新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第2課時(shí)正弦定理課件新人教A版必修第二冊(cè)

第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理、正弦定理第2課時(shí)正弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系，掌握正弦定理及其應(yīng)用邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|正弦定理1．定理內(nèi)容：設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則__________________________________________．2．正弦定理的常見變形(1)sinA∶sinB∶sinC＝____________；(3)a＝_________，b＝__________，c＝___________；(4)sinA＝_______，sinB＝_______，sinC＝_______．a(chǎn)∶b∶c

2R

2RsinA

2RsinB

2RsinC

【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)正弦定理只適用于銳角三角形． (

)(2)在△ABC中，等式bsinA＝asinB總能成立． (

)(3)在△ABC中，若A＞B，則必有sinA＞sinB． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷已知三角形的兩角和任意一邊，求另兩邊和另一角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定．現(xiàn)以已知a，b和A解三角形為例說明．銳角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)

①a＝bsinA；②a≥b________A一解A銳角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)

bsinA＜a＜b__________________無解兩解a＜bsinA

【預(yù)習(xí)自測(cè)】在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判斷三角形的解有多少個(gè)？|課堂互動(dòng)|題型1正弦定理解三角形方向1已知兩角及一邊解三角形

在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個(gè)三角形．解：因?yàn)锳＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°．利用正弦定理解三角形的策略(1)已知任意兩角和一邊，解三角形的步驟：①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；②根據(jù)正弦定理，求另外的兩邊．已知內(nèi)角不是特殊角時(shí)，往往先求出其正弦值，再根據(jù)以上步驟求解．(2)已知三角形兩邊及一邊的對(duì)角，解三角形的步驟：①根據(jù)正弦定理求另外一邊所對(duì)角的正弦值，判斷解的情況；②先根據(jù)正弦值求角，再根據(jù)內(nèi)角和定理求第三個(gè)角；③根據(jù)正弦定理求第三條邊的長(zhǎng)度．題型2三角形解的個(gè)數(shù)的判斷已知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對(duì)角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法在△ABC中，以a，b，A為例．(1)若a＝bsinA或a≥b，則三角形有一解．(2)若bsinA＜a＜b，則三角形有兩解．(3)若a＜bsinA，則三角形無解．【答案】C題型3利用正弦定理判斷三角形形狀在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2．∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0．又∵－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0．∴B＝C．∴△ABC是等腰直角三角形．判斷三角形形狀的策略(1)判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行，既可以轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系．3．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，則△ABC是

(

)A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】由正弦定理，得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝3∶4∶5，所以可設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，由于(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．題型4正、余弦定理的綜合應(yīng)用方向1利用正、余弦定理解三角形(1)求角B的大??；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c．方向2利用正、余弦定理證明三角形中的恒等式

在△ABC中，求證：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC．證明：(方法一，化為角的關(guān)系式)a2sin2B＋b2sin2A＝(2R·sinA)2·2sinB·cosB＋(2R·sinB)2·2sinA·cosA＝8R2sinA·sinB(sinA·cosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC．∴原式得證．用正、余弦定理求解知識(shí)交匯問題的策略(1)正、余弦定理是解決三角形問題的兩個(gè)重要工具，這類題目往往結(jié)合基本的三角恒等變換．(2)注意三角形中的一些重要性質(zhì)，如內(nèi)角和為180°、大邊對(duì)大角等．

易錯(cuò)警示不熟悉三角函數(shù)相關(guān)結(jié)論致誤∵sinA＞0，sinB＞0，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B．∴2A＝2B，即A＝B．故△ABC是等腰三角形．易錯(cuò)防范：由sin2A＝sin2B，得2A＝2B．這是三角變換中常見的錯(cuò)誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，三角變換生疏．正解：易得sin2A＝sin2B．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴2A＝2B或2A＝π－2B．故△ABC為等腰三角形或直角三角形．|素養(yǎng)達(dá)成|2．應(yīng)用正弦定理解三角形時(shí)應(yīng)注意挖掘的三個(gè)隱含條件．(1)在△ABC中，a＋b＞c，|a－b|＜c；A＞B?sinA＞sinB，A＞B?cosA＜cosB；a＞b?A＞B；sinA＋sinB＞sinC．1．(題型3)在△ABC中，sinA＝sinC，則△ABC是 (

)A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【答案】C3．(題型2)在△ABC中，A＝30°，a＝3