一次函數(shù)綜合例題解題技巧

一次函數(shù)綜合例題解題技巧一次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，無(wú)論是對(duì)于學(xué)生還是老師來(lái)說(shuō)，都是必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)。而在高一數(shù)學(xué)中，一次函數(shù)的地位更是不容忽視。因?yàn)樗歉唠A數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)，是其他數(shù)學(xué)知識(shí)的前置內(nèi)容。尤其是在學(xué)習(xí)函數(shù)的分析、三角函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容時(shí)，一次函數(shù)更是要用到。本篇文章將結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與實(shí)際案例，為大家總結(jié)一些解一次函數(shù)的技巧與方法。例題一若函數(shù)$y=kx+b$在點(diǎn)$(3,7)$和$(4,10)$處取值分別為7和10，則$k=$______，$b=$______。這是一道典型的解一次函數(shù)的應(yīng)用題。我們可以先利用題目提供的兩個(gè)點(diǎn)列出方程組，然后解出$k$,$b$的值。$\begin{cases}3k+b=7\\4k+b=10\end{cases}$然而這種方法在面臨以下兩種情況時(shí)并不可?。?.給出的兩個(gè)點(diǎn)過(guò)于接近，插值誤差較大。2.給出的點(diǎn)較多，直接列方程組計(jì)算過(guò)于繁瑣。那么，如何解決這樣的問(wèn)題呢？這里我們介紹一種機(jī)智的方法--輔助線(xiàn)法。輔助線(xiàn)法是指給出一條直線(xiàn)，使得該直線(xiàn)與另一條直線(xiàn)交點(diǎn)處與給定的點(diǎn)構(gòu)成的三角形具有性質(zhì)相同，從而利用類(lèi)比的思想來(lái)解決問(wèn)題。我們可以如下設(shè)置輔助線(xiàn)：如圖，連接點(diǎn)$(3,7)$和$(4,10)$，過(guò)點(diǎn)$(4,7)$畫(huà)與直線(xiàn)$y=kx+b$平行的線(xiàn)段，交$y$軸于點(diǎn)$(0,b)$。此時(shí)，可以證明兩條線(xiàn)段等長(zhǎng)，因此便得到了兩個(gè)新的點(diǎn)$(0,b)$和$(4,7)$。根據(jù)上述，并代入已知條件，可列式解：$\dfrac{7-b}{4-3}=k$$b=7-3k$$\begin{cases}\dfrac{7-b}{4-3}=k\\b=7-3k\end{cases}$解得，$k=\dfrac{3}{4}$，$b=\dfrac{13}{4}$。相比于直接列出方程解的方式，輔助線(xiàn)法不僅更加直觀，而且計(jì)算量也更小。當(dāng)然，輔助線(xiàn)法并不是萬(wàn)能的，對(duì)于某些更加復(fù)雜的例題，還需要靈活運(yùn)用其他方法。例題二已知函數(shù)$f(x)-(\dfrac{2}{a}x+12)$，使得$f(8)=7$，$f(10)=11$，并且$f(x)$的圖象過(guò)點(diǎn)$(1,5)$。求$a$的值。這道題稍微復(fù)雜一些，分兩步解決。首先，我們根據(jù)$f(x)$圖像過(guò)點(diǎn)$(1,5)$的條件，列方程：$5-\dfrac{2}{a}=f(1)=\dfrac{2}{a}+12$$\dfrac{22}{a}=17$$a=\dfrac{22}{17}$然后，代入已知條件，可列下方程組：$\begin{cases}\dfrac{2}{17}x+12=f(8)=7+\dfrac{2}{17}\cdot8\\\dfrac{2}{17}x+12=f(10)=11+\dfrac{2}{17}\cdot10\end{cases}$解得$x=34$。最后，再代入$(x,y)=(34,7+\dfrac{2}{17}\cdot8)$計(jì)算結(jié)果：$a=\dfrac{22}{17}$。小結(jié)解一次函數(shù)需要掌握的技巧主要包括以下四個(gè)方面：1.輔助線(xiàn)法：當(dāng)給定的點(diǎn)過(guò)于接近或過(guò)多時(shí)，可以通過(guò)設(shè)置輔助線(xiàn)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。2.零點(diǎn)法：對(duì)于已知一次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)求得兩點(diǎn)間的斜率來(lái)求解函數(shù)的解析式。3.截距式：其中$b=f(0)$，即函數(shù)在$x=0$時(shí)的值。4.插值法：根據(jù)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)行線(xiàn)性插值計(jì)算。當(dāng)然，以上內(nèi)容只是解一次函數(shù)所需的部分技