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第五章主成分分析由于多個變量之間都存在著相關性，故為了使復雜的問題更加清楚，因此就設計將原來的變量重新線性組合成若干個互不相關的綜合指標來代替原來的變量，并盡可能提取原來變量的信息來解釋原有變量的協(xié)方差結構，這就是主成分分析?！?.1主成分分析的基本模型當原始變量之間存在相關關系時，通過原來變量的少數幾個線性組合來解釋原來變量以實現降維的多元統(tǒng)計方法，稱為主成分分析。主成分與原始變量間的關系：(1)、每一個主成分都是各原始變量的線性組合。(2)、主成分的數目大大少于原始變量的數目。(3)、主成分保留了原始變量絕大部分信息。(4)、各個主成分之間互不相關。一、基本模型假設研究對象是個樣本，個變量的數據，則有即構造新的變量即其中原則：1、與不相關2、是的線性組合中方差最大者（即最大）；與不相關的的線性組合中方差最大者（即最大）；…；與都不相關的的線性組合中方差最大者（即最大）。其中：協(xié)方差陣分別稱為原始變量的第一主成分、第二主成分、…、第主成分。

二、主成分的推導第一主成分：構造目標函數對求導得即為正交陣，為的方差值，若的特征根為，的最大方差值為，相應的單位化特征向量為。同理：的最大方差值為，相應的單位化特征向量為，

因此，主成分為其方差分別為的特征根?！?.2主成分的性質性質1主成分的協(xié)方差陣為對角陣其中性質2主成分的總方差等于原始變量的總方差，性質3主成分與原始變量的相關系數為并稱其為主成分載荷?！?.3主成分的選取稱為第個主成分的方差貢獻率稱為前個主成分的累積方差貢獻率累積方差貢獻率越大，表示所選的少數幾個主成分解釋隨機向量的差異的能力越強，通常取，使得主成分對的作用：由于為正交陣，故由有即表明：是的線性組合，反映了對的作用。如果中只有不等于0，則只對起作用，這時稱為特殊主成分；如果中每一個分量均不等于0，說明對的各分量都起作用，這時稱為公共主成分。則有：即：稱為的方差貢獻率，為前個主成分對的方差貢獻率。§5.4主成分的實例分析例5.1選取100個學生作為研究對象，分別記錄他們的數學、物理、化學、語文、歷史、英語的成績，如表所示。進行主成分分析。

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