人教版九年級數(shù)學 第二十五章 概率初步知識歸納與題型突破（9題型清單）

試卷第=page22頁，共=sectionpages3535頁第二十五章概率初步知識歸納與題型突破（9題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、事件類型①必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.②不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.③不確定事件：許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件.

二、概率1.用直接列舉法求概率直接獲得所有可能的試驗結果數(shù),以及事件所包含的可能的結果數(shù),運用古典概型的求法求概率.2.用列表法列舉法求概率用列表法:用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫列表法.當一次試驗要涉及,并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時,為不重不漏地列出所有可能的結果,通常采用列表法.3.畫樹形圖法求概率樹形圖法:就是用畫樹形圖的方法列出某事件的所有可能的結果,求出出現(xiàn)某種結果的概率的方法.當一次試驗涉及三個或更多的因素時,為了不重不漏地列出所有可能的結果,通常采用“樹形圖”法來求概率.三、用頻率估計概率1．在重復試驗中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)（m），頻數(shù)（m）與試驗總次數(shù)（n）的比，叫這個事件出現(xiàn)的頻率.一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A發(fā)生的概率，記作P(A)＝p.也就是說，當試驗次數(shù)很大時，頻率≈概率.2．實際問題中的試驗一般不屬于各種結果發(fā)生的可能性相等的類型，所以先用頻率去估計概率，然后根據(jù)估計的概率解決相關問題．用頻率估計概率是重要的統(tǒng)計思想.在實際問題中往往根據(jù)概率與頻率的關系進行簡單的估算或預測.0303題型歸納題型一事件分類例：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？(1)張兵買來的電影票的座位號是偶數(shù)；(2)拋出去的鉛球會落在地上；(3)嬰兒會騎摩托車．2．下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．明天太陽從東方升起 B．拋擲硬幣時，正面朝上C．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈 D．擲一次骰子，向上的一面是6點3．射擊運動員隨機射擊一次，命中靶心，這個事件是（

）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機事件 D．確定性事件4．下列事件中、屬于不可能事件的是（）A．打開電視機、正在直接足球比賽 B．在只裝有2個玻璃球球的袋中摸出一個球是黑球C．擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)大于7 D．當室外溫度低于時，一碗清水在室外會結冰5．下列成語描述的事件是隨機事件的是（

）A．水中撈月 B．日出東方 C．守株待兔 D．畫餅充饑6．拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，擲一次骰子，下列事件中是不可能事件的為（）A．點數(shù)為1 B．點數(shù)為3 C．點數(shù)為5 D．點數(shù)為77．下列成語描述的事件為隨機事件的是（）A．守株待兔 B．種豆得豆 C．水中撈月 D．水漲船高8．在一個不透明的抽獎盒里裝有除顏色外無其他差別的個紅球、個黃球和個藍球，從中隨機抽出個球，下列事件屬于隨機事件的是（

）A．至少摸出一個藍球 B．至少摸出兩個黃球C．至少摸出一個紅球 D．至少摸出兩個藍球題型二判斷事件的可能性例：有一個轉盤（如圖所示），被分成6個相等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定．轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置（指針指向兩個扇形的交線時，重新轉動）．下列事件：①指針指向紅色；②指針指向綠色；③指針指向黃色；④指針不指向黃色；⑤指針不指向綠色．思考各事件的可能性大小，然后回答下列問題：

(1)可能性最大和最小的事件分別是哪個？（用序號表示）(2)將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列．10．一個布袋里裝有2個紅球，4個黑球，3個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（

）A．摸出的是綠球 B．摸出的是黑球C．摸出的是紅球 D．摸出的是白球11．如圖是一個游戲轉盤．自由轉動轉盤，當轉盤停止轉動后，指針落在數(shù)字1，2，3，4所示區(qū)域內可能性最大的是（）A．1號 B．2號 C．3號 D．4號12．一只不透明的袋子中裝有1個白球、2個黃球和3個紅球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，①該球是白球；②該球是黃球；③該球是紅球．將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大排列為．13．在一副撲克牌中，任意抽取一張，則下列事件：①抽到“紅桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“紅色的”，則事件發(fā)生的可能性最大的是．（填序號）【答案】④題型三概率公式例：骰子各面上的點數(shù)分別是1，2，…，6，拋擲一枚骰子，點數(shù)是2倍數(shù)的概率是（）A． B． C． D．115．已知關于x的一元二次方程．(1)若方程有兩個不相等實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在，，，0，1，2六個數(shù)中任取一個數(shù)作為m的取值，代入方程，求使得方程有兩個不相等的實數(shù)根的概率．16．身份證是每一個公民的重要證件，身份證號碼由位數(shù)碼組成，其中第位表示性別（奇數(shù)分給男性，偶數(shù)分給女性）．例如：某同學的身份證號碼是，那么這位同學是男生．臨近中考，為了核對大家的報考信息，需收集學生的身份證．某班有個男生，個女生，從收齊的身份證中隨機抽取一張，第位數(shù)碼是奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．17．有5個除顏色以外大小觸感完全相同的小球裝在一個不透明的口袋中，其中2個紅球，3個白球．隨機摸出一個小球，摸出紅球的概率是.18．勞動委員統(tǒng)計了某周全班同學的家庭勞動次數(shù)（單位：次），按勞動次數(shù)分為組：，，，，繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖．從中任選一名同學，則該同學這周家庭勞動次數(shù)不足次的概率是．題型四幾何概率例：一房屋內部結構如圖所示，小李在房屋內自由走動，求他停留在臥室或客廳的概率是多少？20．如圖，過矩形對角線的交點，且分別交、于、，矩形內的一個動點落在陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．21．如圖，隨機地投放一粒米，米粒落在陰影部分（邊界忽略不計）的概率是．22．如圖，地上畫了兩個半徑分別為和的同心圓．假設用小石子投中圓形區(qū)域上的每一點是等可能的（若投中圓的邊界或沒有投中圓形區(qū)域，則重投1次），任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為．

23．向如圖所示的正三角形區(qū)域內扔沙包，（區(qū)域中每個小正三角形陳顏色外完全相同）沙包隨機落在某個正三角形內．(1)扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是．(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域和空白區(qū)域的概率均為，還要涂黑幾個小正三角形？請在圖中畫出．題型五列舉法求概率例：2024年“甲骨文杯”安陽馬拉松賽于4月21日開賽，共設全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑項目．現(xiàn)從這三個項目中隨機選擇兩項進行推廣，則選到歡樂跑項目的概率是（

）A． B． C． D．25．從，，這三個數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)分別記為x，y，把點的坐標記為，若點為，則在平面直角坐標系內直線經(jīng)過第二象限的概率為．26．如圖，隨機地閉合開關中的三個，能夠使燈泡同時發(fā)光的概率是．27．小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是．題型六列表法求概率例：某中學學生會要從初三（2）班4名同學（2男2女）中選出周一晨會的升旗手，選人的方法是從這4人中隨機選出2人．(1)請你用列表或畫樹狀圖的方法求出所有可能出現(xiàn)的結果（兩名男生分別用，表示，兩名女生分別用，表示）；(2)求這2名同學性別相同的概率．29．十二生肖是我國歷史悠久的民俗文化符號，是十二地支的形象化代表；根據(jù)文獻資料記載，最早并廣為流傳的完整十二生肖循環(huán)，是由東漢王充在公元1世紀期間所著《論衡》中提出的；下列四副十二生肖圖片，大小、形狀、質地完全相同，小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，兩張圖片恰好是“牛”和“兔”的概率是（

