人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 有理數(shù)易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練（3易錯(cuò)+4壓軸）

第一章有理數(shù)易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練0101題型導(dǎo)圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯(cuò)題型一帶“非”字的有理數(shù) 1易錯(cuò)題型二化簡(jiǎn)的多重符號(hào) 5易錯(cuò)題型三根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù) 7壓軸題型一根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置化簡(jiǎn)絕對(duì)值 10壓軸題型二利用分類討論數(shù)學(xué)思想化簡(jiǎn)絕對(duì)值 12壓軸題型三求解絕對(duì)值方程 15壓軸題型四利用點(diǎn)在數(shù)軸上的幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值 17002易錯(cuò)題型易錯(cuò)題型一帶“非”字的有理數(shù)例題：（23-24七年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)，，，，0，(1)整數(shù)集合{____________________……}；(2)分?jǐn)?shù)集合{____________________……}；(3)非負(fù)數(shù)集合{____________________……}．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)，，，，0，，，，、……(1)整數(shù)集合{__________……}；(2)分?jǐn)?shù)集合{__________……}；(3)非負(fù)數(shù)集合{__________……}；(4)有理數(shù)集合{__________……}．2．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號(hào)里：，，，，，，，0．(1)負(fù)整數(shù)集合：{

…}；(2)非負(fù)整數(shù)集合：{

…}；(3)正分?jǐn)?shù)集合：{

…}；(4)負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{

…}．3．（23-24七年級(jí)上·陜西寶雞·期中）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：，，，，0，．負(fù)數(shù)集合：{

}；分?jǐn)?shù)集合：{

}；整數(shù)集合：{

}；非負(fù)數(shù)集合：{

}；4．（23-24六年級(jí)上·山東威?！て谥校┱?qǐng)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，，，正數(shù)集合：{…}整數(shù)集合：{…}正分?jǐn)?shù)集合：{…}非負(fù)整數(shù)集合：{…}易錯(cuò)題型二化簡(jiǎn)的多重符號(hào)例題：（2024·湖南·中考真題）計(jì)算：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期中）下列化簡(jiǎn)正確的是（）A．B．C．D．2．（22-23七年級(jí)上·海南?？凇て谥校┫铝谢?jiǎn)，正確的是（）A． B．C． D．3．（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）的相反數(shù)是．4．（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)．5．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）（1）；

（2）；（3）；

（4）．易錯(cuò)題型三根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)例題：（2023·廣西北海·一模）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則0（填“”，“”或“”）．鞏固訓(xùn)練1．（22-23七年級(jí)下·廣東惠州·階段練習(xí)）點(diǎn)，在數(shù)軸上的位置如圖，則，

