初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初二

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（17）

奇數(shù)偶數(shù)

甲內(nèi)容提要

1.奇數(shù)和偶數(shù)是在整數(shù)集合里定義的，能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)，如2,0-2-,不能被2整除的

整數(shù)是奇數(shù)，如一1,1,3.

如果n是整數(shù)，那么2n是偶數(shù)，2n-l或2n+l是奇數(shù).如果n是正整數(shù)，那么2n是正偶數(shù)，

2n-l是正奇數(shù).

2.奇數(shù)、偶數(shù)是整數(shù)的一種分類.可表示為：

奇數(shù)

二w或整數(shù)集合

（偶數(shù)

這就是說(shuō)，在整數(shù)集合中是偶數(shù)就不是奇數(shù)，不是偶數(shù)就是奇數(shù)，如果既不是偶數(shù)又不是奇數(shù)，

那么它就不是整數(shù).

3.奇數(shù)偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)的正整數(shù)次幕是奇數(shù)，偶數(shù)的正整數(shù)次第足偶數(shù)，

兩個(gè)速續(xù)整數(shù)的和是奇數(shù)，積是偶數(shù).

乙例題

例1求證：任意奇數(shù)的平方減去1是8的倍數(shù)

證明：設(shè)k為整數(shù)，那么2k—1是任意奇數(shù)，

（2k-l）2-1=4k2-4k+1-1=4k（k-1）

：k（k—1）是兩個(gè)速續(xù)整數(shù)的積，必是偶數(shù)，4k（k—1）是8的倍數(shù)

即任意奇數(shù)的平方減去1是8的倍數(shù)

例2已知：有n個(gè)整數(shù)它們的積等于n,和等于0

求證：n是4的倍數(shù)

證明：設(shè)n個(gè)整數(shù)為XI，X2,X3,…Xn根據(jù)題意得，-

X,+%2+%3+…+X"=0②

如果n為正奇數(shù)，由方程（1）可知X”X2,X3,…Xn都只能是奇數(shù)，而奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和必是奇

數(shù)，這不適合方程（2）右邊的0,所以n一定是偶數(shù)；

當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，方程（1）左邊的X,X2,X3,…Xn中，至少有一個(gè)是偶數(shù)，而要滿足方程（2）

右邊的0,左邊的奇數(shù)必演是偶數(shù)個(gè)，偶數(shù)至少有2個(gè).

所以n是4的倍數(shù).

例3己知:a,b,c都是奇數(shù)

求證：方程0￥2+/+。=（）沒(méi)有整數(shù)解

證明：設(shè)方程的有整數(shù)解x,若它是奇數(shù)，這時(shí)方程左邊的ax?,bx,c都是奇數(shù)，而右邊0是

偶數(shù)，故不能成立；

若方程的整數(shù)解x是偶數(shù)，那么ax?,bx,都是偶數(shù)，c是奇數(shù)，所以左邊仍然是奇數(shù)，不可能

等于0.

既然方程的解不可能是奇數(shù)，也不能是偶數(shù)，

...方程ax2+bx+c=O沒(méi)有整數(shù)解（以上的證明方法是反證法）

例4求方程x2-y2=60的正整數(shù)解

解：（x+y）（x—y）=60,

60可分解為：1X60,2X30,3X20,4X15,5X⑵6X10

左邊兩個(gè)因式（x+y）,（x—y）至少有一個(gè)是偶數(shù)

因此x,y必演是同奇數(shù)或同偶數(shù)，且x>y>0,適合條件的只有兩組

X+y=30(x+y二10

X-y=2Ix-y-6

x=16x=8

解得《

y=14j=2

x-16x=8

工方程X—三6。的正整數(shù)解是）14[=2

丙練習(xí)17

1.選擇題

①設(shè)n是正整數(shù)，那么n2+n-l的值是（）

（A）偶數(shù)（B）奇數(shù)（C）可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)

②求方程85x—324y=101的整數(shù)解，下列哪一個(gè)解是錯(cuò)誤的？（）

x=5x=329x=653x=978

(A)《(B)《(O4(D)\

y=iy=86卜=171y=256

2.填空：

①能被3,5,7都整除的最小正偶數(shù)是

②能被9和15整除的最小正奇數(shù)是一最大的三位數(shù)是一

③1+2+3+…+2001+2002的和是奇數(shù)或偶數(shù)？答

④正整數(shù)1234…20012002是奇位數(shù)或偶位數(shù)？答____

⑤100…01能被11整除，那么n是正奇數(shù)或正偶數(shù)？答—

―^L-

3.任意三個(gè)整數(shù)中，必有兩個(gè)的和是偶數(shù)，這是為什么？

4.試說(shuō)明方程2x+10y=77沒(méi)有整數(shù)解的理由

5.求證：兩個(gè)速續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除

6.試證明：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方和的一半是奇數(shù)

7.求方程（2x—y—2）2+（x+y+2）2=5的整數(shù)解

8.方程19x+78y=8637的解是（）

x=78x=84x=88x=81

(A)〈(B)<（c）〈

y=91y=92y=93J=91

9.十進(jìn)制中，六位數(shù)19帥87能被33整除，求a,b的值.

