安徽省六安市霍邱縣2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（滬科版）

2023-2024學年度第一學期九年級階段性評價數(shù)學（滬科版）注意事項：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．4．考試結(jié)束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知線段，，如果線段是線段和的比例中項，那么線段的長度是（）A B.8 C.9 D.102.若拋物線經(jīng)過，兩點，則拋物線的對稱軸為（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線3.對于拋物線的說法正確的是（）A.開口向上 B.頂點坐標是C.對稱軸是直線 D.當時，隨的增大而增大4.已知兩個相似三角形的相似比為，則它們的周長的比為（）A. B. C. D.5.已知某拋物線與二次函數(shù)的圖像的開口大小相同，開口方向相反，且頂點坐標為，則該拋物線對應的函數(shù)表達式為（）A B.C D.6.如圖，已知D.E分別在△ABC的AB.AC邊上，△ABC與△AED相似，則下列各式成立的是（）A.； B.；C.； D.．7.如圖所示，是一個長、寬矩形花園，根據(jù)需要將它的長縮短、寬增加，要想使修改后的花園面積達到最大，則x應為（）A.1 B. C.2 D.48.如圖，在平行四邊形中，，若，則（）A.27 B.18 C.9 D.39.如圖，在中，，，，將沿折疊，使點C落在邊上處，并且，則的長是（）A. B. C. D.10.如圖，是的對角線，，，點E是的中點，點F、P分別是線段、上的動點，若，且是等腰三角形，則的長為（）A.或 B.或 C.或 D.或二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.如果線段，，那么的值為______．12.如圖，在中，P為邊上一點，且，若，，則的長為______．13.若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于點，則的值是______．14.已知：如圖，在平面直角坐標系中，點在拋物線上運動，過點作軸于點，以為對角線作正方形．則拋物線的頂點坐標是______，正方形周長的最小值是______．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.已知，求和值．16.如圖，已知二次函數(shù)們圖像分別經(jīng)過點，，求該函數(shù)的解析式．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在中，點是上一點，且，，，．求的長．18.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）以原點為位似中心，在第一象限內(nèi)將縮小得到，相似比為，請畫出；（2）直接寫出點的坐標（______，______）；（3）求出的面積．五、（本大題共2小題，每小題10分，總計20分）19.如圖，一次函數(shù)是反比例函數(shù)圖象上的兩點，點的坐標為，點的坐標為，線段的延長線交軸于點．（1）求的值和該反比例函數(shù)的函數(shù)關系式．（2）求的面積．20.已知：如圖，在中，、的平分線相交于點O，過點O的直線，分別交、于點D、E．（1）求證：；（2）若，，，求的值．六、（本題滿分12分）21.已知：如圖，點、分別在的邊、上，，點在上，且．求證：（1）；（2）．七、（本題滿分12分）22.某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出．已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），售價每只為P（元），且R、P與x的關系式分別為R＝500＋30x，P＝170－2x．（1）當日產(chǎn)量為多少時，每日獲得的利潤為1750元？（2）當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？八、（本題滿分14分）23.如圖，四邊形中，平分，，為的中點，與交于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長．

2023-2024學年度第一學期九年級階段性評價數(shù)學（滬科版）注意事項：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．4．考試結(jié)束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知線段，，如果線段是線段和的比例中項，那么線段的長度是（）A. B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段的比例中項的定義得到，再代值求解即可．【詳解】解：∵線段b是線段a和c的比例中項，∴，∵，，∴，故選：C．【點睛】本題考查線段的比例中項，能根據(jù)定義正確列出a、b、c的關系式是解答的關鍵．2.若拋物線經(jīng)過，兩點，則拋物線的對稱軸為（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，兩點的特點，可知點關于對稱軸對稱，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性即可求解．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴當時的函數(shù)值與的函數(shù)值相同，∴點關于對稱軸對稱，∴二次函數(shù)的對稱軸為，故選：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的對稱性即對稱軸的計算，掌握以上知識是解題的關鍵．3.對于拋物線的說法正確的是（）A.開口向上 B.頂點坐標C.對稱軸是直線 D.當時，隨的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐項分析判斷即可．