關(guān)于模型診斷與檢驗

關(guān)于模型診斷與檢驗

1.動態(tài)分布滯后模型與一般到特殊建模法

最常見的動態(tài)分布滯后模型是ADL(1,1)和ADL(2,2),

%=處+4為1+瓦x,+Ax,|+u”u,~IID(0,s2),

(5.9)

和

2

yr=a^+a]+a2yt.z+Z>ox,+bt+b2xt_2+u?u,~IID(0,s)

通過對4，6。和b、施加約束條件，從ADL模型(5.9)可以得到許多特殊的

經(jīng)濟(jì)模型。下面以9種約束條件為例，給出特定模型如下：

(1)當(dāng)為=白=0成立，摸型(5.9)變?yōu)?/p>

%=蜀+久為+ur.

(5.11)

這是一個靜態(tài)回歸模型。

(2)當(dāng)60=A=0時，由模型(5.9)得

%=翊+axylA+ut.

(5.12)

這是一階自回歸模型。

(3)當(dāng)4=瓦=0時，則有

%=4+Ax,i+ur.

(5.13)

叼是K的超前指示變量。此模型稱為前導(dǎo)模型。

(4)當(dāng)約束條件是4=1,4=-瓦時，(5.9)式變?yōu)?/p>

Dy,-紿+b(lDx,+u,.

(5.14)

這是一個一階差分模型。當(dāng)占與匕為對數(shù)形式時，上述模型為增長率模型。

(5)若為=0成立，模型(5.9)則變?yōu)橐浑A分布滯后模型。

匕=4>+b?x,+Ax~i+u,.

(5.15)

(6)取。=0,則模型(5.9)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的局部調(diào)整模型(偏調(diào)整模型)。

刀=跖+劣%一1+瓦為+ur

(5.16)

⑺當(dāng)4=0時，由模型(5.9)得

、二即+4入一1+功占一］+%

(5.17)

模型中只有變量的滯后值作解釋變量，、的值僅依靠滯后信息。這種模型稱為“盲

始”模型。

（8）給定6產(chǎn)”，模型（5.9）化簡為

、=蜀+4（及「4|）+box,+ut

（5.18）

此模型稱為比例響應(yīng)模型。解釋變量為的與（外廣不）。

以上所列舉的例子說明實際上許多有特殊經(jīng)濟(jì)意義的模型都是由一個一般

的ADL模型化簡得到的。這種建立模型的方法是首先從一個包括了盡可能多解

釋變量的“一般"ADL模型開始，通過檢驗回歸系數(shù)的約束條件逐步剔除那些

無顯著性變量，壓縮模型規(guī)模，（在這個過程中要始終保持模型隨機(jī)誤差項的非

自相關(guān)性。）最終得到一個簡化（或“特殊”）的模型。這種方法稱為“一般到

特殊“建模法。也稱作亨德里（Hendry）建模法。

模型若丟失重要解釋變量將導(dǎo)致回歸系數(shù)的OLS估計量喪失無偏性和一致

性?！耙话愕教厥狻苯７ǖ闹饕獌?yōu)點是能夠把由于選擇變量所帶來的設(shè)定誤差

減到最小。因為在初始模型中包括了許多變量，所以不會使回歸系數(shù)的OLS估

計量存在丟失變量誤差。雖然因為在初始模型中包括了許多非重要解釋變量，從

而使回歸參數(shù)估計量缺乏有效性，但隨著檢驗約束條件的繼續(xù)，那些非重要的解

釋變量被逐步剔除掉，從而使估計量缺乏有效性的問題得到解決。

2.檢驗方法與統(tǒng)計量

（1）回歸函數(shù)的尸檢驗。

多元回歸模型,

%=d+6內(nèi)|+b2x&+…+壇內(nèi)h1+ur,

(1)

Ho:4=a=…==0;H]:“不全為零

原假設(shè)成立條件下，統(tǒng)計量

產(chǎn)=?F*\T闔

注意：SSR舊指回歸平方和(regressionsumofsquares),現(xiàn)指殘差平方和(sum

ofsquaredresiduals)oSSE舊指殘差平方和(errorsumofsquares(sumofsquared

errors)),現(xiàn)指回歸平方和(explainedsumofsquares)o

檢驗規(guī)則是，若F￡F*c接受H。；

若F＞拒絕H。。

(2)回歸參數(shù)的r檢驗。

對于多元回歸模型，

yt--+6吊+b2x&+…+bk.xxtkA+u?

⑵

如果尸檢驗的結(jié)論是接受原假設(shè)，則檢驗止。如果尸檢驗的結(jié)論是拒絕原假設(shè),

則進(jìn)一步作1檢驗。

Ho：4=0；H,:b,-VO,(/=1,2,…,kl)

原假設(shè)成立條件下，統(tǒng)計量

t=~如謁

判別規(guī)則：若%「％￡如”)，接受H。；

若%「%>&不?,拒絕H。。

(3)檢驗約束條件是否成立的尸檢驗。

約束條件的尸檢驗可以用來檢驗回歸參數(shù)的一個或多個線性約束條件，如H

0：4=0,Z>2=0,at+b?+b]-\,61/62=0.8等。

在零假設(shè)“約束條件成立”條件下，統(tǒng)計量

F=?Fgf

其中SSg表示施加約束條件后估計模型的殘差平方和；SSE”表示未施加約束條

件的估計模型的殘差平方和；m表示約束條件個數(shù)；7表示樣本容量；上表示非

約束模型中被估參數(shù)的個數(shù)。

判別規(guī)則是，若產(chǎn)＜5(2,4),約束條件成立，

若尸＞月(2,7?一4)，約束條件不成立。

例(fik:b5cl):日本人均消費(fèi)的誤差修正模型(見教材209頁)

