人教版九年級數(shù)學 第二十三章 旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓練（9考點60題）

試卷第=page22頁，共=sectionpages159159頁第二十三章旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓練目錄與鏈接考點一、線段的旋轉(zhuǎn)問題……………2考點二、三角形的旋轉(zhuǎn)……………19考點三、四邊形的旋轉(zhuǎn)……………38考點四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題………………53考點五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題……………66考點六、二次函數(shù)的中心對稱問題………………84考點七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題…………………108考點八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題……………128考點九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究……………146考點一、線段的旋轉(zhuǎn)問題1．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，等腰直角中，，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（）得到線段，作點A關(guān)于線段所在直線的對稱點E，連接和，分別交線段所在直線于點M和點F，若，，則的長為．2．（23-24八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖，在矩形中，，點P是邊上一點，連接，以A為中心，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，且，則的長度為．3．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖①，在矩形中，點E在邊上，點F在邊上，連接，已知(1)求證：平分；(2)如圖②，若矩形為正方形，求的度數(shù)；(3)如圖③，在（2）的基礎(chǔ)上，將點E繞點D順時針旋轉(zhuǎn)使點E的對應點落到點，已知點恰好落在邊的延長線上，連接，若，求的面積.4．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖1，在中，對角線相交于點O，且，，點E為線段上一動點，連接，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，當點F落在的外面，交于點M，且能構(gòu)成四邊形時，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變，請末出這個值，若變化，請說明理由．5．（22-23七年級下·上海·期末）已知在中，，，點為直線上一動點（點不與點重合），將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，直線與射線交于點，過點作的垂線，交直線于點；(1)如圖，若點在線段上，且，求證：；(2)若點在線段的延長線上，且，那么第（1）小問的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；(3)若點在直線上運動，當是等腰三角形時，直接寫出的度數(shù)．6．（23-24九年級上·四川成都·開學考試）【閱讀理解】已知M，N為平面內(nèi)不重合的兩點．給出以下定義：將M繞N順時針旋轉(zhuǎn)的過程記作變換．例如：在平面直角坐標系中，已知點，，則O經(jīng)過變換后所得的點B的坐標為．【遷移應用】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x軸，y軸交于點，B，設(shè)A經(jīng)過變換后得到C．(1)求點C的坐標；(2)過C作軸于D，點E是線段上一動點，設(shè)E經(jīng)過變換后得到點F，連接，．（i）若的面積為3，求點F的坐標；（ii）設(shè)點O是y軸上一動點，當以A，B，F(xiàn)，M四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，求點M的坐標．7．（23-24八年級下·湖北武漢·期末）問題探究

如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在的延長線上的點Q處．（1）求證：；（2）探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．遷移探究

如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．考點二、三角形的旋轉(zhuǎn)8．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中，，，分別與交于，兩點，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則下列結(jié)論：；DA平分；若，，則；若，則．其中正確的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個9．（2024·浙江·模擬預測）在中，，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（），直線與直線交于點，點間的距離記為，點間的距離記為．給出下面四個結(jié)論：①的值一直變大；②的值先變小再變大；③當時，的值保持不變；④當，的值保持不變；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．10．（22-23八年級下·四川成都·期中）如圖，和是兩個不全等的等腰直角三角形，其中，，連接，點M是的中點，連接．(1)若點D在邊上，如圖1，試探究之間的關(guān)系，并說明理由；(2)若將圖1中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，那么（1），中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出新結(jié)論并證明；(3)若將圖1中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖3，，，求BM的長．11．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖1，已知中，，，把一塊含角的三角板的直角頂點D放在的中點上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），點C在上點B在上．(1)求重疊部分的面積；(2)如圖2，將直角三角板繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30度，交于點M，交于點N，①請說明；②在此條件下重疊部分的面積會發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，請說明理由；(3)如圖3，將直角三角板繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（），交于點M，交于點N，則的結(jié)論仍成立嗎？重疊部分的面積會變嗎？（請直接寫出結(jié)論不需說明理由）12．（23-24八年級下·山西晉城·階段練習）綜合與實踐：問題情境：在數(shù)學活動課上，老師要求同學們以矩形為背景探究幾何圖形運動變化中的數(shù)學結(jié)論．如圖1，在矩形中，點O為對角線的中點，點E在邊上，且，

線段的延長線交于點F．（1）如果，則．操作探究：（2）“善思”小組的同學將圖1中的繞點B順時針旋轉(zhuǎn)(設(shè)點O，E的對應點分別為)，

在分析旋轉(zhuǎn)到不同位置時的情形后，提出如下問題，請你解答：①如圖2，當點落在邊上時，所在的直線與存在什么樣的位置關(guān)系？并說明理由②如圖3，當點落在的延長線上時，連接，判斷四邊形的形狀，直接寫出結(jié)果，無需說明理由．13．（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習）圖形的變換是初中數(shù)學學習中的重要內(nèi)容，在中考前的探究專題課上，小亮老師帶領(lǐng)同學們對以下圖形進行了變換探究．如圖在中，，，點D是邊上一點，連接．(1)如圖1，智慧小組的同學將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至．提出問題：求證；(2)如圖2，善思小組的同學將線段沿翻折至，延長和交于點E．提出問題：若，求的面積；(3)如圖3，小亮老師給出了自己的變換方式，若，在線段上取點E，點上關(guān)于直線的對稱點為M，連接，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，連接．①求證；②當時，直接與出的長度．14．（23-24八年級下·山東濟南·期末）綜合與實踐．【初步探究】某校一數(shù)學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，延長交于點，交于點，連接．該數(shù)學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：（1）如圖2，當時：①則______°；②判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【深入探究】（2）如圖3，當點重合時，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系：______；【拓展延伸】（3）如圖4，在等邊中，于點，點在線段上（不與重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將著點在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖5，為的中點，為的中點．請說明為等腰三角形．考點三、四邊形的旋轉(zhuǎn)15．（2024·河南商丘·模擬預測）如圖，已知正方形的邊長為2，另一邊長為的正方形的中心與點A重合，連接，設(shè)的中點為，連接，當正方形繞點A旋轉(zhuǎn)時，的最小值為．16．（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形為梯形，，是邊上的點．經(jīng)過剪拼，四邊形為矩形．則______．(2)探究與證明：探究將任意一個四邊形剪開拼成一個平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，是四邊形邊上的點．是拼接之后形成的四邊形．①通過操作得出：與的比值為______．②證明：四邊形為平行四邊形．(3)實踐與應用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形剪成4塊，按圖5的方式補全圖6，并簡單說明剪開和拼接過程．若不能，請說明理由．17．（23-24八年級下·甘肅武威·期末）某班級開展數(shù)學討論課，老師給出兩個大小不同的正方形，要求同學們利用這兩個圖形提出不同的數(shù)學問題，并解決問題．【問題提出】（）小明思考后提出問題：如圖，大正方形和小正方形，頂點重合，點分別在邊，上．那么線段滿足什么數(shù)量關(guān)系?【聯(lián)系遷移】（）小穎受此問題啟發(fā)，思考并提出新的問題：如圖，將圖中的小正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。┦裹c在邊上，在的延長線上，連接．那么線段滿足什么數(shù)量關(guān)系?說明理由；【開放探索】（）小新深入研究前面提出的問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題：如圖，將圖中的小正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，連接．那么線段仍然具有（）（）中的數(shù)量關(guān)系嗎?說明理由．18．（23-24八年級下·河北張家口·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點，直線軸，交y軸于點，點在直線l上，將矩形繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)度，得到矩形，此時直線、分別與直線l相交于點P、Q．(1)當時，點的坐標為______；(2)如圖2，當點落在l上時，點P的坐標為______；(3)如圖3，當矩形的頂點落在l上時，①求的長度；②求．19．（23-24八年級下·湖北十堰·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像交軸于點，交軸于點，以，，三點為頂點作矩形，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，直線交直線于點．(1)求直線的解析式；(2)求證：是的角平分線；(3)在角平分線上，是否存在點，使得以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．20．（23-24八年級下·江西吉安·期末）問題情景已知與中，，同學們利用這樣的兩張平行四邊形紙片開展操作實驗，從中發(fā)現(xiàn)；許多有趣的數(shù)學問題，請你們和他一起探索．