）

A． B． C． D．30．在深圳中考體育科目中，分為必考項目和選考項目，其中男生的必考項目為在200米和1000米項目中二選一；女生的必考項目為在200米、800米項目中二選一，小明（男生）、小花（女生）（兩人選擇每個項目的可能性一樣）所選的必考項目不同的概率是31．如圖所示，方案1和方案2都是由2個電子元件和組成的電路系統(tǒng)，其中每個元件正常工作的概率均為，且每個元件能否正常工作互相不影響．當?shù)降碾娐窞橥窢顟B(tài)時，系統(tǒng)正常工作，當?shù)降碾娐窞閿嗦窢顟B(tài)，系統(tǒng)不能正常工作．（1）方案1中電路為通路的概率為；（2）根據(jù)電路系統(tǒng)正常工作的概率，連接方案更穩(wěn)定可靠的電路是（選填“方案1”或“方案2”）．32．某市為創(chuàng)評“全國文明城市”稱號，周末組織志愿者進行宣傳活動．班主任張老師決定從4名女生（小悅、小惠、小艷和小倩）中通過抽簽的方式選擇2名女生去參加．抽簽規(guī)則：將4名女生的姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把4張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，梁老師從中隨機抽取一張卡片，記下姓名，再從剩下的3張卡片中隨機抽取第二張，記下姓名．(1)該班男生“小剛被抽中”是事件，“小悅被抽中”是事件（填“不可能”“必然”或“隨機”）；第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為．(2)試用畫樹狀圖法或列表法求出小惠被抽中的概率．題型七樹狀圖法求概率例：2023年6月4日，我省“神十五”航天員張陸和他的兩位戰(zhàn)友安全回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，現(xiàn)在要從這三名航天員中選2人各進入一個實驗艙開展科學實驗，假設“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（

）A． B． C． D．34．成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城疊翠、草堂喜雨等美景．現(xiàn)將分別印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城疊翠”“草堂喜雨”圖案的卡片卡片除圖案外都相同各1張放入不透明的甲盒中，再將與甲盒中完全一樣的4張卡片放入不透明的乙盒中．小蘭從甲、乙兩個盒中各隨機抽取1張卡片，則抽到的卡片恰好是1張“古堰流碧”和1張“青城疊翠”的概率是（

）A． B． C． D．35．小宇與小琳用如圖所示的兩個轉盤做配數(shù)游戲，甲盤平均分成四個面積相等的扇形，乙盤平均分成三個面積相等的扇形．兩位同學分別轉動兩個轉盤一次．甲盤指針指向的數(shù)作為個位上的數(shù)，乙盤指針指向的數(shù)作為十位上的數(shù)，組成一個兩位數(shù)．這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為．

36．西安是中華文明的重要發(fā)祥地，其飲食文化也十分豐富多彩．某校要舉行“我為家鄉(xiāng)美食代言”的宣講活動，主要介紹西安的特色美食，已知學校給定了4個極具特色的主題：A．羊肉泡饃；B．面；C．肉夾饃；D．涼皮．參加的選手從這四個主題中隨機抽取一個進行宣講，小樂和小陽都參加了這項活動．(1)小樂抽中“C．肉夾饃”主題的概率是；(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，求小樂和小陽抽中不同主題的概率．37．春節(jié)是我國的傳統(tǒng)佳節(jié)，深圳是一個很年輕包容的城市，市民來自全國各地．春節(jié)期間，小深調查了本年級學生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示廣東省內深圳市外．并將調查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息回答：(1)本次參加抽樣調查的學生有人；(2)將兩幅不完整的圖補充完整；(3)求扇形統(tǒng)計圖中C所對圓心角的度數(shù)；(4)若有來自A、B、C、D的四位同學，從中抽取兩位同學在開學典禮中分享春節(jié)見聞，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到的同學都來自廣東省的概率．（1）用條形統(tǒng)計圖中D的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中D的百分比可得答案．（2）分別求出C類的人數(shù)、扇形統(tǒng)計圖中A，C的百分比，補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖即可．（3）用乘以C的百分比，即可得出答案．題型八游戲公平性例：在學校開展的數(shù)學活動課上，小明、小紅和小剛制作了一個正三棱錐(質量均勻，4個面完全相同)，并在各個面上分別標記數(shù)字1，2，3，4，游戲規(guī)則如下：小明和小剛投擲三棱錐各1次，并記錄底面的數(shù)字，如果兩次投擲所得底面數(shù)字相等，那么重新投擲；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和小于5，那么小明贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和等于5，那么小紅贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和大于5，那么小剛贏．(1)投擲1次，底面數(shù)字出現(xiàn)3是事件(填“不可能”“必然”或“隨機”)；投擲兩次，底面數(shù)字和為5的概率為．(2)請用列表或畫樹狀圖的方法表示上述游戲中所有可能出現(xiàn)的結果，分別求出小明、小紅和小剛贏的概率，并判斷此游戲對三人是否公平．39．某運動會服務中心要在某校選拔一名志愿者，經(jīng)筆試、面試，結果小明和小穎并列第一．評委會決定通過抓球來確定人選，抓球規(guī)則如下：在不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的2個紅球和1個綠球，小明先取出一個球，記下顏色后放回，小穎再取出一個球，若取出的球都是紅球，則小明獲勝；若取出的球是一紅一綠，則小穎獲勝，你認為這個規(guī)則（

）A．公平 B．對小明有利C．對小穎有利 D．無法確定對誰有利40．小明和小亮是一對雙胞胎，他們的爸爸買了兩套不同品牌的運動服送給他們，小明和小亮都想先挑選．于是小明設計了如下游戲來決定誰先挑選．游戲規(guī)則是：在一個不透明的袋子里裝有除數(shù)字以外其它均相同的4個小球，上面分別標有數(shù)字1，2，3，4．一人先從袋中隨機摸出一個小球，另一人再從袋中隨機摸出一個小球．若摸出的兩個小球上的數(shù)字之積為3的倍數(shù)，則小明先挑選；否則小亮先挑選．這個游戲對公平嗎？請說明理由．41．小明、小亮做一個“配色”的游戲．下圖是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形，并涂上圖中所示的顏色，同時轉動兩個轉盤，如果轉盤A轉出了紅色，轉盤B轉出了藍色，或者轉盤A轉出了藍色，轉盤B轉出了紅色，則紅色和藍色在一起配成紫色，這種情況下小亮贏；同樣，藍色和黃色在一起配成綠色，這種情況下小明贏；在其它情況下，則小明、小亮不分勝，這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．42．如圖，一個均勻的轉盤被等分成份，分別標有,這個數(shù)字．轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字，兩人參與游戲：一人轉動轉盤，另一人猜數(shù)，若所猜數(shù)字與轉出的數(shù)字相符，則猜數(shù)的人獲勝，否則轉動轉盤的人獲勝．猜數(shù)的方法從下面三種中選擇一種：(1)“猜是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率；(2)猜“是的倍數(shù)”或“不是的倍數(shù)”的概率；(3)猜“是大于等于的數(shù)”或“小于等于的數(shù)”的概率；如果輪到你猜數(shù)，那么盡可能的獲勝，你將選擇哪一種猜數(shù)方法？說明理由．43．2024貴陽馬拉松比賽于6月16日上午7點30分在貴陽國際會展中心北廣場正式鳴槍起跑，本屆馬拉松賽共設置四個項目，分別是馬拉松、半程馬拉松、迷你馬拉松以及線上馬拉松．經(jīng)過大家積極的參與，報名人數(shù)共計93902人，由于場地人數(shù)限制，需要抽簽決定是否能夠參與比賽．小紅和小星類比該方式進行抽簽決定是否參加某場活動，在一個不透明的袋子中放入4個完全一樣的小球，分別標有1、2、3、4四個數(shù)字，小紅和小星輪流從袋中摸出一球，記下號碼，然后放回．(1)計算摸到小球數(shù)字為2的概率；(2)如果摸到的球號碼大于2，則小紅參加活動，否則小星參加活動，你認為這個抽簽方式公平嗎？請說明理由．題型九用頻率估計概率例：甲、乙兩名同學在一次用頻率去估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結果的試驗可能是（