LnC-對數(shù)的人均年消費(fèi)額(不變價格，1985=1)。

Lnl-對數(shù)的人均年可支配收入額(不變價格，1985=1)。

LnP-對數(shù)的消費(fèi)價格指數(shù)(1985=1)。

建立動態(tài)分布滯后模型

=0.3181+0.8756以+0.6466LnCtA-0.6078bxLnItA+0.0218

(5.91)

(2.75)(10.97)(4.72)(-4.86)(2.09)

R、0.9989,SSE=0.0015,DW^1.95,LM2=2.8,ARCH=0.26,LnL=

105.87,T=30

用戶統(tǒng)計量檢驗是否可以對上式施加約束Lnl,和Lnm的系數(shù)4=。=0。

給出約束模型估計結(jié)果如下，

=0.1932+0.9600-0.0168￡〃%.

(5.92)

(0.88)(19.95)(-0.78)

筋=0.9935,SSE=0.0088,DW=2.27,LnL=79.47,T=30

(5.91)相當(dāng)于非約束模型。產(chǎn)統(tǒng)計量的值按下式計算,

F---60.8

(5.93)

因為產(chǎn)=60.8>/25)=3.39,所以，約束條件瓦=A=0被拒絕。工成和LnI,A

是重要的解釋變量，不應(yīng)從模型中刪除。

在(5.91)式窗口中點擊View,選CoefficientTests,RedundantVariablcs-Likclihood

Ratio功能得

0

(4)JB正態(tài)性檢驗

在給出JB統(tǒng)計量的定義之前，先給出偏度(skewness)和峭度(kurtosis,峰

度)的定義。對于時間序列(%,為」：％?),偏度S定義為,

<Md<Mo=Md=MoMo<Md<

其中表示乃的平均數(shù)，S表示片的標(biāo)準(zhǔn)差。由公式知，若分布是以對稱的，

則偏度為零。所以若、服從正態(tài)分布，則偏度為零；若分布是右偏倚的，則偏度

5>0;若分布是左偏倚的，則偏度S<0。

峭度K定義為

正態(tài)分布的峭度為3。如果一個分布的兩側(cè)尾部比正態(tài)分布的兩側(cè)尾部“胖”，

則該分布的峭度K>3,反之則K<3。

JB(Jarque-Bera)統(tǒng)計量定義如下，

JB=7⑵

其中T表示觀測值個數(shù)。對于直接得到的觀測時間序列，取打=0。對于殘差序

列，取〃等于原回歸模型中解釋變量個數(shù)。S表示偏度。K表示峭度。計算結(jié)果

若JBVc7),該分布為正態(tài)分布，

若JB>c，)，該分布不是正態(tài)分布。

當(dāng)用樣本計算偏度和峭度時，T應(yīng)換為r-i,/用％的樣本方差』代替。

例：(file:simu2,x)EViews操作如下。

2

因為JB=3.81<C0.05(2)=5.99,所以上述分布為正態(tài)分布。

(file:simu2,trend)

2

因為JB=59.98>C0,05(2)=5.99,所以上述分布不是正態(tài)分布。

英K.Pearson提出的分布律檢驗適用性更廣。

(5)似然比(LR)檢驗

下面介紹三種常用的檢驗方法，即似然比(LR)檢驗，沃爾德(W)檢驗和

拉格朗日(lagrange)乘數(shù)(LM)檢驗。這三種檢驗所用統(tǒng)計量都是利用極大似

然估計法計算的。/火檢驗由內(nèi)曼―皮爾遜(Neyman-Pearson1928)提出，只適

用于對線性約束的檢驗。K檢驗和3檢驗既適用于對線性約束條件的檢驗，也

適用于對非線性約束條件的檢驗。

首先介紹檢驗。AA檢驗的基本思路是如果約束條件成立則相應(yīng)約束模型

與非約束模型的極大似然函數(shù)值應(yīng)該是近似相等的。用

logM，)=-log2P-

(3)

表示非約束模型的極大似然函數(shù)。其中和分別是對6(參數(shù)集合)，$2的

極大似然估計。用

10gLl,)=-log2P-

(4)

表示約束模型的極大似然函數(shù)。其中和分別是對b和$2的極大似然估計。

定義似然比(LR)統(tǒng)計量為

LR=-2\logL(,}-logL{,)]

(5)

中括號內(nèi)是兩個似然函數(shù)之比(似然比檢驗由此而得名)。在零假設(shè)約束條件成

立條件下

其中m表示約束條件個數(shù)。用樣本計算統(tǒng)計量。

判別規(guī)則是，若LR<C、3,則接受零假設(shè)，約束條件成立。

若LR>C2M村,則拒絕零假設(shè)，約束條件不成立。

例：(file:b5cl)日本人均消費(fèi)動態(tài)分布滯后模型，(見教材209頁)檢驗

4=4=0。

非約束模型：

=0.3181+0.8756LnT+0.6466LnC^-0.6078b.Lnl,.+0.0218ZnPv

(5.91)

(2.75)(10.97)(4.72)(-4.86)(2.09)

臚=0.9989,SSE=0.0015,DW=1.95,LM2=2.8,ARCH=0.26,LnL=

105.87,T=30

用LR統(tǒng)計量檢驗是否可以對上式施加約束和Ln電的系數(shù)瓦="=0。

給出約束模型估計結(jié)果如下，

=0.1932+0.9600LnC,.}-0.0168LnP?].