拼圖思考：（1）希望小組的同學將與按照如圖1所示擺放，其中點B與重合，點落在邊上，點落在邊的延長線上，他們提出了如下問題，請你解答：①求證：平分；②求點之間的距離．操作探究：（2）創(chuàng)新小組的同學在圖1的基礎(chǔ)上進行了如下操作：保持不動，將繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，他們又提出如下問題：①當線段與交于點P時，如圖2，求證：點B在的垂直平分線上；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點恰好落在線段的延長線上時，請在圖3中補全圖形，并直接寫出此時點之間的距離．考點四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題21．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標系中，是等邊三角形，點，直線繞軸上一點順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到的直線恰好經(jīng)過點，則點的坐標是．22．（20-21八年級上·上海黃浦·期中）如圖，正方形ABCD的頂點A、B落在x軸正半軸上，點C落在正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）上，點D落在直線y＝2x上，且點D的橫坐標為a．（1）直接寫出A、B、C、D各點的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；（2）求出k的值；（3）將直線OC繞點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線將正方形ABCD的面積分成1：3兩個部分，求旋轉(zhuǎn)后得到的新直線解析式．23．（18-19八年級下·吉林·階段練習）（1）探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學活動課上，小明說“若直線向左平移3個單位，你能求平移后所得直線所對應函數(shù)表達式嗎？”經(jīng)過一番討論，小組成員展示了他們的解答過程：在直線上任取點，向左平移3個單位得到點設(shè)向左平移3個單位后所得直線所對應的函數(shù)表達式為．因為過點，所以，所以，填空：所以平移后所得直線所對應函數(shù)表達式為（2）類比運用已知直線，求它關(guān)于軸對稱的直線所對應的函數(shù)表達式；（3）拓展運用將直線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出：旋轉(zhuǎn)后所得直線所對應的函數(shù)表達式．24．（21-22八年級下·福建泉州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象分別交x軸、y軸于點A、B，將直線AB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點C．(1)點A坐標是（，）、點B坐標是（，）；(2)求直線BC的函數(shù)表達式；(3)點M是射線BA上的點，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形，如果存在，請求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．25．（21-22八年級下·浙江金華·開學考試）如圖所示，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，過點作軸的垂線，將直線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．(1)若直線經(jīng)過點，①求線段的長；②直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(2)若直線在旋轉(zhuǎn)過程中與軸交于點，當、、均為等腰三角形時，求出符合條件的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．(3)若直線在旋轉(zhuǎn)過程中與直線交于點，連，以為邊作等邊（點、、按逆時針方向排列），連BF．請你探究線段BE，OB與BF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．考點五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題26．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，拋物線與軸交于點，（點在點左邊），與軸交于點，拋物線的頂點為，點在線段（不與點，M重合）上，連接，將線段繞點旋轉(zhuǎn)后得到線段，若點恰好落在拋物線上，則點的坐標為．27．（21-22九年級上·浙江·周測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點A，交軸于點和點，連接、、，與軸交于點．(1)求拋物線表達式；(2)點，點在軸上，點在平面內(nèi)，若，且四邊形是平行四邊形．①求點的坐標；②設(shè)射線與相交于點，交于點，將繞點旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為，求的最小值．28．（23-24九年級上·湖北十堰·階段練習）如圖，拋物線的圖象過點，頂點為，點在軸正半軸上，線段．