）A．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率B．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率C．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率D．任意寫一個整數(shù)，它能被2整除的概率45．從一個不透明的口袋中隨機摸出一球，再放回袋中，不斷重復上述過程，一共摸了200次，其中有50次攬到黑球，已知口袋中僅有黑球10個和白球若干個，這些球除顏色外，其他都一樣，由此估計口袋中有個白球．46．某數(shù)學興趣小組做“用頻率估計概率”的試驗時，記錄了試驗過程并把結果繪制成如下表格，則符合表格數(shù)據(jù)的試驗可能是．試驗總次數(shù)100200300500800100020003000頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.3330.333①擲一枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面朝上；②擲一枚質地均勻的骰子，擲得朝上的點數(shù)是3的整數(shù)倍；③在“石頭、剪刀、布”游戲中，小明出的是“石頭”；④將一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張撲克牌的花色是紅桃．47．某水果銷售網(wǎng)絡平臺以元/kg的成本價購進20000kg沃柑．如表是平臺銷售部通過隨機取樣，得到的“沃柑損壞率”統(tǒng)計表的一部分，從而可大約估計每千克沃柑的實際售價定為元時（精確到元），可獲得13000元利潤．（銷售總金額-損耗總金額-銷售部分成本＝銷售總利潤）沃柑總質量…100200300400500損壞沃柑質量…沃柑損壞的頻率（精確到0.001）…48．電影公司隨機收集了2000部電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.2m0.250.20.1注：好評率是指一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值(1)已知第三類電影獲得好評的有45部，則．(2)如果電影公司從收集的電影中隨機選取1部，求抽到的這部電影是獲得好評的第四類電影的概率．(3)在（1）的條件下電影公司為了增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化，假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，可使改變投資策略后總的好評率達到最大？(4)設一到六類電影的票價依次為60元，50元，40元，30元，20元，10元，未獲好評的電影的上座率均相同．獲好評的六類電影的上座率依次會加，，，，，，在（3）的條件下，試說明總票房是否增加？49．一個不透明的袋子中裝有4個質地大小均相同的小球，這些小球分別標有數(shù)字4、5、6、，甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個小球，并計算摸出的這2個小球上的數(shù)字之和，記錄后都將小球放回袋中攪勻，進行重復試驗．試驗數(shù)據(jù)如下表：摸球總次數(shù)102060120180240330450“和為10”出現(xiàn)的頻數(shù)21024375882110150“和為10”出現(xiàn)的頻率0.200.500.400.310.320.340.330.33解答下列問題：(1)如果試驗繼續(xù)進行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為10”的頻率趨于穩(wěn)定．請估計出現(xiàn)“和為10”的概率是______；(2)如果摸出的這兩個小球上數(shù)字之和為11的概率是，那么的值可以取8嗎？請用列表法或畫樹狀圖法說明理由；如果的值不可以取8，請寫出一個符合要求的值．50．如圖是一個可以自由轉動的轉盤，它被分成了6個面積相等的扇形區(qū)域．數(shù)學小組的學生做轉盤試驗：轉動轉盤，當轉盤停止轉動時，記錄下指針所指區(qū)域的顏色，不斷重復這個過程，獲得數(shù)據(jù)如下：轉動轉盤的次數(shù)200300400100016002000轉到黃色區(qū)域的頻數(shù)7293130334532667轉到黃色區(qū)域的頻率

(1)下列說法錯誤的是______（填寫序號）．①轉動轉盤8次，指針都指向綠色區(qū)域，所以第9次轉動時指針一定指向綠色區(qū)域；②轉動15次，指針指向綠色區(qū)域的次數(shù)不一定大于指向黃色區(qū)域的次數(shù)；③轉動60次，指針指向藍色區(qū)域的次數(shù)一定為10．(2)求表中，的值，并估計隨機轉動轉盤“指針指向黃色區(qū)域”的概率（精確到0.1）；(3)修改轉盤的顏色分布情況，使指針指向每種顏色的可能性相同，寫出一種方案即可．

第二十五章概率初步知識歸納與題型突破（9題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、事件類型①必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.②不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.③不確定事件：許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件.

二、概率1.用直接列舉法求概率直接獲得所有可能的試驗結果數(shù),以及事件所包含的可能的結果數(shù),運用古典概型的求法求概率.2.用列表法列舉法求概率用列表法:用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫列表法.當一次試驗要涉及兩個因素,并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時,為不重不漏地列出所有可能的結果,通常采用列表法.3.畫樹形圖法求概率樹形圖法:就是用畫樹形圖的方法列出某事件的所有可能的結果,求出出現(xiàn)某種結果的概率的方法.當一次試驗涉及三個或更多的因素時,為了不重不漏地列出所有可能的結果,通常采用“樹形圖”法來求概率.三、用頻率估計概率1．在重復試驗中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)（m），頻數(shù)（m）與試驗總次數(shù)（n）的比，叫這個事件出現(xiàn)的頻率.一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A發(fā)生的概率，記作P(A)＝p.也就是說，當試驗次數(shù)很大時，頻率≈概率.2．實際問題中的試驗一般不屬于各種結果發(fā)生的可能性相等的類型，所以先用頻率去估計概率，然后根據(jù)估計的概率解決相關問題．用頻率估計概率是重要的統(tǒng)計思想.在實際問題中往往根據(jù)概率與頻率的關系進行簡單的估算或預測.0303題型歸納題型一事件分類例：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？(1)張兵買來的電影票的座位號是偶數(shù)；(2)拋出去的鉛球會落在地上；(3)嬰兒會騎摩托車．【答案】(1)是隨機事件(2)是必然事件(3)是不可能事件【分析】本題考查事件的分類，掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的定義是解題的關鍵．（1）根據(jù)相關定義判斷即可；（2）根據(jù)相關定義判斷即可；（3）根據(jù)相關定義判斷即可．【詳解】（1）解：張兵買來的電影票的座位號是偶數(shù)，也可能是奇數(shù)，是隨機事件；（2）解：拋出去的鉛球一定會落在地上，是必然事件；（3）解：嬰兒會騎摩托車，是不可能事件．2．下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．明天太陽從東方升起 B．拋擲硬幣時，正面朝上C．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈 D．擲一次骰子，向上的一面是6點【答案】A【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)隨機事件、不可能事件、必然事件的概念即可作答．【詳解】解：A、太陽從東方升起是固定的自然規(guī)律，是不變的，故此事件是必然事件，符合題意；B、拋硬幣時，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是隨機事件，不符合題意；C、經(jīng)過路口，有可能出現(xiàn)紅燈，也有可能出現(xiàn)綠燈、黃燈，故遇到紅燈是隨機事件，不符合題意；D、擲一次骰子，向上的一面是可能是1，2，3，4，5，6點，故向上的一面是6點是隨機事件，不符合題意；故選：A．3．射擊運動員隨機射擊一次，命中靶心，這個事件是（

