人教版七年級數(shù)學上冊 第五章 一元一次方程知識歸納與題型突破（單元復習 8類題型清單）

第五章一元一次方程知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導圖0202知識速記一、基本概念1、等式的概念：含有等號，表示相等關系的式子2、方程的概念：含有未知數(shù)的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為1次；（3）等式兩邊都是整式．二、等式的性質(zhì)若，則、、、．特別注意：等式兩邊須同時乘以或除以一個不為0的數(shù)．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的項，去分母應加括號）2、去括號（帶著符號計算，不要漏乘）3、移項（移項要變號；未知數(shù)移到左邊，常數(shù)移到右邊；先后順序不重要）4、合并同類項5、系數(shù)化為1（系數(shù)不能為0，若未知數(shù)的系數(shù)含有字母則需要討論）四、列方程解應用題的步驟①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關系②設：設未知數(shù)（一般求什么，就設什么為x） ③找：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關系④列：根據(jù)這個相等關系列出需要的代數(shù)式，進而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）五、一元一次方程的應用一元一次方程解應用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=利潤（4）工程問題（①工作量=人均效率×人數(shù)×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度×時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）．0303題型歸納題型一判斷是否是一元一次方程例題：（24-25七年級上·全國·單元測試）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓練1．（23-24七年級下·全國·期中）下列各式中，屬于一元一次方程的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年級上·全國·單元測試）在方程①，②x=0，③，④中，一元一次方程共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個3．（23-24七年級上·全國·單元測試）①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的個數(shù)是（

）A． B． C． D．題型二根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)的值例題：（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知是關于的一元一次方程，則的值是．鞏固訓練1．（23-24七年級上·全國·單元測試）若是關于的一元一次方程，則．2．（23-24七年級上·河南漯河·期中）已知關于x的方程是一元一次方程，則m的值為．3．（23-24七年級上·全國·單元測試）若關于的方程是一元一次方程，則的值為．題型三已知一元一次方程的解求參數(shù)的值例題：（23-24七年級下·全國·期中）關于x的一元一次方程有解，則m的值為．鞏固訓練1．（23-24七年級上·浙江金華·期末）已知是方程的解，則．2．（23-24七年級下·四川宜賓·期中）整式的值隨著的取值的變化而變化，下表是當取不同的值時對應的整式的值：0123048則關于的方程的解是．3．（23-24七年級上·浙江·期末）若關于x的方程的解為，則方程的解為．題型四列一元一次方程例題：（23-24六年級下·全國·單元測試）設某數(shù)為x，如果某數(shù)的2倍比它的相反數(shù)大1，那么列方程是．鞏固訓練1．（23-24七年級上·福建福州·期末）“的倍與的和等于的與的差”，用等式表示為2．（2024·湖南益陽·模擬預測）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剛好每車坐滿后還剩余2輛車沒人坐；若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘只能步行，問共有多少人，多少輛車？設共有x輛車，則可列方程．3．（2023·吉林長春·模擬預測）算法統(tǒng)宗是中國古代重要的數(shù)學著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意為：今有若干人住店，若每間住人，則余下人無房可住：若每間住人，則余下一間無人住，設店中共有間房，可列方程為．題型五等式的基本性質(zhì)例題：（23-24七年級上·天津·期中）下列說法錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則鞏固訓練1．（23-24七年級下·廣西南寧·開學考試）下列是根據(jù)等式的性質(zhì)進行變形，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（23-24七年級上·安徽·單元測試）下列運用等式的性質(zhì)變形中正確的是（

）A．如果，則 B．如果，則C．如果，則 D．如果，則3．（22-23七年級上·山東濟南·階段練習）下列變形正確的是（