(5.92)

(0.88)(19.95)(-0.78)

R2=0.9935,SSE=0.0088,DW=2.27,LnL=79.47,T=30

(5.91)相當(dāng)于非約束模型。產(chǎn)統(tǒng)計量的值按下式計算,

LR=2\log從,)-logL{,)]=-2(79.47-105.87)=52.8

CQ

因為〃?=52.8>2)=5.99,所以，約束條件瓦=A=0被拒絕。Lnlt^Lnl,x

是重要的解釋變量，不應(yīng)從模型中刪除。

在(5.91)式窗口中點擊View,選CoefficientTests,RedundantVariables-Likelihood

Ratio功能得

0

(6)即檢驗

版檢驗的優(yōu)點是只需估計無約束模型。當(dāng)約束模型的估計很困難時，此方

法尤其適用。卜檢驗由沃爾德(Wald1943)提出，適用于線性與非線性約束條

件的檢驗。

步檢驗的原理是測量無約束估計量與約束估計量之間的距離。先舉一個簡單

例子。比如對如下模型檢驗線性約束條件b2=瓦是否成立。

匕

%=b2X2[+63X3,+

⑺

即檢驗只需對無約束模型⑺進(jìn)行估計，因為對約束估計量和來說，必然有

-=0。如果約束條件成立，則無約束估計量-應(yīng)該近似為零。如果約束

條件不成立，則無約束估計量-應(yīng)該顯著地不為零。關(guān)鍵是要找到一個準(zhǔn)則,

從而判斷什么是顯著地不為零。

首先需要知道(-)的抽樣分布。依據(jù)經(jīng)典回歸的假定條件，(-)

服從均值為(e-打)，方差為Var(-)的正態(tài)分布。通常Var(-)是未知

的，使用的是Var(-)的樣本估計量，定義取統(tǒng)計量為，

W=~N(0,1)

在約束條件成立條件下，步漸進(jìn)服從N(0,l)分布。

下面討論多個約束條件的情形。假定若干約束條件是以聯(lián)合檢驗的形式給

出，

他)=0,

(8)

其中46)表示由約束條件組成的列向量。用表示施加約束條件后對參數(shù)集合

{b[,b2,---,bk}的估計。若把代入上式，則上式一定成立。當(dāng)把無約束估計

值代入上式時，通常上式不會成立。由統(tǒng)計量定義如下，

)'[Var(4))『4)(9)

其中4)是用代替6后的46)表達(dá)式，Var(K))是《)的估計的方差協(xié)方差

矩陣。計算公式如下：

Var(?))=()(Var())(),(10)

其中表示&>)用無約束估計量代替后的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，其中第/行第

/列位置上的元素表示第/個約束條對第/個無約束估計量的偏導(dǎo)數(shù)值。Var()

是的估計的方差協(xié)方差矩陣。

在約束條件成立條件下，W'=K)'|Var(?))廣飛)漸近服從c?向分布。

2

匠=K)'[Var(K))]'/()-c(m).

其中m表示被檢驗的約束條件的個數(shù)，

舉一個非線性約束的例子如下。假定對模型

匕=IxA+b2x&+byx&+u,

(11)

檢驗約束條件byb2-Z?3是否成立。用和分別表示⑦和燈的非約

束估計量。，和既可以是極大似然估計量，也可以是最小二乘估計量。

因為對于本例X)只含有一個約束條件，所以改用《)表示，有

，()=-

(12)

=()=(-1),

(13)

Var()=

(14)

和Var&))=(-1)Var(

根據(jù)(9)式，即統(tǒng)計量的具體表達(dá)式是,

W=

在零假設(shè)4必二打成立條件下，即統(tǒng)計量近似服從C2⑴分布。

例：(file:nonH12)對臺灣制造業(yè)生產(chǎn)函數(shù)，檢驗4/功=。.5是否成立。

=-8.4+0.67LnxtX+1.18Lnxa

(15)

(4.4)(3.9)&=0.89,F=48.45,DW=1.3

檢驗4/々=03是否成立。

變換約束條件為

b2-0.5瓦=0

因為只有一個約束條件，則

0)=f()=/0.5瓦

)=(01-0.5)

在(15)式窗口中點擊View,選CoefficientCovariance功能。

Var()=

Var(K))=()(Var())(),

==0.0903

,

&)=/()=Z>2-0.5Z>3=(0.6731-0.51.1816)=0.0823

步=《)'[Var(《))「《)

=0.0823()0.0823==0.0750

因為四=0.075<c))=3.8,所以，約束條件瓦=4=0被接受，成立。

在(15)式窗口中點擊View,選CoefficientTests,Wald-CocfficicntRestrictions功

能得

概率大于0.05,說明統(tǒng)計量落在了零假設(shè)的接收域。結(jié)論是接受原假設(shè)(約束條

件成立)。

(7)乘數(shù)檢驗。

與即檢驗不同的是拉格朗日(Lagrange)乘數(shù)(LM)檢驗只需估計約束模

型。所以當(dāng)施加約束條件后模型形式變得簡單時，更適用于這種檢驗。檢驗

是由艾奇遜一西爾維(Aitchison-SilveyI960)提出的。W檢驗另一種表達(dá)式是由

拉奧(Rao1948)提出的，稱為得分檢驗。

首先給出非約束模型的對數(shù)似然函數(shù)

logIX6,S2)