2．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，那么下列結(jié)論正確的有（填序號(hào)）．①；②；③3．（23-24七年級(jí)上·湖北恩施·期末）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下列結(jié)論中①；②；③；④，⑤其中正確的有．（填序號(hào)）4．（22-23七年級(jí)上·江蘇·階段練習(xí)）數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，有以下結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的有（填寫序號(hào)）．003壓軸題型壓軸題型一根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置化簡(jiǎn)絕對(duì)值例題：已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖：(1)比較a﹣b與a+b的大小；(2)化簡(jiǎn)|b﹣a|+|a+b|．鞏固訓(xùn)練1.已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：（1）判斷正負(fù)，用“>”、“<”或“=”填空：,,（2）化簡(jiǎn)：.2.已知有理數(shù)a、b滿足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|（1）在數(shù)軸上標(biāo)出數(shù)a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”號(hào)連接這四個(gè)數(shù)．（2）化簡(jiǎn)：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|3.問(wèn)題一：如圖，試化簡(jiǎn)：．問(wèn)題二：表示有理數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，（1）比較的大小關(guān)系（2）化簡(jiǎn)：．壓軸題型二利用分類討論數(shù)學(xué)思想化簡(jiǎn)絕對(duì)值例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎?、、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．鞏固訓(xùn)練1.（2023秋·七年級(jí)單元測(cè)試）若，則．2.（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)南陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?、，那么＝3.（2023春·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．壓軸題型三求解絕對(duì)值方程例題：（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)鞏固訓(xùn)練1.（2023秋·遼寧鞍山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題：的含義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，也就是說(shuō)，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因此可以推斷表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．例如，，就是在數(shù)軸上到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即為或；回答問(wèn)題：(1)若，則的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②壓軸題型四利用點(diǎn)在數(shù)軸上的幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值例題：（23-24七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上若點(diǎn)A表示的數(shù)是x，點(diǎn)B表示的數(shù)是，則點(diǎn)A和B之間的距離是，若，那么x為；(3)利用數(shù)軸，求的最小值；(4)當(dāng)x是時(shí)，代數(shù)式；鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離：3與5，4與，與．并回答下列各題：(1)數(shù)軸上表示4和兩點(diǎn)間的距離是______；表示和兩點(diǎn)間的距離是______．(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為．①數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離可以表示為_(kāi)_____（用含x的代數(shù)式表示）；②如果數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離為，求x的值．(3)直接寫出代數(shù)式的最小值為_(kāi)_____．2.（23-24七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為．則．所以式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：(1)若，則；(2)若，則；(3)式子的最小值為；(4)若，則；(5)式子的最小值為，此時(shí)．3.（23-24七年級(jí)上·云南·階段練習(xí)）（1）探索材料（填空）：數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點(diǎn)距離為；①數(shù)軸上表示數(shù)3和的兩點(diǎn)距離為；②則的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)和這兩點(diǎn)的距離．（2）實(shí)際應(yīng)用（填空）：①如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個(gè)加工點(diǎn)A和B，要在流水線上設(shè)一個(gè)材料供應(yīng)點(diǎn)P往兩個(gè)加工點(diǎn)輸送材料才能使P到A的距離與P到B的距離之和最?。虎谌鐖D2，在工廠的一條流水線上有三個(gè)加工點(diǎn)A，B，C，要在流水線上設(shè)一個(gè)材料供應(yīng)點(diǎn)P往三個(gè)加工點(diǎn)輸送材料才能使P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和最小；③如圖3，在工廠的一條流水線上有四個(gè)加工點(diǎn)A，B，C，D，要在流水線上設(shè)一個(gè)材料供應(yīng)點(diǎn)P往四個(gè)加工點(diǎn)輸送材料才能使P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和最?。?）結(jié)論應(yīng)用（填空）；①代數(shù)式的最小值是；②代數(shù)式的最小值是；③代數(shù)式的最小值是．

第一章有理數(shù)易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練0101題型導(dǎo)圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯(cuò)題型一帶“非”字的有理數(shù) 1易錯(cuò)題型二化簡(jiǎn)的多重符號(hào) 5易錯(cuò)題型三根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù) 7壓軸題型一根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置化簡(jiǎn)絕對(duì)值 10壓軸題型二利用分類討論數(shù)學(xué)思想化簡(jiǎn)絕對(duì)值 12壓軸題型三求解絕對(duì)值方程 15壓軸題型四利用點(diǎn)在數(shù)軸上的幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值 17002易錯(cuò)題型易錯(cuò)題型一帶“非”字的有理數(shù)例題：（23-24七年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)，，，，0，(1)整數(shù)集合{____________________……}；(2)分?jǐn)?shù)集合{____________________……}；(3)非負(fù)數(shù)集合{____________________……}．【答案】(1)，，0(2)，，(3)，，0【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的定義．（1）根據(jù)整數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)非負(fù)數(shù)的含義進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：整數(shù)集合{，，0……}；故答案為：，，0；（2）解：分?jǐn)?shù)集合{，，……}；故答案為：，，；（3）解：非負(fù)數(shù)集合{，，0……}．故答案為：，，0．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)，，，，0，，，，、……(1)整數(shù)集合{__________……}；(2)分?jǐn)?shù)集合{__________……}；(3)非負(fù)數(shù)集合{__________……}；(4)有理數(shù)集合{__________……}．【答案】(1)，，0，，(2)，，，，……(3)，，0，，……(4)，，，，0，，，【分析】此題考查有理數(shù)的分類，熟練掌握整數(shù)、分?jǐn)?shù)、非負(fù)數(shù)、有理數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．（1）化簡(jiǎn)后，找出所有的整數(shù)即可；（2）找出所有的分?jǐn)?shù)即可；（3）找出所有的非負(fù)數(shù)即可；（4）找出所有的有理數(shù)即可．【詳解】（1），，整數(shù)有：，，0，，故答案為：，，0，，（2）分?jǐn)?shù)有：，，，，……故答案為：，，，，……（3）非負(fù)數(shù)有：，，0，，……故答案為：，，0，，……（4）有理數(shù)有：，，，，0，，，，故答案為：，，，，0，，，2．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號(hào)里：，，，，，，，0．(1)負(fù)整數(shù)集合：{