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（18）

式的整除

甲內(nèi)容提要

1.定義：如果一個(gè)整式除以另一個(gè)整式所得的商式也是一個(gè)整式，并且余式是零，則稱這個(gè)整式

被另一個(gè)整式整除.

2.根據(jù)被除式=除式X商式+余式，設(shè)f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，

那么式的整除的意義可以表示為：

若f(x)=p(x)Xq(x),則稱f(x)能被p(x)和q(x)整除

例如?.“-―3x—4=(x—4)(x+1),

???x2—3x-4能被(x-4)和(x+1)整除.

顯然當(dāng)x=4或x=-1時(shí)X2—3x—4=0,

3.一般地，若整式f(x)含有x-a的因式，則f(a)=0

反過(guò)來(lái)也成立，若f(a)=0,則x—a能整除f(x).

4.在二次三項(xiàng)式中

若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab貝ijp=a+b,q=ab

在恒等式中，左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等.這可以推廣到任意多項(xiàng)式.

乙例題

例1己知x?—5x+m能被x—2整除，求m的值.X—3

解法一：列豎式做除法(如右)X—2/X2—5x+m

由余式m—6=0得m=6X2—2x

解法二：X2—5x+m含有x—2的因式—3x+m

/.以x=2代入X2—5x+m得—3x+6

22—5X2+m=0得m=6m—6

解法三：設(shè)x?—5x+m除以x—2的商是x+a(a為待定系數(shù))

那么X2—5x+m=(x+a)(x—2)=x2+(a-2)x—2a

根據(jù)左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等，得

a-2=-5a=-3

解得《,(本題解法叫待定系數(shù)法)

-2a=mm=6

例2己知:x"一Sx"+llxAmx+n能被x2—2x+l整除

求：m、n的值及商式

解：??,被除式=除式X商式(整除時(shí)余式為0)

；?商式可設(shè)為x2+ax+b

WX4—5x3+llx2+mx+n=(x2—2x+l)(x2+ax+b)

=x4+(a-2)x3+(b+l-2a)x2+(a-2b)x+b

根據(jù)恒等式中，左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等，得

ci—2=-5a=-3

b=n

解得《

a-2b=min=-ll

Tb=nn=4

m=-11,n=4,商式是x?—3x+4

例3m取什么值時(shí)，x3+y3+z3+mxyz(xyzWO)能被x+y+z整除？

解：當(dāng)x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除時(shí)，它含有x+y+z因式

令x+y+z=O,得x=—(y+z),代入原式其值必為0

即[—(y+z)]3+y3+z3—myz(y+z)=0

把左邊因式分解，得一yz(y+z)(m+3)=0,

Vyz^O,工當(dāng)y+z=O或m+3=0時(shí)等式成立

???當(dāng)x,y(或y,z或x,z)互為相反數(shù)時(shí)，m可取任何值，

當(dāng)m=-3時(shí)，x,y,z不論取什么值，原式都能被x+y+z整除.

例4分解因式X3—x+6

分析：為獲得一次因式，可用x=±1,±2,±3,±6(常數(shù)項(xiàng)6的約數(shù))代入原式求值，只有x二

—2時(shí)值為0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)

解：X3—x+6=(x+2)(x2—2x+3)

丙練習(xí)18

1.x3+2x2+mx+10=x3+nx2—4x+10,貝m二___,n=___

2.x3—4x?+3x+32除以x+2的余式是,

x4—x2+l除以x2—x—2的余式是

3.己知x'+mx+d能被x+1整除，求m

4.己知x4+ax4bx—16含有兩個(gè)因式x—1和x-2,求a和b的值

5.己知13x3+mx2+llx+n能被13x2—6x+5整除,求m、n及商式

6.己知abWO,m取什么值時(shí)，a3—6a2b+mab2-8b3有因式a—2b.