）A．變形得B．變形得C．變形得D．變形得4．（2024·貴州貴陽·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么題型六解一元一次方程例題1：解方程：(1)；(2).例題2：解方程：(1)；(2)．例題3：解下列方程：(1)；(2)．鞏固訓練1．解方程：(1)；(2)．2．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．3．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．題型七解一元一次方程中的錯解復原問題例題：（2024上·河北邯鄲·七年級?？计谀╆P于方程，嘉嘉的解法如下．解：去分母，得，…①去括號，得，…②合并同類項，得，，…③兩邊同時除以，得3=0．…④所以方程無解．(1)嘉嘉從第_________步開始出錯（填序號），理由是___________________；(2)請正確求解該方程．鞏固訓練1．（2024上·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）下面是小董同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并回答問題．解：，……第一步，……第二步，……第三步．……第四步(1)①以上求解過程中，第______步進行的是移項，移項的依據(jù)是______；②第______步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是______；(2)求該一元一次方程的解；(3)除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就解一元一次方程時還需要注意的事項給其他同學提一條建議（一條即可）．2．（2023上·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）計算：(1)下面是解方程的主要過程解：原方程化為______，去分母，得②，去括號，得______，移項，得______，合并同類項，得（合并同類項法則），把未知數(shù)x的系數(shù)化為1，得______．請從長方形框中選擇與方程變形對應的依據(jù)，并將依據(jù)的序號填在相應的橫線上；(2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依據(jù)）題型八用一元一次方程解決實際問題例題：（2024上·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）某車間生產(chǎn)一批螺釘和螺母，由一個人操作機器做需要完成．現(xiàn)計劃由一部分人先做，然后增加人與他們一起做，完成這項工作．假設這些人的工作效率相同．(1)求具體應先安排多少人工作？(2)在增加人一起工作后，若每人每天使用機器可以生產(chǎn)個螺釘或個螺母，個螺釘需要配個螺母成為一個完整的產(chǎn)品，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？(3)若該車間有臺型和臺型機器可以生產(chǎn)這種產(chǎn)品，每臺型機器比型機器一天多生產(chǎn)個產(chǎn)品．已知臺型機器一天的產(chǎn)品裝滿箱后還剩個，臺型機器一天的產(chǎn)品裝滿箱后還剩個，且每箱裝的產(chǎn)品數(shù)相同．某天有臺型機器和臺型機器同時開工，請問一天生產(chǎn)的產(chǎn)品能否恰好裝滿箱．若能，請計算出的值；若不能，請說明理由．鞏固訓練1．（2024上·甘肅酒泉·七年級統(tǒng)考期末）合肥廬陽區(qū)實驗學校七（6）班為迎接學校秋季運動會計劃購買30支簽字筆，若干本筆記本（筆記本數(shù)量超過簽字筆數(shù)量），用來獎勵運動會中表現(xiàn)出色的運動員和志愿者，甲、乙兩家文具店的標價都是簽字筆8元/支、筆記本2元/本，甲店的優(yōu)惠方式是簽字筆打九折，筆記本打八折；乙店的優(yōu)惠方式是每買5支簽字筆送1本筆記本，簽字筆不打折，購買的筆記本打七五折．(1)請用含x的代數(shù)式分別表示學校在甲、乙兩家店購物所付的費用；(2)如果購買筆記本數(shù)量為60本，并且只在一家店購買的話，請通過計算說明，到哪家店購買更合算？(3)若都在同一家店購買簽字筆和筆記本，試問購買筆記本數(shù)量是多少時，兩家店的費用一樣？2．（2024上·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考期末）某超市第一次用10500元購進甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)是乙商品件數(shù)的2倍，甲、乙兩種商品的進價和售價如表：甲乙進價（元/件）4060售價（元/件）5080(1)該超市第一次購進的甲、乙兩種商品各多少件？(2)該超市第一次購進的甲、乙兩種商品售完后，第二次又以第一次的進價購進甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍．甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤少600元，求第二次乙商品是按原價打幾折銷售？3．（2023上·湖南邵陽·七年級?？茧A段練習）為落實水資源管理制度，大力促進水資源節(jié)約，某市居民用水實行階梯水價，按年度用水量計算，將居民家庭全年用水量劃分為三檔，水價分檔遞增，實施細則如下表：某市居民用水階梯水價表（單位：元/立方米）供水類型階梯戶年用水量（立方米）水價自來水第一階梯第二階梯第三階梯若某戶居民去年用水量為立方米，則其應繳納水費為元．(1)小明家一年用水立方米，這一年應繳納水費元；(2)小亮家—年繳納水費元，則小亮家這一年用水多少立方米？(3)小紅家去年和今年共用水立方米，共繳納水費元，并且今年的用水量超過去年的用水量，則小紅家今年和去年各用水多少立方米？

第五章一元一次方程知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導圖0202知識速記一、基本概念1、等式的概念：含有等號，表示相等關系的式子2、方程的概念：含有未知數(shù)的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為1次；（3）等式兩邊都是整式．二、等式的性質(zhì)若，則、、、．特別注意：等式兩邊須同時乘以或除以一個不為0的數(shù)．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的項，去分母應加括號）2、去括號（帶著符號計算，不要漏乘）3、移項（移項要變號；未知數(shù)移到左邊，常數(shù)移到右邊；先后順序不重要）4、合并同類項5、系數(shù)化為1（系數(shù)不能為0，若未知數(shù)的系數(shù)含有字母則需要討論）四、列方程解應用題的步驟①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關系②設：設未知數(shù)（一般求什么，就設什么為x） ③找：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關系④列：根據(jù)這個相等關系列出需要的代數(shù)式，進而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）五、一元一次方程的應用一元一次方程解應用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=利潤（4）工程問題（①工作量=人均效率×人數(shù)×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度×時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）．