北京海淀外國(guó)語(yǔ)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

北京海淀外國(guó)語(yǔ)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.2．已知A，B，C是橢圓M：上三點(diǎn)，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，過(guò)A作x軸的垂線交橢圓M于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.3．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.4．如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.6．下列說(shuō)法正確的有（）個(gè).①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項(xiàng).A.1 B.2C.3 D.07．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.128．已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長(zhǎng)為4，虛半軸長(zhǎng)為5，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝19．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)|AB|等于（）A. B.C. D.10．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.11．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.012．在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是_______14．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___15．在的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．（結(jié)果用數(shù)值表示）16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，18．（12分）已知點(diǎn)F為拋物線：（）的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B與點(diǎn)P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN的面積最小時(shí)，求直線l的方程.19．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并對(duì)其求解.問(wèn)題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.21．（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值22．（10分）2021年國(guó)慶期間，某電器商場(chǎng)為了促銷(xiāo)，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費(fèi)滿8千元，可減8百元.方案二：消費(fèi)金額超過(guò)8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的一號(hào)箱子，裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的二號(hào)箱子，裝有1個(gè)紅色小球、3個(gè)黃色小球的三號(hào)箱子各抽一個(gè)小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個(gè)紅色小球則打6折；若抽出2個(gè)紅色小球則打7折；若抽出1個(gè)紅色小球則打8折；若沒(méi)有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費(fèi)8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場(chǎng)消費(fèi)了1萬(wàn)元，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：C2、C【解析】設(shè)出點(diǎn)，,的坐標(biāo)，將點(diǎn)，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn),則.【詳解】設(shè)，，，則，，，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，則,則AB錯(cuò)誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn)即，則正確.故選：C.3、B【解析】根據(jù)體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè)到平面的距離為，由得，解得故選：B4、D【解析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.詳解】由題意可得故選：D5、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D6、A【解析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對(duì)于①，與共線，與共線，故不一定成立，故①正確；對(duì)于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以兩圓相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項(xiàng)，故③錯(cuò)誤故選：A7、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.8、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長(zhǎng)為4，虛半軸長(zhǎng)為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.9、A【解析】聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求距離.【詳解】由得交點(diǎn)為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.10、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A11、B【解析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.12、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長(zhǎng)弦，最短弦為過(guò)點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長(zhǎng)，可得面積.【詳解】圓化簡(jiǎn)為可得圓心為易知過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，即而最短弦為過(guò)與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡(jiǎn)整理，可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，即，又所以所求切線的傾斜角為故答案為：14、【解析】由在區(qū)間上恒成立來(lái)求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：15、【解析】先求解出該二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后求解出滿足題意的項(xiàng)數(shù)值，帶入通項(xiàng)即可求解出展開(kāi)式的系數(shù).【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為，由題意，令，解得，，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.16、【解析】由拋物線的焦半徑公式可求得的值.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的焦半徑公式可得，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)a=；f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．(2)證明見(jiàn)解析.【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點(diǎn)的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當(dāng)a≥時(shí)，f（x）≥，之后構(gòu)造新函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.詳解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋琭′（x）=aex–由題設(shè)知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當(dāng)0<x<2時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增（2）當(dāng)a≥時(shí)，f（x）≥設(shè)g（x）=，則當(dāng)0<x<1時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x>1時(shí)，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn)故當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥g（1）=0因此，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，首先要保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，之后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求得參數(shù)值，之后利用極值的特點(diǎn)，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問(wèn)在求解的時(shí)候構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用不等式的傳遞性證得結(jié)果.18、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義求出p即可作答.(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程，用點(diǎn)A，B坐標(biāo)表示出點(diǎn)C，D，M，N的坐標(biāo)，列出四邊形CDMN面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】拋物線的準(zhǔn)線：，由拋物線定義得，解得，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，則，即，依題意，，設(shè)，，由消去并整理得，則有，，直線PA的斜率是，方程為，令，則，令，則，即點(diǎn)C，點(diǎn)D，同理點(diǎn)M，點(diǎn)N，則，，四邊形的面積有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)四邊形CDMN的面積最小值為4，直線l的方程為或.19、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解，若選③：利用直接計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.小問(wèn)1詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以數(shù)列等差數(shù)列，所以.20、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出，即可得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出，同理可得，則四邊形的面積，最后利用基本不等式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知：，設(shè)直線方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立得，則，所以，，∴，同理可得，∴四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴四邊形面積的最小值為2.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的一個(gè)法向量、平面的法向量，由二面角的空間向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，，所以，所以，即因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，所以，，，由（1）可知平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以得令，則，，所以，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.22、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，求出沒(méi)有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可得出答案；（