【詳解】解：對于拋物線，∵，∴該拋物線開口向下，故選項A說法錯誤，不符合題意；其頂點坐標為，故選項B說法錯誤，不符合題意；其對稱軸是直線，故選項C說法錯誤，不符合題意；當時，隨的增大而增大，選項D說法正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握相關知識是解題關鍵．4.已知兩個相似三角形的相似比為，則它們的周長的比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)中周長比等于相似比即可求解．【詳解】解：∵兩個相似三角形的相似比為，∴它們的周長的比為，故選：．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，理解并掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．5.已知某拋物線與二次函數(shù)的圖像的開口大小相同，開口方向相反，且頂點坐標為，則該拋物線對應的函數(shù)表達式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的頂點坐標為的知識即可求解．【詳解】解：∵某拋物線與二次函數(shù)的圖像的開口大小相同，開口方向相反，∴某拋物線的二次項系數(shù)為，∵頂點坐標為，∴該拋物線的解析為：，故選：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握其圖形大小，開口，頂點的計算方法是解題的關鍵．6.如圖，已知D.E分別在△ABC的AB.AC邊上，△ABC與△AED相似，則下列各式成立的是（）A.； B.；C.； D.．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列式解答即可.【詳解】∵△ABC與△AED相似，∴,∴.故選D.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，如果兩個三角形相似，那么它們的對應角相等，對應邊成比例.7.如圖所示，是一個長、寬的矩形花園，根據(jù)需要將它的長縮短、寬增加，要想使修改后的花園面積達到最大，則x應為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)長方形的面積公式列出函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：由題意得修改后的花園面積，∵，∴當時，修改后的花園面積達到最大，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出修改后的花園面積與x之間的關系式．8.如圖，在平行四邊形中，，若，則（）A.27 B.18 C.9 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解．【詳解】∵∴∴∵∴∴∴故故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)．利用“相似三角形的面積比等于相似比的平方”是解題關鍵．9.如圖，在中，，，，將沿折疊，使點C落在邊上處，并且，則的長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理就可以求出AC的值，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)就可以得出，由得出就可以得出就可以求出結(jié)論．【詳解】解：∵，由勾股定理，得．∵與關于成軸對稱，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時運用軸對稱的性質(zhì)求解是關鍵．10.如圖，是的對角線，，，點E是的中點，點F、P分別是線段、上的動點，若，且是等腰三角形，則的長為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分三種情況進行討論，當時，當時，當時，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵點E是的中點，∴，∵是的對角線，，，∴是直角三角形，，∴，∴，，當時，如圖①，過點P作于點G，則．∵，∴，∴，，，又∵，∴，∴；當時，如圖②，則，∴；當時，點P與點B重合，不存在．綜上所述，的長為或．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，等腰三角形的定義，解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出圖形，并進行分類討論．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.如果線段，，那么的值為______．【答案】8【解析】【分析】單位統(tǒng)一后根據(jù)比的定義進行求解即可．【詳解】解：∵線段，，∴，答案為：8【點睛】此題考查了比，熟練掌握比的前項和后項是解題的關鍵．12.如圖，在中，P為邊上一點，且，若，，則的長為______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定可得：，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式求出，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：5．【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握有兩組對應角相等的兩個三角形相似和相似三角形的對應邊成比例是解決此題的關鍵．13.若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，則的值是______．【答案】【解析】【分析】將點代入正比例函數(shù)表示出的值，再代入反比例函數(shù)表示出的值，根據(jù)兩個的值相等列式，最后計算分式方程的值即可求解．【詳解】解：∵點在反比例函數(shù)圖象上，∴，∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，∴，則，，則，∴，整理得，，∴，檢驗：當時，的分母不為零，有意義，故答案為：．