7.分解因式：①X3-7X+6,②X3-3X?+4,③X?”O(jiān)X-3

8.選擇題

①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的結(jié)果是()

(A)(x+y)(y-z)(x-z)(B)(x+y)(y+z)(x-z)

(c)(x-y)(y-z)(x+z)(D)(x-y)(y+z)(x+z)

@n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整數(shù))，對(duì)于下列各組的p,q值能使n的值為最大的是()

(A)p=100,q=10(B)p=5000,q=20(C)p=50,q=12,(D)p=300,q=15.

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(19)

因式分解

甲內(nèi)容提要和例題

我們學(xué)過(guò)因式分解的四種基本方法：提公因式法，運(yùn)用公式法，十字相乘法，分組分解法.下面再

介貂兩種方法

i.添項(xiàng)拆項(xiàng).是.為了分組后，能運(yùn)用公式(包括配方)或提公因式

例1因式分解：①②aa+b'J—3abc

①分析：x,+l若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+l=X4+2X2+1—X2=(X2+1)2—x2=(x2+l+x)(X2+1—x)

②分析：a?+b3要配成(a+b)3應(yīng)添上兩項(xiàng)3a2b+3ab?

解：a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3一3abc—3a2b-3ab2

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)L(a+b)2—(a+b)c+c2]—3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-be)

例2因式分解：①X3—11X+20②a5+a+l

①分析：把中項(xiàng)一llx拆成-16x+5x分別與x5,20組成兩組，則有公因式可提.(注意這里16

是完全平方數(shù))

②解：x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4)

=x(x+4)(x—4)+5(x+4)=(x+4)(x2—4x+5)

③分析：添上一a?和a?兩項(xiàng)，分別與a5和a+1組成兩組，正好可以用立方差公式

解：a5+a+l=a5—a2+a2+a+l=a2(a3—1)+a2+a+1

=a2(a-1)(a2+a+l)+a2+a+l=(a2+a+1)(a3-a2+l)

2.運(yùn)用因式定理和待定系數(shù)法

定理：⑴若x=a時(shí),f(x)=0,[即f(a)=0],則多項(xiàng)式f(x)有一次因式x-a

⑵若兩個(gè)多項(xiàng)式相等，則它們同類項(xiàng)的系數(shù)相等.

例3因式分解：①X3-5X2+9X—6②2X3-13X?+3

①分析：以*=±1,±2,±3,±6(常數(shù)6的約數(shù))分別代入原式，若值為0,則可找到一次因式,

然后用除法或待定系數(shù)法，求另一個(gè)因式.

解：,"二？時(shí)，x'—5x?+9x—6=0,原式有一次因式x—2,

/.X3—5x2+9x—6=(x—2)(X2—3x+3)

②分析：用最高次項(xiàng)的系數(shù)2的約數(shù)±1,±2分別去除常數(shù)項(xiàng)3的約數(shù)

I3

+1,±3得商土1,±2,+-,±-,再分別以這些商代入原式求值，

22

可知只有當(dāng)x=，時(shí)，原式值為0.故可知有因式2x-l

2

解：；x=L時(shí)，2x3-13x2+3=0,.,.原式有一次因式2x-l,

2

設(shè)2x3—13x2+3=(2x_1)(x2+ax—3),(a是待定系數(shù))

比較右邊和左邊X?的系數(shù)得2a—1=-13,a=-6

/.2x3-13x+3=(2x_1)(x2—6x—3).

例4因式分解2x?+3xy—9y2+14x—3y+20

解：；2x2+3xy-9y2=(2x-3y)(x+3y),用待定系數(shù)法，可設(shè)

2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a)(x+3y+b),a,b是待定的系數(shù)，

比較右邊和左邊的x和y兩項(xiàng)的系數(shù)，得

a+2b-14a^4

5解得

3a—3b=-3b=5

2x2+3xy—9y2+14x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)

又解：原式=2x2+(3y+]4)x—(9y2+3y-20)這是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式

常數(shù)項(xiàng)可分解為一(3y-4)(3y+5),用待定系數(shù)法，可設(shè)

2X2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)=[mx—(3y—4)][nx+(3y+5)]

比較左、右兩邊的x?和x項(xiàng)的系數(shù)，得m=2,n=l

2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)

丙練習(xí)19

1.分解因式：①x4+x2y2+y4②x4+4③x4-23x?y2+y4

2.分解因式：①X3+4X?-9②—41X+30

③x3+5x2-18@X3-39X-70

3.分解因式：0x3+3x2y+3xy2+2y3②/-3*2+3*+7

@x3-9ax2+27a2x-26a3(4)x3+6x2+Ilx+6

⑤a'b'+B(a2+b2)+3(a+b)+2

4.分解因式：①3X3-7X+10②X3-11X2+31X-21

③x‘-4x+3@2X3-5X2+1

5.分解因式:①2x?—xy—3y2—6x+14y—8②(x2_3x_3)(x2+3x+4)—8

③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91

6.分解因式：@x2y2+1—x2—y2+4xy(2)x2—y2+2x—4y—3

③x'+x?-2ax-a+1④(x+y)4+x4+y4

⑤(a+b+c)3—(a3+b3+c3)