(1)求拋物線的解析式；(2)若拋物線上有點，使得是以為斜邊的直角三角形，請求出點的坐標；(3)將直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)所得直線與拋物線相交于另一點，若點是直線上的動點，是否存在點，使，，，四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出此時四邊形的周長和面積；若不存在，請說明理由．29．（20-21九年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于、B兩點，與y軸交于點C，頂點D的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知直線l：y＝x與拋物線交于E、F兩點（點E在F的左側(cè)），點G為線段上的一個動點，過G作y軸的平行線交拋物線于點H，求的最大值及此時點G的坐標；(3)在（2）的條件下，如圖2，若點G是的中點，將繞點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，點B的對應點為、點G的對應點為，將拋物線沿直線的方向平移（兩側(cè)均可），在平移過程中點D的對應點為，在運動過程中是否存在點和點關(guān)于△ABF的某一邊所在直線對稱（與不重合），若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．30．（2024·四川成都·三模）已知拋物線與軸交于點、（在的左側(cè)），與軸交于點．(1)若，，．①求該拋物線解析式；②拋物線上點的橫坐標為，點坐標為，連接，，點為平面內(nèi)任意一點，將繞點旋轉(zhuǎn)得到對應的（點，，的對應點分別為點，，），若中恰有兩個點落在拋物線上，求此時點的坐標；（點不與點重合）(2)如圖2，點和點在拋物線上，其中在點左側(cè)拋物線上，點在軸右側(cè)拋物線上，直線交軸于點，直線交軸于點，設(shè)直線解析式為，當，試證明為一個定值，并求出定值．考點六、二次函數(shù)的中心對稱問題31．（23-24九年級上·江蘇連云港·期末）若函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點關(guān)于原點對稱，我們把該函數(shù)稱為“美好函數(shù)”，其圖像上關(guān)于原點對稱的兩點叫做一對“美好點”．若點是關(guān)于的“美好函數(shù)”上的一對“美好點”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線的右側(cè)．有下列結(jié)論①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④32．（2023·遼寧丹東·模擬預測）如圖，對稱軸為直線的拋物線圖象與軸交于點、點在點的左側(cè)，與軸交于點，其中點的坐標為，點的坐標為．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖，若點為拋物線上第二象限內(nèi)的一個動點，點為線段上一動點，當?shù)拿娣e最大時，求周長的最小值；(3)如圖，將原拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得新拋物線，在新拋物線的對稱軸上是否存在點使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．33．（2024·浙江寧波·一模）若二次函數(shù)與的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，我們稱與互為“中心對稱”函數(shù)．(1)求二次函數(shù)的“中心對稱”函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的頂點在它的“中心對稱”函數(shù)圖象上，且當時，y最大值為2，求此二次函數(shù)解析式．(3)二次函數(shù)的圖象頂點為M，與x軸負半軸的交點為A、B，它的“中心對稱”函數(shù)的頂點為N，與x軸的交點為C、D，從左往右依次是A、B、C、D，若，且四邊形為矩形，求的值．34．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，且與x軸交于點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點旋轉(zhuǎn)，此時點A、B的對應點分別為點C、D．①連結(jié)，當四邊形為矩形時，求m的值；②在①的條件下，若點M是直線上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．35．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）二次函數(shù)的圖像是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關(guān)于原點對稱的拋物線，再將得到的對稱拋物線向上平移個單位，得到新的拋物線，我們稱叫做二次函數(shù)的階變換．(1)二次函數(shù)的頂點關(guān)于原點的對稱點為______，這個拋物線的2階變換的解析式為______；(2)若二次函數(shù)的5階變換的關(guān)系式為．①二次函數(shù)的解析式為______；②若二次函數(shù)的頂點為點，與軸相交的兩個交點中右側(cè)交點為，是軸上的一個動點，請求出使周長最小時，點的坐標．36．（23-24九年級上·江西宜春·階段練習）二次函數(shù)的圖像交軸于原點及點．感知特例：（1）當時，如圖1，拋物線上的點，，，，分別關(guān)于點中心對稱的點為，，，，，如下表：①補全表格：（___，___）②請在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖像記為．形成概念：我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖像上的點和拋物線上的點關(guān)于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當時，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_______；②若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，求的值．37．（23-24九年級上·廣東廣州·階段練習）已知拋物線與y軸交于點C，點N坐標為(1)求證：拋物線與x軸有兩個交點．(2)設(shè)與x軸交于和，且．①當時，利用圖像求的取值范圍．②拋物線與關(guān)于點A中心對稱，與x軸的另一個交點為．問是否存在a，使為直角三角形？若存在，則求出所有可能的a值；若不存在，請說明理由．38．（22-23九年級下·江蘇南京·期中）已知函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）的圖像是中心對稱圖形．用數(shù)學軟件在相同的坐標系中得到以下函數(shù)的圖像（圖①~④），觀察并思考……(1)函數(shù)的圖像如圖⑤所示，指出常數(shù)a，b，c的正負．(2)你同意“函數(shù)的圖像的對稱中心的橫坐標為1”嗎？判斷并說明理由．(3)已知，直接寫出關(guān)于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）．39．（23-24九年級上·湖南長沙·階段練習）如圖，拋物線的頂點為，與x軸的交點為A和B．將拋物線繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點，為點M，A旋轉(zhuǎn)后的對應點，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點．

(1)若原拋物線過點，求拋物線的解析式；(2)若A，關(guān)于點M成中心對稱，求直線的解析式；(3)在（2）的條件下，若點P是原拋物線上的一動點，點Q是旋轉(zhuǎn)后的圖形的對稱軸上一點，E為線段的中點，是否存在點P，使得以P，Q，E，B為頂點的四邊形是平行四邊形；若存在請求出點P坐標，若不存在，請說明理由．考點七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題40．（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習）如圖，四邊形中，，，，，為射線上的動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，的最小值為．41．（22-23九年級上·安徽合肥·期末）在平面直角坐標系中，點，點在x軸的負半軸上，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，點旋轉(zhuǎn)后的對應點為．記旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖①，當時，求與的交點的坐標；(2)如圖②，連接，當經(jīng)過點A時，求的長；(3)設(shè)線段的中點為，連接，求線段的長的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．42．（22-23八年級下·甘肅蘭州·期末）在中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到，點的對應點分別是．(1)如圖，當點恰好在上時，求的度數(shù)；(2)如圖，若，點是邊的中點，試說明四邊形是平行四邊形；(3)若，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請求出其面積最大值；若不存在，請說明理由．43．（2024·山東濟南·模擬預測）（1）如圖1，在中，，點是內(nèi)部任意一點．連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是正方形，繞點旋轉(zhuǎn)，且，，連接，直線與直線相交于點．①求證：；②如圖3，當點在的延長線上時，連接，已知，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求線段的最小值．44．（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖1，在中，，，，點在軸上，以為一邊，在外作等邊三角形，是的中點，連接并延長交于．(1)①求點B的坐標；(2)如圖2．將圖1中的四邊形折疊，使點與點重合，折痕為，求的長；(3)如圖1，連接，在線段上有一動點，連接，，直接寫出的最小值為______；(4)若去掉題干中這個條件，點為外一點，連接，，，若，，則當線段的長度最小時，______，的最小值是______．45．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖1，在平面直角坐標中，已知點，點，將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，作直線．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)是平面內(nèi)一點，且，求n與m的關(guān)系；(3)如圖2，是x軸上一動點，將線段繞點H順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，當與直線有交點時，求h的取值范圍．46．（23-24八年級下·四川成都·期中）在中，．點在邊上且，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)a得到（）．(1)如圖1，當時，求；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接，取中點F，作射線交直線于點G．當時，求證：；(3)如圖3．當時，點P為線段上一動點，過點E作射線于點N，M為中點，直接寫出的最大值與最小值．考點八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題47．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，為等腰直角三角形，，，，求的長．48．（22-23八年級下·天津和平·期中）閱讀下面材料：小誠遇到這樣一個問題：如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點，且，，，求的度數(shù)；小誠是這樣思考的：如圖，構(gòu)造等邊，利用全等轉(zhuǎn)化問題，得到從而將問題解決．（1）請你回答：圖中的度數(shù)等于______直接寫答案參考小誠同學思考問題的方法，解決下列問題：（2）如圖，在正方形內(nèi)有一點，且，，．①求的度數(shù)；②正方形的邊長______直接寫答案（3）如圖，在正六邊形內(nèi)有一點，且，，，則的度數(shù)等于______，正六邊形的邊長為______直接寫答案49．（2024·遼寧·模擬預測）【基礎(chǔ)方法】（1）小明遇到這樣一個問題：如圖1、在正方形中，點分別為邊上的點，，連接，求證：小明是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．他的方法是將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到（如圖），此時即是，在圖2中，請依據(jù)小明的思考過程，求的度數(shù)；