(16)

對于非約束極大似然估計量,必然有

=0,

。7)

若約束條件成立，則施加約束條件下6,的極大似然估計量應(yīng)與不施加約束條

件下與的極大似然估計量,非常接近。也就是說他。巫/』應(yīng)近似為零。檢

驗的原理是如果』/。以/』顯著地不為零，則約束條件不成立。L0統(tǒng)計量定義

為

LM=()'(式

(18)

其中曝logL/』)是以(出。以/%)為元素組成的列向量，同時用替換了bja

《)稱為信息矩陣，其逆矩陣是的方差協(xié)方差矩陣。在約束條件成立條件下,

上“近似服從Cm)分布。

LM~C%,

其中m表示約束條件個數(shù)。

假定有兩個約束條件彳(6)=0和￡(6)=0。為求這兩個約束條件下的對數(shù)似

然函數(shù)(16)的極大似然估計量，應(yīng)按拉格朗日乘數(shù)法則建立如下函數(shù)，

班*=/。皿+4彳(6)+〃6),

。9)

其中4,右為拉格朗日乘數(shù)，求解約束極值問題應(yīng)對所有的/都滿足〃。以*/，4=

0,即

=+4+4=o,"j

由上式得

(20)

當(dāng)上式中的4用代替后，如果顯著地不為零，則約束條件不成立。根據(jù)上式,

只有當(dāng)4,4不為零時，才顯著地不為零。所以判別規(guī)則是如果人4顯

著地不為零，則拒絕約束條件。因為(20)式是的函數(shù)，所以稱其為

拉格朗日乘數(shù)統(tǒng)計量。

對于線性回歸模型，通常并不是按(18)式，而是通過一個輔助回歸式計算

W統(tǒng)計量的值。“統(tǒng)計量與輔助回歸式的可決系數(shù)五2有直接聯(lián)系，而輔助

回歸式的形式直接與被檢驗的約束條件有關(guān)。

LW檢驗的實際步驟如下：

(1)確定LM輔助回歸式的因變量。用。LS法估計約束模型，計算殘差序

列，并把作為LM輔助回歸式的因變量。

(2)確定LM輔助回歸式的解釋變量。例如非約束模型如下式，

y,~仇+b、x”+bzXz盧…+bkxk[+ur.

(21)

把上式改寫成如下形式

%=y「b0-bixy,-b2x2t-----bkxkr.

(22)

則LM輔助回歸式中的解釋變量按如下形式確定。

-,j-0,1,???,k.

對于非約束模型(5.70),LM輔助回歸式中的解釋變量是l,X?,X2r，…,符，。第

一個解釋變量1表明常數(shù)項應(yīng)包括在LM輔助回歸式中。

⑶建立LM輔助回歸式如下

=4)+芻*"+電9r++久罰”+%,

(23)

其中由第一步得到。

(4)用OLS法估計上式并計算可決系數(shù)A?。

(5)用第四步得到的&計算乙似統(tǒng)計量的值。

LM=TR~

其中T表示樣本容量。由于上式計算的的值與(18)式定義的"的值相等

(證明略)。在零假設(shè)成立前提下，TA?服從功個自由度的4，力分布，

LM=TR°~%

其中m表示約束條件個數(shù)。

例：以如下非約束模型介紹用LM輔助回歸方法檢驗約束條件質(zhì)+63=1。

%=b\x“+瓦*2,+1>/入+匕，

(24)

檢驗約束62+63=1是否成立。當(dāng)施加約束62+63=1時，上式變?yōu)椋?/p>

yt~4而+4超r+(1-⑧X3,+V?

(25)

上式相對于(24)式為約束模型。若對(24)和(25)式進(jìn)行OLS估計，則會

發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果相同。

=X|,+x2r+X、

(26)

于是遇到參數(shù)不可識別問題。除非必和々存在準(zhǔn)確的關(guān)系62+打=1，否則無

法知道是對4的估計還是對(1-2)的估計。即便偽+a=1真的成立，實

際中也很難有+=1成立。為避免參數(shù)的不可識別性，可利用約束最小二

乘法(RLS)進(jìn)行估計。

從(25)式兩側(cè)減去X3,得，

乃-X3,=b}xXt+b2x2t-b2x3[+V,

(27)

令%*=K-x,”x2*=X2t-xy[,上式變?yōu)椋?/p>

y*=。修，+62X2,*+匕,(約束模型。)

(28)

第一步，用OLS法估計(28)式，并把得到的殘差序列作為LM輔助回

歸的因變量。變換(24)式得

匕=%-4玉「b2x2r-63X3-

根據(jù)第二步，LM輔助回歸解釋變量是X10X2r和X3,。根據(jù)第三步，LM輔助回歸

式是

=X]「+x2r+x3r,

(原式中沒有玲，所以上式中沒有常數(shù)項。)計算可決系數(shù)火2。則

LM=TR2?(?m.

