第25節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（解析版）

第25節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)知識要夯實(shí)1．直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法①定義法．②利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面．(2)直線和平面垂直的性質(zhì)①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線．②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．③垂直于同一條直線的兩平面平行．文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法①定義法．②利用判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．(2)平面與平面垂直的性質(zhì)兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面．[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]1．兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，即如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面是作點(diǎn)到平面距離的依據(jù)，要過平面外一點(diǎn)P作平面的垂線，通常是先作(找)一個(gè)過點(diǎn)P并且和α垂直的平面β，設(shè)β∩α＝l，在β內(nèi)作直線a⊥l，則a⊥α.2．兩平面垂直的判定(1)兩個(gè)平面所成的二面角是直角；(2)一個(gè)平面經(jīng)過另一平面的垂線．基本技能要落實(shí)考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】(2020·全國Ⅱ卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn).(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.【解析】(1)證明因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2.連接OB.因?yàn)锳B＝BC＝AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題設(shè)可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.所以O(shè)M＝，CH＝.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為.【方法技巧】1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)相等向量的定義，分析可得與不平行，與不平行，所以,均錯(cuò)誤.與平行，但方向相反也不相等，只有與方向相同，且大小都等于線段EF長度的一半，所以.故選：D2.(2020·南寧二中、柳州高中聯(lián)考)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求證：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一點(diǎn)，若三棱錐E－ABC的體積為，求線段CE的長.【解析】(1)證明∵AB⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，由余弦定理得BCeq\o\al(2,1)＝BC2＋CCeq\o\al(2,1)－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，∴BC1＝，∴BC2＋BCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)，∴BC⊥BC1，又AB，BC?平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面ABC.(2)解∵AB⊥平面BB1C1C，∴VE－ABC＝VA－EBC＝S△BCE·AB＝S△BCE·1＝，∴S△BCE＝＝CE·BC·sin∠BCE＝CE·，∴CE＝1.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【證明】(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，PA?平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形.∴BE∥AD.又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【方法技巧】1.證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理.2.已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【跟蹤訓(xùn)練】1.（如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，側(cè)面SAD⊥底面ABCD.(1)求證：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA＝120°，且三棱錐S－BCD的體積為，求側(cè)面△SAB的面積.(1)證明設(shè)BC＝a，則CD＝a，AB＝2a，由題意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，則BD＝a，∠CBD＝45°，所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，在△ABD中，AD＝＝a，因?yàn)锳D2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD?平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)解由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝a.作SH⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)H，則SH＝SDsin60°＝a，由(1)知BD⊥平面SAD，因?yàn)镾H?平面SAD，所以BD⊥SH.又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH為三棱錐S－BCD的高，所以VS－BCD＝×a××a2＝，解得a＝1.由BD⊥平面SAD，SD?平面SAD，可得BD⊥SD，則SB＝＝＝2.又AB＝2，SA＝，在等腰三角形SBA中，邊SA上的高為＝，則△SAB的面積為××＝.達(dá)標(biāo)檢測要扎實(shí)一、單選題1．在空間中，下列命題是真命題的是（