0303題型歸納題型一判斷是否是一元一次方程例題：（24-25七年級上·全國·單元測試）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【知識點】一元一次方程的定義【分析】本題考查的是一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵．根據(jù)一元一次方程的定義進行判定．【詳解】解：①是二元一次方程，不符合題意；②是一元二次方程，不符合題意；③是一元一次方程，符合題意；④是分式方程，不符合題意；⑤是代數(shù)式，不是方程，不符合題意．故選：A．鞏固訓練1．（23-24七年級下·全國·期中）下列各式中，屬于一元一次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程的定義的應用，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1次的整式方程，叫一元一次方程．根據(jù)一元一次方程的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；B、未知數(shù)次數(shù)為2，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；C、不是整式方程，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；D、整理方程得，是一元一次方程，故本選項符合題意；故選：D．2．（23-24七年級上·全國·單元測試）在方程①，②x=0，③，④中，一元一次方程共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【知識點】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程，根據(jù)一元一次方程的定義“只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式”即可求解．【詳解】解：①，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程，不符合題意；②x=0，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，是一元一次方程，符合題意；③，含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，不是一元一次方程，不符合題意；④，不是整式，不是一元一次方程，不符合題意；綜上所述，一元一次方程的共有1個，故選：A．3．（23-24七年級上·全國·單元測試）①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程的識別，判斷一個方程是否是一元一次方程，看它是否具備以下三個條件：①只含有一個未知數(shù)，②含未知數(shù)項的最高次數(shù)是1，③未知數(shù)不能在分母里，這三個條件缺一不可．據(jù)此逐個分析即可．【詳解】解：①的分母含有未知數(shù)，故不是一元一次方程；②不是等式，故不是一元一次方程；③中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，故不是一元一次方程；④是一元一次方程；；⑤是一元一次方程；⑥含2個未知數(shù)，故不是一元一次方程；故選A．題型二根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)的值例題：（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知是關于的一元一次方程，則的值是．【答案】2【知識點】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程的概念，根據(jù)一元一次方程的定義得到，求出m即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，故答案為：2．鞏固訓練1．（23-24七年級上·全國·單元測試）若是關于的一元一次方程，則．【答案】【知識點】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，象這樣的方程叫做一元一次方程，熟練掌握定義是解答本題的關鍵根據(jù)未知數(shù)的次數(shù)等于1且系數(shù)不等于0列式求解即可．【詳解】解：∵是關于的一元一次方程，∴且，解得．故答案為：．2．（23-24七年級上·河南漯河·期中）已知關于x的方程是一元一次方程，則m的值為．【答案】1【知識點】一元一次方程的定義、絕對值方程【分析】此題考查了一元一次方程的概念，解題的關鍵是掌握一元一次方程的概念，只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為1的整式方程．根據(jù)一元一次方程的概念，可得且，求解即可．【詳解】解：由題意可得且，由可得，由可得或綜上：故答案為：3．（23-24七年級上·全國·單元測試）若關于的方程是一元一次方程，則的值為．【答案】或【知識點】一元一次方程的定義【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點．根據(jù)一元一次方程的一般形式即可判定有種情況，分別討論①當且時，②當且時，③當時是否滿足該方程為一元一次方程即可．【詳解】解：關于的方程是一元一次方程，可考慮三種情況，①當且時，即且，則，解得：，此時，故排除；②當且時，即且，，符合條件；③當即時，，符合條件；綜上：的值為或，故答案為：或．題型三已知一元一次方程的解求參數(shù)的值例題：（23-24七年級下·全國·期中）關于x的一元一次方程有解，則m的值為．【答案】【知識點】方程的解【分析】本題考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次項的系數(shù)不等于零．