）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機事件 D．確定性事件【答案】C【分析】本題主要考查了事件的分類，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為不確定事件，又稱隨機事件；一定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件，一定會發(fā)生的事件叫做必然事件，據(jù)此可得答案．【詳解】解：射擊運動員隨機射擊一次，可能命中靶心，也可能不命中靶心，故該事件是隨機事件，故選：C．4．下列事件中、屬于不可能事件的是（）A．打開電視機、正在直接足球比賽 B．在只裝有2個玻璃球球的袋中摸出一個球是黑球C．擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)大于7 D．當室外溫度低于時，一碗清水在室外會結冰【答案】C【分析】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．熟知這三類事件的區(qū)別是解題的關鍵．根據(jù)這三類事件的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．打開電視機，正在直播足球比賽是隨機事件，故本選項不符合題意；B．在只裝有2個玻球的袋中摸出一個球是黑球是隨機事件，故本選項不符合題意；C．擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)大于7是不可能事件，故本選項符合題意；D．當室外溫度低于時，一碗清水在室外會結冰是必然事件，故本選項不符合題意；故選：C．5．下列成語描述的事件是隨機事件的是（

）A．水中撈月 B．日出東方 C．守株待兔 D．畫餅充饑【答案】C【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行解答即可．【詳解】解：A．水中撈月，是不可能事件，故該選項不符合題意；B．日出東方，是必然事件，故該選項不符合題意；C．守株待兔，是隨機事件，故該選項符合題意；D．畫餅充饑，是不可能事件，故該選項不符合題意；故選：C．6．拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，擲一次骰子，下列事件中是不可能事件的為（）A．點數(shù)為1 B．點數(shù)為3 C．點數(shù)為5 D．點數(shù)為7【答案】D【分析】本題考查事件的分類，事件根據(jù)其發(fā)生的可能性大小分為必然事件、隨機事件、不可能事件三類，不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．拋一枚正方體骰子，可能出現(xiàn)的數(shù)字為：1，2，3，4，5，6．【詳解】解：A、點數(shù)為1是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故不合題意；B、點數(shù)為3是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故不合題意；C、點數(shù)為5是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故不合題意；D、點數(shù)為7是不可能事件，故符合題意，故選：D．7．下列成語描述的事件為隨機事件的是（）A．守株待兔 B．種豆得豆 C．水中撈月 D．水漲船高【答案】A【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件，必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，據(jù)此即可判斷求解，掌握必然事件、不可能事件和隨機事件的定義是解題的關鍵．【詳解】解：、守株待兔是隨機事件，故符合題意；、種豆得豆是必然事件，故不符合題意；、水中撈月是不可能事件，故不符合題意；、水漲船高是必然事件，故不符合題意；故選：．8．在一個不透明的抽獎盒里裝有除顏色外無其他差別的個紅球、個黃球和個藍球，從中隨機抽出個球，下列事件屬于隨機事件的是（

）A．至少摸出一個藍球 B．至少摸出兩個黃球C．至少摸出一個紅球 D．至少摸出兩個藍球【答案】A【分析】本題考查了隨機事件、不可能事件和必然事件，根據(jù)隨機事件、不可能事件和必然事件的定義即可判斷求解，掌握隨機事件、不可能事件和必然事件的定義是解題的關鍵．【詳解】解：、從中隨機抽出個球，至少摸出一個藍球是隨機事件，該選項符合題意；、從中隨機抽出個球，至少摸出兩個黃球是不可能事件，該選項不合題意；、從中隨機抽出個球，至少摸出一個紅球是必然事件，該選項不合題意；、從中隨機抽出個球，至少摸出兩個藍球是不可能事件，該選項不合題意；故選：．題型二判斷事件的可能性例：有一個轉盤（如圖所示），被分成6個相等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定．轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置（指針指向兩個扇形的交線時，重新轉動）．下列事件：①指針指向紅色；②指針指向綠色；③指針指向黃色；④指針不指向黃色；⑤指針不指向綠色．思考各事件的可能性大小，然后回答下列問題：

(1)可能性最大和最小的事件分別是哪個？（用序號表示）(2)將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列．【答案】(1)⑤；②(2)【分析】（1）分別求出各個事件的概率，即可比較出對應事件可能性大小關系；（2）根據(jù)所求的概率，即可得出答案．【詳解】（1）∵共3紅2黃1綠相等的六部分，∴①指針指向紅色的概率為；②指針指向綠色的概率為；③指針指向黃色的概率為；④指針不指向黃色的概率為，⑤指針不指向綠色的概率為，∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②；（2）解：由（1）得：．【點睛】本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待．用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10．一個布袋里裝有2個紅球，4個黑球，3個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（