例：(file:nonlil2)對臺灣制造業(yè)生產(chǎn)函數(shù)

=-8.4+0.67Lnxf]+1.18Lnx(2

(4.4)(3.9)&=0.89,產(chǎn)=48.45,DW=1.3,

r=i5

用LM統(tǒng)計量檢驗Znx〃的系數(shù)，仇=。是否成立。

(1)用OLS法估計約束模型，計算殘差序列

Lnyt—2.16+1.24LnxrX+

(4.9)(17.6)FL-0.96,F-312

并把作為LM輔助回歸式的因變量。

(2)確定LM輔助回歸式的解釋變量。例如非約束模型如下式，

Lnyt=4+&LnxXt+Z?3Lnx21+ut

(29)

把上式改寫成如下形式

ut—Lnyt-b}-b2LnxXt-63Lnx21

(30)

則LM輔助回歸式中的解釋變量按如下形式確定。

,/=1,2,3

對于非約束模型(30),LM輔助回歸式中的解釋變量是第一個

解釋變量1表明常數(shù)項應(yīng)包括在LM輔助回歸式中。

(3)建立LM輔助回歸式如下

=綺)+藥/力X],+當(dāng)以?巧,+Vr,(23)

其中由第一步得到。

⑷用OLS法估計上式并計算可決系數(shù)及2。

=-10.67-0.67Lnx?+1.18Lnxa(23)

(-3.9)(-3.7)(3.9)&=0.89,尸=48.45,DW=1.3

(5)用第四步得到的&計算“統(tǒng)計量的值。

LM=7旌=089'15=13.35>備)=3.8

原假設(shè)2=0不成立。

例：自相關(guān)BG檢驗屬于LM檢驗。

以2元線性回歸模型，檢驗是否存在1階自相關(guān)為例，約束模型和非約束模

型分別是

y,-by+bxxlr+b2x2r+ur(約束模型，r=0)

(33)

%=b]+Axlr+b2x2r+u?u,=ru.i+vt

(34)

即

yr-by+bxxu+b2x2t+rutA+vr(非約束模型)

(35)

用OLS法估計(33)式，得到作為LM輔助回歸式的因變量。由非約束模型

(35)知LM輔助回歸式的解釋變量是1,x“,x2t,r,所以LM輔助回歸式是

=為+%X2r+%-1+匕

(5.72)

上式正是自相關(guān)BG檢驗式。從中提取Q計算統(tǒng)計量。

對人心四和工〃檢驗方法的選擇應(yīng)以做實際計算時的難易程度而定。一般

來說步和L0檢驗應(yīng)優(yōu)于AA檢驗，因為此和檢驗只需要估計一個模型即

可，而以?檢驗需估計約束與非約束兩個模型。對膨和工〃檢驗方法的選擇應(yīng)

以約束模型與非約束模型哪個更容易估計而定。應(yīng)該注意，即使三種檢驗方法都

可使用，它們的計算結(jié)果通常也是不相同的。因為三個統(tǒng)計量只是漸近相同，對

于線性回歸模型，在小樣本條件下有如下關(guān)系成立。

LM￡LR￡W

（29）

上式說明只有當(dāng)訓(xùn)檢驗的結(jié)果為拒絕零假設(shè)（約束條件不成立）或者此檢驗

的結(jié)果為接受零假設(shè)（約束條件成立）時，三種檢驗的結(jié)論才是一致的。所以實

際中，三種檢驗方法有可能得出相互不一致的結(jié)論。另外只有當(dāng)用參數(shù)的樣本估

計值計算的約束條件完全成立時，即把參數(shù)估計值代入約束條件能準(zhǔn)確成立時，

（29）式中的三個統(tǒng)計量才有完全相等的關(guān)系。

當(dāng)對數(shù)似然函數(shù)中只含有一個參數(shù)b^,LM,LR和步三種檢驗的關(guān)系可用

圖5.1表示。和分別表示無約束和約束估計量?！??檢驗是對縱向距離10g

Z（-log的測量，取檢驗則是對水平距離（）的測量，而“檢驗計算

的是當(dāng)=時，對數(shù)似然函數(shù)的斜率。因為這三個統(tǒng)計量都是漸近地服從的

分布，所以當(dāng)樣本比較小且約束條件為線性時，用戶檢驗要比用上述三種檢驗更

可靠。

圖5.1LR,W和LM檢驗

(8)鄒突變點檢驗(ChowBreakpointTests)。

突變點檢驗由鄒至莊I960年提出。當(dāng)研究同一問題，在不同時段得到兩個

子樣本時，需要考察兩個不同時段的回歸系數(shù)是否相同，即回歸系數(shù)在不同時段

是否穩(wěn)定。當(dāng)然這一檢驗也適用于兩個截面樣本的情形。

圖5.2一個解釋變量情形

兩個樣本容量分別用四和“表示，并定義7=%+&。假定所建立的多元回

歸模型形式為，

%=9。++…+必一1x“，i+ur

以T,巧和巧為樣本分別對上述模型進(jìn)行估計，所得結(jié)果用以下符號表示。

樣本容殘差平方相應(yīng)自由度回歸系數(shù)

量卻

1TSSETT-kqpj=3…,

kA

2口SSE]k彩片i,…,

kA

3刀2SSE2n2-kb/=1,…，

k-\

注：3次回歸的模型形式應(yīng)相同。

原假設(shè)與備擇假設(shè)：

Ho：iij—bj,j—1,■■■,k-Xo

兄：好3不全對應(yīng)相等。

則所用統(tǒng)計量定義為

F=

-~F*,T-2i）

檢驗規(guī)則是

若尸＜月依7潮接受H。（回歸系數(shù)無顯著性變化）

若戶＞6（62*）拒絕H。（回歸系數(shù)有顯著性變化）

例：（file:brcak2）東北、華北、華東、華中例省市1993和1998年耕地面

積（加7d百萬公頃）和農(nóng)業(yè)產(chǎn)值（K百億元）數(shù)據(jù)見圖（已取對數(shù)）。用圓圈

表示的觀測點為1993年數(shù)據(jù)，用三角表示的觀測點為1998年數(shù)據(jù)。大體看各省

市1998年耕地面積比1993年耕地面積略有減少，產(chǎn)值卻都有增加。以1993和

1998年數(shù)據(jù)為兩個子樣本，以42個數(shù)據(jù)為總樣本，求得殘差平方和見下表

樣本容殘差平方相應(yīng)自由度回歸系數(shù)

