浙江寧波市北侖區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

浙江寧波市北侖區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以下說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關(guān)程度越高；⑤在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯誤的個數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.32．若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-23．命題“”的一個充要條件是（）A. B.C. D.4．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則的值是（）A. B.C. D.45．直線與直線的位置關(guān)系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直6．中心在原點的雙曲線C的右焦點為，實軸長為2，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.7．在等比數(shù)列中，，則等于（）A. B.C. D.8．下列命題錯誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件9．某同學(xué)為了調(diào)查支付寶中的75名好友的螞蟻森林種樹情況，對75名好友進行編號，分別為1，2，…，75，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，已知11號，26號，56號，71號好友在樣本中，則樣本中還有一名好友的編號是（）A.40 B.41C.42 D.3910．已知集合，則（）A. B.C. D.11．已知，，，若、、三個向量共面，則實數(shù)A3 B.5C.7 D.912．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側(cè)面積為___14．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；15．已知圓C：和點，若點N為圓C上一動點，點Q為平面上一點且，則Q點縱坐標(biāo)的最大值為______16．用秦九韶算法求函數(shù)，當(dāng)時的值時，___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項公式18．（12分）設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點.過作的平行線交于點P.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點，C在線段上運動，原點O關(guān)于C的對稱點為Q，求四邊形面積的取值范圍；19．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（3）已知數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知動點到點的距離與點到直線的距離相等.（1）求動點的軌跡方程；（2）若過點且斜率為的直線與動點的軌跡交于、兩點，求三角形AOB的面積.21．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：.22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，O為BD的中點，，（1）證明：平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.2、B【解析】根據(jù)拋物線和橢圓焦點與其各自標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點為，橢圓左焦點為，∴.故選：B.3、D【解析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當(dāng)時，滿足，推不出，故不充分；B.當(dāng)時，滿足，推不出，故不充分；C.當(dāng)時，推不出，故不必要；D.因為，故充要，故選：D4、B【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知成等比數(shù)列，從而可得，即可求出的結(jié)果.【詳解】解：已知等比數(shù)列的前項和為，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：成等比數(shù)列，且公比不為-1即成等比數(shù)列，，，.故選：B.5、C【解析】把直線化簡后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選：C6、D【解析】根據(jù)條件，求出，的值，結(jié)合雙曲線的方程進行求解即可【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為由已知得：，，再由，，雙曲線的方程為：故選：D7、C【解析】根據(jù)，然后與，可得，最后簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】在等比數(shù)列中，由所以，又，所以所以故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，重在計算，當(dāng)，在等差數(shù)列中有，在等比數(shù)列中，靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.9、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性即可確定結(jié)果.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性得：11號，26號，56號，71號以及還有一名好友的編號應(yīng)該按大小排列后成等差數(shù)列，樣本中還有一名好友的編號為26號與56號的等差中項，即41號，故選：B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】由集合的關(guān)系及交集運算，逐項判斷即可得解.【詳解】因為集合，，所以，，.故選：D.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷及集合的交集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】由空間向量共面原理得存在實數(shù)，，使得，由此能求出實數(shù)【詳解】解：，，，、、三個向量共面，存在實數(shù)，，使得，即有：，解得，，實數(shù)故選：【點睛】本題考查空間向量共面原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式建立方程，可解得公差d得選項.【詳解】解：因為在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2π【解析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解【詳解】由題意，圓錐底面周長為2π×1=2π，又母線長為2，所以圓錐的側(cè)面積故答案為：2π.14、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時，若和時，；若時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時，若和時，；若時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.15、【解析】設(shè)出點N的坐標(biāo)，探求出點Q的軌跡，再求出軌跡上在x軸上方且距離x軸最遠的點的縱坐標(biāo)表達式，借助函數(shù)最值計算作答.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓C與x軸相切，依題意，點M在圓C上，設(shè)點，則，線段MN中點，因，則點Q的軌跡是以線段MN為直徑的圓(除點M，N外)，這個軌跡在x軸上方，于是得這個軌跡上的點到x軸的最大距離為：令，于是得，當(dāng)，即時，，所以Q點縱坐標(biāo)的最大值為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：圓上的點到定直線距離的最大值等于圓心到該直線距離加半徑.16、0【解析】利用秦九韶算法的定義計算即可.【詳解】故答案為:0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），【解析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的首項和公比，根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則通項公式可求；（2）根據(jù)題意表示出斜率關(guān)系，然后采用累加法求解出的通項公式.【詳解】（1）因為等比數(shù)列的公比為，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直線的斜率為，得，即，由，，，，，可得，所以，當(dāng)時也滿足，所以，18、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設(shè)四邊形的面積為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理代入，整理后再利用函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】（1）圓的圓心為，因為，所以，因為，所以，又，且，，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)四邊形面積為，則，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，>0恒成立.設(shè)，則，=，令，則，在上單調(diào)遞增，，即四邊形面積的取值范圍.19、（1）（2）證明見解析，（3）【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列列出方程組求解首項、公比即可得解；（2）化簡后得，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可得出，再求出即可;（3）利用錯位相減法求出數(shù)列的和.【小問1詳解】設(shè)公比為，由條件可知，，所以；【小問2詳解】，又，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差等差數(shù)列，所以，所以.【小問3詳解】，,兩式相減可得，，.20、（1）（2）【解析】小問1：由拋物線的定義可求得動點的軌跡方程；小問2：可知直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值，結(jié)合面積公式即可求解小問1詳解】由題意點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以，則，所以動點的軌跡方程是.【小問2詳解】由已知直線的方程是，設(shè)、，由得，，所以，則，故，21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)數(shù)列通項與前項和的關(guān)系，構(gòu)造新等式，作差整理得到，進而求解結(jié)論；（2）求出數(shù)列{an}的通項公式，再代入裂項求和即可.【小問1詳解】證明：因為，所以當(dāng)時，，兩式相減，得到，整理得，又因為an＞0，所以，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為3；【小問2詳解】證明：當(dāng)n＝1時，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因為a1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.22、（1）見解析（2）【解析】（1）連接，利用勾股定理證明，又可證明，根據(jù)線面垂直的判定定理證明即