2025屆山東省淄博市實驗中學高二上數(shù)學期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆山東省淄博市實驗中學高二上數(shù)學期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則與的大小關系是（）A. B.C. D.不能確定2．如圖，在平行六面體中，（）A. B.C. D.3．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．若直線經(jīng)過，,兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.5．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點，點、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（）A. B.C. D.6．已知點，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體中最大的側面積是（）A.B.C.D.8．已知直線與圓相離，則以，，為邊長的三角形為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不存在9．拋物線的焦點坐標是（）A. B.C. D.10．在公比為為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，若，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.11．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（）A. B.C. D.12．已知是雙曲線：的右焦點，是坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線被圓截得的弦長等于該圓的半徑，則實數(shù)_____.14．已知遞增數(shù)列共有2021項，且各項均不為零，，如果從中任取兩項，當時，仍是數(shù)列中的項，則的范圍是________________，數(shù)列的所有項和________15．已知不等式有且只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的范圍為___________16．在數(shù)列中，，，，若數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：經(jīng)過點，設右焦點F，橢圓上存在點Q，使QF垂直于x軸且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于D，G兩點.是否存在直線使得以DG為直徑的圓過點E（-1，0）?若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.19．（12分）已知函數(shù)（1）若在點處的切線與軸平行，求的值；（2）當時，求證：；（3）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為滿足（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為．求證：21．（12分）為增強市民的環(huán)境保護意識，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環(huán)境保護宣傳小組，現(xiàn)把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內的人數(shù)為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內的志愿者中抽取名參加某社區(qū)的宣傳活動，再從這名志愿者中隨機抽取名志愿者做環(huán)境保護知識宣講，求這名環(huán)境保護知識宣講志愿者中至少有名年齡在內的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區(qū)為了感謝甲、乙作為環(huán)境保護知識宣講的志愿者，給甲、乙各隨機派發(fā)價值元、元、元的紀念品一件，求甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的概率.22．（10分）兩人下棋，每局均無和棋且獲勝的概率為，某一天這兩個人要進行一場五局三勝的比賽，勝者贏得2700元獎金，（1）分別求以獲勝、以獲勝的概率；（2）若前兩局雙方戰(zhàn)成，后因為其他要事而終止比賽，間，怎么分獎金才公平？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題知，進而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B2、B【解析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量【詳解】連接，可得，又，所以故選：B.3、D【解析】解：，設F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D4、D【解析】應用兩點式求直線斜率得，結合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D5、A【解析】設點關于原點的對稱點為點，連接、，分析可知、、三點共線，設點、，設直線的方程為，分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結果.【詳解】設點關于原點的對稱點為點，連接、，如下圖所示：因為為、的中點，則四邊形為平行四邊形，可得且，因為，故、、三點共線，設、，易知點，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設，，則，不合乎題意；設直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.6、A【解析】由兩點坐標，求出直線的斜率，利用，結合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設直線AB的傾斜角為，因為，所以直線AB的斜率，即，因為，所以.故選：A7、B【解析】由三視圖還原原幾何體，確定幾何體的結構，計算各面面積可得【詳解】由三視圖，原幾何體是三棱錐，平面，，尺寸見三視圖，，，故選：B8、A【解析】應用直線與圓的相離關系可得，再由余弦定理及三角形內角的性質即可判斷三角形的形狀.【詳解】由題設，，即，又，所以，且，故以，，為邊長的三角形為鈍角三角形.故選：A.9、C【解析】化為標準方程，利用焦點坐標公式求解.【詳解】拋物線的標準方程為，所以拋物線的焦點在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：C10、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前項和公式的基本量運算，即可得到答案；【詳解】，，故A錯誤；，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤；，故C錯誤；，，故D成立；故選：D11、C【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，由即可求解.【詳解】由，可得根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：C12、A【解析】由條件建立a，b，c的關系，由此可求離心率的值.【詳解】設，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長，列出等量關系，即可求出結果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.14、①.②.1011【解析】根據(jù)題意得到，得到，，，，進而得到，從而即可求得的值.【詳解】由題意，遞增數(shù)列共有項，各項均不為零，且，所以，所以的范圍是，因為時，仍是數(shù)列中的項，即，且上述的每一項均在數(shù)列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案為：；.15、【解析】參變分離后研究函數(shù)單調性及極值，結合與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值大小關系求出實數(shù)a的范圍.【詳解】整理為：，即函數(shù)在上方及線上存在兩個整數(shù)點，，故顯然在上單調遞增，在上單調遞減，且與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值為：，，，，顯然有，要恰有兩個整數(shù)點，則為0和1，此時，解得：，如圖故答案為：16、【解析】根據(jù)所給條件可歸納出當時，，利用迭代法即可求解.【詳解】因為，，，所以，即，，且是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列或（舍去），，，故可得當時，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，或.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得，則橢圓方程得解；（2）對直線的斜率進行討論，當斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，轉化題意為，求解即可.小問1詳解】由題意，得，設，將代入橢圓方程，得，所以，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當斜率不存在時，即時，，為橢圓短軸兩端點，則以為直徑的圓為，恒過點，滿足題意；當斜率存在時，設，，，由得：，，解得：，，若以為直徑的圓過點，則，即，又，，，解得：，滿足，即，此時直線的方程為綜上，存在直線使得以為直徑的圓過點，的方程為或18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)作差即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可知，，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到，即可得到，再令，利用錯位相減法求出，即可得證；【小問1詳解】解：因為，且，當時，則，所以，當時，，則，即，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，，因為，所以，所以，令，則，所以，所以，即，所以，即；19、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由可求得實數(shù)的值；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，求得，即可證得結論成立；（3）分析可知在上存在唯一的極值點，且，可得出，構造函數(shù)，分析函數(shù)的單調性，求得的取值范圍，再構造，分析函數(shù)的單調性，求出的范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解：因為的定義域為，.由題意可得，解得.【小問2詳解】證明：當時，，該函數(shù)的定義域為，，令，其中，則，故函數(shù)在上遞減，因為，，所以，存在，使得，則，且，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以，，所以，當時，.【小問3詳解】解：函數(shù)的定義域為，.令，其中，則，所以，函數(shù)單調遞減，因為函數(shù)有兩個零點，等價于函數(shù)在上存在唯一的極值點，且為極大值點，且，即，所以，，令，其中，則，故函數(shù)在上單調遞增，又因為，由，可得，構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調遞增，故，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).20、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結論成立，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得，結合數(shù)列的單調性可證得結論成立.【小問1詳解】證明：當時，，解得，當時，由可得，上述兩個等式作差得，所以，，則，因為，則，可得，，，以此類推，可知對任意的，，所以，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，，解得.【小問2詳解】證明：，則，其中，所以，數(shù)列為單調遞減數(shù)列，則，，，上式下式，得，所以，，因此，.21、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀念品價值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：因為志愿者年齡在、、內的頻率分別為、、，所以用分層抽樣的方法抽取的名志愿者年齡在、、內的人數(shù)分別為、、.記年齡在內的名志愿者分別記為、、，年齡在的名志愿者分別記為、，年齡在內的名志愿者記為，則從中抽取名志愿者的情況有、、、、、、、、、、、、、、，共種可能；而至少有名志愿者的年齡在內的情況有、、、、、、、、，共種可能.所以至少有名志愿者的年齡在內的概率為.【小問2詳解】解：甲、乙獲得紀念品價值的情況有、、、、、、、、，共種可能；而甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的情況有、、、、、，共種可能.故甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的概率為.22、（1）以獲勝、以獲勝的概率分別是