【方法應用】（2）如圖3，在四邊形中，，，，是上一點，若，，求的長度；【應用拓展】（3）如圖4，已知線段，，以為邊作正方形，連接．當線段的值最大時，求此時正方形的面積．50．（2024·吉林松原·模擬預測）如圖，在四邊形中，已知，，點分別在上，．(1)①如圖①，若都是直角，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，則線段和之間的數(shù)量關(guān)系為______；②如圖②，若都不是直角，但滿足，線段和之間的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(2)如圖③，在中，，，點均在邊邊上，且，若，請直接寫出的長．51．（23-24八年級下·廣東深圳·期末）【問題感知】（1）如圖1，在四邊形中，，且，①請直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系：；②證明：平分；【遷移應用】（2）如圖2，四邊形中，，，，，，計算的長度；【拓展研究】（3）如圖3，正方形中，E為邊上一點，連接，F(xiàn)為邊上一點，且，垂直交于點G，，，直接寫出正方形的邊長．52．（23-24八年級下·遼寧阜新·期末）下面是某數(shù)學興趣小組探究問題的片段，請仔細閱讀，并完成任務．【問題探究】（1）如圖1，在中，，點D在上，連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，請猜想和的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．【問題再探】（2）在（1）的條件下，連接AE．興趣小組的同學們在電腦中用幾何畫板軟件測量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明這個發(fā)現(xiàn)，甲組同學延長線段AC至F點，使，連接EF，從而得以證明（如圖2）；乙組同學過點D作于點M，過點E作于點N，從而得以證明（如圖3），請你選取甲組或乙組中的一種方法完成證明過程．【問題解決】（3）如圖4，已知，，點D在AB上，，若在射線上存在點E，使，請直接寫出相應的的長．考點九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究53．（22-23八年級上·河南駐馬店·階段練習）如圖，長方形的兩邊分別在x軸，y軸上，點C與原點重合，點，將長方形沿x軸向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾點A對應點記為，經(jīng)過第二次翻滾點A對應點記為……依此類推，經(jīng)過2022次翻滾后點A對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．54．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點的對應點落在直線上，再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點的對應點也落在直線上，如此下去，……，若點的坐標為，則點的坐標為（

）．A． B． C． D．55．（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點連續(xù)旋轉(zhuǎn)次得到正方形，如果點的坐標為，那么點的坐標為（

）A． B． C． D．

56．（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點A、C分別在x、y軸上，且．將正方形繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，并放大為原來的2倍，使，得到正方形，再將正方形繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，并放大為原來的2倍，使，得到正方形……以此規(guī)律，得到正方形，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．57．（2023·山東日照·二模）如圖，正方形的中心與坐標原點O重合，將頂點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點，再將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得點，再將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得點，再將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得點，再將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得點……依此類推，則點的坐標是（

）

A． B． C． D．58．（2024九年級·全國·競賽）如圖，拋物線交軸于點和點，頂點為點；將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，與軸的另一交點為點，頂點為點；將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，與軸的另一交點為點，頂點為點……如此進行下去，直至得到拋物線，則拋物線的頂點的坐標為．59．（2022·湖北黃岡·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，為等腰三角形，，，點A與坐標原點重合，點C在x軸正半軸上，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到，使得點B對應點在x軸上，記為第一次旋轉(zhuǎn)，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到，使得點對應點在x軸上，以此規(guī)律旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)后鈍角頂點坐標為．60．（21-22九年級上·湖南長沙·期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是正方形，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，0）．點C的坐標為；②若正方形ABCD和正方形A1BC1B1關(guān)于點B成中心對稱；正方形A1BC1B1和正方形A2B2C2B1關(guān)于點B1成中心對稱；…，依此規(guī)律，則點C7的坐標為．

