5.1.2-數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（第1課時）教學設計

5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（1）本節(jié)內容是必修2第五章《統(tǒng)計與概率》的第2節(jié)。通過前面的學習，學生已經(jīng)學習掌握了有關統(tǒng)計的基礎知識：從普查到抽樣、簡單隨機抽樣、分層抽樣。數(shù)據(jù)的數(shù)字特征是將得到的多個數(shù)據(jù)“加工”成一個數(shù)值，使這個數(shù)值能夠反映這組數(shù)據(jù)的某些重要的整體特征。從實際入手，通過抽象思維，建立數(shù)學模型，進而認知數(shù)學理論，應用于實際的過程。會對今后數(shù)學及相關學科的學習產(chǎn)生深遠的影響。

考點教學目標核心素養(yǎng)最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)會求樣本數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)，并理解它們的意義和作用數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析方差、標準差會求樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差，并理解它們的意義和作用數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析【教學重點】熟練掌握樣本的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差等概念，并理解它們的意義和作用【教學難點】樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、方差、標準差的意義與作用引入：在日常生活中，當面對一組數(shù)據(jù)時，相比每一個觀測值，有時我們更關心的是能反映這組數(shù)據(jù)特征的一些值。例如，上述情境中的兩個班的成績，我們可以從最值、平均數(shù)、中位數(shù)、方差等角度進行比較.問題1：最值一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的情況，一般地，最大值用max表示，最小值用min表示.問題2：平均數(shù)如果給定的一組數(shù)是，則這組數(shù)的平均數(shù)為：這一公式在數(shù)學中常簡記為：注：（1）其中的符號表示求和，讀作“西格瑪“，右邊式子中的i表示求和的范圍，其最小值和最大值分別寫在的下面和上面.例如（2）求和符號具有以下性質：，，（3）平均數(shù)會受每一個數(shù)的影響，尤其是最大值、最小值。很多情況下，為了避免過于極端的值影響結果太大等，會去掉最低分與最高分后再計算平均數(shù).（4）一般地，利用平均數(shù)地計算公式可知，如果的平均數(shù)為，且為常數(shù)，則的平均數(shù)為，這是因為鞏固練習：1．某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，則由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是()A．3.5 B．－3C．3 D．－0.5答案：B[少輸入90，eq\f(90,30)＝3，平均數(shù)少3，求出的平均數(shù)減去實際平均數(shù)等于－3.]2．已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80.則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________.答案：50[eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50.]問題3：中位數(shù)、百分位數(shù)一般地，有時也可以借助中位數(shù)來表示一組數(shù)的中心位置：（1）如果一組數(shù)有奇數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為，則稱為這組數(shù)的中位數(shù)；（2）如果一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為，則稱為這組數(shù)的中位數(shù).解答：將甲、乙兩組數(shù)小于5.5的前10個數(shù)分別看出一組數(shù)，則它們的中位數(shù)分別是2.5，1，這兩個數(shù)能夠反映甲、乙兩組數(shù)小于5.5的數(shù)的分布特點，因為這兩個數(shù)是通過找小于或者等于中位數(shù)的所有數(shù)的中位數(shù)得到的，所以它們分別稱為甲、乙兩組數(shù)的25%分位數(shù).一般地，當數(shù)據(jù)個數(shù)較多時，可以借助多個百分位數(shù)來了解數(shù)據(jù)的分布特點。一組數(shù)的分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個數(shù)值：至少有的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有的數(shù)據(jù)不小于該值.注：（1）直觀來說，一組數(shù)的分位數(shù)指的是，將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于位置的數(shù)，例如中位數(shù)就是一個分位數(shù).（2）按照定義可知，分位數(shù)可能不唯一（3）設一組數(shù)按照從小到大排列后為，計算的值，如果不是整數(shù)，設為大于的最小整數(shù)，取為分位數(shù)：如果是整數(shù)，取為分位數(shù)。特別的，規(guī)定：0分位數(shù)是（是最小值），分位數(shù)是（即最大值）.（4）實際應用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是分位數(shù)（簡稱為第一四分位數(shù)）與分位數(shù)（簡稱為第三四分位數(shù)）例1.計算上述嘗試與發(fā)現(xiàn)中甲、乙兩組數(shù)的75%分位數(shù).解：因為數(shù)據(jù)個數(shù)為20，而且：因此，甲組數(shù)的分位數(shù)為：乙組數(shù)的分位數(shù)為：鞏固練習：1．以下10個數(shù)據(jù)：49,64,50,48,65,52,56,46,54,51的中位數(shù)是________.答案：51．5[eq\f(1,2)(51＋52)＝51.5.]2．某同學在7天內每天參加體育鍛煉的時間(單位：分鐘)如下65,65,66,74,73,81,80，則它們的第三四分位數(shù)是________.答案：80[從小到大排序為65,65,66,73,74,80,81，第三四分位數(shù)即75%分位數(shù)，7×75%＝5.25，所以第三四分位數(shù)是第6項數(shù)據(jù)80.]問題4：眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).為了照顧到絕大多數(shù)人的需求，此時應該定做容量為29L的雙肩包，這里的29就是上述數(shù)據(jù)的眾數(shù).鞏固練習：1．一個樣本數(shù)據(jù)如下：5.3,5.2,5.1,5,3.3,4,4.5,3.2,4.5.則該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A．4.5和5 B．4.5和4C．4.5和4.5 D．4.5和4.75答案：C[將樣本數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列：3.2,3.3,4,4.5,4.5,5,5.1,5.2,5.3，∴眾數(shù)為4.5，中位數(shù)為4.5.]2．一組觀察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,2,4,2，則樣本平均值為()A．4.55 B．4.5C．12.5 D．1.64答案：A[eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4×3＋3×2＋5×4＋6×2,3＋2＋4＋2)≈4.55.]問題5：極差、方差、標準差極差：一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差，不難看出，極差反映了一組數(shù)的變化范圍，描述了這組數(shù)的離散程度.描述一組數(shù)的離散程度的量還有方差和標準差.方差：如果的平均數(shù)為，則方差可用求和符號表示為：注：如果a,b為常數(shù)，則：的方差為，這是因為標準差：方差的算術平方根稱為標準差；注：如果一組數(shù)中，各數(shù)據(jù)值都相等，則標準差為0，表明數(shù)據(jù)沒有波動，數(shù)據(jù)沒有離散；若各數(shù)據(jù)的值與平均數(shù)的差的絕對值較大，則標準差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動幅度也較大，數(shù)據(jù)的離散程度較高，因此標準差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度.例2.計算下列各組數(shù)的平均數(shù)與方差（1）18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5；（2）2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6解：(1)將每一個數(shù)乘以10，再減區(qū)190，可得-1，5，5，2，0，-2，5這組新數(shù)的平均數(shù)為：方差為：由此可知，所求的平均數(shù)為19.2，方差為（2）可將數(shù)據(jù)整理為：每一個數(shù)減去4，可得：這組數(shù)的平均數(shù)與方差分別為：因此所求平均數(shù)為4，方差為。鞏固練習：1.某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________.答案：eq\f(16,5)[該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(10＋6＋8＋5＋6,5)＝7，方差s2＝eq\f(10－72＋6－72＋8－72＋5－72＋6－72,5)＝eq\f(16,5).]2．某學員在一次射擊測試中射靶6次，命中環(huán)數(shù)為：9,5,8,5,6,9,命中環(huán)數(shù)的方差為________.答案：3[平均數(shù)為eq\f(1,6)(9＋5＋8＋5＋6＋9)＝7，s2＝eq\f(