）A．摸出的是綠球 B．摸出的是黑球C．摸出的是紅球 D．摸出的是白球【答案】B【分析】本題考查等可能事件發(fā)生的概率，如果一件事有n種可能，而這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)了m種情況，則事件A發(fā)生的概率為：．【詳解】解：解：任意摸出一個球，為紅球的概率是：，任意摸出一個球，為黑球的概率是：，任意摸出一個球，為白球的概率是：，故可能性最大的為：摸出的是黑球，故答案為：B．11．如圖是一個游戲轉盤．自由轉動轉盤，當轉盤停止轉動后，指針落在數(shù)字1，2，3，4所示區(qū)域內可能性最大的是（）A．1號 B．2號 C．3號 D．4號【答案】D【分析】比較圓心角度數(shù)大小即可．【詳解】解：由圖形知，數(shù)字4對應扇形圓心角度數(shù)最大，所以指針落在數(shù)字所示區(qū)域內可能性最大的是4號，故選：D．【點睛】本題主要考查可能性的大小，解題的關鍵是掌握隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法．12．一只不透明的袋子中裝有1個白球、2個黃球和3個紅球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，①該球是白球；②該球是黃球；③該球是紅球．將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大排列為．【答案】【分析】根據(jù)概率公式，求出各個事件發(fā)生的概率，再進行比較即可．【詳解】解：∵袋子中裝有1個白球、2個黃球和3個紅球，∴摸出白球概率，摸出黃球概率，摸出紅球概率，∴將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大排列為；故答案為：．【點睛】本題主要考查了用概率公式求事件發(fā)生的概率，解題的關鍵是掌握事件發(fā)生的概率等于符合條件的情況數(shù)和總情況數(shù)之比．13．在一副撲克牌中，任意抽取一張，則下列事件：①抽到“紅桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“紅色的”，則事件發(fā)生的可能性最大的是．（填序號）【答案】④【分析】根據(jù)題意逐項分析判段即可求解．【詳解】解：在一副撲克牌中，有54張紙牌，有4種花色，2種顏色，“黑桃”有1個，“”有4個，則①抽到“紅桃”的概率為；②抽到“黑桃”的概率為；③抽到“”的概率是；④抽到“紅色的”概率為，則事件發(fā)生的可能性最大的是④，故答案為：④．【點睛】本題考查了判斷事件發(fā)生的可能性大小，理解題意是解題的關鍵．題型三概率公式例：骰子各面上的點數(shù)分別是1，2，…，6，拋擲一枚骰子，點數(shù)是2倍數(shù)的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】本題主要考查隨機事件的概率，掌握概率公式是解題的關鍵．根據(jù)概率公式直接求解即可．【詳解】解：∵拋擲一枚骰子，共有6種等可能的結果，偶數(shù)有3種，∴點數(shù)是偶數(shù)的概率．故選A．15．已知關于x的一元二次方程．(1)若方程有兩個不相等實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在，，，0，1，2六個數(shù)中任取一個數(shù)作為m的取值，代入方程，求使得方程有兩個不相等的實數(shù)根的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查一元二次方程根與判別式的關系，根據(jù)概率公式求概率，熟練掌握兩者間的判定條件即可，注意不要遺漏二次項系數(shù)不為0這個要素．（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍，再將給出的數(shù)代入判別式，求出即可；（2）列舉出所有情況，讓使得方程有兩個不相等的實數(shù)根的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】（1）∵原方程有兩個不相等實數(shù)根，∴，解得，，∴實數(shù)m的取值范圍為：．（2）在六個數(shù)中任取一個數(shù)作為m共有6個等可能結果：，，，0，1，2；由（1）可知，當時原方程有兩個不相等實數(shù)根，∴使得方程有兩個不相等的實數(shù)根的結果有3個：0，1，2，∴使得方程有兩個不相等的實數(shù)根的概率為．16．身份證是每一個公民的重要證件，身份證號碼由位數(shù)碼組成，其中第位表示性別（奇數(shù)分給男性，偶數(shù)分給女性）．例如：某同學的身份證號碼是，那么這位同學是男生．臨近中考，為了核對大家的報考信息，需收集學生的身份證．某班有個男生，個女生，從收齊的身份證中隨機抽取一張，第位數(shù)碼是奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了概率，用男生人數(shù)除以全班總人數(shù)即可求解，掌握概率計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，從收齊的身份證中隨機抽取一張，第位數(shù)碼是奇數(shù)的概率是，故選：．17．有5個除顏色以外大小觸感完全相同的小球裝在一個不透明的口袋中，其中2個紅球，3個白球．隨機摸出一個小球，摸出紅球的概率是.【答案】【分析】利用紅球的個數(shù)球的總個數(shù)可得紅球的概率.此題主要考查了概率公式，關鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.【詳解】解：∵一個口袋里有5個除顏色外完全相同的小球，其中2個紅球，3個白球，∴摸到紅球的概率是.故答案為：.18．勞動委員統(tǒng)計了某周全班同學的家庭勞動次數(shù)（單位：次），按勞動次數(shù)分為組：，，，，繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖．從中任選一名同學，則該同學這周家庭勞動次數(shù)不足次的概率是．【答案】/【分析】本題考查直方圖，求概率，利用概率公式進行計算即可，解題的關鍵是讀懂題意，從直方圖中獲取信息．【詳解】由題意，得：，故答案為：．題型四幾何概率例：一房屋內部結構如圖所示，小李在房屋內自由走動，求他停留在臥室或客廳的概率是多少？【答案】【分析】本題考查了幾何概率，整式的混合運算，解題關鍵是求得房屋的總面積．分別表示出房屋總面積以及臥室和客廳的面積和，相除即可求得概率．【詳解】解：由圖形可知，房屋總面積為：，臥室和客廳的面積和為：，他停留在臥室或客廳的概率是．20．如圖，過矩形對角線的交點，且分別交、于、，矩形內的一個動點落在陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了幾何概率，矩形的性質．根據(jù)矩形的性質，得，再由與同底等高，與同底且的高是高的得出結論．【詳解】解：四邊形為矩形，，在與中，，，陰影部分的面積，與同底且的高是高的，．矩形內的一個動點落在陰影部分的概率是，故選：B．21．如圖，隨機地投放一粒米，米粒落在陰影部分（邊界忽略不計）的概率是．【答案】【分析】此題主要考查了幾何概率，正確掌握概率公式是解題關鍵．直接表示出圖中陰影部分的面積所占分率，進而得出落在陰影部分的概率．【詳解】解：由軸對稱的性質可得：故米粒落在圖中陰影部分的概率是，故答案為：．22．如圖，地上畫了兩個半徑分別為和的同心圓．假設用小石子投中圓形區(qū)域上的每一點是等可能的（若投中圓的邊界或沒有投中圓形區(qū)域，則重投1次），任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為．