量和

1T=42SSET=

14.26

2ny-21SSE、=4.3719

3n2=21SSE2=3J6n2-k=19b\

注：三次回歸的模型形式Ln。叫=bh+b,Lnhnd,+4。

因為，

F===14.33>%,4。）=7.31

所以兩個年度21省市的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)生了很大變化。

（9）回歸系數(shù)的穩(wěn)定性檢驗（Chow檢驗）

在樣本T基礎(chǔ)上求出回歸模型系數(shù)的估計值后，再增加〃個觀測值從而考

查原參數(shù)估計值是否穩(wěn)定時，可采用如下的Chow檢驗法，

首先對同一形式模型（含4個被估參數(shù)）用樣本了和樣本%〃分別進(jìn)行回

歸，計算結(jié)果表示如下，

樣本容殘差平方相應(yīng)自由度回歸系數(shù)

量和

1TSSE[T-kbj

2T+nSSE2T+n-k與

注：兩次回歸的模型形式應(yīng)相同。

原假設(shè)與備擇假設(shè)：

Ho：(/=I,---,A-1)。

H,:。與%(/=I,--,M),不全對應(yīng)相等。

則所用統(tǒng)計量定義為

F=?

檢驗規(guī)則是

若接受H。(回歸系數(shù)無顯著性變化)

若F>B《?產(chǎn)商拒絕H。(回歸系數(shù)有顯著性變化)

例：(file:Dummy5)中國對數(shù)的貨幣流通量(1952-1998)

按上面的表示方法，EViews先算出T+〃個樣本的回歸式，對于本例即先算

出1952-1998年為樣本的回歸式，然后再從1998年開始除掉一個或若干個年份的

值，檢驗參數(shù)穩(wěn)定性。

下面的計算相當(dāng)于用1952-1997年數(shù)據(jù)估計一個模型，然后加入1998年數(shù)據(jù)

檢驗預(yù)測的穩(wěn)定性。

樣本容殘差平方相應(yīng)自由度回歸系數(shù)

量和

1460.9667T左=42bi

2471.0347T+n-k%

=43

F===2.95

(10)檢驗過程是否為白噪聲的Q統(tǒng)計量

在介紹Q統(tǒng)計量之前，先介紹序列九的估計的自相關(guān)函數(shù)(相關(guān)圖)的定義,

4=,左=1,2,….

其中4表示％與K*估計的自相關(guān)系數(shù)，是對自相關(guān)系數(shù)4的估計。=(S)/

(二刈。在EViews中定義=(Sy)/T。

模型殘差序列是否為白噪聲的檢驗是用Box-Picrce(1970)提出的Q統(tǒng)計量完成的。Q檢

驗的零假設(shè)是

H：石=&=…="=0

即序列是一個白噪聲過程。其中與表示自相關(guān)系數(shù)。Q統(tǒng)計量定義為

Q=T(30)

隨著7?￥,Q漸近服從C2(&Y2分布，其中7表示樣本容量，〃表示用殘差序列計算的自相

關(guān)系數(shù)值，K表示自相關(guān)系數(shù)的個數(shù)，0表示模型自回歸部分的最大滯后值，g表示移動平

均部分的最大滯后值。

Ljung和Box認(rèn)為(30)式定義的Q統(tǒng)計量的分布與C2(A-3分布存在差異(相應(yīng)值偏小)，

于是提出修正的Q統(tǒng)計量。

Q=T(%2)(31)

其中以，K,P,<?的定義如(30)式。修正的Q統(tǒng)計量(31)漸近服從hy分布。且它的

近似性比原Q統(tǒng)計量的近似性更好。(注意：EViews中給出的Q統(tǒng)計量就是按(31)式定義

的。)

用殘差序列計算Q統(tǒng)計量的值。顯然若殘差序列不是白噪聲，殘差序列中必含有其他

成份，自相關(guān)系數(shù)不等于零。則Q值將很大，反之Q值將很小。判別規(guī)則是：

若QVp-6,則接受H0o

若Q>C)KB0,則拒絕H。。

其中2表示檢驗水平；P，g分別表示時間序列模型中自回歸和移動平均滯后項的個數(shù)。

實際檢驗中，K取15左右即可。

例：(file:simu2,x)白噪聲序列占?HD(0,1)。Q統(tǒng)計量的值如下，

(file:simu2,x)

因為Qio)=5.9<C-0.05(10-0-0)=18.3,則序列非自相關(guān)。

(11)模型的平方的殘差值序列構(gòu)造Q統(tǒng)計量

在Q統(tǒng)計量的定義中，

Q=T(%2)(31)

如果估計的自相關(guān)系數(shù)4是用平方的殘差值序列計算的，那么Q統(tǒng)計量考察的

是殘差序列中是否存在ARCH、GARCH過程。Q統(tǒng)計量漸近服從分布。

檢驗方法與所用臨界值與上述檢驗是否為白噪聲過程的Q統(tǒng)計量相同。

這時的零假設(shè)是殘差序列中不存在ARCH、GARCH過程。備擇假設(shè)是存在

ARCH、GARCH過程。

下圖是對日元兌美元匯率AR⑵模型中平方的殘差值序列的1-10期的Q統(tǒng)