第二十三章旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓練目錄與鏈接考點一、線段的旋轉(zhuǎn)問題……………2考點二、三角形的旋轉(zhuǎn)……………19考點三、四邊形的旋轉(zhuǎn)……………38考點四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題………………53考點五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題……………66考點六、二次函數(shù)的中心對稱問題………………84考點七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題…………………108考點八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題……………128考點九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究……………146考點一、線段的旋轉(zhuǎn)問題1．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，等腰直角中，，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（）得到線段，作點A關(guān)于線段所在直線的對稱點E，連接和，分別交線段所在直線于點M和點F，若，，則的長為．【答案】【分析】過點C作交于點H，連接，根據(jù)題意得到，易證，由等腰三角形的性質(zhì)推出，推出，證明，得到，進而證明是等腰直角三角形，即可證明是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出，即可求出的長．【詳解】解：如圖，過點C作交于點H，連接，點E與點A關(guān)于線段所在直線對稱，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，對稱的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造三角形全等時解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖，在矩形中，，點P是邊上一點，連接，以A為中心，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，且，則的長度為．【答案】/【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，是綜合性強的填空壓軸題，得到點Q的運動路線是解答的關(guān)鍵．連接，取的中點O，連接，證明是等邊三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，則，證明得到，則點Q在射線上運動，由已知得到，過Q作于M，于N，，則，，利用勾股定理結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，在中，利用勾股定理結(jié)合平方根解方程求解x值即可解答．【詳解】解：連接，取的中點O，連接，則，在矩形中，，，，∴，∴∴是等邊三角形，∴，則，連接并延長交于E，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，∴，在和中，，∴，∴，∴∴由得解得，則∴點Q在射線上運動，∵∴，過Q作于M，于N，則四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，，在中，，∴，∴，在中，，則，∴，由得，解得，則，∴，在中，由得，整理，得，即，∴，又，∴，∴．故答案為：．3．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖①，在矩形中，點E在邊上，點F在邊上，連接，已知(1)求證：平分；(2)如圖②，若矩形為正方形，求的度數(shù)；(3)如圖③，在（2）的基礎(chǔ)上，將點E繞點D順時針旋轉(zhuǎn)使點E的對應點落到點，已知點恰好落在邊的延長線上，連接，若，求的面積.【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】此題考查了全等三角形的的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì).（1）設(shè)，則，得到，，即可得到，結(jié)論得證；（2）過點D作于H，證明，則，證明，則，則，即可得到答案；（3）證明，則，得到是等腰直角三角形，即可得到.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，∵四邊形矩形，∴，∴，∴∴，∴平分；（2）過點D作于H，∴，由（1）可知，，又∵∴，∴，∵四邊形是正方形，∴∴，∵∴，∴，∴，∴（3）將點E繞點D順時針旋轉(zhuǎn)使點E的對應點落到點，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴是等腰直角三角形，∴∴的面積4．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖1，在中，對角線相交于點O，且，，點E為線段上一動點，連接，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，當點F落在的外面，交于點M，且能構(gòu)成四邊形時，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變，請末出這個值，若變化，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)不變；4【分析】（1）可證得，進而證得，從而；（2）由（1）得，從而，因為，從而，從而得出；（3）連接，作，交于，作于，可證得，從而，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，；（2）證明：如圖1，設(shè)直線交于，由（1）得，，，，，；（3）解：如圖2．四邊形的面積不變，理由如下，連接，作，交于，作于，∴，∴，由（2）可知，，，，在四邊形中，，，，，，，，，∵四邊形是平行四邊形，，，，由得：，，，∴四邊形的面積為：4．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．5．（22-23七年級下·上?！て谀┮阎谥?，，，點為直線上一動點（點不與點重合），將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，直線與射線交于點，過點作的垂線，交直線于點；(1)如圖，若點在線段上，且，求證：；(2)若點在線段的延長線上，且，那么第（1）小問的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；(3)若點在直線上運動，當是等腰三角形時，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)或【分析】本題考查了幾何變換綜合題，掌握全等的方法，掌握等腰三角形的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．（1）由，得．由，得，．由，得．故．（2）由，，得．由，得．．由，得，，得．故．（3）①當時，由，得．，，．由，得，故．②當時，如圖所示．同①，．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，．，，，．，即，．在和中，，．（2）解：結(jié)論成立，理由：如圖，∵，∴，∵，．，．．，，∵，，．在和中，．（3）①當時，如圖所示．，．，，．，，，．②當時，如圖所示．同①，．綜上所述，或．6．（23-24九年級上·四川成都·開學考試）【閱讀理解】已知M，N為平面內(nèi)不重合的兩點．給出以下定義：將M繞N順時針旋轉(zhuǎn)的過程記作變換．例如：在平面直角坐標系中，已知點，，則O經(jīng)過變換后所得的點B的坐標為．【遷移應用】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x軸，y軸交于點，B，設(shè)A經(jīng)過變換后得到C．(1)求點C的坐標；(2)過C作軸于D，點E是線段上一動點，設(shè)E經(jīng)過變換后得到點F，連接，．（i）若的面積為3，求點F的坐標；（ii）設(shè)點O是y軸上一動點，當以A，B，F(xiàn)，M四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，求點M的坐標．【答案】(1)的坐標為(2)ⅰ，；ⅱ的坐標為或或【分析】（1）求出，，根據(jù)經(jīng)過變換后得到，可知為的中點，即得的坐標為；（2）ⅰ過作軸于，過作軸于，交直線于，由經(jīng)過變換后得到點，可證，有，，，的縱坐標都為1，設(shè)，則，根據(jù)的面積為3，得，，；ⅱ設(shè)，，分三種情況：當，為對角線時，，的中點重合，，當，為對角線時，，當，為對角線時，，分別解方程組可得答案．【詳解】（1）把代入得：，解得，，令得，，經(jīng)過變換后得到，，，共線，且，為的中點，，，的坐標為；（2）ⅰ過作軸于，過作軸于，交直線于，如圖：經(jīng)過變換后得到點，，，，，，，，，，，，的縱坐標都為1，在中，令得，設(shè)，則，的面積為3，，即，解得，，；ⅱ由ⅰ知的縱坐標為1，設(shè)，，又，，當，為對角線時，，的中點重合，，解得，；當，為對角線時，，解得，；當，為對角線時，，解得，；綜上所述，的坐標為或或．【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點坐標的特征，三角形面積，平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點坐標和相關(guān)線段的長度．7．（23-24八年級下·湖北武漢·期末）問題探究

如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在的延長線上的點Q處．（1）求證：；（2）探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．遷移探究

如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析；遷移探究：，見解析【分析】（1）證明，則；（2）如圖1，過作交于，則，，過作于，由旋轉(zhuǎn)可得，，由，可得，則，如圖，過作于，則四邊形是矩形，，由，可得，則；遷移探究

由四邊形是菱形，，證明是等邊三角形，則，，如圖2，過作，則，證明是等邊三角形，，如圖2，過作于，同理（2）可得，由，可得，進而可得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴．（2）解：，理由如下；如圖1，過作交于，

∴，∴，過作于，由旋轉(zhuǎn)可得，，又∵，∴，∴，即，如圖，過作于，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；遷移探究

解：，理由如下：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，如圖2，過作，則，∴是等邊三角形，，如圖2，過作于，∵，，∴，∴，即，∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點二、三角形的旋轉(zhuǎn)8．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中，，，分別與交于，兩點，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則下列結(jié)論：；DA平分；若，，則；若，則．其中正確的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得和全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得，然后求出判斷出正確；根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，，判斷出正確；利用勾股定理得到，過作于點，再利用勾股定理求出，故正確；根據(jù)角的度數(shù)得到，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)三角形面積公式即可求得，判斷出錯誤，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，，∴，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∴，，，，，∴，故正確；∵，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，，∴平分，故正確；在中，，∵，，∴，當，時，∴，∴，∴，∴，∴，過作于點，∴，∴，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，故正確；∵，，∴，∵，∴，∴，，，∴，在和中，，∴，∵，，∴，設(shè)到邊距離為，∴，，∴，∴，故錯誤；綜上正確，故選：．9．（2024·浙江·模擬預測）在中，，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（），直線與直線交于點，點間的距離記為，點間的距離記為．給出下面四個結(jié)論：①的值一直變大；②的值先變小再變大；③當時，的值保持不變；④當，的值保持不變；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，當時，的值由會逐漸變大，可判斷①；而當時，可知的值先變小再變大，可判斷②；當時，在上取點，使，連接，，證明，有，知，可判斷③錯誤，④正確；掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當時，的值一直變大，故①正確；當時，的值逐步變??；當時，；當時，的值逐步變大，故②正確；當時，連接，如圖，由題意得，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴的值保持不變，故③錯誤；當時，在上取點，使，連接，如圖，由題意得，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴的值保持不變，故④正確；∴正確的有①②④，故答案為：①②④．10．（22-23八年級下·四川成都·期中）如圖，和是兩個不全等的等腰直角三角形，其中，，連接，點M是的中點，連接．(1)若點D在邊上，如圖1，試探究之間的關(guān)系，并說明理由；(2)若將圖1中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，那么（1），中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出新結(jié)論并證明；(3)若將圖1中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖3，，，求BM的長．【答案】(1)且，理由見解析(2)（1）中的結(jié)論仍成立，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半即可證明相等，再根據(jù)等邊對等角結(jié)合三角形外角的定義與性質(zhì)可得，問題得證；（2）延長至點G，使得，連接、、、、，延長交于點N，先證明四邊形是平行四邊形，即有，，表示出，再結(jié)合，，可得，即可證明，問題隨之得解；（3）延長交于點H，證明，再證明．即可得，．求出，再在中，由勾股定理得，可求解．【詳解】（1），理由：∵，點M是的中點，∴在中，，同理在中可得：，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∴，綜上：，；（2）成立，理由如下：延長至點G，使得，連接、、、、，延長交于點N，如圖，∵點M是分的中點，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∴，；（3）延長交于點H，

