5.1.4-用樣本估計(jì)總體教學(xué)設(shè)計(jì)

5.1.4用樣本估計(jì)總體本課時(shí)是統(tǒng)計(jì)的最后一節(jié)內(nèi)容，本小節(jié)以前可以歸結(jié)為描述統(tǒng)計(jì)學(xué)的范疇，主要討論的是數(shù)據(jù)應(yīng)該怎么收集、整理、分析。本課時(shí)的內(nèi)容可以歸結(jié)為推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)的范疇，主要討論的是如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來得到總體的信息，從而為相關(guān)的決策提供指導(dǎo)。本小節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生理解樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征、用樣本的分布估計(jì)總體的分布的合理性，體會統(tǒng)計(jì)思想與確定性思維的差異，通過對用樣本估計(jì)總體的學(xué)習(xí)，強(qiáng)化數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).考點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征掌握利用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模通過頻率分布或頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)作出總體估計(jì)掌握通過樣本的頻率分布或頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)作出總體估計(jì)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征、通過頻率分布或頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)作出總體估計(jì)【教學(xué)難點(diǎn)】通過頻率分布或頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)作出總體估計(jì)問題1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征一般情況下，如果樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征。特別地，樣本平均數(shù)（也稱為樣本均值）、方差（也成為樣本方差）與總體對應(yīng)地值相差不會太大.例如，上述數(shù)據(jù)中，如果用簡單隨機(jī)抽樣抽得地序號分別為90，35，63，68，66，9，30，56，50，49，則對應(yīng)地樣本為：169，169，163，175，163，170，164，151，155，165，容易算出，樣本均值為164.4，樣本方差為45.84，它們與總體對應(yīng)地值差別不大.需要強(qiáng)調(diào)的是，估計(jì)一般是有誤差的，例如，如果總體平均數(shù)記為，樣本均值記為，一般來說，都有可能。但是，當(dāng)樣本容量越來越大時(shí)，估計(jì)的誤差很小的可能性越來越大。一般來說，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出樣本對應(yīng)的數(shù)字特征即可.問題2：分層抽樣下用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征假設(shè)第一層有個(gè)數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為；第二層有個(gè)數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為，則如果記樣本均值為，樣本方差為，則可以計(jì)算出依照上述公式可以算出，前述嘗試與發(fā)現(xiàn)（2）中總體的平均數(shù)可以估計(jì)為167.86，總體的方差可以估計(jì)為25.98.問題3.用樣本的分布估計(jì)總體的分布如果從上述嘗試與發(fā)現(xiàn)中提到的數(shù)據(jù)中，抽取兩個(gè)容量為100的樣本，則可以得到如下頻數(shù)、頻率對應(yīng)表：同數(shù)字特征的估計(jì)一樣，分布的估計(jì)一般也有誤差。如果總體在每一個(gè)分組的頻率記為：，樣本每一組對應(yīng)的頻率為，一般來說，不等于0，同樣，當(dāng)樣本的容量越來越大時(shí)，上式很小的可能性將越來越大.例1.為了快速了解某學(xué)校學(xué)生體重（單位：Kg）的大致情況，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，估計(jì)這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重的平均數(shù)和方差.解：將樣本中的每一個(gè)數(shù)都減去50，可得-5，-1，-3，-1，-4，-4，1，8，9，10這組數(shù)的平均數(shù)為：方差為：因此可估計(jì)這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重的平均數(shù)為51，方差為30.4【變式練習(xí)】1．某醫(yī)院急診中心關(guān)于病人等待急診的時(shí)間記錄如下：等待時(shí)間/min510152021頻數(shù)18521則病人候診時(shí)間的平均數(shù)為________.【答案】13eq\x\to(y)甲＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(1,17)(1×5＋8×10＋5×15＋2×20＋1×21)＝13.2.對劃艇運(yùn)動員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測試，測得他們每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰的成績比較穩(wěn)定．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq\f(1,6)×94≈15.7，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝eq\f(1,6)×76≈12.7.所以eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，這說明甲、乙兩運(yùn)動員的最大速度的平均值相同，但乙的成績比甲的穩(wěn)定，故乙的成績比較穩(wěn)定．【解題方法】在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差)．方差大說明取值離散程度大，方差小說明取值離散程度小或者取值集中、穩(wěn)定．,例2.某高校欲了解在校學(xué)生用于課外進(jìn)修(如各種考證輔導(dǎo)班、外語輔導(dǎo)班等)的開支，在全校8000名學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣抽出了一個(gè)200人的樣本，根據(jù)學(xué)生科的統(tǒng)計(jì)，本科生人數(shù)為全校學(xué)生的70%，調(diào)查最近一個(gè)學(xué)期課外進(jìn)修支出(元)的結(jié)果如下：層樣本量樣本均值樣本方差本科140253.4231研究60329.4367試估計(jì)全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開支和開支的方差．解.