（2）．不隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)變化，見分析；（3）【分析】（1）由得到，則可得，，由平分線的定義得到，則，即可得到的度數(shù)；（2）由得到，由平分得到，則，結(jié)論得證；（3）由得到，根據(jù)得到，則，即可得到，由（1）可知，由角平分線定義得到，即可得到的度數(shù)．（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，（角平分線的定義），∴，∴；（2）與之間數(shù)量關(guān)系是：．不隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)變化．理由：∵，∴（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），∵平分（已知），∴（角平分線的定義），∴（等量代換），即；（3）結(jié)論：．理由：∵，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）可知，∴，∴．【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（1），理由見分析；（2），理由見分析【分析】（1）過點(diǎn)P作，得到，進(jìn)而推出，得到，由此得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)P作，得到，推出，由此得到結(jié)論．（1）解：，理由如下：過點(diǎn)P作

∴∵∴∴∴∵∴；（2）證明：，理由如下：過點(diǎn)P作，

∵∴∴∵∴．【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，正確掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（1）；（2），理由見分析；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)角平分線的定義得出，，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，又平分，即可得出；（3）由平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，角平分線的定義即可得出結(jié)論（1）解：如圖，，，，，、分別平分和，，，，（2），理由如下：，，，又平分，，∴．（3），，，，即，，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（1）；（2），理由見分析；（3）【分析】（1）過點(diǎn)Р作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由平行線的推論得出，利用等量代換即可得出結(jié)果；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由平行線的推論得出，利用等量代換即可得出結(jié)果；（3）過點(diǎn)作，方法與（1）（2）類似，即可得出結(jié)果．（1）解：．理由：如解圖1，過點(diǎn)Р作，則．∵，∴．∴．∴．（2）．理由：如解圖2，過點(diǎn)作，則．∵，∴．∴．∴．（3）．如解圖3，過點(diǎn)作，則．∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查平行線的性質(zhì)及推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)及推論是解題關(guān)鍵．7．（1）是；（2）∠B＝∠ACB，理由見分析；（3）AD⊥AC，理由見分析【分析】（1）要使AD平分∠EAC，則要求∠EAD=∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠EAD，∠ACB=∠CAD，則當(dāng)∠ACB=∠B時(shí)，有AD平分∠EAC；（2）根據(jù)角平分線可得∠EAD=∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠EAD，∠ACB=∠CAD，則有∠ACB=∠B；（3）由AC⊥BC以及平行線的性質(zhì)可得AC⊥AD．（1）解：是．理由如下：要使AD平分∠EAC，則要求∠EAD=∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠EAD，∠ACB=∠CAD，則當(dāng)∠ACB=∠B時(shí)，有AD平分∠EAC；故答案為：是；（2）解：∠B=∠ACB．理由如下：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵ADBC，∴∠B=∠EAD，∠ACB=∠CAD，∴∠B=∠ACB；（3）解：AD⊥AC．理由如下：∵AC⊥BC，ADBC，∴AD⊥AC．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．8．（1）；（2）①，見分析；②或【分析】（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，可得∠AEF=∠BAE＝α，再由AB∥CD，可得EF∥CD，從而得到∠DEF=∠CDE＝β．即可求解；（2）①作EF∥AB，可得可得∠AEF=∠BAE＝α，再由AB∥CD，可得EF∥CD，從而得到∠DEF=∠CDE＝β．即可求解；②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)M在∠BAE的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在∠BAE的外部時(shí)，即可求解．（1）解：如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠AEF=∠BAE＝α，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF=∠CDE＝β．∴∠AED=∠AEF+∠DEF=α+β．故答案為：（2）解：①．理由如下：如圖，作EF∥AB，∴∠AEF=∠BAE＝α，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF=∠CDE＝β．