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2022-2023學(xué)年吉林省靖宇縣高三3月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在空間直角坐標(biāo)系中,四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:.假設(shè)螞蟻窩在點(diǎn),一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā),需要在,上分別任意選擇一點(diǎn)留下信息,然后再返回點(diǎn).那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長(zhǎng)度是()A. B. C. D.2.若,則()A. B. C. D.3.已知拋物線C:,過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),且滿足,則直線l的斜率為()A.1 B.C.2 D.34.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說(shuō),河圖、洛書是中華文化,陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽(yáng)數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對(duì)值為5的概率為A. B. C. D.6.在正方體中,點(diǎn),,分別為棱,,的中點(diǎn),給出下列命題:①;②;③平面;④和成角為.正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.37.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時(shí),的值為()A. B. C. D.8.拋物線方程為,一直線與拋物線交于兩點(diǎn),其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線的方程為()A. B. C. D.9.已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.11.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.1912.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),己知A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為14.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為外接圓的面積為,則的面積為_(kāi)________.15.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況,采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中,抽取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為,那么高三被抽取的人數(shù)為_(kāi)______.16.點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自△PBC內(nèi)的概率是____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng),治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)和銷量(萬(wàn)盒)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)2361013151821銷量(萬(wàn)盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時(shí),可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè),當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后,才能進(jìn)行第二次檢測(cè).第一次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立,設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.18.(12分)已知關(guān)于的不等式有解.(1)求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,,均為正實(shí)數(shù),且滿足.證明:.19.(12分)11月,2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲乙兩人在同一位置,甲先投,每人投一次球,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分,設(shè)甲每次投球命中的概率為,乙每次投球命中的概率為,且各次投球互不影響.(1)經(jīng)過(guò)1輪投球,記甲的得分為,求的分布列;(2)若經(jīng)過(guò)輪投球,用表示經(jīng)過(guò)第輪投球,累計(jì)得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②規(guī)定,經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得,請(qǐng)根據(jù)①中的值分別寫出a,c關(guān)于b的表達(dá)式,并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.20.(12分)已知三點(diǎn)在拋物線上.(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),若直線過(guò)點(diǎn),求此時(shí)直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當(dāng),且時(shí),求面積的最小值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知平行于x軸的動(dòng)直線l交拋物線C:于點(diǎn)P,點(diǎn)F為C的焦點(diǎn).圓心不在y軸上的圓M與直線l,PF,x軸都相切,設(shè)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)若直線與曲線E相切于點(diǎn),過(guò)Q且垂直于的直線為,直線,分別與y軸相交于點(diǎn)A,當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最小時(shí),求s的值.22.(10分)為了解廣大學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)校園食品安全的認(rèn)識(shí),某市食品安全檢測(cè)部門對(duì)該市家長(zhǎng)進(jìn)行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查,每一位學(xué)生家長(zhǎng)僅有一次參加機(jī)會(huì),現(xiàn)對(duì)有效問(wèn)卷進(jìn)行整理,并隨機(jī)抽取出了200份答卷,統(tǒng)計(jì)這些答卷的得分(滿分:100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示,由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,其中近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表).(1)請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;(2)該市食品安全檢測(cè)部門為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生家長(zhǎng)制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi):②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為:獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)(單位:元)概率市食品安全檢測(cè)部門預(yù)計(jì)參加此次活動(dòng)的家長(zhǎng)約5000人,請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出多少話費(fèi)?附:①;②若;則,,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
將四面體沿著劈開(kāi),展開(kāi)后最短路徑就是的邊,在中,利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開(kāi),展開(kāi)后如下圖所示:最短路徑就是的邊.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形,需熟記定理的內(nèi)容,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.2.D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.3.B【解析】
設(shè)直線的方程為代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡(jiǎn)求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),(,).易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為,則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得,所以,.因?yàn)椋?,得,所以,即,,所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.4.D【解析】
由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.【詳解】,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.5.A【解析】