把本科生樣本記為x1，x2，…，x140，其平均數(shù)記為eq\x\to(x)，方差記為seq\o\al(2,x)；把研究生記為y1，y2，…，y60，其平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差記為seq\o\al(2,y)；把總體數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\x\to(z)，方差記為s2.則eq\x\to(x)＝eq\f(1,140)eq\i\su(i＝1,140,x)i，seq\o\al(2,x)＝eq\f(1,140)eq\i\su(i＝1,140,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2；eq\x\to(y)＝eq\f(1,60)eq\i\su(j＝1,60,y)j，seq\o\al(2,y)＝eq\f(1,60)eq\i\su(j＝1,60,y)eq\o\al(2,j)－eq\x\to(y)2.所以eq\i\su(i＝1,140,x)eq\o\al(2,i)＝140eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\x\to(x)2))，eq\i\su(j＝1,60,y)eq\o\al(2,j)＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))2)).總樣本平均數(shù)為：eq\x\to(z)＝eq\f(140,200)×253.4＋eq\f(60,200)×329.4＝276.2(元)總樣本方差為：s2＝eq\f(1,200)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,140,x)\o\al(2,i)＋\i\su(j＝1,60,y)\o\al(2,j)))－eq\o(z,\s\up6(－))2＝eq\f(1,200)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(140\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\o(x,\s\up6(－))2))＋60\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))2))))－eq\o(z,\s\up6(－))2.＝eq\f(1,200)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(140231＋253.42＋60367＋329.42))－276.22＝1484.76.由于分層隨機(jī)抽樣是按比例分配的，所以可以估計(jì)全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開支為276.2元，開支的方差為1484.76.【變式練習(xí)】在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差．解把專業(yè)人士打分樣本記為x1，x2，…，x8，其平均數(shù)記為eq\x\to(x)，方差記為seq\o\al(2,x)；把觀眾代表打分樣本記為y1，y2，…，y12，其平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差記為seq\o\al(2,y)；把總體數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\x\to(z)，方差記為s2則總樣本平均數(shù)為：eq\x\to(z)＝eq\f(8,20)×47.4＋eq\f(12,20)×56.2＝52.68(分)，總樣本方差為：s2＝eq\f(1,20)[eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(z))2＋eq\i\su(j＝1,12,)(yj－eq\x\to(z))2]＝eq\f(1,20)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－\x\to(z)))2))＋12[s\o\al(2,y)＋\x\to(y)－\x\to(z)2]))＝eq\f(1,20)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8[3.72＋47.4－52.682]＋12[11.82＋56.2－52.682]))＝107.6，總樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈10.37.所以計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，標(biāo)準(zhǔn)差約為10.37.【解題方法】1．計(jì)算樣本平均數(shù)、樣本方差直接利用公式，注意公式的變形，樣本方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2.2．在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，我們可以用樣本平均數(shù)和樣本方差估計(jì)總體平均數(shù)和總體方差.例3.我們是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100個(gè)家庭的月均用水量（單位，t）,將數(shù)據(jù)按照分層5組，支撐了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的a的值；（2）設(shè)該市有10萬個(gè)家庭，估計(jì)全市月均用水量不低于3t的家庭數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)全市家庭月均用水量的平均數(shù).解：（1）因?yàn)轭l率分布直方圖所有矩形的面積之和為1，所以 解得：（2）抽取的樣本中，月均用水量不低于3t的家庭所占比例為因此估計(jì)全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例也為30%，所求家庭數(shù)位100000.（3）因?yàn)橐虼斯烙?jì)全市家庭月均用水量的平均數(shù)位2.46.【變式練習(xí)】某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(3)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分．(4)試估計(jì)80分以上的學(xué)生人數(shù)．解(1)由圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為0.4，第四個(gè)矩形面積為0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.(3)由圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.(4)[80,90)分的頻率為：0.025×10＝0.25，頻數(shù)為：0.25×80＝20.[90,100]分的頻率為：0.005×10＝0.05，頻數(shù)為：0.05×80＝4.所以估計(jì)80分以上的學(xué)生人數(shù)為20＋4＝24.【解題方法】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布表、頻率分布直方圖的關(guān)系(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：在頻率分布表中，中位數(shù)是累計(jì)頻率(樣本數(shù)據(jù)小于某一數(shù)值的頻率叫作該數(shù)值點(diǎn)的累計(jì)頻率)為0.5時(shí)所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的值，而在樣本中有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)．因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和．又平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、