根據(jù)一元一次方程有解，可得一次項的系數(shù)不等于零．【詳解】解：由，可得，關于的一元一次方程有解，，解得：．故答案為：．鞏固訓練1．（23-24七年級上·浙江金華·期末）已知是方程的解，則．【答案】2【知識點】方程的解【分析】本題考查了方程解的定義，使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解．將代入原方程，可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【詳解】解：將代入原方程得，解得：，∴a的值為2．故答案為：2．2．（23-24七年級下·四川宜賓·期中）整式的值隨著的取值的變化而變化，下表是當取不同的值時對應的整式的值：0123048則關于的方程的解是．【答案】【知識點】方程的解【分析】此題考查了方程的解，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】根據(jù)題意可得，當時，∴關于的方程的解是．故答案為：．3．（23-24七年級上·浙江·期末）若關于x的方程的解為，則方程的解為．【答案】【知識點】方程的解【分析】本題考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元一次方程的解．將代入方程即可求解．【詳解】解：將代入方程得：，解得：，∴，解得：，故答案為：．題型四列一元一次方程例題：（23-24六年級下·全國·單元測試）設某數(shù)為x，如果某數(shù)的2倍比它的相反數(shù)大1，那么列方程是．【答案】【知識點】列方程【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，數(shù)x的2倍為，相反數(shù)為，據(jù)此根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：由題意得，，故答案為：．鞏固訓練1．（23-24七年級上·福建福州·期末）“的倍與的和等于的與的差”，用等式表示為【答案】【知識點】列方程【分析】本題考查了列一元一次方程；的倍與的和可以表示為，的與的差可以表示為，由兩個代數(shù)式相等，即可列出關于的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意，得，故答案為：．2．（2024·湖南益陽·模擬預測）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剛好每車坐滿后還剩余2輛車沒人坐；若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘只能步行，問共有多少人，多少輛車？設共有x輛車，則可列方程．【答案】【知識點】古代問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程．根據(jù)人數(shù)不變，即可得出關于的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意，得：．故答案為：．3．（2023·吉林長春·模擬預測）算法統(tǒng)宗是中國古代重要的數(shù)學著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意為：今有若干人住店，若每間住人，則余下人無房可住：若每間住人，則余下一間無人住，設店中共有間房，可列方程為．【答案】【知識點】古代問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查一元一次方程的應用，理清題中的等量關系是解題的關鍵．由等量關系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．【詳解】解：每間住人，則余下人無房可?。喝裘块g住人，則余下一間無人住，客人可表示為個，也可表示為個，，故答案為：．題型五等式的基本性質(zhì)例題：（23-24七年級上·天津·期中）下列說法錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【知識點】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐項判斷即可求解，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊同時除以同一個不為的數(shù)，兩邊仍然相等”可得，∴正確，不符合題意；、∵，當時，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊同時除以同一個不為的數(shù)，兩邊仍然相等”，可得；當x=0時，，可得x=0，∴x=0或，∴錯誤，符合題意；、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊減去同一個數(shù)，兩邊仍然相等”，可得，∴正確，不符合題意；、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊乘以同一個數(shù)，兩邊仍然相等”，可得，∴正確，不符合題意；故選：．鞏固訓練1．（23-24七年級下·廣西南寧·開學考試）下列是根據(jù)等式的性質(zhì)進行變形，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識點】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握等式的基本性質(zhì)進行解題．根據(jù)等式的基本性質(zhì)，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、若，則，故A錯誤；B、若，則，故B錯誤；C、若，則，故C正確；D、，當時，不成立，故D錯誤；故選：C．2．（23-24七年級上·安徽·單元測試）下列運用等式的性質(zhì)變形中正確的是（

）A．如果，則 B．如果，則C．如果，則 D．如果，則【答案】D【知識點】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)逐項判斷即可，解題的關鍵是熟記等式性質(zhì)：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【詳解】解：、如果，則或，原選項變形錯誤，不符合題意；、如果，當時，則，原選項變形錯誤，不符合題意；、如果，當時，則，原選項變形錯誤，不符合題意；、如果，則，原選項變形正確，符合題意；故選：．3．（22-23七年級上·山東濟南·階段練習）下列變形正確的是（