…}；(2)非負(fù)整數(shù)集合：{

…}；(3)正分?jǐn)?shù)集合：{

…}；(4)負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{

…}．【答案】(1)，(2)，0(3)，(4)，【分析】根據(jù)整數(shù)，負(fù)數(shù)，非負(fù)整數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)及正分?jǐn)?shù)的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：負(fù)整數(shù)集合：{，…}，故答案為：，．（2）非負(fù)整數(shù)集合：{，0…}，故答案為：，0．（3）正分?jǐn)?shù)集合：{，…}，故答案為：，．（4）負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{，…}，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)，注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．3．（23-24七年級(jí)上·陜西寶雞·期中）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：，，，，0，．負(fù)數(shù)集合：{

}；分?jǐn)?shù)集合：{

}；整數(shù)集合：{

}；非負(fù)數(shù)集合：{

}；【答案】，；，，，；0，；，，，0【分析】本題考查了有理數(shù)的分類；根據(jù)有理數(shù)的分類將符合題意的數(shù)據(jù)填入即可求解．【詳解】解：，，負(fù)數(shù)集合：{，}；分?jǐn)?shù)集合：{，，，}；整數(shù)集合：{0，}；非負(fù)數(shù)集合：{，，，0}；故答案為：，；，，，；0，；，，，0．4．（23-24六年級(jí)上·山東威?！て谥校┱?qǐng)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，，，正數(shù)集合：{…}整數(shù)集合：{…}正分?jǐn)?shù)集合：{…}非負(fù)整數(shù)集合：{…}【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、非負(fù)整數(shù)的定義進(jìn)行分類即可．【詳解】解：正數(shù)集合：，，，，，；整數(shù)集合：，，，；正分?jǐn)?shù)集合：，，，；非負(fù)整數(shù)集合：，．易錯(cuò)題型二化簡(jiǎn)的多重符號(hào)例題：（2024·湖南·中考真題）計(jì)算：．【答案】2024【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：，故答案為：2024．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期中）下列化簡(jiǎn)正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可，本題考查了相反數(shù)，多重符號(hào)的化簡(jiǎn)方法，熟練掌握以上方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，不符合題意B、，不符合題意C、，符合題意D、，不符合題意故選：C．2．（22-23七年級(jí)上·海南?？凇て谥校┫铝谢?jiǎn)，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了相反數(shù)，掌握一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)就是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義逐層去括號(hào)，然后判斷即可解答．【詳解】解；A、，故A選項(xiàng)正確，符合題意；B、，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．3．（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）的相反數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，熟知只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0是解題的關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)數(shù)字，根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：，的相反數(shù)是，的相反數(shù)是．4．（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)．【答案】/【分析】本題考查相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是切記求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)只需這個(gè)數(shù)前面加上一個(gè)負(fù)號(hào)就可以了，若原數(shù)帶有符號(hào)（不論正負(fù)），則應(yīng)先添括號(hào)，根據(jù)相反數(shù)的定義即可得到答案．【詳解】解：；故答案為：．5．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】86【分析】本題考查了符號(hào)的化簡(jiǎn)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)．根據(jù)化簡(jiǎn)符號(hào)的規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．易錯(cuò)題型三根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)例題：（2023·廣西北?！ひ荒＃┮阎獙?shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則0（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較的應(yīng)用，能根據(jù)數(shù)軸得出，是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)可知a、b異號(hào)，結(jié)合a、b在數(shù)軸上的位置得到：．【詳解】解:，，．故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（22-23七年級(jí)下·廣東惠州·階段練習(xí)）點(diǎn)，在數(shù)軸上的位置如圖，則，