∴；②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在∠BAE的內(nèi)部時(shí)，∵AM∥DE，∴∠MAE=，∵∠BAE＝α，∴∠MAB=∠BAE∠MAE=α（αβ）=β；如圖，當(dāng)點(diǎn)M在∠BAE的外部時(shí)，∵AM∥DE，∴∠NAE=，∵∠BAE＝α，∴∠NAB=∠BAE∠NAE=α（αβ）=β；∴∠MAB=180°∠BAN=180°β；綜上所述，∠MAB與β的數(shù)量關(guān)系為或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（1）∠P＝∠AMP＋∠CNP，理由見分析；（2）∠P＋∠AMP＋∠CNP＝360°，理由見分析；（3）∠P＝∠CNP－∠AMP；（4）∠P＝∠AMP－∠CNP【分析】（1）過點(diǎn)P作PQAB，根據(jù)平行公理可得PQCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AMP＝∠1，∠CNP＝∠2，然后根據(jù)∠P＝∠1+∠2等量代換即可得解；（2）過點(diǎn)P作PQAB，根據(jù)平行公理可得PQCD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠AMP＝180°﹣∠1，∠CNP＝180°﹣∠2，然后根據(jù)∠P＝∠1+∠2等量代換即可得解；（3）過點(diǎn)P作PQAB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．（4）過點(diǎn)P作PQAB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．（1）解：如圖1，過點(diǎn)P作PQAB，∵ABCD，∴PQCDAB，∴∠AMP＝∠1，∠CNP＝∠2，∵∠MPN＝∠1+∠2，∴∠MPN＝∠AMP+∠CNP；（2）如圖2，過點(diǎn)P作PQAB，∵ABCD，∴PQCDAB，∴∠AMP＝180°﹣∠1，∠CNP＝180°﹣∠2，∴∠AMP+∠CNP＝180°×2﹣（∠1＋∠2），∵∠MPN＝∠1+∠2，∴∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°；（3）∠MPN＝∠CNP﹣∠AMP；如圖3，過點(diǎn)P作PQAB，∵ABCD，∴PQCDAB，∴∠NPQ＝∠CNP，∠AMP＝∠MPQ，∴∠MPN＝∠NPQ－∠MPQ＝∠CNP－∠AMP，即∠NPM＝∠CNP﹣∠AMP；（4）∠P＝∠AMP﹣∠CNP．如圖4，過點(diǎn)P作PQAB，∵ABCD，∴PQCDAB，∴∠NPQ＝∠CNP，∠AMP＝∠MPQ，∴∠MPN＝∠MPQ－∠NPQ＝∠AMP－∠CNP，即∠MPN＝∠AMP﹣∠CNP．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定、角的和差計(jì)算等知識(shí)，此類題目，關(guān)鍵在于添加平行線作為輔助線．10．（1）75；（2）∠BAP=∠APC+∠C，見詳解；（3）∠AQC+∠APC=90°，見詳解【分析】（1）過點(diǎn)P作PF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解；（2）延長(zhǎng)BA交PC于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)CQ交AB于點(diǎn)M，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)求解即可．（1）解：過點(diǎn)P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PF，∴∠APF=∠A=30°，∠CPF=∠C=45°，∴∠APC=∠APF+CPF=75°，故答案為：75°；（2）解：∠BAP=∠APC+∠C，理由如下：延長(zhǎng)BA交PC于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠PGA=∠C，∵∠BAP=∠APC+∠PGA，∴∠BAP=∠APC+∠C；（3）∠AQC+∠APC=90°，理由如下：設(shè)CQ交AB于點(diǎn)M，∵AB∥CD，∴∠QCD=∠AMQ，∵CQ平分∠PCD，∴∠QCD=∠PCD，∴∠AMQ=∠PCD，∵AQ平分∠BAE，∴∠MAQ=∠BAE=（180°∠PAB）=90°∠PAB，由（2）知，∠PAB=∠APC+∠PCD，∴∠MAQ=90°（∠APC+∠PCD），即∠MAQ=90°∠APC∠AMQ，∵∠AMQ=∠AQC∠MAQ，∴∠MAQ=90°∠APC（∠AQC∠MAQ），∴∠AQC+∠APC=90°．【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（1）平分，詳見分析；（2）①，或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．（1）利用平行線的性質(zhì)可得，然后利用等量代換可得，從而利用角平分線的定義即可解答；（2）①設(shè)，先利用角平分線的定義可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用角的和差關(guān)系可得，進(jìn)而可得，然后再利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可．②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)；點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）解：平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，即平分．（2）解：①設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：x=40，∴．分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，；理由：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即；如圖：當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；綜上所述：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，．12．（1）平行，見分析；（2）①25度；②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義的運(yùn)用：（1）依據(jù)角平分線，可得，根據(jù)，可得，進(jìn)而得出；（2）①依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平分，平分，即可得到，再根據(jù)，即可得到中，；②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，．解：（1）∵平分∴，又∵，∴，∴；（2）①如圖2，

∵∴，又∵平分，平分∴，，∴，又∵，∴中，，即；②點(diǎn)G是射線上一動(dòng)點(diǎn)，故分兩種情況討論：如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，．

證明：∵，∴，又∵平分，平分∴，∴，又∵，∴中，，即；如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，．