）A．變形得B．變形得C．變形得D．變形得【答案】D【知識點】等式的性質(zhì)【分析】本題主要考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：變形得，選項A錯誤，不符合題意；變形得，選項B錯誤，不符合題意；變形得，選項C錯誤，不符合題意；變形得，選項D正確，符合題意；故選D．4．（2024·貴州貴陽·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】A【知識點】等式的性質(zhì)【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)天平兩端相等即可求得答案．【詳解】解：由圖形可得如果，那么，故選：A．題型六解一元一次方程例題1：解方程：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】方程移項合并，把系數(shù)化為，即可求解；方程移項合并，把系數(shù)化為，即可求解．【詳解】（1）移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為，得．（2）移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為，得．【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．例題2：解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)依次去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得；（2）根據(jù)等式的基本性質(zhì)依次去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．【詳解】（1）解：，去括號，得．移項，得．合并同類項，得．系數(shù)化為1，得．（2）．去括號，得．移項，得．合并同類項，得．系數(shù)化為1，得．【點睛】本題主要考查解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握等式的基本性質(zhì)和解一元一次方程的基本步驟．例題3：解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：去分母，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：；（2）解：去分母，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：．【點睛】本題考查解一元一次方程．解題的關鍵是掌握解一元一次方程的步驟，正確的進行計算．鞏固訓練1．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：合并同類項，得，系數(shù)化為1，得；（2）解：合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．【點睛】本題考查解一元一次方程．熟練掌握解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，正確的計算，是解題的關鍵．2．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）先去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（2）先去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（3）先去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（4）先去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（5）先去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（6）先去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．【詳解】（1）解：，去括號得：，移項得：，合并得：，解得：；（2），去括號得：，移項得：，合并得：，解得：；（3）去括號得：，移項得：，合并得：，解得：；（4），去括號得：，移項得：，合并得：，解得：；（5），去括號得：，移項得：，合并得：，解得：；（6），去括號得：，移項得：．【點睛】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步驟與方法是解本題的關鍵．3．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：去分母，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：．（2）去分母，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：．（3）去分母，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：．（4）去分母，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：．【點睛】本題考查解一元一次方程．解題的關鍵是掌握解一元一次方程的步驟，正確的計算．題型七解一元一次方程中的錯解復原問題例題：（2024上·河北邯鄲·七年級?？计谀╆P于方程，嘉嘉的解法如下．解：去分母，得，…①去括號，得，…②合并同類項，得，，…③兩邊同時除以，得3=0．…④所以方程無解．(1)嘉嘉從第_________步開始出錯（填序號），理由是___________________；(2)請正確求解該方程．【答案】(1)④，兩邊同時除以時，未考慮的情況(2)見詳解．【分析】本題主要考查了解一元一次方程．（1）按照解一元一次方程的步驟分析判斷即可得出答案．（2）按照解一元一次方程的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：嘉嘉從第④步開始出錯，理由是方程兩邊同時除以時，未考慮的情況．故答案為：④，兩邊同時除以時，未考慮的情況（2）去分母得：，去括號，得，移項合并同類項得：，化系數(shù)為1∶，鞏固訓練1．