阿波羅尼斯圓及其應用 微點1 阿波羅尼斯圓介紹及其直接應用

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁阿波羅尼斯圓及其應用微點1阿波羅尼斯圓介紹及其直接應用專題1阿波羅尼斯圓及其應用微點1阿波羅尼斯圓介紹及其直接應用【微點綜述】動點的軌跡問題是高考中的一個熱點和重點，尤其是阿波羅尼斯圓在高考中頻頻出現(xiàn)．處理此類問題的關鍵是通過建立直角坐標系，尋找動點滿足的條件，得出動點的軌跡是一個定圓，從而把問題轉化為直線和圓、圓和圓的位置關系問題，并在解決問題的過程中感悟轉化與化歸、化繁為簡的數(shù)學思想方法．阿波羅尼斯（約公元前262~192），古希臘數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠．阿波羅尼斯年青時到亞歷山大城跟隨歐幾里得的后繼者學習，和當時的大數(shù)學家合作研究．他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一．1、阿波羅尼斯圓的定義在平面上給定兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（時點的軌跡是線段的中垂線）2、阿波羅尼斯圓的證明【定理1】設．若（且），則點的軌跡方程是，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓．證明：由及兩點間距離公式，可得，化簡可得①，（1）當時，得，此時動點的軌跡是線段的垂直平分線；（2）當時，方程①兩邊都除以得，化為標準形式即為：，∴點的軌跡方程是以為圓心，半徑為的圓．圖①圖②圖③阿波羅尼斯圓的另一種形式：【定理2】為兩已知點，分別為線段的定比為的內(nèi)外分點，則以為直徑的圓上任意點到兩點的距離之比為．證明：以為例．如圖②，設，，則，．過作的垂線圓交于兩點，由相交弦定理及勾股定理得，于是．同時在到兩點距離之比等于的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，圓上任意一點到兩點的距離之比恒為．同理可證的情形．3、阿波羅尼斯圓的相關性質(zhì)由上面定理2的證明可得如下的性質(zhì)：性質(zhì)1：當時，點B在圓內(nèi)，點A在圓外；當時，點A在圓內(nèi)，點B在圓外．性質(zhì)2：因，故是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點A，可以作出與之對應的點B，反之亦然．性質(zhì)3：所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為．性質(zhì)4：過點作圓的切線（為切點），則分別為的內(nèi)、外角平分線．性質(zhì)5：阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分和外分所得的兩個分點，如圖所示，是的內(nèi)分點，是的外分點，此時必有平分，平分的外角．證明：如圖①，由已知可得（且），，又，平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．性質(zhì)6：過點作圓不與重合的弦，則AB平分．證明：如圖④，連結，由已知（且），又，平分．平分．【典例刨析】例1．（2022·河北鹽山中學高二期中）1．已知兩定點，，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于___________.例2．（2022四川涪陵月考）2．若滿足條件，則面積的最大值為__________．3．已知圓O：，點，在直線OB上存在定點A（不同于點B），滿足對于圓O上任意一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點A的坐標，并求．4．在平面直角坐標中，已知點，若直線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是_______．5．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩個定點，的距離之比為（，且），那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點，間的距離為，動點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．例6．（2022四川·成都外國語學校高二月考）6．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【針對訓練】7．在平面直角坐標系中，已知圓，，動點在直線上，過點分別作圓的切線，切點分別為，若滿足的點有且只有兩個，則實數(shù)的取值范圍是________．8．已知是平面上兩個定點，平面上的動點滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為______．9．已知點，，，點D是直線AC上的動點，若恒成立，則最小正整數(shù)__________.10．在平面直角坐標系中，已知圓：，圓：，動點在直線：上（），過分別作圓，的切線，切點分別為，，若滿足的點有且只有一個，則實數(shù)的值為______.11．在平面直角坐標系中，是兩定點，點是圓：上任意一點，滿足：，則的長為.（2022遼寧·高二期中）12．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值且的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，，動點滿足.