∵和是等腰直角三角形，∴，，，由旋轉(zhuǎn)可得，，即，∴，∴，，∵M為中點，∴．∴．∴，，即，．∵，，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，∴，∴．【點睛】本題是幾何變換綜合題目，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，及勾股定理的運用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會靈活應用是解題的關(guān)鍵．11．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖1，已知中，，，把一塊含角的三角板的直角頂點D放在的中點上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），點C在上點B在上．(1)求重疊部分的面積；(2)如圖2，將直角三角板繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30度，交于點M，交于點N，①請說明；②在此條件下重疊部分的面積會發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，請說明理由；(3)如圖3，將直角三角板繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（），交于點M，交于點N，則的結(jié)論仍成立嗎？重疊部分的面積會變嗎？（請直接寫出結(jié)論不需說明理由）【答案】(1)的面積是(2)①說明見解析；②在此條件下重疊部分的面積不發(fā)生變化，理由見解析(3)的結(jié)論仍成立，重疊部分的面積不會變【分析】本題主要考查了等腰直角三角形和三角形全等．熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，作出輔助線，是解決本題的關(guān)鍵．（1）判斷重疊部分是一個等腰直角三角形，求出其直角邊，即可求解；（2）①連接，先證得，，進而求出，即可得到；②利用①中的結(jié)論即可得出答案；（3）證明過程類似（2），根據(jù)（2）中的結(jié)論，可以直接寫出．【詳解】（1）∵中，，，D是的中點，，∴，，則；（2）①連接，∵中，，，∴，∵D是的中點，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②面積不變．理由：∵，∴，∴;（3）的結(jié)論仍成立，，重疊部分的面積不變．理由：連接，∵中，，，∴，∵D是的中點，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴．12．（23-24八年級下·山西晉城·階段練習）綜合與實踐：問題情境：在數(shù)學活動課上，老師要求同學們以矩形為背景探究幾何圖形運動變化中的數(shù)學結(jié)論．如圖1，在矩形中，點O為對角線的中點，點E在邊上，且，

線段的延長線交于點F．（1）如果，則．操作探究：（2）“善思”小組的同學將圖1中的繞點B順時針旋轉(zhuǎn)(設(shè)點O，E的對應點分別為)，

在分析旋轉(zhuǎn)到不同位置時的情形后，提出如下問題，請你解答：①如圖2，當點落在邊上時，所在的直線與存在什么樣的位置關(guān)系？并說明理由②如圖3，當點落在的延長線上時，連接，判斷四邊形的形狀，直接寫出結(jié)果，無需說明理由．【答案】（1）（2）①，理由見解析②四邊形為菱形，理由見解析【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．（1）勾股定理求出的長，得到的長，進而得到的長，用求出的長即可；（2）延長，交于點，根據(jù)角的和差關(guān)系，結(jié)合矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角和為360度，推出，即可得出結(jié)論；②證明，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵矩形，點O為對角線的中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：；（2）①，理由如下：延長，交于點，∵，∴，∴，∵矩形，∴，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，，∴，∴∴；②四邊形為菱形；理由如下：∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵矩形，∴，，∵點落在的延長線上，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形．13．（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習）圖形的變換是初中數(shù)學學習中的重要內(nèi)容，在中考前的探究專題課上，小亮老師帶領(lǐng)同學們對以下圖形進行了變換探究．如圖在中，，，點D是邊上一點，連接．(1)如圖1，智慧小組的同學將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至．提出問題：求證；(2)如圖2，善思小組的同學將線段沿翻折至，延長和交于點E．提出問題：若，求的面積；(3)如圖3，小亮老師給出了自己的變換方式，若，在線段上取點E，點上關(guān)于直線的對稱點為M，連接，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，連接．①求證；②當時，直接與出的長度．【答案】(1)見解析(2)的面積為；(3)①見解析；②．【分析】（1）證明，推出，據(jù)此即可證明；（2）設(shè)，求得，推出，作于點，設(shè)，則，求得，在中，由勾股定理列式計算求得，再三角形面積公式求解即可；（3）①設(shè)，證明，推出，由，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)列式，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出，再證明四邊形是平行四邊形，即可得證；②延長交于點，由①的結(jié)論結(jié)合勾股定理求得，證明，得到，求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∵，，∴，，∴，∴，∴，即；（2）解：∵，，∴，設(shè)，由折疊的性質(zhì)得，，∴，∵，∴，作于點，∴是等腰三角形，∵，∴設(shè)，則，∵，∴，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴的面積為；（3）證明：①連接和，設(shè)，由對稱的性質(zhì)得，，∵將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，∴，，又，∴，∴，，即，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∴；②延長交于點，由①得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．14．（23-24八年級下·山東濟南·期末）綜合與實踐．【初步探究】某校一數(shù)學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，延長交于點，交于點，連接．該數(shù)學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：（1）如圖2，當時：①則______°；②判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【深入探究】（2）如圖3，當點重合時，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系：______；【拓展延伸】（3）如圖4，在等邊中，于點，點在線段上（不與重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將著點在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖5，為的中點，為的中點．請說明為等腰三角形．【答案】（1）①45；②，理由見解析（2）（3）詳見解析．【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可；②根據(jù)余角的性質(zhì)得到,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，推得即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)的，由可得結(jié)論；（3）連接，延長交于，交于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的中位線定理得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①是等腰直角三角形即故答案為：45；②，理由如下：在和中；（2），理由如下：和都是等腰直角三角形在和中故答案為：；（3）連接，延長交于，交于，等邊三角形為的中點，為的中點分別是的中位線在和中為等腰三角形．考點三、四邊形的旋轉(zhuǎn)15．（2024·河南商丘·模擬預測）如圖，已知正方形的邊長為2，另一邊長為的正方形的中心與點A重合，連接，設(shè)的中點為，連接，當正方形繞點A旋轉(zhuǎn)時，的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識點，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．如圖1：在的延長線上截?。词堑闹悬c），連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，點E在以點A為圓心，1為半徑的圓上，當A，E，N三點共線時，且點E在線段上時，最小，即最小，如圖2：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖1，在的延長線上截?。词堑闹悬c），連接，∵M為的中點，是的中位線．．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知點在以點A為圓心，1為半徑的圓上．當三點共線，且點在線段上時，最小，即最小，如解圖2所示：，，，即的最小值為．16．（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形為梯形，，是邊上的點．經(jīng)過剪拼，四邊形為矩形．則______．(2)探究與證明：探究將任意一個四邊形剪開拼成一個平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，是四邊形邊上的點．是拼接之后形成的四邊形．①通過操作得出：與的比值為______．②證明：四邊形為平行四邊形．(3)實踐與應用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形剪成4塊，按圖5的方式補全圖6，并簡單說明剪開和拼接過程．若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)①1；②見詳解(3)見詳解【分析】（1）由“角角邊”即可證明；（2）①由操作知，將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，故，因此；②由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；（3）取為中點為，連接，過點，點分別作，，垂足為點，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形放置左上方空出，使得點C與點A重合，與重合，與重合，點N的對應點為點，則四邊形即為所求矩形．【詳解】（1）解：如圖，∵，∴，由題意得為中點，‘∴’，∵，∴故答案為：；（2）解：①如圖，由操作知，點E為中點，將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，∴，∴，故答案為：1；②如圖，由題意得，是的中點，操作為將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，將四邊形繞點H旋轉(zhuǎn)得到四邊形，將四邊形放在左上方空出，則，，∵，，，∴，∵∴，∴三點共線，同理三點共線，由操作得，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（3）解：如圖，