（2024上·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）下面是小董同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并回答問題．解：，……第一步，……第二步，……第三步．……第四步(1)①以上求解過程中，第______步進行的是移項，移項的依據(jù)是______；②第______步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是______；(2)求該一元一次方程的解；(3)除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就解一元一次方程時還需要注意的事項給其他同學提一條建議（一條即可）．【答案】(1)詳見解析(2)(3)詳見解析【分析】本題考查的是解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解題關鍵．（1）①根據(jù)移項的基本方法即可求解；②根據(jù)解方程的步驟即可判斷；（2）依次去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1，即可解方程；（3）解一元一次方程，去分母時，不要漏乘；去括號時，括號外的數(shù)要與括號里的每一項相乘，移項需要變號．【詳解】（1）解：①以上求解過程中，第三步進行的是移項，移項的依據(jù)是等式性質(zhì)1；②第二步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是等式右邊括號里的第二項沒有變號；故答案為：①第三步，等式性質(zhì)1；②第二步，去括號后，等式右邊括號里的第二項沒有變號；（2）解：，，，，；（3）解一元一次方程，去分母時，不要漏乘；去括號時，括號外的數(shù)要與括號里的每一項相乘，移項需要變號等（答案不唯一）．2．（2023上·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）計算：(1)下面是解方程的主要過程解：原方程化為______，去分母，得②，去括號，得______，移項，得______，合并同類項，得（合并同類項法則），把未知數(shù)x的系數(shù)化為1，得______．請從長方形框中選擇與方程變形對應的依據(jù)，并將依據(jù)的序號填在相應的橫線上；(2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依據(jù)）【答案】(1)③④①②(2)【分析】本題主要考查解一元一次方程的步驟：“去分母，去括號，移項、合并同類項，系數(shù)化為1”．掌握解一元一次方程的步驟是解題關鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟結(jié)合各依據(jù)填空即可；（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可．【詳解】（1）解：解：原方程化為③，去分母，得②，去括號，得④，移項，得①，合并同類項，得（合并同類項法則），把未知數(shù)x的系數(shù)化為1，得②．故答案為：③④①②；（2）解：原方程化為：，去分母，得：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，把未知數(shù)x的系數(shù)化為1，得：．題型八用一元一次方程解決實際問題例題：（2024上·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）某車間生產(chǎn)一批螺釘和螺母，由一個人操作機器做需要完成．現(xiàn)計劃由一部分人先做，然后增加人與他們一起做，完成這項工作．假設這些人的工作效率相同．(1)求具體應先安排多少人工作？(2)在增加人一起工作后，若每人每天使用機器可以生產(chǎn)個螺釘或個螺母，個螺釘需要配個螺母成為一個完整的產(chǎn)品，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？(3)若該車間有臺型和臺型機器可以生產(chǎn)這種產(chǎn)品，每臺型機器比型機器一天多生產(chǎn)個產(chǎn)品．已知臺型機器一天的產(chǎn)品裝滿箱后還剩個，臺型機器一天的產(chǎn)品裝滿箱后還剩個，且每箱裝的產(chǎn)品數(shù)相同．某天有臺型機器和臺型機器同時開工，請問一天生產(chǎn)的產(chǎn)品能否恰好裝滿箱．若能，請計算出的值；若不能，請說明理由．【答案】(1)具體應先安排人工作(2)應安排名工人生產(chǎn)螺釘，名工人生產(chǎn)螺母(3)一天不能恰好裝滿箱【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意找出等量關系．（1）設應先安排人工作，根據(jù)題意得，即可求解；（2）設應安排名工人生產(chǎn)螺釘，名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意得，即可求解；（3）先求出每箱裝的產(chǎn)品個數(shù)，再分別求出、型機器一天的產(chǎn)量，最后列出關于的一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：設應先安排人工作，根據(jù)題意得，，解得：，應先安排人工作；（2）設應安排名工人生產(chǎn)螺釘，名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意得，，解得：，，應安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母，（3）設每箱裝個產(chǎn)品，根據(jù)題意得，，解得：，型機器一天生產(chǎn)的產(chǎn)品個數(shù)：，型機器一天生產(chǎn)的產(chǎn)品個數(shù)：，根據(jù)題意列方程得：，解得：，，一天不能恰好裝滿箱．鞏固訓練1．（2024上·甘肅酒泉·七年級統(tǒng)考期末）合肥廬陽區(qū)實驗學校七（6）班為迎接學校秋季運動會計劃購買30支簽字筆，若干本筆記本（筆記本數(shù)量超過簽字筆數(shù)量），用來獎勵運動會中表現(xiàn)出色的運動員和志愿者，甲、乙兩家文具店的標價都是簽字筆8元/支、筆記本2元/本，甲店的優(yōu)惠方式是簽字筆打九折，筆記本打八折；乙店的優(yōu)惠方式是每買5支簽字筆送1本筆記本，簽字筆不打折，購買的筆記本打七五折．(1)請用含x的代數(shù)式分別表示學校在甲、乙兩