新教材同步系列2024春高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算課件新人教A版必修第二冊

第六章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算學習目標素養(yǎng)要求1．掌握向量的數(shù)乘運算，理解向量數(shù)乘的幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律數(shù)學抽象、數(shù)學運算2．理解兩向量共線的含義，會判斷或證明兩個向量共線邏輯推理3．了解向量線性運算性質(zhì)及其幾何意義數(shù)學抽象|自學導引|向量的數(shù)乘運算1．定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個________，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向________；當λ＜0時，λa的方向與a的方向________．特別地，當λ＝0或a＝0時，0a＝0或λ0＝0．向量相同相反2．運算律：設λ，μ為任意實數(shù)，則有：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．特別地，有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．3．線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量的線性運算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．【預習自測】我們知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否寫成3a呢？【提示】能．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa．【預習自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若向量b與a共線，則存在唯一的實數(shù)λ，使b＝λa． (

)(2)若b＝λa，則a與b共線． (

)(3)若λa＝0，則a＝0． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×【解析】(1)當b＝0，a＝0時，實數(shù)λ不唯一．(2)由共線向量定理可知其正確．(3)若λa＝0，則a＝0或λ＝0．定理中把“a≠0”去掉可以嗎？【提示】定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，則實數(shù)λ可以是任意實數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實數(shù)λ，使得b＝λa．|課堂互動|向量線性運算的基本方法(1)類比方法：向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算．例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)方程方法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．2．設向量a，b不共線，向量λa＋b與a＋2b共線，則實數(shù)λ＝__________．用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法：(2)方程法：當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．【答案】D錯解：如圖，連接BE并延長，交CD于點G，連接AG．正解：如圖，取AB的中點P，連接EP，F(xiàn)P．在△ABC中，EP是中位線，|素養(yǎng)達成|1．(題型1)(多選)下列各式計算正確的有 (

)A．(－7)·6a＝－42a B．7(a＋b)－8b＝7a＋15bC．a(chǎn)－2b＋a＋2b＝2a D．4(2a＋b)＝8a＋4b【答案】ACD【解析】B錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b．A，C，D均正確．【答案】C3．(題型2)(2023年天水月考)設e1與e2是不共線的向量，若ke1＋4e2與e1＋ke2共線且方向相反，則k的值是_______．【答案】－24．(題型1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝__________．