【答案】【分析】本題考查幾何概率，先求得整個圖形的總面積和白色小圓的面積，再由白色小圓面積除以總面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，總面積為，白色小圓面積為，∴任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為，故答案為：．23．向如圖所示的正三角形區(qū)域內扔沙包，（區(qū)域中每個小正三角形陳顏色外完全相同）沙包隨機落在某個正三角形內．(1)扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是．(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域和空白區(qū)域的概率均為，還要涂黑幾個小正三角形？請在圖中畫出．【答案】(1)(2)還要涂黑2個小正三角形，圖見解析【分析】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率．（1）求出陰影部分的面積與三角形的面積的比值即可解答；（2）利用（1）中求法得出答案即可．【詳解】（1）解：因為陰影部分的面積與三角形的面積的比值是，所以扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于．故答案為：．（2）解：要使沙包落在圖中陰影區(qū)域和空白區(qū)域的概率均為，則陰影區(qū)域的小正三角形的數(shù)量為個，即還要涂黑2個小正三角形，如圖所示（答案不唯一）：題型五列舉法求概率例：2024年“甲骨文杯”安陽馬拉松賽于4月21日開賽，共設全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑項目．現(xiàn)從這三個項目中隨機選擇兩項進行推廣，則選到歡樂跑項目的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了用列舉法求概率，通過列舉找出共有的選擇數(shù)量，然后再選出選到歡樂跑項目的數(shù)量，然后根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】解：從這三個項目中隨機選擇兩項進行推廣，則有①全程馬拉松、半程馬拉松；②全程馬拉松，歡樂跑項目；③半程馬拉松，歡樂跑項目一共3種選擇，其中選到歡樂跑項目有2種選項，故選到歡樂跑項目的概率是：故選：B．25．從，，這三個數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)分別記為x，y，把點的坐標記為，若點為，則在平面直角坐標系內直線經(jīng)過第二象限的概率為．【答案】【分析】本題考查了求概率、一次函數(shù)的圖像，正確找出當直線經(jīng)過第二象限時，點的所有符合條件的坐標是解題關鍵．【詳解】解：由題意得：點的坐標共有種：，，，，，2,3，點為，直線經(jīng)過第二象限，點的坐標有，，，2,3，共四種情況；在平面直角坐標系內直線經(jīng)過第二象限的概率為，故答案為：．26．如圖，隨機地閉合開關中的三個，能夠使燈泡同時發(fā)光的概率是．【答案】【分析】本題考查了列舉法求隨機事件的概率，根據(jù)圖示，把所有等可能結果表示出來，再運用概率計算公式即可求解，掌握列舉法求隨機事件的概率的方法是解題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，把所有等可能結果表示出來如下，共有10種等可能結果，能讓同時發(fā)光得結果有兩種，∴你能夠使燈泡同時發(fā)光得概率是，故答案為：．27．小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是．【答案】1【分析】本題考查了用列舉法求概率，列出所有可能出現(xiàn)的結果，再找出每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的結果，利用概率公式計算即可求解，正確列出所有可能出現(xiàn)的結果是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，共有種結果：紅紅，黃黃，藍藍；紅紅，藍黃，黃藍；黃紅，紅黃，藍藍；黃紅，藍黃，紅藍；藍紅，紅黃，黃藍；藍紅，黃黃，紅藍；其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有種結果，∴每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是，故答案為：13題型六列表法求概率例：某中學學生會要從初三（2）班4名同學（2男2女）中選出周一晨會的升旗手，選人的方法是從這4人中隨機選出2人．(1)請你用列表或畫樹狀圖的方法求出所有可能出現(xiàn)的結果（兩名男生分別用，表示，兩名女生分別用，表示）；(2)求這2名同學性別相同的概率．【答案】(1)共有12種等可能出現(xiàn)的結果(2)【分析】本題考查了列表或畫樹狀圖的方法求概率，準確畫出列表或樹狀圖是解題關鍵．（1）列表即可得出共有12種等可能出現(xiàn)的結果；（2）由列表可知，共有12種等可能出現(xiàn)的結果，其中這2名同學性別相同的情況有4種，由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：列表如下：由列表可知，共有12種等可能出現(xiàn)的結果；（2）根據(jù)列表可知：共有12中等可能結果，其中這2名同學性別相同的情況有4種，則這2名同學性別相同的概率為．29．十二生肖是我國歷史悠久的民俗文化符號，是十二地支的形象化代表；根據(jù)文獻資料記載，最早并廣為流傳的完整十二生肖循環(huán)，是由東漢王充在公元1世紀期間所著《論衡》中提出的；下列四副十二生肖圖片，大小、形狀、質地完全相同，小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，兩張圖片恰好是“?！焙汀巴谩钡母怕适牵?/p>

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及兩張圖片恰好是“?！薄巴谩钡慕Y果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：列表如下：鼠?；⑼檬螅ㄊ?，牛）（鼠，虎）（鼠，兔）牛（牛，鼠）（牛，虎）（牛，兔）虎（虎，鼠）（虎，牛）（虎，兔）兔（兔，鼠）（兔，牛）（兔，虎）共有12可能的結果，其中兩張圖片恰好是“牛”“兔”的結果有2種，兩張圖片恰好是“?！薄巴谩钡母怕蕿椋蔬x：C．30．在深圳中考體育科目中，分為必考項目和選考項目，其中男生的必考項目為在200米和1000米項目中二選一；女生的必考項目為在200米、800米項目中二選一，小明（男生）、小花（女生）（兩人選擇每個項目的可能性一樣）所選的必考項目不同的概率是【答案】【分析】本題主要考查了列表法求概率，根據(jù)題意正確列表成為解題的關鍵．先列表求出所有等可能結果數(shù)和兩人選擇每個項目一樣的結果數(shù)，然后運用概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：200米800米200米（200米，200米）（200米，800米）1000米（1000米，200米）（1000米，800米）共有4種等可能的結果，其中小明、小花所選的必考項目不同的結果有：（200米，800米），（1000米，200米），（1000米，800米），共3種，∴小明、小花所選的必考項目不同的概率為．故答案為：．31．如圖所示，方案1和方案2都是由2個電子元件和組成的電路系統(tǒng)，其中每個元件正常工作的概率均為，且每個元件能否正常工作互相不影響．當?shù)降碾娐窞橥窢顟B(tài)時，系統(tǒng)正常工作，當?shù)降碾娐窞閿嗦窢顟B(tài)，系統(tǒng)不能正常工作．（1）方案1中電路為通路的概率為；（2）根據(jù)電路系統(tǒng)正常工作的概率，連接方案更穩(wěn)定可靠的電路是（選填“方案1”或“方案2”）．【答案】方案2【分析】本題考查的是畫樹狀圖或列表法求解隨機事件的概率，熟練的列表是解本題的關鍵．（1）先列表得到方案1的所有等可能的結果數(shù)與符合條件的結果數(shù)，再利用概率公式計算即可；（2）先列表得到方案2的所有等可能的結果數(shù)與符合條件的結果數(shù)，再利用概率公式計算概率，再比較兩個概率的大小即可．【詳解】解：（1）方案1所有情況如下表：①②從到的電路共4種等可能結果，其中該電路為通路的有1種，所以該電路為通路的概率為；故答案為：，（2）方案2更穩(wěn)定可靠，理由如下：由（1）得，方案1中電路系統(tǒng)正常工作的概率為，方案2中從到的電路的所有可能結果為，，共4種等可能結果，其中電路系統(tǒng)正常工作有3種，所以方案2中電路系統(tǒng)正常工作的概率為方案2更穩(wěn)定可靠．故答案為：方案2．32．某市為創(chuàng)評“全國文明城市”稱號，周末組織志愿者進行宣傳活動．班主任張老師決定從4名女生（小悅、小惠、小艷和小倩）中通過抽簽的方式選擇2名女生去參加．抽簽規(guī)則：將4名女生的姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把4張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，梁老師從中隨機抽取一張卡片，記下姓名，再從剩下的3張卡片中隨機抽取第二張，記下姓名．(1)該班男生“小剛被抽中”是事件，“小悅被抽中”是事件（填“不可能”“必然”或“隨機”）；第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為．(2)試用畫樹狀圖法或列表法求出小惠被抽中的概率．【答案】(1)不可能；隨機；(2)【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.（1）根據(jù)隨機事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；（2）列舉出所有情況數(shù)，看所求的情況占總情況的多少即可.【詳解】（1）該班男生“小剛被抽中”是不可能事件，“小悅被抽中”是隨機事件，第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為故答案為：不可能；隨機；（2）記小悅、小惠、小艷和小倩這四位女同學分別為,列表如下:ABCDA——(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)——(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)——(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)——由表可知，共有種等可能結果，其中小惠被抽中的有種結果，所以小惠被抽中的概率為題型七樹狀圖法求概率例：2023年6月4日，我省“神十五”航天員張陸和他的兩位戰(zhàn)友安全回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，現(xiàn)在要從這三名航天員中選2人各進入一個實驗艙開展科學實驗，假設“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫出樹狀圖，運用概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：∴一共有6種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時被選中的情況有2種，∴甲、乙兩人同時被選中的概率為，故選：B．34．成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城疊翠、草堂喜雨等美景．現(xiàn)將分別印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城疊翠”“草堂喜雨”圖案的卡片卡片除圖案外都相同各1張放入不透明的甲盒中，再將與甲盒中完全一樣的4張卡片放入不透明的乙盒中．小蘭從甲、乙兩個盒中各隨機抽取1張卡片，則抽到的卡片恰好是1張“古堰流碧”和1張“青城疊翠”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意題目中是放回試驗還是不放回實驗試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖，得到所有等可能的結果數(shù)，再找出滿足條件的結果數(shù)，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：設印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城疊翠”“草堂喜雨”圖案的卡片分別為A、B、C、D，畫樹狀圖如圖：

