阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用 微點(diǎn)3 阿波羅尼斯圓與向量

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)3阿波羅尼斯圓與向量專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)3阿波羅尼斯圓與向量【微點(diǎn)綜述】涉及線段定比的有些平面向量題，或是涉及數(shù)量積的等式，可以轉(zhuǎn)化成三點(diǎn)共線問題，構(gòu)造阿波羅尼斯圓，建立平面直角坐標(biāo)系，利用阿波羅尼斯圓解決問題．【典例刨析】例11．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則最小值為__________.例22．已知，，點(diǎn)D滿足，設(shè)，若恒成立，則的最大值為______________．例3（2022浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三其他）3．已知向量滿足，則的取值范圍是_______.例44．已知等邊的邊長為2，點(diǎn)在線段上，若滿足的點(diǎn)恰有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．例55．已知是平面上兩個(gè)定點(diǎn)，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為______．例66．已知點(diǎn)，，，點(diǎn)D是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若恒成立，則最小正整數(shù)__________.【針對訓(xùn)練】（2022·廣東廣州·高二期末）7．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為__________.（答案寫成標(biāo)準(zhǔn)方程），的最小值為___________.（2022·江蘇·高郵一中高二期末）8．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比滿足(且，t為常數(shù))，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡為圓，該圓方程為_________；過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則_________．9．阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將此圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為4，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形的面積為___________；最大值是___________.10．在平面四邊形ABCD中，，，．若，則的最小值為____．11．在中，，，點(diǎn)滿足，則的最小值為______.12．已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線：截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.①求的方程，并說明是什么圖形；②試探究：在直線上是否存在定點(diǎn)(異于原點(diǎn))，使得對于上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)，，，設(shè)，，則，構(gòu)造相似三角形，設(shè)，可得，所以．【詳解】如圖，，設(shè)，則向量滿足，設(shè)，所以點(diǎn)為以為圓心，以為半徑的圓上的一點(diǎn)，所以，同理，取點(diǎn)，則，又因，所以，所以，即，所以，由三角形的三邊關(guān)系知.故填：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，向量模的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意構(gòu)造相似三角形等知識(shí)，屬于難題．2．4【分析】將已知變形為，設(shè)延長AB至點(diǎn)F，使得,取AC的中點(diǎn)E，并通過得出點(diǎn)D在EF上，再通過與已知條件得出，設(shè)，再通過面積法與正、余弦定理得出即可利用一元二次方程最值與根式性質(zhì)得出答案.【詳解】延長AB至點(diǎn)F，使得,取AC的中點(diǎn)E，連接EF，則，，,,點(diǎn)D在EF上，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，由“邊角邊”公理可得：，，，且恒成立，，設(shè)，根據(jù)面積法知：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，故答案為：4.3．【解析】根據(jù)幾何關(guān)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)在單位圓上，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)在處時(shí)，取最小值，以及數(shù)形結(jié)合分析出最大值，計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，，，，即，點(diǎn)在單位圓上，因?yàn)?，設(shè)，即，故，所以，如圖，（1）當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在處時(shí)，取最小值.因?yàn)?，所以，?）當(dāng)位于處時(shí)，取最大值，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，綜上，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量模的最值問題，主要考查轉(zhuǎn)化分析，數(shù)形結(jié)合分析，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)條件設(shè)出定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)位置討論的問題.4．.【詳解】分析：設(shè)，根據(jù)得到關(guān)于的函數(shù)，由題意可得該函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，然后根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)可得實(shí)數(shù)的取值范圍．詳解：如圖，設(shè)，則，則，又，∴．∵滿足的點(diǎn)恰有兩個(gè)，∴關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：（1）用定義進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，有時(shí)要注意選擇合適的基底，將所有向量用同一基底表示，然后再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解．（2）對于一元二次方程根的分布問題，可根據(jù)“三個(gè)二次”間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為不等式（組），通過解不等式（組）可得所求．5．【分析】建立坐標(biāo)系，得點(diǎn)的軌跡方程，分離參量求范圍即可求解【詳解】不妨設(shè)，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，由恒成立，則故答案為【點(diǎn)睛】本題考查圓的軌跡方程，平面問題坐標(biāo)化的思想，是難題6．4【解析】設(shè)點(diǎn),根據(jù)列出關(guān)于的關(guān)系式,再數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】設(shè)點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),故.由得,化簡得.依題意可知,直線與圓至多有一個(gè)公共點(diǎn),所以,解得或.所以最小正整數(shù).故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓和向量的綜合運(yùn)用,需要設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)所給的信息,再數(shù)形結(jié)合利用圓心到直線的距離列式求解.屬于中檔題.7．

【分析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，然后用直接法可求；根據(jù)軌跡方程和數(shù)量積的坐標(biāo)表示對化簡，結(jié)合軌跡方程可得x的范圍，然后可解.【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，得，化簡得，即.因?yàn)?，所以因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，故所以，故的最小值為.故答案為：，8．

【分析】設(shè)，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè)，則，整理得到，即.因?yàn)?，故為的中點(diǎn)，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，則，故，解得，故答案為：，.9．

【分析】以經(jīng)過，的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，求出阿氏圓方程，可得半徑，從而得面積．由，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，結(jié)合在圓上可得最大值．【詳解】以經(jīng)過，的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，，∴，得：，點(diǎn)的軌跡為圓（如圖），其面積為.，如圖當(dāng)位于點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，故最大值是.故答案為：；.10．【分析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正向，建立如下平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，根據(jù)已知條件可求得點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，取，可得，從而有，因此＝，因此只要最小即可．【詳解】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正向，建立如下平面直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)，則，，因?yàn)樗裕矗赫淼茫海渣c(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上.在軸上取，連接可得，所以，所以由圖可得：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)在圖中的位置時(shí)，最小.此時(shí)最小為.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查平面向量的幾何應(yīng)用．解題關(guān)鍵點(diǎn)有二，一是建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)在一個(gè)圓上，二是取點(diǎn)，構(gòu)造出，于是，問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．11．【分析】令，，可得，即在直線上，從而當(dāng)時(shí)最小，結(jié)合三角形知識(shí)得到結(jié)果.【詳解】，令，，則，因?yàn)?，所以在直線上，從而當(dāng)時(shí)最小，在中，，，，由余弦定理得，又，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平面向量與解三角形知識(shí)，考查三點(diǎn)共線、余弦定理，三角形面積公式等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.12．（1）；（2）①，是圓；②存在，.【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)題意，得到半徑，根據(jù)弦長的幾何表示，由題中條件，列出方程求解，得出，從而可得圓心和半徑，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）①設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，由題中條件，得到，代入圓的方程，即可得出結(jié)果；②假設(shè)存在一點(diǎn)滿足（其中為常數(shù)），設(shè)，根據(jù)題意，得到，再由①，得到，兩式聯(lián)立化簡整理，得到，推出，求解得出，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓心，則由圓與軸正半軸相切，可得半徑.∵圓心到直線的