7.己知：n是大于1的自然數(shù)求證：4n?+1是合數(shù)

8.己知：f(x)=x2+bx+c,g(x)=X4+6X?+25,p(x)=3x4+4x2+28x+5

且知f(x)是g(x)的因式，也是p(X)的因式

求：當(dāng)X=1時(shí)，f(X)的值

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(20)

代數(shù)恒等式的證明

甲內(nèi)容提要

證明代數(shù)恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法兩種相反的恒等變形，要特別注意運(yùn)用乘法

公式和等式的運(yùn)算法則、性質(zhì).

具體證法一般有如下幾種

i.從左邊證到右邊或從右邊證到左邊，其原則是化繁為簡(jiǎn).變形的過(guò)程中要不斷注意結(jié)論的形式.

2.把左、右兩邊分別化簡(jiǎn)，使它們都等于第三個(gè)代數(shù)式.

3.證明：左邊的代數(shù)式減去右邊代數(shù)式的值等于零.即由左邊一右邊=0可得左邊=右邊.

4,由己知等式出發(fā)，經(jīng)過(guò)恒等變形達(dá)到求證的結(jié)論.還可以把己知的條件代入求證的一邊證它能達(dá)

到另一邊，

乙例題

例1求證：3n+2-2n+2+2X5n+2+3n-2n=10(5向+31'-2%

證明：左邊=2X5X5同+(3n+2+3n)+(-2n+2-2n)

=10X5n+1+3n(32+l)-2n-l(23+2)

=10<5n+1+3n-2n_1)=右邊

又證:￡^Z=2X5n+2+3n(32+l)-2n(22+l)

=2X5n+2+10X3」5X2n

右邊=10X5.1+10X3n-10X2*1

=2X5n+2+10X3n-5X2n

，左邊=右邊

例2己知:a+b+c=0求證：a3+b3+c3=3abc

證明：a3+b3+c3_3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—be)(見19例1)

V:a+b+c=0

/.a3+b3+c3_3abc=0即a3+b3+c3=3abc

又證：V:a+b+c=0a=—(b+c)

兩邊立方a3=-(b3+3b2c+3bc2+c3)

移項(xiàng)a3+b3+c3=—3bc(b+c)=3abc

再證：由己知a=-b-c代入左邊,得

(—b—c)3+b3+c3=—(b'+3b2c+3bc2+c3)+b3+c3

=—3bc(b+c)=—3bc(-a)=3abc

例3己知a+工=b+」=c+工,a￥b#c求證：a2b2c2=l

hca

證明：由己知a-b=-1--=1幺h—tc??.bc=匕h」—c

cbbea-b

b-c=I...ca=￡z￡同理ab=i

accab-cc-a

a-bb-cc—a

..abbeca=-------------------------=1即r1rla^7b~7c2?=l

c-aa-bb-c

例4己知:ax?+bx+c是一個(gè)完全平方式(a,b,c是常數(shù))求證：b2-4ac=0

證明：設(shè):ax:+bx+c=(mx+n)2,m,n是常數(shù)

那么:ax2+bx+c=m2x2+2mnx+n2

9

a=機(jī)~

根據(jù)恒等式的性質(zhì)得＜/?=2機(jī)〃:b2—4ac=(2mn)2—4m2n2=0

c=n2

丙練習(xí)20

1.求證：①(a+b+c尸+(a+b-c)2—(a-b-c)2—(a-b-c)2=8ab

②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2?(x-2y)x3—(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3

@3n+2+5n+2-3n-5n=24(5n+3nJ)⑤f+an+l=(a3n-a2n+l)(a2n+an+l)

2.己知：a2+b2=2ab求證：a=b

3.己知：a+b+c=0

求證：@a3+a2c+b2c+b3=abc@a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2

4.己知：a2=a+1求證：a5=5a+3

5.己知：x+y—z=0求證：x3+8y3=z3—6xyz

6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc求證：a=b=c

7.己知：a:b=b:c求證：(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)

4Tli11

8.己知：abc#0,ab+bc=2ac求證：---=-----

ahbc

9.己知：---=---=---求證：x+y+z=O

a-hh-cc-a

10.求證：(2x—3)(2x+l)是一個(gè)完全平方式

11己知：ax'+bx2+cx+d能被x?+p整除求證：ad=bc

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(21)

比較大小

甲內(nèi)容提要

i.比較兩個(gè)代數(shù)式的值的大小，一般要按字母的取值范圍進(jìn)行討論，常用求差法.根據(jù)不等式的

性質(zhì)：

當(dāng)a—b>0時(shí)，a>b；當(dāng)a—b=0時(shí)，a=b；當(dāng)a—b<0時(shí)，a<b.