【點睛】本題主要考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，解分式方程的方法，掌握以上知識及計算方法是解題的關鍵．14.已知：如圖，在平面直角坐標系中，點在拋物線上運動，過點作軸于點，以為對角線作正方形．則拋物線的頂點坐標是______，正方形周長的最小值是______．【答案】①②.【解析】【分析】將二次函數(shù)化為頂點式，可求出頂點坐標，當點運動到拋物線的頂點處時，的最小，正方形的周長最下，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線，∴頂點坐標為；∵四邊形是正方形，∴，∵點在拋物線上運動，∴當點運動到拋物線的頂點處時，的最小，∴當時，，則有最小值，∴的最小值是，正方形周長的最小值為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與線段最小值的綜合，掌握二次函數(shù)頂點坐標的計算方法，線段最小值的計算是解題的關鍵．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15已知，求和值．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)和計算方法即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，．【點睛】本題主要考查比的性質(zhì)和計算，掌握其運算方法是解題的關鍵．16.如圖，已知二次函數(shù)們圖像分別經(jīng)過點，，求該函數(shù)的解析式．【答案】二次函數(shù)的解析式為【解析】【分析】將點點，代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)過點，，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握相關知識是解題關鍵．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在中，點是上一點，且，，，．求的長．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“對應邊成比例，對應邊的夾角相等”可判定兩個三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】證明：∵，，，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關鍵．18.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）以原點為位似中心，在第一象限內(nèi)將縮小得到，相似比為，請畫出；（2）直接寫出點的坐標（______，______）；（3）求出的面積．【答案】（1）見解析（2）（3）的面積為【解析】【分析】（1）根據(jù)的三個頂點，位似比的值，可算出點的坐標，連接即可求解；（2）根據(jù)相似比即可求解；（3）根據(jù)圖形，運用三角形面積的計算方法即可求解．【小問1詳解】解：∵，，，以原點為位似中心，相似比為，∴，∴，即，∴，則同理，，連接，如圖所示，∴即為所求圖形．【小問2詳解】解：根據(jù)題意，，位似比為，∴，故答案為：．【小問3詳解】解：∵，，∴，∴的面積為．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系中位似的運用，掌握位似比的運算，作圖，面積計算方法是解題的關鍵．五、（本大題共2小題，每小題10分，總計20分）19.如圖，一次函數(shù)是反比例函數(shù)圖象上的兩點，點的坐標為，點的坐標為，線段的延長線交軸于點．（1）求的值和該反比例函數(shù)的函數(shù)關系式．（2）求的面積．【答案】（1），該反比例函數(shù)的函數(shù)關系式為（2）的面積為【解析】【分析】（1）把代入，可求出反比例函數(shù)解析，再把代入反比例函數(shù)解析式即可求解；（2）運用代數(shù)系數(shù)法求出所在直線的解析式，并求出的坐標，可確定的長，由此即可求解．【小問1詳解】解：把代入得，，解得，∴反比例函數(shù)的函數(shù)關系式為，把代入得，，解得，∴．【小問2詳解】解：設直線的函數(shù)關系式為，把，分別代入，∴，解得，，∴直線的函數(shù)關系式為，當時，，即點的坐標為，∴，∴的面積為12．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，幾何圖形的面積計算方法是解題的關鍵．20.已知：如圖，在中，、平分線相交于點O，過點O的直線，分別交、于點D、E．（1）求證：；（2）若，，，求的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義得到，，由平行線的性質(zhì)得到，，則，，利用等量代換即可得到結(jié)論；（2）求出，，由得到，代入數(shù)值即可得到答案．【小問1詳解】證明：∵在中，和分別平分和，∴，，又∵，∴，，∴，，∵，∴；【小問2詳解】∵，，，∴，∵，∴，∴，即，∴．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．六、（本題滿分12分）21.已知：如圖，點、分別在的邊、上，，點在上，且．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）首先證明，易得，再結(jié)合，可得，進而可得，即可證明；（2）結(jié)合，可得，由平行線分線段成比例定理可得，然后結(jié)合，可得，進而可得，即可證明結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題關鍵是熟練掌握相關知識并靈活運用．七、（本題滿分12分）22.某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出．已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），售價每只為P（元）