）A．經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B．平行于同一平面的兩直線相互平行C．如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等D．如果兩個(gè)相交平面垂直于同一個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于這個(gè)平面【答案】D【解析】當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，可以確定無數(shù)個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；平行于同一平面的兩直線可能相交，故B錯(cuò)誤；由等角定理可知，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故C錯(cuò)誤；如果兩個(gè)相交平面垂直于同一個(gè)平面，且，則在平面、內(nèi)分別存在直線垂直于平面，由線面垂直的性質(zhì)可知，再由線面平行的判定定理得，由線面平行的性質(zhì)得出，則，故D正確；故選：D2．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．直線和平面所成的角為定值B．點(diǎn)到平面的距離為定值C．異面直線和所成的角為定值D．直線和平面平行【答案】A【解析】對A，由平面，當(dāng)點(diǎn)分別在點(diǎn)或時(shí)，線面角不一致，故A錯(cuò)誤；對B，由//,平面,平面,所以//平面，所以點(diǎn)到平面的距離為直線上任意點(diǎn)到平面的距離，故B正確對C，由平面即平面,,,平面，所以平面，所以，故C正確對D，由平面即平面，//，平面，平面，所以//平面，所以D正確故選：A3．在如圖所示的棱長為20的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上，且到的距離為6，到的距離為5，則過點(diǎn)且與垂直的正方體截面的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B【解析】如圖所示，過點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，因?yàn)?，可得，在正方體中，平面，所以又,所以平面,平面,所以過作交于點(diǎn)，則,設(shè)則,所以，即,則所以在正方形中，取的中點(diǎn)，連接則與,則所以,即取的中點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，連接，則又平面,所以,由所以平面，所以又，所以平面連接，過作,由，則，所以(且)連接，則四邊形為梯形，所以平面所以截面的形狀為四邊形邊形.故選：B.4．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【解析】由題可知，正方體的棱長為1，則平面，又，在線段上運(yùn)動(dòng)，平面，點(diǎn)到直線的距離不變，由正方體的性質(zhì)可知平面，則，而，，故的面積為，又由正方體可知，，，且，平面，則平面，設(shè)與交于點(diǎn)，則平面，點(diǎn)到平面的距離為，.故選：A.5．如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(diǎn)(不同于，)，且，則二面角的平面角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是圓上一點(diǎn)(不同于，)，是圓的直徑，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定義：為二面角的平面角.故選：C6．如圖1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在線段PC上，AD⊥PC．將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，連接PB，PC，設(shè)PB的中點(diǎn)為N，如圖2．對于圖2，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN【答案】A【解析】圖1中AD⊥PC，則圖2中PD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，則PD⊥AC，故選項(xiàng)C正確；由PD⊥平面ABCD，PD?平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故選項(xiàng)B正確；∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面PAD，則AB⊥PA，即△PAB是以PB為斜邊的直角三角形，而N為PB的中點(diǎn)，則PB＝2AN，故選項(xiàng)D正確．由于BC⊥平面PDC，又平面∴平面⊥平面PDC若平面PAB⊥平面PBC，則平面PAB與平面PDC的交線⊥平面PBC由于平面PDC，則平面PAB與平面PDC的交線顯然不與平面PBC垂直，故A錯(cuò)誤故選：A7．如圖，正方體中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)在線段上.給出下列判斷：①存在點(diǎn)F使得平面；②在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；③平面與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)F的位置無關(guān)；④三棱錐的體積與點(diǎn)F的位置無關(guān).其中正確判斷的有（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【解析】對于①，假設(shè)存在F使得⊥平面，則⊥，又⊥，∩＝，∴⊥平面，則⊥，這與⊥矛盾，所以①錯(cuò)誤；對于②，因?yàn)槠矫媾c平面相交，設(shè)交線為，則在平面內(nèi)與平行的直線平行于平面，故②正確；對于③，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，則平面的法向量為而平面的法向量，隨著位置變化，故平面與平面所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)，故③錯(cuò)誤；對于④，三棱錐的體積即為三棱錐，因?yàn)椤纹矫?，所以，?dāng)在線段上移動(dòng)時(shí)，到平面的距離不變，故三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無關(guān)，即④正確．故選：D．8．已知正三棱錐和正四棱錐的所有棱長均為2，如圖將三棱錐的一個(gè)面和正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合在一起，得到一個(gè)新幾何體，則下列關(guān)于該新幾何體說法不正確的是（