【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出與的正負(fù)即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：，且，則，，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸，弄清數(shù)軸上點(diǎn)的位置是解本題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，那么下列結(jié)論正確的有（填序號(hào)）．①；②；③【答案】①②/②①【分析】本題考查了根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，由數(shù)軸可知：，即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知：，∴，故①②正確，③錯(cuò)誤，故答案為：①②．3．（23-24七年級(jí)上·湖北恩施·期末）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下列結(jié)論中①；②；③；④，⑤其中正確的有．（填序號(hào)）【答案】①③⑤【分析】本題主要考查數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸判斷式子的正負(fù)．根據(jù)數(shù)軸可知：，可得，，，根據(jù)，且，可得，根據(jù)，可得，．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：，∴，，，故①⑤正確，④錯(cuò)誤．∵，且，∴，故②錯(cuò)誤，∵，∴，∴，故③正確，綜上，①③⑤正確，故答案為：①③⑤．4．（22-23七年級(jí)上·江蘇·階段練習(xí)）數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，有以下結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的有（填寫序號(hào)）．【答案】③④【分析】根據(jù)數(shù)軸得到，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸可得，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵，∴，∴，故③正確；∵，∴，∴，故④正確，故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸得到有理數(shù)的范圍．003壓軸題型壓軸題型一根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置化簡(jiǎn)絕對(duì)值例題：已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖：(1)比較a﹣b與a+b的大??；(2)化簡(jiǎn)|b﹣a|+|a+b|．【答案】（1）a﹣b＞a+b；（2）﹣2b．【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b的正負(fù)情況以及絕對(duì)值的大小；（1）用作差法比較大小；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值號(hào)，再進(jìn)行加減．【詳解】解：由圖可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，（1）∵（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b＞0，∴a﹣b＞a+b；（2）因?yàn)閎﹣a＜0，a+b＜0，所以|b﹣a|+|a+b|=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握實(shí)數(shù)的大小比較方法.鞏固訓(xùn)練1.已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：（1）判斷正負(fù)，用“>”、“<”或“=”填空：,,（2）化簡(jiǎn)：.【答案】（1）＜；＞；＜；（2）a．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，判斷出a，b，c的取值范圍，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)數(shù)軸，判斷出a，b，c的取值范圍，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，去絕對(duì)值號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）根據(jù)數(shù)軸可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，∴a+b＜0，a?b＞0，a＋b+c＜0，故答案為：＜；＞；＜；（2）根據(jù)數(shù)軸可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，∴b?c＜0，a?b＜0，a＋c＞0，∴＝?（a+c）+（a+b+c）＋（a-b）＝-a-c+a+b+c＋a-b＝a．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對(duì)值、整式的加減等知識(shí)的綜合運(yùn)用，解決此題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)數(shù)軸上的信息，判斷出a，b，c等字母的取值范圍，同時(shí)解決此題時(shí)也要注意絕對(duì)值性質(zhì)的運(yùn)用．2.已知有理數(shù)a、b滿足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|（1）在數(shù)軸上標(biāo)出數(shù)a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”號(hào)連接這四個(gè)數(shù)．（2）化簡(jiǎn)：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|【答案】（1）圖詳見(jiàn)解析,﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）0【分析】（1）根據(jù)已知得出a＜0，b＞0，|b|＞|a|，再在數(shù)軸上標(biāo)出即可；（2）先去掉絕對(duì)值符號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）∵有理數(shù)a、b滿足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|，∴2a-b＜0，2b-a＞0，∴|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|＝﹣2a+b﹣（2b﹣a）+（a+b）＝﹣2a+b﹣2b+a+a+b＝0．【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的大小比較，正確理解數(shù)的正負(fù)性、絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.問(wèn)題一：如圖，試化簡(jiǎn)：．問(wèn)題二：表示有理數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，（1）比較的大小關(guān)系（2）化簡(jiǎn)：．【答案】問(wèn)題一：；問(wèn)題二：（1）a＜c＜b＜-a；（2）【分析】問(wèn)題一：根據(jù)絕對(duì)值的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；問(wèn)題二：（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行比較即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：?jiǎn)栴}一：由圖可得：b＞0，c＜a＜0，，==；問(wèn)題二：（1）由圖可得：a＜c＜0，b＞0，，∴a＜c＜b＜-a；（2）==【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較以及整式的加減運(yùn)算，正確去絕對(duì)值是解題關(guān)鍵．壓軸題型二利用分類討論數(shù)學(xué)思想化簡(jiǎn)絕對(duì)值例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎?、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．【答案】3，-3，1，?1．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，然后計(jì)算．由于不知道a、b、c的符號(hào)，故需分類討論．【詳解】解：(1)當(dāng)a>0，b>0，c>0時(shí)，=1+1+1=3；(2)當(dāng)a<0，b<0，c<0時(shí)，==?1?1?1=?3；(3)當(dāng)a>0，b>0，c<0時(shí)，==1+1?1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0時(shí)原式的值均為1．(4)當(dāng)a<0，b<0，c>0時(shí)，==?1?1+1=?1；同理，當(dāng)a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0時(shí)原式的值均為?1．故答案為：3，-3，1，?1．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值規(guī)律的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0，解答時(shí)要注意分類討論．