2025屆北京市西城外國語學校高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆北京市西城外國語學校高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.2．已知點P在拋物線上，點Q在圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.3．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.4．復數(shù)的共軛復數(shù)是A. B.C. D.5．如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，與其準線交于點（點位于之間）且于點且，則等于（）A. B.C. D.6．函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.7．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．拋物線上的一點到其焦點的距離等于（）A. B.C. D.9．若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.10．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.11．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>012．已知拋物線，則其焦點到準線的距離為（）A. B.C.1 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為__________.14．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個與相交；②若垂直，則至少有一個與垂直；對于以上命題中，所有正確的序號是___________.15．在數(shù)列中，滿足，則________16．若橢圓的一個焦點為，則p的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點，求二面角的余弦值.18．（12分）已知橢圓的左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標原點；（2）設點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點（1）若，證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍21．（12分）設等差數(shù)列的前項和為，為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，再從條件①：；②：；③：這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（1）求和的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：22．（10分）甲、乙等6個班級參加學校組織廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級之間的演出班級（不含甲乙）個數(shù)X的分布列與期望

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出，然后利用導數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導得：，則，而，于是得：，即，所以曲線在點處的切線方程為.故選：A2、C【解析】先計算拋物線上的點P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【詳解】設，由圓心，得，∴時，，∴故選：C.3、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.4、B【解析】因,故其共軛復數(shù).應選B.考點：復數(shù)的概念及運算.5、B【解析】由題可得，然后結合條件可得，即求.【詳解】設于點，準線交軸于點G，則，又，∴，又于點且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.6、A【解析】利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，然后進行求解.【詳解】對函數(shù)進行求導：，因為，，所以，因為，所以f(x)是奇函數(shù),所以在R上單調(diào)遞增，又因為，所以的解集為.故選：A7、B【解析】因但8、C【解析】由點的坐標求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C9、B【解析】首先求出兩平行直線間的距離，即可求出圓的半徑，設圓心坐標為，，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解；【詳解】解：因為直線：和：的距離，由圓C與直線：和：都相切，所以圓的半徑為，又圓心在軸上，設圓心坐標為，，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或（舍去），所以圓心坐標為，故圓的方程為；故選：B10、D【解析】先設，代入化簡，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.11、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B12、B【解析】化簡拋物線的方程為，求得，即為焦點到準線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點到準線的距離是故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】運用導數(shù)的幾何意義進行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：14、①②【解析】假設與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.15、15【解析】根據(jù)遞推公式，依次代入即可求解.【詳解】數(shù)列滿足，當時，可得，當時，可得，當時，可得，故答案為：15.16、3【解析】利用橢圓標準方程概念求解【詳解】因為焦點為，所以焦點在y軸上，所以故答案：3三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因為，所以，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解【詳解】（1）在圖①中，連接，如圖所示：因為四邊形為菱形，，所以是等邊三角形.因為為的中點，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因為，所以，.又，，平面.所以平面.（2）由（1）知，，因為，，平面.所以平面.以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，，，.因為為的中點，所以.所以，.設平面的一個法向量為，由得.令，得，，所以.設平面的一個法向量為.因為，由得令，，，得則，由圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點，即可證明直線必過坐標原點（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達；根據(jù)條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標原點【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經(jīng)驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運動，該圓的半徑，圓心坐標為，故動點的軌跡方程為．19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】，當時，，當時，，也滿足上式，數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】由（1）可得，①②①②得，20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；（2）分別取的中點G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設正方形的邊長為1，，在中，，即得解.【小問1詳解】解：取的中點F，連接因為，則為正三角形，所以因為平面平面，則平面因為平面，則．①因為四邊形為正方形，E為的中點，則，所以，從而，所以．②又平面,結合①②知，平面，所以【小問2詳解】解：分別取的中點G，H，則，又,，則，所以四邊形為平行四邊形，從而.因為，則因為平面平面，，則平面，從而，因為平面，所以平面，從而平面連接，則為直線與平面所成的角.設正方形的邊長為1，，則從而，.在中，因為當時，單調(diào)遞增，則，所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍是.21、（1）an＝n，bn＝（2）證明見解析【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，列出方程組求解即可得答案；（2）求出，利用裂項相消求和法求出前項和為，即可證明【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，選①：，又，，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選②：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選③：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，則a