由圖知，一共有16種等可能的結果，其中抽到的卡片恰好是1張“古堰流碧”和1張“青城疊翠”有2種，∴抽到的卡片恰好是1張“古堰流碧”和1張“青城疊翠”的概率為，故選：A．35．小宇與小琳用如圖所示的兩個轉盤做配數(shù)游戲，甲盤平均分成四個面積相等的扇形，乙盤平均分成三個面積相等的扇形．兩位同學分別轉動兩個轉盤一次．甲盤指針指向的數(shù)作為個位上的數(shù)，乙盤指針指向的數(shù)作為十位上的數(shù)，組成一個兩位數(shù)．這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為．

【答案】【分析】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意本題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．依據(jù)樹狀圖分析所有等可能的情況數(shù)，組成一個兩位數(shù)．這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：

共有12種等情況數(shù)，組成一個兩位數(shù)．這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的情況有：51，72，63，54共4種，則這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為；故答案為：．36．西安是中華文明的重要發(fā)祥地，其飲食文化也十分豐富多彩．某校要舉行“我為家鄉(xiāng)美食代言”的宣講活動，主要介紹西安的特色美食，已知學校給定了4個極具特色的主題：A．羊肉泡饃；B．面；C．肉夾饃；D．涼皮．參加的選手從這四個主題中隨機抽取一個進行宣講，小樂和小陽都參加了這項活動．(1)小樂抽中“C．肉夾饃”主題的概率是；(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，求小樂和小陽抽中不同主題的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關鍵．（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中小樂和小陽抽中不同主題的結果有12種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：∵共有：A．羊肉泡饃；B．面；C．肉夾饃；D．涼皮4個主題，∴小樂抽中“C．肉夾饃”的概率是，故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，其中小樂和小陽抽中不同主題的結果有12種，∴所求概率為．37．春節(jié)是我國的傳統(tǒng)佳節(jié)，深圳是一個很年輕包容的城市，市民來自全國各地．春節(jié)期間，小深調查了本年級學生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示廣東省內深圳市外．并將調查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息回答：(1)本次參加抽樣調查的學生有人；(2)將兩幅不完整的圖補充完整；(3)求扇形統(tǒng)計圖中C所對圓心角的度數(shù)；(4)若有來自A、B、C、D的四位同學，從中抽取兩位同學在開學典禮中分享春節(jié)見聞，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到的同學都來自廣東省的概率．【答案】(1)600(2)補全圖見解析(3)(4)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，能夠讀懂統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關鍵．（1）用條形統(tǒng)計圖中D的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中D的百分比可得答案．（2）分別求出C類的人數(shù)、扇形統(tǒng)計圖中A，C的百分比，補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖即可．（3）用乘以C的百分比，即可得出答案．（4）畫樹狀圖可得出所有等可能的結果數(shù)以及恰好抽到的同學都來自廣東省的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：本次參加抽樣調查的學生有（人）．故答案為：600．（2）C類的人數(shù)為（人）．扇形統(tǒng)計圖中A的百分比為，C的百分比為．補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖如圖所示．（3）扇形統(tǒng)計圖中C所對圓心角的度數(shù)為．故答案為：．（4）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中恰好抽到的同學都來自廣東省的結果有：，，共2種，∴恰好抽到的同學都來自廣東省的概率為．題型八游戲公平性例：在學校開展的數(shù)學活動課上，小明、小紅和小剛制作了一個正三棱錐(質量均勻，4個面完全相同)，并在各個面上分別標記數(shù)字1，2，3，4，游戲規(guī)則如下：小明和小剛投擲三棱錐各1次，并記錄底面的數(shù)字，如果兩次投擲所得底面數(shù)字相等，那么重新投擲；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和小于5，那么小明贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和等于5，那么小紅贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和大于5，那么小剛贏．(1)投擲1次，底面數(shù)字出現(xiàn)3是事件(填“不可能”“必然”或“隨機”)；投擲兩次，底面數(shù)字和為5的概率為．(2)請用列表或畫樹狀圖的方法表示上述游戲中所有可能出現(xiàn)的結果，分別求出小明、小紅和小剛贏的概率，并判斷此游戲對三人是否公平．【答案】(1)隨機，(2)此游戲對三人是公平的【分析】本題考查了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．也考查了列表法與樹狀圖法．（1）根據(jù)題意在表格內列舉出所有情形，找出所有等可能的情況數(shù)，得出投擲兩次，底面數(shù)字和為5的情況即可求解；（2）根據(jù)題意列出表格，分別求出三人獲勝得概率，比較即可得到游戲公平與否．【詳解】（1）解：投擲1次，底面數(shù)字出現(xiàn)3是隨機事件；列表如下：12341345235634574567從上表可知，共有12種等可能的情況，投擲兩次，底面數(shù)字和為5的情況有4種，故投擲兩次，底面數(shù)字和為5的概率為，故答案為：隨機，；（2）由（1）可知，兩次投擲所得底面數(shù)字的和小于5的情況有4種，則小明贏的概率為，兩次投擲所得底面數(shù)字的和等于5的情況有4種，則小紅贏的概率為，兩次投擲所得底面數(shù)字的和大于5的情況有4種，則小剛贏的概率為，故此游戲對三人是公平的．39．某運動會服務中心要在某校選拔一名志愿者，經(jīng)筆試、面試，結果小明和小穎并列第一．評委會決定通過抓球來確定人選，抓球規(guī)則如下：在不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的2個紅球和1個綠球，小明先取出一個球，記下顏色后放回，小穎再取出一個球，若取出的球都是紅球，則小明獲勝；若取出的球是一紅一綠，則小穎獲勝，你認為這個規(guī)則（