）A． B．C．新幾何體為三棱柱 D．正四棱錐的內(nèi)切球半徑為【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、、，如圖：因?yàn)檎忮F和正四棱錐的所有棱長都為，所以，，，又，所以平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面與平面重合，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，故A正確；因?yàn)椋?，故B正確；因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，同理得四邊形也為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理得平面，因?yàn)?，所以平面平面，又，根?jù)棱柱的定義可得該新幾何體為三棱柱，故C正確；設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，因?yàn)檎睦忮F的高為，由得，故D不正確.故選：D.二、多選題9．如圖，點(diǎn)在正方體的面對角線上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．三棱錐的體積不變B．平面C．D．平面平面【答案】ABD【解析】對于A，的面積是定值，，平面，平面，∴平面，故到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積是定值，即三棱錐的體積不變，故A正確；對于B，，∴平面平面，平面，平面，故B正確；對于C，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，P在上，故可設(shè)，則，，，則不一定為0，和不垂直，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，.∴平面和平面垂直，故D正確.故選：ABD.10．如圖所示，棱長為1的正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面平面 B．不是定值C．三棱錐的體積為定值 D．【答案】ACD【解析】A.因?yàn)槭钦襟w，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正確；B.，故，故B不正確；C.，的面積是定值，平面，點(diǎn)在線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，所以是定值，故C正確；D.，，，所以平面，平面，所以，故D正確.故選：ACD11．?dāng)€尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近，若取，側(cè)棱長為米，則（

）A．正四棱錐的底面邊長為6米 B．正四棱錐的底面邊長為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為平方米 D．正四棱錐的側(cè)面積為平方米【答案】AC【解析】如圖，在正四棱錐中，O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，則，設(shè)底面邊長為．因?yàn)?，所以．在中，，所以，底面邊長為6米，平方米．故選：AC.12．正方體，的棱長為4，已知平面α，，則關(guān)于α?β截此正方體所得截面的判斷正確的是（

）A．α截得的截面形狀可能為正三角形 B．與截面α所成角的余弦值為C．α截得的截面形狀可能為正六邊形 D．β截得的截面形狀可能為正方形【答案】ABC【解析】如圖因?yàn)檎襟w∴，，又∵∴平面又∵平面∴同理：又∵∴平面∴平面可以是平面，又因?yàn)椤酁榈冗吶切?，故A正確取的中點(diǎn)并依次連接易知，因?yàn)槠矫?，平面∴平面同理：平面又因?yàn)榍移矫?，平面∴平面平面∴平面可以是平面∵∴六邊形是正六邊形，故C正確以平面是平面為例計(jì)算：設(shè)A到平面的距離為等體積法求距離∵，∴又因?yàn)?，∴則與平面所成角的正弦值為∴余弦值等于，故B正確對于D選項(xiàng)：由于直線，在正方體上任取點(diǎn)但異于，與可構(gòu)成平面，但是截面的形狀都不是正方形，故D錯(cuò)誤故選：ABC三、填空題13．如圖，已知棱長為2的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，給出下列結(jié)論：①異面直線與所成的角范圍為；②平面平面；③點(diǎn)到平面的距離為定值；④存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為.其中正確的結(jié)論是___________.【答案】②③【解析】對于①，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，異面直線與所成的角最大為，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成的角最小為，所以異面直線與所成的角的范圍為，故①錯(cuò)誤；對于②，如圖，因?yàn)槠矫?所以,同理,又因?yàn)槠矫?所以平面，所以平面平面，故②正確；對于③，因?yàn)槠矫?平面,所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，且等于的，即，故③正確；對于④，直線與平面所成的角為，，當(dāng)時(shí)，最小，最大，最大值為，故④不正確，故答案為：②③.14．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.【答案】2.【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當(dāng)時(shí)，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：215．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．【答案】【解析】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長為所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為16．如圖，把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，使A、C的距離為a，則異面直線AC與BD的距離為______．【答案】####【解析】分別取AC、BD的中點(diǎn)S、E，連接AE、CE、SB、SD、SE.，又，則平面，則，又，則平面，則則是異面直線AC與BD的公垂線段△中，，，則則異面直線AC與BD的距離為故答案為：四、解答題17．如圖長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.【解析】（1）連接交與點(diǎn)，連接四邊形為正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設(shè)為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為18．如圖，在四棱錐中，是等腰直角三角形，，底面是直角梯形，其中，，，，，（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所以且，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，所以四邊形為矩形，所以，且，所以平面，所以，所以則，，，所以，所以，又因?yàn)榍遥云矫?；?）記，取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋郧?，所以平面，所以平面，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，所以，所以二面角的平面角為，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?19．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一