湖北省部分省級(jí)示范高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

湖北省部分省級(jí)示范高中20232024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題命題人：武漢市第十四中學(xué)徐姣審題人：武漢市第二十三中學(xué)黃亞洲考試時(shí)間：2024年4月29日試卷滿(mǎn)分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．⒉選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答；用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式計(jì)算，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選：C2.已知為等差數(shù)列，，則等于（）A.21 B.17 C.23 D.20【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得和公差，然后計(jì)算出．【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，解得，所以，故選：D．3.甲、乙兩人要在一排6個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有（）A.6種 B.3種 C.20種 D.12種【答案】A【解析】【分析】采用插空法，在4個(gè)空座中間的3個(gè)空中插入甲、乙兩人的座位即可得答案.【詳解】一排共有6個(gè)座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有4個(gè)空座.要求每人左右均有空座，即在4個(gè)空座的中間3個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就坐，即有種坐法.故選：A.4.設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則等于（）A.－2 B.－1 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式列方程組求解．【詳解】由題意易知數(shù)列的公比，則有，解得，故選：B．5.學(xué)校將從4男4名女中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手．要求甲乙同時(shí)入選或同時(shí)不入選．不同組隊(duì)形式有（）種．A.480 B.360 C.570 D.540【答案】C【解析】【分析】甲乙同時(shí)入選時(shí)，按甲擔(dān)任四辯手或擔(dān)任二、三辯手分類(lèi)求解，甲乙同時(shí)不入選時(shí)，直接從6人中選4人排列即可得，結(jié)合分類(lèi)加法原理計(jì)算．【詳解】甲乙同時(shí)入選時(shí)，按甲擔(dān)任四辯手或擔(dān)任二、三辯手分類(lèi)求解，甲乙同時(shí)不入選時(shí)，直接從6人中選4人排列即可得．因此所求方法數(shù)為，故選：C．6.如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.是的極大值點(diǎn) D.是的極小值點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】由題意，求得函數(shù)在處的切線(xiàn)方程，得到，通過(guò)對(duì)其求導(dǎo)分析，得出的單調(diào)性，極值和值域，即可一一判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】因函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，即，則，于是，，由圖知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).對(duì)于B項(xiàng)，由上分析，B項(xiàng)顯然錯(cuò)誤；對(duì)于C,D項(xiàng)，由上分析，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,即當(dāng)時(shí)，取得極大值，且，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于A(yíng)項(xiàng)，由上分析時(shí)，取得極大值，也是最大值，則有，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7.函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，由條件不等式判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，將不等式轉(zhuǎn)化成，利用單調(diào)性將問(wèn)題簡(jiǎn)化為在上恒成立，求出函數(shù)在上的最小值即得.【詳解】由，，可設(shè)，，則，即函數(shù)在上為減函數(shù),因，則，由可得，即，故得，即在上恒成立.令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則時(shí)，取得最小值，故，又，故.故選：B.8.數(shù)列，若存在常數(shù)，對(duì)任意的，恒有，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列．記是數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是數(shù)列B.存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得數(shù)列是數(shù)列C.若數(shù)列是數(shù)列，則數(shù)列是數(shù)列D.若數(shù)列是數(shù)列，則數(shù)列是數(shù)列【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)定一一檢測(cè)選項(xiàng)A,B,C,均可推理得到，通過(guò)舉反例可說(shuō)明D項(xiàng)不是數(shù)列即得.【詳解】對(duì)于A(yíng)項(xiàng)，設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是，則，因?yàn)椋瑒t，故該數(shù)列是數(shù)列，即A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，取，則，因，則，故該數(shù)列是數(shù)列，即B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因數(shù)列數(shù)列，則存在常數(shù)，滿(mǎn)足,則,而是另一個(gè)常數(shù)，故數(shù)列是數(shù)列，即C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)，則，易得數(shù)列是數(shù)列，而此時(shí)，于是，而，具有任意性，故數(shù)列不是數(shù)列，即D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決數(shù)列新定義的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分理解數(shù)列的概念，善于觀(guān)察分析數(shù)列新定義的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用其性質(zhì)，善于把陌生的知識(shí)點(diǎn)化歸為熟悉的知識(shí)點(diǎn)或方法，達(dá)到解題的目的.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，存多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.當(dāng)時(shí)，的最小值為16【答案】AD【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式即可求解判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，即，?duì)于A(yíng)，，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，的最小值為16，故D正確.故選：AD.10.某中學(xué)A，B，C，D，E五名高一學(xué)生選擇甲、乙、丙、丁四個(gè)社團(tuán)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，每名學(xué)生只能選一個(gè)社團(tuán)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.所有不同的分派方案共種B.若甲社團(tuán)沒(méi)人選，乙、丙、丁每個(gè)社團(tuán)至少有一個(gè)學(xué)生選，則所有不同的分派方案共300種C.若每個(gè)社團(tuán)至少派1名志愿者，且志愿者必須到甲社團(tuán)，則所有不同分派方穼共60種D.若每個(gè)社團(tuán)至少有1個(gè)學(xué)生選，且學(xué)生A，B不安排到同一社團(tuán)，則所有不同分派方案共216種【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)可知A正確；對(duì)于B，C，按照先分組再分配的方法計(jì)數(shù)可知B不正確；C正確；對(duì)于D，由間接法求解可知D正確.【詳解】對(duì)于A(yíng)，每名學(xué)生都有4種安排方案，故共有種不同的分派方案，故A正確；對(duì)于B，先將5個(gè)人分成3組，分兩類(lèi)：第一類(lèi)，一組3人，另2組各一人，有種；第二類(lèi)，一組2人，一組2人，一組1人，有種，故共有種分組方法，再將分好的三組分配到三個(gè)社團(tuán)，共有種分派方案，故B不正確；對(duì)于C，分兩類(lèi)：第一類(lèi)，甲社團(tuán)分1人，只能是A，另外4人有種，第二類(lèi)，甲社團(tuán)分2人，共有種，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的分派方案，故C正確；對(duì)于D，若每個(gè)社團(tuán)至少派1名學(xué)生，則有種，其中學(xué)生A，B安排到同一社團(tuán)時(shí)，有種，故若每個(gè)社團(tuán)至少派1名學(xué)生，且學(xué)生A，B不安排到同一社團(tuán)時(shí)，共有種不同分派方案，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，．