2.通常在寫成差的形式之后，用因式分解化為積的形式，然后由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定其符號(hào).

3.需要討論的可借助數(shù)軸，按零點(diǎn)分區(qū).

4.實(shí)數(shù)(有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱)的平方是非負(fù)數(shù)，在決定符號(hào)時(shí)常用到它.即若a是實(shí)數(shù)，則

a2>0,由此而推出一系列絕對(duì)不等式(字母不論取什么值，永遠(yuǎn)成立的不等式).諸如

(a-b)220,a2+l>0,a2+a+1=(a+-)2+->0

24

一a)WO,—(a2+a+2)<0當(dāng)aWb時(shí)，一(a—b)2<0

乙例題__

例1試比較a3與a的大小//

解：a3—a=a(a+l)(a-1)----------------J<爛*_-------?-------1-------/股〕產(chǎn)

a3-a=O,BPa3=aW京/1

以一1,0,1三個(gè)零點(diǎn)把全體/―/

實(shí)數(shù)分為4個(gè)區(qū)間，由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定其符號(hào)：

當(dāng)aV-l時(shí),a+l<0,a<0,a—lV0(3個(gè)負(fù)因數(shù)).'a?—a<0BPa3<a

當(dāng)一l<a<0時(shí)aV0,a-lV0(2個(gè)負(fù)因數(shù)).-.a3-a>0即a，>a

當(dāng)0<a<l時(shí)，a-l<0(1個(gè)負(fù)因數(shù)).*.a3-a<0即a?<a

當(dāng)a>l時(shí)，沒(méi)有負(fù)因數(shù)，.-.a3-a>0即a?>a

綜上所述當(dāng)a=0「1,1時(shí)，a3=a

當(dāng)aV—1或OVaVl時(shí)，a3<a

當(dāng)一IVaVO或a>l時(shí)，，a3>a.（試總結(jié)符號(hào)規(guī)律）

例2什么數(shù)比它的倒數(shù)大？

解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x,則當(dāng)并且只當(dāng)x一J>0時(shí)，x比它的倒數(shù)大，

x

1_X2-1（X+1）（%-1）-------------------------------------------------------?

x——=--------=--------------------101

xxx

以三個(gè)零點(diǎn)一1,0,1把實(shí)數(shù)分為4個(gè)區(qū)間，由例1可知

當(dāng)x>l或一l<x<0時(shí)，x比它的倒數(shù)大.

例3己知步行的速度是騎車速度的一半，自行車速度是汽車速度的?半，甲、乙兩人同時(shí)從A去

B,甲乘汽車到中點(diǎn)，后一半用步行，乙全程騎自行車，問(wèn)^先到達(dá)？

解：設(shè)從A到B有x千米，步行速度每小時(shí)y千米，那么甲、乙走完全程所用時(shí)間分別是t巾=

XX

2+2=如X

4yy8y

Vx>0,y>0「?t甲—t乙>0

答：乙先到達(dá)B地

例4己知a^bWc,求證：a2+b2+c2>ab+bc+ca

證明：a2+b2+c2—ab+bc+ca=—X2(a2+b2+c2—ab+bc+ca)

2

—(2a~+2b~+2c~~-2ab+2bc+2ca)

2

=—[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)21

2

；a#bWc,(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-a)2>0

■?a~+b~+c>ab+bc+ca

又證：：aWb,A(a-b)2>0a2+b2>2ab(l)

同理b2+c2>2bc(2)c2+a2>2ca(3)

(l)+(2)+(3)得2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca即a2+b2+c2>ab+bc+ca

例5比較3(l+a?+a4)與(l+a+a?)2的大小

解：3(l+a2+a4)-(l+a+a2)2=3L(l+a+a2)2-2a-2a2-2a3]-(1+a+a2)2

=2(l+a+a2)2-6a(l+a+a2)