設點的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)若曲線和無公共點，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【分析】設，根據(jù)題設條件，結合兩點距離公式列方程并整理即可得的軌跡方程，即知軌跡為圓，進而求其面積即可.【詳解】設，由題設得：，∴，故的軌跡是半徑為的圓，∴圖形的面積等于.故答案為：2．【分析】設，則，由余弦定理得出，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊得出的范圍，再由三角形面積公式，結合二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案.【詳解】設，則，由余弦定理可得由三角形任意兩邊之和大于第三邊得，解得，即當時，面積取最大值故答案為：【點睛】本題主要考查了求三角形面積的最值，涉及余弦定理的應用，屬于中檔題.3．，【分析】根據(jù)兩點距離的坐標運算可得，進而得，即可求解.【詳解】設，設故，且，化簡得：，該式對任意的恒成立，故，解得或（舍去），故，4．【分析】根據(jù)得出點的軌跡方程，又點在直線上，則點的軌跡與直線必須有公共點，進而解決問題.【詳解】解：設則，因為，所以有，同時平方，化簡得，故點的軌跡為圓心在（0,0），半徑2為的圓，又點在直線上，故圓與直線必須有公共點，所以，解得.【點睛】本題考查了點的軌跡問題、直線與圓的位置關系的問題，解題的關鍵是能從題意中轉化出動點的軌跡，并能求出點的軌跡方程.5．A【分析】設，，由，可得點P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，又，其中可看作圓上的點到原點的距離的平方，從而根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意，設，，因為，所以，即，所以點P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，因為，其中可看作圓上的點到原點的距離的平方，所以，所以，即的最大值為，故選：A.6．D【分析】設，根據(jù)求出點的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩個圓有公共點，根據(jù)圓心距大于或等于半徑之差的絕對值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.【詳解】設，因為點，，，所以即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因為在圓上存在點滿足，所以圓與圓有公共點，所以，整理可得：，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D.7．.【分析】設出點的坐標，將原問題轉化為直線與圓相交的問題，求解關于b的不等式即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意O(0,0),O1(4,0).設P(x,y)，則∵PB=2PA，，∴(x?4)2+y2=4(x2+y2)，∴x2+y2+=0，圓心坐標為,半徑為，∵動點P在直線x+y?b=0上，滿足PB=2PA的點P有且只有兩個，∴直線與圓x2+y2+=0相交，∴圓心到直線的距離，∴，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查圓的方程及其應用，等價轉化的數(shù)學思想，直線與圓是位置關系的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.8．【分析】建立坐標系，得點的軌跡方程，分離參量求范圍即可求解【詳解】不妨設，以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則，設故動點的軌跡為圓，由恒成立，則故答案為【點睛】本題考查圓的軌跡方程，平面問題坐標化的思想，是難題9．4【解析】設點,根據(jù)列出關于的關系式,再數(shù)形結合分析即可.【詳解】設點,因為點是直線上的動點,故.由得,化簡得.依題意可知,直線與圓至多有一個公共點,所以,解得或.所以最小正整數(shù).故答案為：4【點睛】本題主要考查了直線與圓和向量的綜合運用,需要設點的坐標表達所給的信息,再數(shù)形結合利用圓心到直線的距離列式求解.屬于中檔題.10．.【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和三角形全等，得到，求得點的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解．【詳解】由題意得：，，設，如下圖所示∵PA、PB分別是圓O，O1的切線，∴∠PBO1=∠PAO=90°，又∵PB=2PA，BO1=2AO，∴△PBO1∽△PAO，∴，∴，∴，整理得，∴點P（x，y）的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓，∵動點P在直線：上（），滿足PB=2PA的點P有且只有一個，∴該直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離d滿足，即，解得或，又因為，所以．【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，以及直線與圓的位置關系的應用，其中解答中根據(jù)圓的切下的性質(zhì)和三角形全等求得點的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，列出方程求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．11．【分析】不妨就假設在軸上，設，由可得，然后和方程對比，就可以求出【詳解】由于是兩定點，不妨就假設在軸上如圖所示：設，，∴，∴，即，，與表示同一個圓.∴∴或∴.故答案