設(shè)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C. D.【答案】ABD【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)得或，然后根據(jù)和分類(lèi)確定的單調(diào)性，再根據(jù)的正負(fù)或?yàn)?分類(lèi)討論方程根據(jù)的個(gè)數(shù)得值，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意得，由題意，為的兩根，由題意或，選項(xiàng)A，若，則在和上都有，相應(yīng)均遞增，在上，即遞減，從而，若，則，，因此，不合題意，所以，A正確；選項(xiàng)B，時(shí)，同選項(xiàng)A討論可得在和上均遞減，在上遞增，，又，因此，以下分類(lèi)討論中，可作出的示意圖，若，則，此時(shí)有一根，有兩根，；若，則，此時(shí)有兩根，有兩根，；若，則，此時(shí)有三根，有兩根，，均滿(mǎn)足，B正確；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B的討論知C錯(cuò)誤，如時(shí)，；選項(xiàng)D，在選項(xiàng)B的討論中知，下面討論的情形，單調(diào)性由選項(xiàng)A的討論知悉，，以下討論中，作出的示意圖，若，，此時(shí)有一根，有兩根，；若，則，此時(shí)有一根，有兩根，；若，則，此時(shí)有一根，有兩根，，，綜上的值為，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，單調(diào)性與極值的關(guān)系，方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)，因此分類(lèi)討論時(shí)，作出函數(shù)的圖象可使得結(jié)論一目了然．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.關(guān)于的方程的解是______．【答案】7【解析】【分析】利用組合數(shù)和排列數(shù)公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，解得，故答案為?13.已知函數(shù)在處取得極小值，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，依題可得，求得或，代入函數(shù)式，進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去，即得結(jié)論.【詳解】由求導(dǎo)，，依題意，，即，解得或.當(dāng)，時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，即時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意，此時(shí)；當(dāng)，時(shí)，，，因，即函數(shù)在上為增函數(shù)，無(wú)極值，與題意不符，舍去.故答案：.14.已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，若將方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)記為，則______．【答案】【解析】【分析】由已知得出函數(shù)的周期是2，引入函數(shù)，作出它們的圖象，觀(guān)察圖象交點(diǎn)得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得，然后用裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】由題意，所以是周期函數(shù)，且周期為2，又，則是偶函數(shù)，又也是偶函數(shù)，所以與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，在時(shí)，，，作出函數(shù)與的圖象，如圖，因?yàn)?，所以函?shù)與的圖象的右側(cè)有個(gè)交點(diǎn)，所以，，故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查裂項(xiàng)相消法求和，對(duì)于函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)，一般需要確定函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期性等）作出函數(shù)的圖象，由圖象觀(guān)察得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可得根的個(gè)數(shù)．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.混放在一起的6件不同的產(chǎn)品中，有2件次品，4件正品．現(xiàn)需通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出4件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．（1）一共抽取了4次檢測(cè)結(jié)束，有多少種不同的抽法?（2）若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，檢測(cè)結(jié)束時(shí)有多少種不同的抽法?（要求：解答過(guò)程要有必要的說(shuō)明和步驟）【答案】（1）96種（2）120種【解析】【分析】（1）分兩種情形：第一種是4次抽到的全是正品，第二種前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分類(lèi)加法原理計(jì)算；（2）由題意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，檢測(cè)結(jié)束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不論正品還是次品）都可以結(jié)束，由此計(jì)算可得．【小問(wèn)1詳解】有以下兩種情況：4次均為正品，共有種；前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共種；則共有96種．【小問(wèn)2詳解】由題意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次檢測(cè)結(jié)束，當(dāng)抽取4次結(jié)束時(shí)，第4次抽到的必是次品，共有種抽法；當(dāng)抽取5次結(jié)束時(shí)，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，則共有種抽法；若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，則共有種抽法；共120種抽法．16.在數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)列遞推公式，采用累加的方法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，分別采用了錯(cuò)位相減法和分組求和法即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，且，當(dāng)時(shí)，可得，即，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問(wèn)2詳解】由于，且，則，即，設(shè)，則，兩式相減得：，所以，所以.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值集合．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，分類(lèi)討論和，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）知，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足題意，則，將恒成立等價(jià)于，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域，即可求出實(shí)數(shù)的取值.【小問(wèn)1詳解】由題意得：定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，解得：；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：時(shí)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由（1）知；則；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，實(shí)數(shù)的取值集合為．18.已知數(shù)列中，，且對(duì)任意正整數(shù)都有．若數(shù)列滿(mǎn)足：，（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)遞推關(guān)系式確定數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而確定通項(xiàng)公式，再由可得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，由得，分為奇數(shù)、偶數(shù)討論即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)已知，，則，且，則數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故．由，得，兩式相減有：，，當(dāng)時(shí)，也符合上式，；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，又為遞增數(shù)列，所以整理得當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，而，所以．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以綜上所述，的取值