=2(1+a+a2)(1+a+a2-3a)=2(l+a+a2)(l-a)2

13

VH-a+a2=(-+a)2+->0,(l-a)2>0

24

...當(dāng)a=l時(shí)，3(l+a2+a4)=(1+a+a2)2

當(dāng)a#l時(shí)，3(l+a2+a4)>(1+a+a2)2

例6解方程|2x+l|+|x—2|=4x<-0.51鄧2

1111x>一2

解：以-0.5,和2兩個(gè)零點(diǎn)分為3個(gè)區(qū)間

當(dāng)x<-0.5時(shí)，一(2x+l)-(x-2)=4,解得x=-l

當(dāng)一0.5Wx<2時(shí)，，(2x+1)—(x-2)=4,解得x=l

當(dāng)x22時(shí)，(2x+l)+(x—2)=4解得x=—,???在x，2范圍無(wú)解

3

綜上所述原方程有兩個(gè)解X=-1,X=1

丙練習(xí)21

1.己知a>O,bvO,目.a+b<0.試把a(bǔ),b,0及其相反數(shù)記在數(shù)軸上.

并用“V”號(hào)把它們連接.

2.比較卜.列各組中的兩個(gè)數(shù)值的大小：

①與a?②，—與佇1

a+1a+2

3.什么數(shù)的平方與立方相等？什么數(shù)的平方比立方大？

4.甲乙兩人同時(shí)從A去B,甲一半路程用時(shí)速a千米，另?半路程用時(shí)速b千米；乙占總時(shí)間的

一半用時(shí)速a千米，另一半時(shí)間用時(shí)速b千米，問(wèn)兩人^先到達(dá)？

5.己知a>b>c>d>0且a：b=c：d,試比較a+c與b+d的大小

6.己知a<b,x<y.求證：ax+by>ay+bx

7.己知a<b<c,x<y<z

求證：①ax+by+cz>az+bx+cy②ax+by+cz>az+bx+cy

(提示：可應(yīng)用第6題的結(jié)論)

8.己知a<b<0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，請(qǐng)舉個(gè)反例.

①②abvl③@<1?a-2b<0

abb

9.若a,b,c都是大于一1的負(fù)數(shù)，(即一lVa,b,c<0下列不等式哪些不能成立？試各舉一個(gè)反例.

①a+b—c>0②(abcy>1③aLM-c2co④abc>-l

10.水池裝有編號(hào)為①②③④⑤的5條水-管，其中有的是進(jìn)水管，有的是出水管，同時(shí)開放其中的兩

條水管，注滿水池所用的時(shí)間列表如下

開放的水管號(hào)①②②③③④④⑤⑤①

時(shí)間(小時(shí))2156310

問(wèn)單獨(dú)開放哪條水管能最快注滿水池？答：

(1989年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(22)

分式

甲內(nèi)容提要

1.除式含有字母的代數(shù)式叫做分式.分式的值是由分子、分母中的字母的取值確定的.

A

(1)分式一中，當(dāng)BW0時(shí)有意義；當(dāng)A、B同號(hào)時(shí)值為正，異號(hào)時(shí)值為負(fù)，反過(guò)來(lái)也成立.分子、

B

分母都化為積的形式時(shí)，分式的符號(hào)由它們中的負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)確定.

A

⑵若A、B及一都是整數(shù)，那么A是B的倍數(shù)，B是A的約數(shù).

B

A

⑶一切有理數(shù)可用一來(lái)表示，其中A是整數(shù)，B是正整數(shù)，且A、B互質(zhì).

B

2.分式的運(yùn)算及恒等變形有一些特殊題型，要用特殊方法解答方便.

乙例題

r2

例1.x取什么值時(shí)，分式,的值是零?是正數(shù)？是負(fù)數(shù)？

x+2x

x~—2x—3(x+l)(x—3)

解:

x2+2xx(x+2)

~0

3

以零點(diǎn)一2,-1,0,3把全體實(shí)數(shù)分為五個(gè)區(qū)間，標(biāo)在數(shù)軸上（如上圖）

當(dāng)x=-l,x=3時(shí)分子是0,分母不等于0,這時(shí)分式的值是零；

當(dāng)x<-2,-l<x<0,x>3時(shí)，分式的值是正數(shù)C.?負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)）

當(dāng)一2<x<—1,0<x<3時(shí)，分式的值是負(fù)數(shù)C.?負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)）

例2.m取什么值時(shí)，分式絲=的值是正整數(shù)？

m-\

2m+72m-2+9=2+^

解:

m-1m-1m-1

V-4-4尤+

當(dāng)例3.計(jì)算二^+x-2x+24

%+1x-3x-1x+3

9

——>—2且m—1是9的約數(shù)時(shí)，分式的值是正整數(shù)

m-1

即=3,9,-9解得m=2,4,10,-8.答：（略）

31

解：用帶余除法得，原式=1+上+1+—31

1x-3x—1x+3

3(x—1)—3(x+1)(x+3)—(x—3)