鞏固訓(xùn)練1.（2023秋·七年級(jí)單元測(cè)試）若，則．【答案】【分析】討論a和b的符號(hào)，逐一求解即可．【詳解】解：∵，∴，或，，若，，則；若，，則；綜上所述，的值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．2.（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)南陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?、，那么＝【答案】±2或0【分析】根據(jù)x+a，x+b的符號(hào)，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)x+a＞0，x+b＞0時(shí)，原式＝1+1＝2，當(dāng)x+a＞0，x+b＜0時(shí)，原式＝1﹣1＝0，當(dāng)x+a＜0，x+b＞0時(shí)，原式＝﹣1+1＝0，當(dāng)x+a＜0，x+b＜0時(shí)，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，故答案為：±2或0．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值，理解絕對(duì)值的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3.（2023春·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．【分析】（1）根據(jù)的取值，去絕對(duì)值符號(hào)，然后化簡(jiǎn)即可；（2）由（1）可知，結(jié)合可知即，化簡(jiǎn)即可；（3）結(jié)合可知a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)或三個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況，分情況結(jié)合（1），化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴；∵，∴，∴，故答案為：1，；（2）∵，∴，∴，∴，故答案為：1；（3）∵，∴a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)或三個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況，當(dāng)a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)時(shí)，，當(dāng)a、b、c中有三個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)．壓軸題型三求解絕對(duì)值方程例題：（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（3）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（4）首先對(duì)方程進(jìn)行整理，得出，再根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．【詳解】（1）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（2）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（3）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（4）解：，整理，可得：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對(duì)值的一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值．正數(shù)的絕對(duì)值為它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值則是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值還是為0．鞏固訓(xùn)練1.（2023秋·遼寧鞍山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題：的含義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，也就是說(shuō)，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因此可以推斷表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．例如，，就是在數(shù)軸上到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即為或；回答問(wèn)題：(1)若，則的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②【答案】(1)(2)①或，②或【分析】（1）根據(jù)表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，求解即可；（2）①根據(jù)，表示在數(shù)軸上與3的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，求出答案；②根據(jù)，表示在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)1與表示數(shù)3的距離之和為8，求出答案．【詳解】（1）解：，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，因此或，故答案為：；（2）①在數(shù)軸上到3的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，或．②在數(shù)軸上到1和3的距離和為8的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，讀懂并理解題目材料，會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．壓軸題型四利用點(diǎn)在數(shù)軸上的幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值例題：（23-24七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上若點(diǎn)A表示的數(shù)是x，點(diǎn)B表示的數(shù)是，則點(diǎn)A和B之間的距離是，若，那么x為；(3)利用數(shù)軸，求的最小值；(4)當(dāng)x是時(shí)，代數(shù)式；【答案】(1)3，4(2)，或0(3)3(4)或2【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離．絕對(duì)值的意義，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）設(shè)表示x的點(diǎn)為M，表示的點(diǎn)為A，表示1的點(diǎn)為B，則是點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離與點(diǎn)M與點(diǎn)B的距離之和．結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)點(diǎn)M的位置分類討論計(jì)算即可；（4）由（3）可得當(dāng)或時(shí)，才成立，分和兩種情況，去掉絕對(duì)值符號(hào)，求解即可．【詳解】（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是．故答案為：3，4（2）表示數(shù)x的點(diǎn)A和表示的點(diǎn)B之間的距離，若，則點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為2，∵點(diǎn)B表示的數(shù)是，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是或0，∴x為或0．故答案為：，或0（3）設(shè)表示x的點(diǎn)為M，表示的點(diǎn)為A，表示1的點(diǎn)為B，則是點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離與點(diǎn)M與點(diǎn)B的距離之和，即．若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，即，如下圖：則，∵，∴；若點(diǎn)M在線段上，即，如下圖：，則，∴；若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)，即，如下圖：則，∵，∴；綜上所述，，即的最小值為3．故答案為：3（4）由（3）可得當(dāng)或時(shí)，才成立，當(dāng)時(shí)，可化為：，解得：，當(dāng)時(shí)，可化為：，解得：，綜上，當(dāng)或2時(shí)，．故答案為：或2鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離：3與5，4與，與．并回答下列各題：(1)數(shù)軸上表示4和兩點(diǎn)間的距離是______；表示和兩點(diǎn)間的距離是______．(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為．①數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離可以表示為_(kāi)_____（用含x的代數(shù)式表示）；②如果數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離為，求x的值．(3)直接寫出代數(shù)式的最小值為_(kāi)_____．【答案】(1)6；4(2)①