計量計算結(jié)果。以左=10為例，

2

因為=277.99<C0.05(10.2.0)=15.5,所以模型殘差序列中存在ARCH過

程。

(,EQ01)

(11)異方差的White檢驗

White檢驗由H.White1980年提出。White檢驗的原理屬于LM檢驗。White

檢驗不需要對觀測值排序，也不依賴于隨機(jī)誤差項服從正態(tài)分布。它是通過一個

輔助回歸式構(gòu)造/統(tǒng)計量進(jìn)行異方差檢驗。White檢驗的具體步驟如下。

以二元回歸模型為例,

yt=^+bxxA+b2x&+ut

(32)

①首先對上式進(jìn)行OLS回歸，求殘差。

②做如下輔助回歸式，

=蜀+芻XR+刈2+如+匕

x@+a3xf]x/+a5xr]x&

3)

即用對原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項、交叉積項進(jìn)行OLS回

歸。注意，上式中要保留常數(shù)項。求輔助回歸式(33)的可決系數(shù)密。

③White檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)是

Ho:(32)式中的《不存在異方差，

H,:(32)式中的為存在異方差

④在不存在異方差假設(shè)條件下統(tǒng)計量

TRj%

其中7表示樣本容量，必是輔助回歸式(33)的OLS估計式的可決系數(shù)。自由度5

表示輔助回歸式(33)中解釋變量項數(shù)(注意，不計算常數(shù)項)。

⑤判別規(guī)則是

若丁腔￡工⑸，接受H。（4具有同方差）

若7火2＞工⑸，拒絕H。（為具有異方差）

例：（,hete02）

1986年中國29個省市自治區(qū)農(nóng)作物種植業(yè)產(chǎn)值、（億元）和農(nóng)作物播種面

積占（萬畝）數(shù)據(jù)研究二者之間的關(guān)系。得估計的線性模型如下，

、=-5.6610+0.0123占

（5.18）

（12.4）&=0.85,F=155.0,T=29

圖5.7農(nóng)作物產(chǎn)值齊和播種面積為0圖5.8殘差圖0

無論是從匕和占觀測值的散點圖（見圖5.7）還是模型的殘差圖（見圖5.8）

都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中存在異方差。

用White方法檢驗是否存在異方差。在上式回歸的基礎(chǔ)上，用殘差做如下回

歸。

=-219.70+0.1595x「3.54<6)x：

(-0.5)(1.5)(-0.6)T=29,R=0.2765

因為TH2=29'0.2765=8.018>c2⑵=6.0,所以存在異方差。輸出結(jié)果見

下表

注意：輸出結(jié)果中的概率是指備2)統(tǒng)計量取值大于8.02的概率為0.018。示意

如下圖。

(12)自相關(guān)的入以檢驗(亦稱BG檢驗)

BG檢驗的特點是既可檢驗一階自相關(guān)，也可檢驗高階自相關(guān)。BG檢驗由

Breusch-Godfrey提出。BG檢驗是通過一個輔助回歸式完成的，屬于乙“統(tǒng)計量。

具體步驟如下。

對于多元回歸模型

Yr--+A」，+791.+…+%X.,+U,

(34)

考慮誤差項為n階自回歸形式

+…+<,?,.?+v,

(35)

其中匕為隨機(jī)項，符合各種假定條件。零假設(shè)為

H°:4=4=…=4=0

這表明《不存在〃階自相關(guān)。用估計(34)式得到的殘差建立輔助回歸式，

J

=+…++4fbxxXt+b2x2l++bk_}xkAt+vf

(36)

上式中的是(34)式中外的估計值。估計上式，并計算可決系數(shù)&。構(gòu)造ZM

統(tǒng)計量，

LM=T求

其中T表示(34)式的樣本容量。&為(36)式的可決系數(shù)。在零假設(shè)成立條件

下，”統(tǒng)計量漸近服從《力分布。其中〃為(35)式中自回歸階數(shù)。如果零假

設(shè)成立，”統(tǒng)計量的值將很小，小于臨界值。

判別規(guī)則是，若勿以=7外￡或“)，接受H。；

若LM=丁史＞乙商,拒絕H。；

例：0天津市城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)與人均可支配收入的關(guān)系。

改革開放(1978?2000)以來，天津市城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)性支出(CONSUM),

人均可支配收入(INCOME)以及消費(fèi)價格指數(shù)(PRICE)數(shù)據(jù)見下表。現(xiàn)在研

究人均消費(fèi)與人均可支配收入的關(guān)系。

先定義不變價格(1978=1)的人均消費(fèi)性支出(匕)和人均可支配收入(黑)o

令

匕=CONSUM/PRICE

X,=INCOME/PRICE

得散點圖如圖1。顯然匕和%服從線性關(guān)系。

圖1匕和用散點圖圖2成差圖

(1)估計線性回歸模型并計算殘差

用普通最小二乘法求估計的回歸方程，得結(jié)果如下。

=111.44+0.7118區(qū)

(1.42)

(6.5)(42.1)咫=0.9883,s.e.=32.8,DW-0.60,T-23

(2)檢驗誤差項外是否存在自相關(guān)