--------------------------+-----------------------

(x+D(xT)(x-3)(x+3)

-66

--------+----------=48

x2-lX2-9----(X2-1)(X2-9)

4.已知(a+b):(b+c)：(c+a)=3：4：5求①a：b：c②、1ab

c+bc

解：設(shè)a+b=3k,則b+c=4k,c+a=5k,全部相加

得2(a+b+c)=12k,即a+b+c=6k,分別減上列各式

得a=2k,b=k,c=3k

a2-ah_(2k)2-2kxk_1

.?.①a：b：c=2：1：3②

c2+bc(3k)2-\-kx3k6

例5.一個(gè)兩位數(shù)除以它的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，要使商為最小值，求這個(gè)兩位數(shù)；如果要使商為

最大值呢？

解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為10x+y,那么0<xW9,0WyW9

10x+y_9x

---------=］十------

x+yx+y

OY9x

當(dāng)x取最小值l,y取最大值9時(shí)，分式一:—的值最小；當(dāng)x取最大值9,y取最小值0時(shí)，分式

x+yx+y

的值最大.

答：商為最小值時(shí)的兩位數(shù)是19,商為最大值時(shí)的兩位數(shù)是90.

丙練習(xí)22

\a\-2

1.a=—時(shí)，分式—-----的值是0

a~+a—6

2二2廣Z；。貝吩式x：-

2.已知

x+2y+z=0x+y+z

3x+2

3.若x和分式二一」都是整數(shù)，那么x三

x-1

4.直接寫出結(jié)果：

①x2+^-=(x+—)2-_____?(X2+-^-+2)4-(X+—)=____

/X尤X

③(X?-——)+(XH)=(4)(1+—)(1-1-)=

XXXXX

5.化簡(jiǎn)繁分式，并指出字母x取什么值時(shí)它沒(méi)有意義.

1

丫2__2

6.X取什么值時(shí)分式"2的值是零?是正數(shù)？是負(fù)數(shù)?

X2-9

、1田尸\%+4.x—2x—4x+21124

7.計(jì)算：①-----+--------------------②——+——+——7+——-

x+1x—3x—1x+31—x1+x1+x~1+x

6x+7x+2x2+2x+1x+10

③—；---------------------+

3x+8x+4x-x-2x-4

8.解方程：

x+910x+6尤+7X3+2X3-9C,

0_'1.9——74Y1

x+8x+9x+5x+6x-x+1x+2x+4

小、x—a—bx—h—cx-c-a...,111

⑶-----------+------------+------------=3(其r中一+—+一。0)

cababc

YV

9.已知xy：yz：zx=3*211,求①x:y：z②-----：—

yzzx

b-cc-aa-b-

10.已知aWb#c且----=-----=-----求證：ax+by+cz=O

xyz

.,,,x+yy+zz+x4,、./人心

11.已知：-----=-----=-----求：(x+y)?z的值

zxy

12.由三個(gè)非零且相異的數(shù)字組成的三位數(shù)，除以這三個(gè)數(shù)字和，其商的最小值是多少？

13.在保證分母不等于0的前提下，分式竺士^中的x不論取什么值分式的值都不變，問(wèn)a和b之

bx+5

間的關(guān)系應(yīng)滿足什么條件？

14.已知3=2=￡求證：(a2+b2+c2)(m24-n2+p2)=(am+bn+cp)2

mnp

中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)初資料(23)

遞推公式

甲內(nèi)容提要

229

1.先看一例：ai=b,a2=—,a3=—....an+1=——這里a”a?,a?.......a.an+i是對(duì)應(yīng)于正整數(shù)

a\ai%

1,2,3……n,n+1的有序的?列數(shù)(右下標(biāo)的數(shù)字表示第幾項(xiàng))，這一列數(shù)只要給出某一項(xiàng)數(shù)

值，就可以推出其他各項(xiàng)數(shù)值.

211

例如：若a,=10.Wrtlija2=—=—,a3=10,a4=—,as=10.......

2.為了計(jì)算的方便，通常把遞推公式寫成以a和n表示a?的形式，這可用經(jīng)驗(yàn)歸納法.例如：把遞

推公式an+i=an+5改為用a1和n來(lái)表不

?a2=a1+5,??a3=a2+5=(a1+5)+5=a]+2X5,Q4=a3+5=(a]+2X5)+5=a]+3X5

......./.an=aj+(n-l)5

如果已知a]=10,求a?。，顯然代入這一公式方便.A20=10+19X5=105

3.有一類問(wèn)題它與正整數(shù)的順序有關(guān)，可尋找遞推公式求解，這叫遞推法.