）A．公平 B．對小明有利C．對小穎有利 D．無法確定對誰有利【答案】A【分析】本題主要考查了用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結果總數(shù)，找出符合條件的結果數(shù)，注意每種情況發(fā)生的可能性相等．進而用概率公式求出概率，然后進行判斷即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：由樹狀圖可知，共有9種等可能的結果，其中取出的球都是紅球與一紅一綠的結果各有4種，∴P(都是紅球)，P(一紅一綠)，∴這個規(guī)則對雙方是公平的．故選：A．40．小明和小亮是一對雙胞胎，他們的爸爸買了兩套不同品牌的運動服送給他們，小明和小亮都想先挑選．于是小明設計了如下游戲來決定誰先挑選．游戲規(guī)則是：在一個不透明的袋子里裝有除數(shù)字以外其它均相同的4個小球，上面分別標有數(shù)字1，2，3，4．一人先從袋中隨機摸出一個小球，另一人再從袋中隨機摸出一個小球．若摸出的兩個小球上的數(shù)字之積為3的倍數(shù)，則小明先挑選；否則小亮先挑選．這個游戲對公平嗎？請說明理由．【答案】公平，理由見解析【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷，列表法或畫樹狀圖法求概率．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．游戲是否公平，關鍵要看是否游戲雙方各有贏的機會，本題中即小明先挑選或小亮先挑選的概率是否相等，求出概率比較，即可得出結論．【詳解】解：根據(jù)題意可列表如下：第一次第二次12341/2/3/4/從表可以看出所有可能結果共有12種，且每種結果發(fā)生的可能性相同，符合條件的結果有6種，∴；則這個游戲公平．41．小明、小亮做一個“配色”的游戲．下圖是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形，并涂上圖中所示的顏色，同時轉動兩個轉盤，如果轉盤A轉出了紅色，轉盤B轉出了藍色，或者轉盤A轉出了藍色，轉盤B轉出了紅色，則紅色和藍色在一起配成紫色，這種情況下小亮贏；同樣，藍色和黃色在一起配成綠色，這種情況下小明贏；在其它情況下，則小明、小亮不分勝，這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．【答案】這個游戲對雙方不公平，理由見解析【分析】題目主要考查利用列表法或樹狀圖法求概率，熟練掌握列表法或樹狀圖法是解題關鍵．首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與配成紫色與配成綠色的情況，然后利用概率公式求得其概率，比較概率的大小，即可知游戲對雙方是否公平．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，配成紫色的有3種情況，配成綠色的有2種情況，∴P（小亮），P（小明），∵，∴這個游戲對雙方不公平．42．如圖，一個均勻的轉盤被等分成份，分別標有,這個數(shù)字．轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字，兩人參與游戲：一人轉動轉盤，另一人猜數(shù)，若所猜數(shù)字與轉出的數(shù)字相符，則猜數(shù)的人獲勝，否則轉動轉盤的人獲勝．猜數(shù)的方法從下面三種中選擇一種：(1)“猜是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率；(2)猜“是的倍數(shù)”或“不是的倍數(shù)”的概率；(3)猜“是大于等于的數(shù)”或“小于等于的數(shù)”的概率；如果輪到你猜數(shù)，那么盡可能的獲勝，你將選擇哪一種猜數(shù)方法？說明理由．【答案】(1)“猜是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率都是(2)“是的倍數(shù)”的概率是，“不是的倍數(shù)”的概率是(3)選擇“不是的倍數(shù)”，見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知共有種結果，再利用概率的計算公式即可解答；（2）根據(jù)題意可知共有種結果，再利用概率的計算公式即可解答；（3）根據(jù)題意可知共有種結果，再利用概率的計算公式即可解答．本題考查了概率的定義，概率的計算公式，熟練運用概率的計算公式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字，共有8種等可能出現(xiàn)的結果數(shù)，其中“是奇數(shù)”的有種，“是偶數(shù)”的也有4種，∴“是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率都是，∴“猜是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率都是；（2）解：∵當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字，共有8種等可能出現(xiàn)的結果數(shù)，∴其中“是的倍數(shù)”的有種，“不是的倍數(shù)”的種，∴“是的倍數(shù)”的概率是，“不是的倍數(shù)”的概率是；（3）解：∵當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字，共有8種等可能出現(xiàn)的結果數(shù)，∴其中“是大于等于的數(shù)”的有種，“小于等于的數(shù)”的有種，∴“是大于等于的數(shù)”的概率是，“小于等于的數(shù)”的概率是，∴選擇“不是的倍數(shù)”，這樣獲勝的概率為，獲勝的可能性最大．43．2024貴陽馬拉松比賽于6月16日上午7點30分在貴陽國際會展中心北廣場正式鳴槍起跑，本屆馬拉松賽共設置四個項目，分別是馬拉松、半程馬拉松、迷你馬拉松以及線上馬拉松．經(jīng)過大家積極的參與，報名人數(shù)共計93902人，由于場地人數(shù)限制，需要抽簽決定是否能夠參與比賽．小紅和小星類比該方式進行抽簽決定是否參加某場活動，在一個不透明的袋子中放入4個完全一樣的小球，分別標有1、2、3、4四個數(shù)字，小紅和小星輪流從袋中摸出一球，記下號碼，然后放回．(1)計算摸到小球數(shù)字為2的概率；(2)如果摸到的球號碼大于2，則小紅參加活動，否則小星參加活動，你認為這個抽簽方式公平嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)公平，理由見解析【分析】本題考查求簡單事件的概率、判斷游戲的公平性，理解題意，正確求得概率是解答的關鍵．（1）直接利用概率公式求解即可；（2）先分別求得小紅參加活動和小星參加活動的概率，若概率相等，該抽簽方式公平，若概率不相等，該抽簽方式不公平．【詳解】（1）解：所有等可能的結果有4種，其中摸到2的結果有1種，∴P（摸到小球數(shù)字為2）；（2）解：公平；理由如下：所有等可能的結果有4種，其中摸到的球號碼大于2的結果有2種，不大于2的結果有2種∴P（小紅參加活動），P（小星參加活動），，∴這個抽簽方式公平．題型九用頻率估計概率例：甲、乙兩名同學在一次用頻率去估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結果的試驗可能是（

）A．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率B．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率C．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率D．任意寫一個整數(shù)，它能被2整除的概率【答案】B【分析】此題考查了利用頻率估計概率，根據(jù)統(tǒng)計圖可知，試驗結果在附近波動，即其概率，計算四個選項的概率，約為者即為正確答案．掌握概率公式是解題的關鍵．【詳解】解：A、擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率為，故此選項不符合題意；B、從一裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率是：；故此選項符合題意．C、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；D、任意寫出一個整數(shù)，能被2整除的概率為，故此選項不符合題意；故選：B．45．從一個不透明的口袋中隨機摸出一球，再放回袋中，不斷重復上述過程，一共摸了200次，其中有50次攬到黑球，已知口袋中僅有黑球10個和白球若干個，這些球除顏色外，其他都一樣，由此估計口袋中有個白球．【答案】30【分析】本題主要考查了運用頻率估計概率，掌握大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率成為解題的關鍵．先求出摸到黑球的頻率，再由題意列出方程求解即可．【詳解】解：∵摸了200次，其中有50次摸到黑球，∴摸到黑球的頻率是設口袋中大約有x個白球，則，解得：．經(jīng)檢驗符合題意，故答案為：30．46．某數(shù)學興趣小組做“用頻率估計概率”的試驗時，記錄了試驗過程并把結果繪制成如下表格，則符合表格數(shù)據(jù)的試驗可能是．試驗總次數(shù)100200300500800100020003000頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.3330.333①擲一枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面朝上；②擲一枚質地均勻的骰子，擲得朝上的點數(shù)是3的整數(shù)倍；③在“石頭、剪刀、布”游戲中，小明出的是“石頭”；④將一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張撲克牌的花色是紅桃．【答案】②③/③②【分析】本題考查了概率的知識，熟練應用根據(jù)頻率估計概率是解題的關鍵．根據(jù)圖中信息得出，實驗結果在附近波動，即其概率，判斷各項中的概率即可．【詳解】解：①擲一枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面朝上得概