2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高級中學(xué)第二學(xué)期高三摸底考試數(shù)學(xué)試題試卷

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市高級中學(xué)第二學(xué)期高三摸底考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．2．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)、為兩個同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)的最小正周期為，且滿足，則要得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度4．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．5．中，點(diǎn)在邊上，平分，若，，，，則（）A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則輸入的值為()A． B．C．3或 D．或7．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．8．地球上的風(fēng)能取之不盡，用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電，近10年來，全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了，達(dá)到，中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是（）A．截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B．10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升C．10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過D．截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過9．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．10．函數(shù)在上為增函數(shù)，則的值可以是()A．0 B． C． D．11．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．12．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為________.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，若線段的垂直平分線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為_________.15．定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個點(diǎn)，，，在半徑為的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和構(gòu)成平面區(qū)域，則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.16．連續(xù)擲兩次骰子，分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為；（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2）若直線與曲線交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，求的值．18．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：19．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且.20．（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.21．（12分）已知函數(shù)，記不等式的解集為.（1）求；（2）設(shè)，證明：.22．（10分）在中，、、的對應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.2．A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個正放的正四面體，一個倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.3．C【解析】

依題意可得，且是的一條對稱軸，即可求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計(jì)算可得；【詳解】解：由已知得，是的一條對稱軸，且使取得最值，則，，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．5．B【解析】

由平分，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得，再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得，又，，，，..故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

根據(jù)逆運(yùn)算，倒推回求x的值，根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以當(dāng)，解得

，所以3是輸入的x的值；當(dāng)時，解得，所以是輸入的x的值，所以輸入的x的值為

或3，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．D【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；經(jīng)計(jì)算，10年來中國新增裝機(jī)容量平均每年為，選項(xiàng)C錯誤；截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量，全球累計(jì)裝機(jī)容量，占比為，選項(xiàng)D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

依次將選項(xiàng)中的代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，在上不單調(diào)，故A不正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故B不正確；當(dāng)時，在上不單調(diào)，故C不正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.11．D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12．B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得?！?選B。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.14．1【解析】

設(shè)，寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得，由拋物線定義得焦點(diǎn)弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，據(jù)得.設(shè)，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長是解題關(guān)鍵．15．【解析】

先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為，再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理，得，所以，，取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時，一定要數(shù)形結(jié)合，本題屬于中檔題.16．【解析】

連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果，列出滿足條件的結(jié)果有11種，利用古典概型即得解【詳解】由題意知，連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果，而滿足條件的結(jié)果為：共有11種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式，可得所求概率．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）,曲線（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）消去參數(shù)可得直線的直角坐標(biāo)系方程，由可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將（為參數(shù)）代入曲線的方程得：，，利用韋達(dá)定理求解即可.試題解析：（1），曲線，（2）將（為參數(shù)）代入曲線的方程得：.所以.所以.18．（1）（2）見解析【解析】

（1）利用絕對值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】（1）由絕對值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，所以.法2：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)，可得（1），（1），結(jié)合已知切線方程即可求得，的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)可得，，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（1），（1），故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，又曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，，；（2）證明：由（1）知，，則，令，則，易知在單調(diào)遞減，又，（1），故存在，使得，且當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，由于，（1），（2），故存在，使得，且當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，，單調(diào)遞減，故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且，即，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，由于，故（2），即，．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查推理論證能力，屬于中檔題．20．（1）；（2）.【解析】

（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長，進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.（2）利用誘導(dǎo)公式求得，進(jìn)而求得，利用兩角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的長.【詳解】（1）在中，，解得，.（2）在中，，..【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.21．（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此解不等