7.2.2　單位圓與三角函數(shù)線

7.2.2單位圓與三角函數(shù)線一、單位圓1.什么是圓?圓的兩大要素是什么?提示:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合稱為圓;圓心和半徑是圓的兩大要素.2.填空:一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)滿足x2+y2=1的點(diǎn)組成的集合稱為單位圓.3.做一做:角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是否可以表示為(cosα,sinα)?二、三角函數(shù)線1.什么叫點(diǎn)P在直線l上的射影?提示:過點(diǎn)P作直線的垂線,則垂足Q稱為點(diǎn)P在直線l上的射影.2.填空:正弦線、余弦線與正切線探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)作出三角函數(shù)線例1在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟三角函數(shù)線的畫法(1)作正弦線、余弦線時(shí),首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn),然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線,得到垂足,從而得出正弦線和余弦線.(2)作正切線時(shí),應(yīng)從A(1,0)點(diǎn)引x軸的垂線,交角α的終邊(α為第一或第四象限角)或角α終邊的反向延長線(α為第二或第三角限角)于探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)用三角函數(shù)線解不等式例2在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用三角函數(shù)線解不等式的方法(1)首先作出單位圓,然后根據(jù)各問題的約束條件,利用三角函數(shù)線畫出角α滿足條件的終邊的位置.(2)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是該角的余弦值,與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是該角的正弦值.(3)寫角的范圍時(shí),先抓住邊界值,然后再注意角的范圍的寫法要求.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)利用三角函數(shù)線比較大小

①sinθ+cosθ<0;②sinθ-cosθ>0;③|sinθ|<|cosθ|;④sinθ+cosθ>0.解析:畫出單位圓如圖所示,借助三角函數(shù)線進(jìn)行判斷.sin

θ>0,cos

θ<0,且|sin

θ|<|cos

θ|.所以①②③正確,④錯(cuò)誤.答案:④探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.(2)注意點(diǎn):比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2cos1,sin1,tan1的大小關(guān)系是

(

)A.sin1<cos1<tan1B.sin1<tan1<cos1C.cos1<tan1<sin1D.cos1<sin1<tan1解析:作出單位圓,用三角函數(shù)線進(jìn)行求解.如圖所示,有OM<MP<AT,即cos

1<sin

1<tan

1.故選D.答案:D探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)數(shù)形結(jié)合思想在三角不等式證明中的應(yīng)用三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的重要工具.作三角函數(shù)線的前提是作單位圓.根據(jù)三角函數(shù)線可以判斷sinα,cosα,tanα的符號(hào)及大小,因此利用三角函數(shù)線可以證明三角不等式.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)典例利用三角函數(shù)線證明|sinα|+|cosα|≥1.證明:當(dāng)角α的終邊在x(或y)軸上時(shí),正弦線(或余弦線)變成一個(gè)點(diǎn),而余弦線(或正弦線)的長等于r(r=1),所以|sin

α|+|cos

α|=1.當(dāng)角α的終邊落在四個(gè)象限時(shí),如圖,利用三角形兩邊之和大于第三邊,有|sin

α|+|cos

α|=|MP|+|OM|>1.綜上,有|sin

α|+|cos

α|≥1.方法點(diǎn)睛要證明一個(gè)問題是正確的,我們必須把它所包含的所有情況逐一說明.若漏掉一種情況,整個(gè)證明過程就是不嚴(yán)密的.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)1.已知角α的正弦線是單位的有向線段,則角α的終邊

(

)A.在x軸上B.在y軸上C.在直線y=x上D.在直線y=x或y=-x上答案:B探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)A.a>b>c B.c>a>bC.c>b>a D.b>c>a答案:B3.已知角α