天津市南開(kāi)區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

天津市南開(kāi)區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列中前項(xiàng)和滿(mǎn)足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，在拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則的中點(diǎn)到軸的距離為（）A. B.C. D.3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.4．拋物線(xiàn)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離等于（）A.12 B.10C.8 D.65．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線(xiàn)互相垂直，則切線(xiàn)的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱(chēng)為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根．若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（）A. B.C. D.6．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.8．在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線(xiàn)段的最小覆蓋圓就是以該線(xiàn)段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（）A. B.C. D.9．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線(xiàn)上，后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為歐拉線(xiàn).已知△ABC的頂點(diǎn)分別為，，，則△ABC的歐拉線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.無(wú)數(shù)個(gè) D.0或無(wú)數(shù)個(gè)11．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，－3)且斜率為2的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.12．橢圓的離心率為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為，則___________.14．拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)F，其準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)（-3，3），過(guò)焦點(diǎn)F傾斜角為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，則p=___________；弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)__________.15．過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的方程為_(kāi)_______16．函數(shù)滿(mǎn)足，且，則的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號(hào)召，將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A，兩個(gè)等級(jí)，其中等設(shè)備安全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時(shí)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修，并將部分等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年底該企業(yè)A等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開(kāi)始，企業(yè)決定加大更新力度，預(yù)計(jì)今后每年將16%的等設(shè)備更新成A等設(shè)備，與此同時(shí)，4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級(jí)成等設(shè)備.（1）在這種更新制度下，在將來(lái)的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過(guò)80%？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過(guò)60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）18．（12分）已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值時(shí)兩圓外切？（2）m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？（3）當(dāng)m=45時(shí)，求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦的長(zhǎng)19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，滿(mǎn)足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.22．（10分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)．已知當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線(xiàn)，使得直線(xiàn)、分別與相交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)總在以線(xiàn)段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由已知求得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，，可求得范圍.【詳解】解：因?yàn)?，則，兩式相減得，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.2、A【解析】設(shè)點(diǎn)，利用拋物線(xiàn)的定義求出的值，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，易知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)的定義可得，得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)到軸的距離為.故選：A.3、D【解析】求導(dǎo)后，利用求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：，則，由得，故選：D.4、C【解析】根據(jù)焦半徑公式即可求出【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：C5、B【解析】由題意求出蒙日?qǐng)A方程，再由兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以?xún)蓤A相切，所以，解得，故選：B6、A【解析】由題可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A7、A【解析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.8、C【解析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設(shè)外接圓方程為，則解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C9、A【解析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線(xiàn)方程，聯(lián)立兩直線(xiàn)可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線(xiàn)方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線(xiàn)AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線(xiàn)斜率為，則方程為，直線(xiàn)AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線(xiàn)斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線(xiàn)GH斜率為，則可得直線(xiàn)GH方程為，故△ABC的歐拉線(xiàn)方程為.故選：A.10、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式討論公比的取值即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋詿o(wú)解，即方程的解的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，綜上，關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為0或無(wú)數(shù)個(gè).故選：D.11、A【解析】直接代入點(diǎn)斜式方程求解即可詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為2，所以直線(xiàn)的方程為，即，故選：12、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由兩點(diǎn)間的斜率公式及直線(xiàn)斜率的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為，所以，解得，故答案為：2.14、①.6；②.48.【解析】先通過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)求出p，寫(xiě)出拋物線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程，聯(lián)立得出，進(jìn)而求出弦AB的長(zhǎng).【詳解】由知準(zhǔn)線(xiàn)方程為，又準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)（-3，3），可得，；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線(xiàn)方程為，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，，得，故，又.故答案為：6；48.15、【解析】由已知可得點(diǎn)M在圓C上，則過(guò)M作圓的切線(xiàn)與CM所在的直線(xiàn)垂直，求出斜率，進(jìn)而可得直線(xiàn)方程.【詳解】由圓得到圓心C的坐標(biāo)為(0,

0)，圓的半徑,而所以點(diǎn)M在圓C上，則過(guò)M作圓的切線(xiàn)與CM所在的直線(xiàn)垂直，又，得到CM所在直線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)的斜率為，則切線(xiàn)方程為：即故答案為：.16、6【解析】化簡(jiǎn)得出，由化簡(jiǎn)后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為6.故答案為：6三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%，理由見(jiàn)解析；（2）在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.【解析】(1)根據(jù)題意表示出2020年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，求出，根據(jù)的范圍進(jìn)行判斷；(2)令＞即可求解.【小問(wèn)1詳解】記該企業(yè)全部生產(chǎn)設(shè)備總量為“1”，2020年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，則經(jīng)過(guò)1年即2021年底該企業(yè)A等設(shè)備量，，可得，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可得，所以，顯然有，所以A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%.【小問(wèn)2詳解】由，得.因?yàn)閱握{(diào)遞減，又，，所以在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.18、（1）（2）（3）直線(xiàn)方程為4x+3y-23=0，弦長(zhǎng)為【解析】（1）先把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，再根據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值；（2）由兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差為，求得m的值．（3）當(dāng)m=45時(shí)，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線(xiàn)方程．求出第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線(xiàn)的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)試題解析：（1）由已知可得兩個(gè)圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d==5，兩圓的半徑之和為+，由兩圓的半徑之和為+=5，可得m=（2）由兩圓的圓心距d=="5"等于兩圓的半徑之差為|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）當(dāng)m=45時(shí)，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線(xiàn)方程為4x+3y-23=0第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線(xiàn)的距離為d==2，可得弦長(zhǎng)為考點(diǎn)：1．兩圓相切的位置關(guān)系；2．兩圓相交的公共弦問(wèn)題19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)，求出是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，求出的公差，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）分組求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棰伲援?dāng)時(shí)，②，①－②得：，即③，令得：，滿(mǎn)足③，綜上：是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，設(shè)的公差為d，則，因?yàn)?，所以，解得：?（舍去），所以【小問(wèn)2詳解】，則20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓心，由題意得，，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解的值，則圓心與半徑可求，圓的方程可求；（2）若直線(xiàn)的斜率不存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，符合題意，若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，由圓心到直線(xiàn)的距離與半徑關(guān)系求得，則直線(xiàn)方程可求【小問(wèn)1詳解】解：（1）設(shè)圓心，由題意得，，，解得.圓心坐標(biāo)為，半徑.則圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：（2）直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，，圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得，得直線(xiàn)的方程為.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由直棱柱的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，由線(xiàn)面垂直判定定理即可得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行得到面面，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，又∵，，，∴，∴，∵，∴面，∴（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，面，∴面，∵，且，∴四邊形平行四邊形，∴，面，∴面，∵，∴面面，∴平面.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線(xiàn)面平行常見(jiàn)的證明方法：（1）通過(guò)構(gòu)造相似三角形（三角形中位線(xiàn)），得到線(xiàn)線(xiàn)平行；（2）通過(guò)構(gòu)造平行四邊形得到線(xiàn)線(xiàn)平行；（3）通過(guò)線(xiàn)面平行得到面面平行，再得線(xiàn)面平行.22、（1）（2）存在，且直線(xiàn)的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將該直線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【