如圖，取為中點為，連接，過點，點分別作，，垂足為點，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形放置左上方空出，使得點C與點A重合，與重合，與重合，點N的對應點為點，則四邊形即為所求矩形．由題意得，，，∴，∴，由操作得，，∵，∴，∴三點共線，同理三點共線，∵，∴四邊形為矩形，如圖，連接，∵為中點，∴，同理，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，由操作得，，而，∴，同理，，∵，，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，同理，∴四邊形能放置左上方空出，∴按照以上操作可以拼成一個矩形．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形的中位線，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．17．（23-24八年級下·甘肅武威·期末）某班級開展數(shù)學討論課，老師給出兩個大小不同的正方形，要求同學們利用這兩個圖形提出不同的數(shù)學問題，并解決問題．【問題提出】（）小明思考后提出問題：如圖，大正方形和小正方形，頂點重合，點分別在邊，上．那么線段滿足什么數(shù)量關(guān)系?【聯(lián)系遷移】（）小穎受此問題啟發(fā)，思考并提出新的問題：如圖，將圖中的小正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小）使點在邊上，在的延長線上，連接．那么線段滿足什么數(shù)量關(guān)系?說明理由；【開放探索】（）小新深入研究前面提出的問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題：如圖，將圖中的小正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，連接．那么線段仍然具有（）（）中的數(shù)量關(guān)系嗎?說明理由．【答案】（）；（），理由見解析；（）具有，理由見解析．【分析】（）由正方形的性質(zhì)可得，，進而即可求解；（）證明即可求解；（）證明即可求解；本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，∴，即；（），理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，又由旋轉(zhuǎn)可得，∴，∴，∴；（）線段仍然具有（）（）中的數(shù)量關(guān)系，理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，∴，即，∴，∴．18．（23-24八年級下·河北張家口·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點，直線軸，交y軸于點，點在直線l上，將矩形繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)度，得到矩形，此時直線、分別與直線l相交于點P、Q．(1)當時，點的坐標為______；(2)如圖2，當點落在l上時，點P的坐標為______；(3)如圖3，當矩形的頂點落在l上時，①求的長度；②求．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】本題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的得到的坐標即可；（2）根據(jù)在，然后利用勾股定理即可解答；（3）①根據(jù)已知條件得到，設(shè)，則，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：，∴當時，點的坐標為．故答案為．（2）解：在中，，∴，∴當點落在l上時，點P的坐標為．故答案為．（3）解：①當四邊形的頂點落在l上時，在和中，，∴，∴．設(shè)，則．在中，，∴，即，解得：，∴；②∵，∴．故答案為．19．（23-24八年級下·湖北十堰·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像交軸于點，交軸于點，以，，三點為頂點作矩形，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，直線交直線于點．(1)求直線的解析式；(2)求證：是的角平分線；(3)在角平分線上，是否存在點，使得以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)見解析；(3)存在，或．【分析】（1）由一次函數(shù)求出點、的坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出點、的坐標，最后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）過點作于點，作于點，證明，得到，即可證明；（3）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，求出點的坐標，再求出直線的解析式為，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形分兩種情況：①過點作交于點，則是以為直角邊的等腰直角三角形；②過點作交于點，則是以為直角邊的等腰直角三角形；根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：在中，令，則；解得：，，令，則，，，，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，設(shè)直線的解析式為，代入，，可得：，解得：，直線的解析式為；（2）如圖，過點作于點，作于點，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，在和中，，，，是的角平分線；（3）由旋轉(zhuǎn)可知，，即，是的角平分線，，聯(lián)立，解得，即點，設(shè)直線的解析式為，代入點，得：，解得：，直線的解析式為：，，，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形分兩種情況：①過點作交于點，則是以為直角邊的等腰直角三角形，，由勾股定理可求得，，，，點在直線的圖象上，設(shè)，，解得或（舍），，；

②過點作交于點，則是以為直角邊的等腰直角三角形，，由勾股定理可得：，，，，點在直線的圖像上，設(shè)，，解得或（舍），，；

綜上，點坐標為或．【點睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識．20．（23-24八年級下·江西吉安·期末）問題情景已知與中，，同學們利用這樣的兩張平行四邊形紙片開展操作實驗，從中發(fā)現(xiàn)；許多有趣的數(shù)學問題，請你們和他一起探索．