②或(3)5【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對(duì)值的意義，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，理解絕對(duì)值的幾何意義是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的求法解題即可；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的求法列出代數(shù)式化簡(jiǎn)即可；②將代入由①所得的式子，求解即可；（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分段討論取值，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別化簡(jiǎn)，取最小值比較即可得出答案．【詳解】（1）解：表示4和兩點(diǎn)間的距離是，表示和兩點(diǎn)間的距離是，故答案為：6；4．（2）解：①數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離可以表示為，故答案為：；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離為時(shí)，則，解得或，的值為或．（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述得的最小值為5，故答案為：5．2.（23-24七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為．則．所以式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：(1)若，則；(2)若，則；(3)式子的最小值為；(4)若，則；(5)式子的最小值為，此時(shí)．【答案】(1)或(2)(3)(4)或(5)；【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，即可求解，（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，確定在和之間，化簡(jiǎn)后，即可求解，（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，確定在和之間，化簡(jiǎn)后，即可求解，（4）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，分在左側(cè)時(shí)，在右側(cè)時(shí)，兩種情況，分別化簡(jiǎn)后，即可求解，（5）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，確定在和之間，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最小值，即可求解，本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，確定的范圍．【詳解】（1）解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，表示到的距離等于，或，故答案為：或，（2）解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，表示到的距離等于到的距離，在和之間，，，故答案為：，（3）解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，的最小值表示到的距離與到的距離之和最小，在和之間的線段上，的最小值是，故答案