乙例題

例1.已知：aj=2,an=an.i+2(n-l)(n》2)求：aioo的值

解：a100=a99+2X99

=a98+2X98+2X99

=a1+2X1+2X2+2X3+........+2X98+2X99

(1+99)x99

=2+2X----------------=9902

2

又解：a2=ai+2X1

a3=@2+2x2=(a1+2X1)+2X2

34=a3+2X3=(a1+2X1+2X2)+2X3

a100=ai+2X1+2X2+2X3+.......+2X99

=2+2(14-2+3+……+99)=9902

Y\

例2.已知：xi=97,對(duì)于自然數(shù)n>l,xn=------求：xix2x3......X8的值

解：由遞推公式乂產(chǎn)’—可知X1X2=Xi—=2X3X4=X3—=4

Xn-\王工

XX=XA=6xx=x—=8

565787/.x1X2X3......Xs=2X4X6X8=384

例3.已知：100個(gè)自然數(shù)御，a2,a3……a.滿足等式

(n-2)an-(n-1)an.,+l=0(2WnW100)并且aioo=199

求：ai+a2+a3+...+aioo

分析：已知等式是一個(gè)遞推公式，用后項(xiàng)表示前項(xiàng)：+1

n—\

可由a(X)求299,a98

八

(100-2K20+l98x199+1

解:a99=-----U—=----------=197

(99—2)。99+197x197+1

@98=------------=195

9898

用同樣方法求得@97=193,@96=191,...aj=l

.,.a!+a2+a3+……+aioo=l+3+5+...+195+197+199

_(1+199)x100_iq4

2—

丙練習(xí)23

1.已知aj=l,a2=l,且On+2=an+|+an

刃I),a4=，a§=，，a.=

,2

2.才ra]=2m，an=則a2=，33=，如=，a$=，31939Xa)99o=___

%

3.n為正整數(shù)，有遞推公式an+產(chǎn)an—3,試用a1，n表示第n項(xiàng)an

4.已大口31—10,3n+1=2Up求a1。

5.已知f(2)=l,f(n+l)=f(n)+n,求f(10)

22nn

6.設(shè)x+y=a1，x+y=a2...x+y=an.xy=6,貝lla2=a/一2b,

有遞推公式a.尸a函—ban/，試按本公式求出：用a,b表示a?.2，@5,a6

根據(jù)下列數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，寫出遞推公式：

①ai=l,a2=4,a3=7,a4=10..an=，an+i

k2)3)—1>a2=3,23=6,34=1?，an=,an+]

7.n名象棋選手進(jìn)行單循環(huán)比賽(每人對(duì)其他各人各賽一場(chǎng))試用遞推公式表示比賽的場(chǎng)數(shù).

8.平面內(nèi)n條的直線兩兩相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？試用遞推公式表示.

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(24)

連續(xù)正整數(shù)的性質(zhì)

甲內(nèi)容提要

一.兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)

1.兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)一定是互質(zhì)的，其商是既約分?jǐn)?shù).

2.兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積是偶數(shù)，且個(gè)位數(shù)只能是0,2,6.

3.兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和是奇數(shù)，差是1.

4.大于1的奇數(shù)都能寫成兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和.例如3=1+2,79=39+40,111=55+56.

二.計(jì)算連續(xù)正整數(shù)的個(gè)數(shù)

例如：不同的五位數(shù)有幾個(gè)？這是計(jì)算連續(xù)正整數(shù)從10000到99999的個(gè)數(shù)，它是99999-10000

+1=90000(個(gè))

Ln位數(shù)的個(gè)數(shù)一般可表示為9Xl(yz(n為正整數(shù)，10°=1)

例如一位正整數(shù)從1到9共9個(gè)(9X10°),

二位數(shù)從10到99共90個(gè)(9X101)

三位數(shù)從100到999共900個(gè)(9X102).......

2.連續(xù)正整數(shù)從n到m的個(gè)數(shù)是m-n+1

把它推廣到連續(xù)奇數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、除以模m有同余數(shù)的連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)的計(jì)算，舉例如下:

3.從13到49的連續(xù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)4是9空—1一3工+1=19

2

從13到49的連續(xù)偶數(shù)的個(gè)數(shù)是4空8—一1上4+1=18

2

4.從13到49能被3整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是生二至+1=12

3

從13到49的正整數(shù)中除以3余1的個(gè)數(shù)是49空—1上3+1=13