已知。W'=0.60,若給定a=0.05,查附表，4=126,%=1.44。因為DW=

0.60<1.26,依據(jù)判別規(guī)則，認(rèn)為誤差項外存在嚴(yán)重的正自相關(guān)。

BG(LM)自相關(guān)檢驗輔助回歸結(jié)果是

^=0.6790^+3.1710-0.0047區(qū)+%

(3.9)(0.2)(-0.4)史=0.43,DW^2.00

LM=T&=23'0.43=9.89

因為』"I)=3.84,￡?=9.89>3.84,所以BG(LM)檢驗結(jié)果也說明⑴式存在

自相關(guān)。

用EViews進(jìn)行BG(LM)自相關(guān)檢驗非常方便。以(1.42)式為例，具體步

驟如下。在(1.42)式回歸輸出窗口中點擊View鍵，選擇ResidualTests/Serial

CorrelationLMTest…功能,會彈出一個設(shè)定滯后期(LagSpecification)對話框。

輸入1,點擊OK鍵，就會得到L0=T&=9.79的BG(LM)檢驗結(jié)果。

(13)格蘭杰非因果性檢驗

格蘭杰非因果性檢驗是VAR模型的一個副產(chǎn)品。格蘭杰非因果性檢驗式是2

變量VAR模型中的一個方程式。格蘭杰(Granger)非因果性定義如下：

格蘭杰非因果性：如果由,匕和占滯后值所決定的、的條件分布與僅由匕滯后

值所決定的條件分布相同，即

!(/rl%一1，…，為一1,…)=隈％I又1,…),

(37)

則稱k對萬存在格蘭杰非因果性。

格蘭杰非因果性的另一種表述是其他條件不變，若加上為的滯后變量后對

%的預(yù)測精度不存在顯著性改善，則稱XI對％存在格蘭杰非因果性關(guān)系。

根據(jù)以上定義，X,對匕是否存在因果關(guān)系的檢驗可通過檢驗VAR模型以無

為被解釋變量的方程中是否可以把占的全部滯后變量剔除掉而完成。比如VAR

模型中以％為被解釋變量的方程表示如下：

%=++小

(38)

如有必要，常數(shù)項，趨勢項，季節(jié)虛擬變量等都可以包括在上式中。則檢驗為對

%存在格蘭杰非因果性的零假設(shè)是

H。：b、=b[=???=bk=Q

顯然如果(38)式中的x,的滯后變量的回歸參數(shù)估計值全部不存在顯著性，則上

述假設(shè)不能被拒絕。換句話說，如果x,的任何一個滯后變量的回歸參數(shù)的估計

值存在顯著性，則結(jié)論應(yīng)是為對乃存在格蘭杰因果關(guān)系。上述檢驗可用產(chǎn)統(tǒng)計

量完成。

F=

3)

其中SS2表示施加約束(零假設(shè)成立)后的殘差平方和。SSZ表示不施加約束

條件下的殘差平方和。人表示最大滯后期。N表示VAR模型中所含當(dāng)期變量個

數(shù)，本例中N=2,T表示樣本容量。在零假設(shè)成立條件下，尸統(tǒng)計量近似服從

也…分布。用樣本計算的產(chǎn)值如果落在臨界值以內(nèi)，接受原假設(shè)，即為對

、不存在格蘭杰因果關(guān)系。

注意：

為簡便，通常總是把叼對片存在非因果關(guān)系表述為占(去掉下標(biāo)-1)對九

存在非因果關(guān)系(嚴(yán)格講，這種表述是不正確的)。

在實際中，除了使用格蘭杰非因果性概念外，也使用“格蘭杰因果性”概念。

顧名思義，這個概念首先由格蘭杰(Granger1969)提出。西姆斯(Sims1972)

也提出因果性定義。這兩個定義是一致的。

例：(file:stock)以661天(1999.1.4-2001.10.5)的上海(SH)和深圳(SZ)

股票收盤價格綜合指數(shù)為例，

滯后10期的Granger因果性檢驗結(jié)果如下：(當(dāng)概率小于0.05時，表示推翻原

假設(shè))

上表中概率定義為，

P(Q1.36)=0.19316

圖示如下：

P(Q23.44)=0.00000

因為尸值(1.36)落在原假設(shè)接受域，所以原假設(shè)“上海股票價格綜合指數(shù)

對深圳股票價格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系”被接受。

因為尸值(23.44)落在原假設(shè)拒絕域，所以原假設(shè)“深圳股票價格綜合指

數(shù)對上海股票價格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系”被推翻。

用滯后1?10期的檢驗式分別檢驗，結(jié)論都是深圳股票價格綜合指數(shù)是上海

股票價格綜合指數(shù)變化的原因，但上海股票價格綜合指數(shù)不是深圳股票價格綜合

指數(shù)變化的原因，

EViews操作方法是，打開數(shù)劇組窗口，點View鍵,選GrangerCausility。在

打開的對話窗口中填上滯后期(下面的結(jié)果取滯后期為10。)，點擊0K鍵。

(14)內(nèi)生性Hausman檢驗

Hausman(1978)首先提出關(guān)于變量內(nèi)生性的檢驗用統(tǒng)計量。Davison和

MacKinnon(1989,1993)又提出一種借助輔助回歸進(jìn)行Hausman檢驗的方法。

假定需要作如下回歸，

%=瓦+Axfl+b2Xa+瓦4+u,

(40)

其中4有可能是由匕決定的內(nèi)生變量。那么對上式的OLS估計量一定是有偏的

和不一致的。為了檢驗4的內(nèi)生性，應(yīng)該找到一組工具變量，既與與高度相關(guān)，

又與上