證明：∵，∴，又∵平分，平分，∴，∴，又∵，∴中，，即．13．（1）直線與直線平行，理由見分析；（2）①；②點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β的數(shù)量關(guān)系，理由見分析【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角的平分線的計(jì)算，證明兩個(gè)角的關(guān)系．（1）證明內(nèi)錯(cuò)角相等即可．（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)計(jì)算即可．②仿照①，結(jié)合外角性質(zhì)，將問題一般化計(jì)算即可．（1）解：直線與直線平行，理由如下：∵平分，∴，又∵，∴，∴．（2）①∵，的平分線，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．②點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β的數(shù)量關(guān)系，理由如下：∵是的外角，是的外角，∴，又∵平分，的平分線，，∴，，∴，即．14．（1）；（2）①；②【分析】（1）過點(diǎn)P作，點(diǎn)G在點(diǎn)P的左側(cè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行公理即可；（2）①過點(diǎn)P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行公理即可；②過點(diǎn)P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行公理即可．解：（1）過點(diǎn)P作，點(diǎn)G在點(diǎn)P的左側(cè)．

∵，∴．∴，．又∵，，∴．故答案為：；（2）①與，之間的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：如圖①，過點(diǎn)P作．

圖①∵，∴．∴，．∴．∴與，之間的數(shù)量關(guān)系為．②與，之間的數(shù)量關(guān)系為．理由：如圖②，過點(diǎn)P作．

圖②∵，∴∴，．∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)及平行公理，熟練掌握平行線的性質(zhì)及平行公理，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵．15．（1）；（2）詳見分析；（3）【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行的性質(zhì)可得，，即可得，問題隨之得解；（2）由（1）得：，結(jié)合，即可得作答；（3）根據(jù)角平分線的定義有，，再根據(jù)平行的性質(zhì)可得，即有，在結(jié)合（2）的結(jié)論即可作答．解：（1）如圖，過點(diǎn)作，則．

∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．（2）由（1）得：，則．∵，∴，∴．（3）若平分，也恰好平分，則有，，．∵，∴，∴．由（2）知：，則，解得：．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，16．（1）；（2）；（3）；（4）或【分析】（1）先求解，，，再求解，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（2）證明，結(jié)合，從而可得答案；（3）證明，可得；（4）分兩種情況討論：在的外部時(shí)和在的內(nèi)部時(shí)，再求解，再利用角的和差可得答案．（1）解：∵，平分，∴，∵，平分，∴，，∵平分，∴，∴．（2）如圖，∵，，∴，

∵，∴．（3）如圖，

∵，∴，∵，∴．（4）如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，

∵，，∴，∴，如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，

同理可得：，∴．【點(diǎn)撥】本題考查的是垂直的定義，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，角的和差運(yùn)算，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．17．（1）見分析；（2）①；②或【分析】（1）由角平分線的定義即得出，結(jié)合題意可證明，即得出；（2）①平分和，可得，從而得到，再由，可得，即可求解；②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，即可求解．解：（1）證明：∵平分，∴．又∵，∴，∴；（2）解：①如圖1，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得．②和之間的數(shù)量關(guān)系為或．理由如下：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，由（2）得，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如圖2，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，綜上所述，和之間的數(shù)量關(guān)系為或．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．18．（1）；（2）①，②，理由見分析；（3）【分析】（1）過點(diǎn)P作，則，由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得的度數(shù)；（2）①過點(diǎn)P作，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得與，之間的數(shù)量關(guān)系；②過P作，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可得到；（3）過P和N分別作的平行線，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系為．解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作，

∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，故答案為：；（2）①，理由：如圖②，作過點(diǎn)P作，

∵，∴，∴，∴；②，理由：如圖，過點(diǎn)作，

則，∵，∴，∴，∴．（3），理由：如圖，

理由：由（2）①可得，，∵，的平分線，相交于點(diǎn)，，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)作平行線，利用平行線的性質(zhì)得出結(jié)論．19．（1）；（2）；（3）秒或秒【分析】（1）四邊形面積，據(jù)此可解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求解；（3）分“在線段上，在的延長(zhǎng)線上”兩種情況，根據(jù)等量關(guān)系列方程，即可求解．（1）解：，，且點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，四邊形面積為：；（2）解：，，，，；（3）解：當(dāng)在線段上時(shí)，設(shè)秒時(shí)，三角形的面積等于長(zhǎng)方形面積的六分之一，則，解得：，當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)秒時(shí)，三角形的面積等于長(zhǎng)方形面積的六分之一，則，解得：，答：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，三角形的面積等于長(zhǎng)方形面積的六分之一．【點(diǎn)撥】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)定理，第三問注意分情況討論．20．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再利用等量代換可得，然后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，即可解答；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而利用平角定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，，從而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，即可解答．（1）解：證明：平分，，，，；（2），，，平分，平分，，，，，，的度數(shù)為．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．21．（1）平分，理由見分析；（2）①；②或，理由見分析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可解答；（2）①根據(jù)角平分線的定義可得，從而得到，再由平行線的性質(zhì)，即可解答；②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，即可解答．（1）解：平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴平分；（2）解：①∵，∴，∵是角平