陽(yáng)數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù),最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有:個(gè),滿足差的絕對(duì)值為5的有:共個(gè),則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算,難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式:.6.C【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的方法對(duì)四個(gè)命題逐一分析,由此得出正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,,.①,,所以,故①正確.②,,不存在實(shí)數(shù)使,故不成立,故②錯(cuò)誤.③,,,故平面不成立,故③錯(cuò)誤.④,,設(shè)和成角為,則,由于,所以,故④正確.綜上所述,正確的命題有個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.7.B【解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問(wèn)題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8.A【解析】
設(shè),,利用點(diǎn)差法得到,所以直線的斜率為2,又過(guò)點(diǎn),再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解:設(shè),∴,又,兩式相減得:,∴,∴,∴直線的斜率為2,又∴過(guò)點(diǎn),∴直線的方程為:,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題,解題方法是“點(diǎn)差法”,即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系.9.B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.10.D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11.B【解析】
計(jì)算,故,解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,即,且.故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.12.C【解析】
當(dāng)時(shí),最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當(dāng)時(shí),,得;最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,當(dāng),即時(shí),,在,上遞增,最多一個(gè)零點(diǎn).不合題意;當(dāng),即時(shí),令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn);根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn),在,上有2個(gè)零點(diǎn),如圖:且,解得,,.故選.【點(diǎn)睛】遇到此類問(wèn)題,不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過(guò)程中有可能分類不全面、不徹底.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點(diǎn)共線,再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果【詳解】因?yàn)?且α+β=1,所以A,B,C三點(diǎn)共線,因此點(diǎn)C的軌跡為直線AB:【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理以及直線點(diǎn)斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.14.【解析】
由外接圓面積,求出外接圓半徑,然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角,從而有,于是可得三角形邊長(zhǎng),可得面積.【詳解】設(shè)外接圓半徑為,則,由正弦定理,得,∴,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角,然后可得邊長(zhǎng),從而得面積,掌握正弦定理是解題關(guān)鍵.15.【解析】由分層抽樣的知識(shí)可得,即,所以高三被抽取的人數(shù)為,應(yīng)填答案.16.【解析】
設(shè)是中點(diǎn),根據(jù)已知條件判斷出三點(diǎn)共線且是線段靠近的三等分點(diǎn),由此求得,結(jié)合幾何概型求得點(diǎn)取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點(diǎn),因?yàn)椋?,所以三點(diǎn)共線且點(diǎn)是線段靠近的三等分點(diǎn),故,所以此點(diǎn)取自內(nèi)的概率是.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查三點(diǎn)共線的向量表示,考查幾何概型概率計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)0.98;可用線性回歸模型擬合.(2)【解析】
(1)根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出,代入相關(guān)系數(shù)公式求出,根據(jù)的大小來(lái)確定結(jié)果;(2)求出藥品的每類劑型經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后合格的概率,發(fā)現(xiàn)它們相同,那么經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,服從二項(xiàng)分布,利用二項(xiàng)分布的期望公式求解即可.【詳解】解:(1)由題意可知,,由公式,,∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合;(2)藥品的每類劑型經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后合格的概率分別為,,,由題意,,.【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解,考查二項(xiàng)分布的期望,是中檔題.18.(1);(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)由題意,只需找到的最大值即可;(2),構(gòu)造并利用基本不等式可得,即.【詳解】(1),∴的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價(jià)于,(?。┊?dāng)時(shí),上述不等式轉(zhuǎn)化為,解得,(ⅱ)當(dāng)時(shí),上述不等式轉(zhuǎn)化為,解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為,則實(shí)數(shù)的最大值為3,即.(2)證明:根據(jù)(1)求解知,所以,又∵,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即,∴,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式中的能成立問(wèn)題以及綜合法證明不等式問(wèn)題,是一道中檔題.19.(1)分布列見(jiàn)解析;(2)①;②,.【解析】
(1)經(jīng)過(guò)1輪投球,甲的得分的取值為,記一輪投球,甲投中為事件,乙投中為事件,相互獨(dú)立,計(jì)算概率后可得分布列;(2)由(1)得,由兩輪的得分可計(jì)算出,計(jì)算時(shí)可先計(jì)算出經(jīng)過(guò)2輪后甲的得分的分布列(的取值為),然后結(jié)合的分布列和的分布可計(jì)算,由,代入,得兩個(gè)方程,解得,從而得到數(shù)列的遞推式,變形后得是等比數(shù)列,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得,然后用累加法可求得.【詳解】(1)記一輪投球,甲命中為事件,乙命中為事件,相互獨(dú)立,由題意,,甲的得分的取值為,,,,∴的分布列為:-101(2)由(1),,同理,經(jīng)過(guò)2輪投球,甲的得分取值:記,,,則,,,,由此得甲的得分的分布列為:-2-1012∴,∵,,∴,,∴,代入得:,∴,∴數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的概率分布列,考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題難點(diǎn)在于求概率分布列,特別是經(jīng)過(guò)2輪投球后甲的得分的概率分布列,這里可用列舉法寫出各種可能,然后由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出概率.20.(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】
(Ⅰ)設(shè)出直線的方程并代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理以及斜率公式,變形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐標(biāo),,再用基本不等式求得的最小值,從而可得三角形的面積的最小值.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨設(shè)的三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)在軸右側(cè)(包括軸),設(shè),,,的斜率為,又,則,①因?yàn)?,所以②由①②得,,(且)從而?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào),從而,所以面積的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的綜合,屬于中檔題.21.(1),(2).【解析】
根據(jù)題意設(shè),可得PF的方程,根據(jù)距離即可求出;點(diǎn)Q處的切線的斜率存在,由對(duì)稱性不妨設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式,求,并構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.【詳
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