拼圖思考：（1）希望小組的同學將與按照如圖1所示擺放，其中點B與重合，點落在邊上，點落在邊的延長線上，他們提出了如下問題，請你解答：①求證：平分；②求點之間的距離．操作探究：（2）創(chuàng)新小組的同學在圖1的基礎(chǔ)上進行了如下操作：保持不動，將繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，他們又提出如下問題：①當線段與交于點P時，如圖2，求證：點B在的垂直平分線上；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點恰好落在線段的延長線上時，請在圖3中補全圖形，并直接寫出此時點之間的距離．【答案】（1）①見解答過程，②2（2）①見解答過程，②20【分析】（1）第一問借助三角形與全等求證，第二問連接，判斷求解．（2）第一問連接，，判斷為等腰三角形，利用三線合一求證，第二問畫出滿足條件的圖形，利用等邊三角形求解．【詳解】解：（1）①與中，，，，四邊形是菱形．平分．②連接，如圖，由①知四邊形是菱形，，，，，為等邊三角形，．（2）①連接，，如圖，與中，，，，，，，，，為等腰三角形，在線段的垂直平分線上．②如圖，與中，，，，，，，是等邊三角形，，．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)定，等邊三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是借助三角形全等和等腰三角形的三線合一進行解題．考點四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題21．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標系中，是等邊三角形，點，直線繞軸上一點順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到的直線恰好經(jīng)過點，則點的坐標是．【答案】【分析】設(shè)點C是直線l上一點，且點C繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90度得到點B，連接，過點C作交x軸于F，先由等邊三角形的性質(zhì)得到，再證明得到；如圖所示，過點C作x軸的垂線，垂足分為E，設(shè)，則，進而可得，則，即可得到，解得，則．【詳解】解：設(shè)點C是直線l上一點，且點C繞點M順時針旋轉(zhuǎn)120度得到點B，連接，過點C作交x軸于F，∵是等邊三角形，點，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，又∵，∴，∴；如圖所示，過點C作x軸的垂線，垂足分為E，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判斷，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形從而表示出點C的坐標是解題的關(guān)鍵．22．（20-21八年級上·上海黃浦·期中）如圖，正方形ABCD的頂點A、B落在x軸正半軸上，點C落在正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）上，點D落在直線y＝2x上，且點D的橫坐標為a．（1）直接寫出A、B、C、D各點的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；（2）求出k的值；（3）將直線OC繞點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線將正方形ABCD的面積分成1：3兩個部分，求旋轉(zhuǎn)后得到的新直線解析式．【答案】（1）點A、B、C、D的坐標分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k＝；（3）y＝（3-）x或y=x．【分析】（1）點D的橫坐標為a，則點D(a，2a)，則AB＝AD＝2a，進而求解；（2）將C點坐標代入y=kx即可求得k；（3）根據(jù)題干，可求得直線OF的的解析式為，當y=2a時，可求出點E(，2a)，由S△DEF＝S正方形ABCD，可列方程進而求出m．【詳解】解：（1）點D的橫坐標為a，則點D（a，2a），則AB＝AD＝2a，則點A、B、C的坐標分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），故點A、B、C、D的坐標分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）將點C的坐標代入y＝kx得，2a＝3ak，解得k＝；（3）設(shè)AF＝m，則點F（a，m），設(shè)直線OC旋轉(zhuǎn)后交AD于點F，交CD于點E，則直線OF的表達式為，當y＝2a時，y＝，解得x=，故點E（，2a），由題意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝，即，解得：m＝，則函數(shù)的表達式為y＝＝（3±）x．當y＝（3+）x時，直線與正方形沒有公共點故舍去第二種情況，旋轉(zhuǎn)后直線OC和線段BC相交，同理可得k=則函數(shù)表達式為y＝（3-）x或y=x【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、面積的計算等，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．（18-19八年級下·吉林·階段練習）（1）探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學活動課上，小明說“若直線向左平移3個單位，你能求平移后所得直線所對應函數(shù)表達式嗎？”經(jīng)過一番討論，小組成員展示了他們的解答過程：在直線上任取點，向左平移3個單位得到點設(shè)向左平移3個單位后所得直線所對應的函數(shù)表達式為．因為過點，所以，所以，填空：所以平移后所得直線所對應函數(shù)表達式為（2）類比運用已知直線，求它關(guān)于軸對稱的直線所對應的函數(shù)表達式；（3）拓展運用將直線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出：旋轉(zhuǎn)后所得直線所對應的函數(shù)表達式．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將直接代入即可得出平移后所得直線所對應函數(shù)表達式；（2）在直線上取兩點，可得出兩點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可；（3）在直線上取兩點，可得出兩點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應點的坐標為，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．【詳解】解：（1）∵∴平移后所得直線所對應函數(shù)表達式為：故答案為：；（2）在直線上取兩點，可得出兩點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，設(shè)直線的解析式為，則有：解得：∴直線所對應的函數(shù)表達式為：；（3）在直線上取兩點，可得出兩點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應點的坐標為，設(shè)設(shè)直線的解析式為，則有：解得：∴直線的解析式為：．【點睛】本題考查的知識點是求一次函數(shù)解析式，能夠找出直線上的點變換后對應的點的坐標是解此題的關(guān)鍵．24．（21-22八年級下·福建泉州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象分別交x軸、y軸于點A、B，將直線AB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點C．(1)點A坐標是（，）、點B坐標是（，）；(2)求直線BC的函數(shù)表達式；(3)點M是射線BA上的點，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形，如果存在，請求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，0；0，1(2)(3)符合要求點N的坐標是（2，2）、（1，2）、（3，2）．【分析】（1）由，分別令，，即可求解；（2）過A作交BC于F，過F作軸于E，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得F點的坐標，設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為，利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；（3）分當BC是對角線時；當BC是邊，四邊形BMNC為菱形時；當BC是邊，四邊形BCMN為菱形時三種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)去分析求解即可求得答案．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點A、B，∴令x=0，得y=-1，令y=0，則，∴，．故答案為：，0；0，-1；（2）解：過A作交BC于F，過F作軸于E．∵，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴，∴，，∴，∴．設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為，∴，∴，∴直線BC的函數(shù)表達式為：；（3）解：存在．如圖，當BC是對角線時，四邊形BMCN為菱形．∴，．∵直線BM為，∴設(shè)直線CN的函數(shù)表達式為．∵直線BC的函數(shù)表達式為：，∴，∴，解得，∴直線CN的函數(shù)表達式為，設(shè)．∵，，∴，∴，解得，∴點N的坐標為；如圖，當BC是邊，四邊形BMNC為菱形時．∴，．∵直線BM為，∴設(shè)直線CN的函數(shù)表達式為．∵直線BC的函數(shù)表達式為：1，∴，∴，解得，∴直線CN的函數(shù)表達式為，設(shè)．∵，，∴，∴，解得或（不合題意，舍去），∴點N的坐標為；③如圖，當BC是邊，四邊形BCMN為菱形時．∴，設(shè)．∵，，∴，∴，解得或0（不合題意，舍去），∴點M的坐標為．∵，，∴點N的坐標為．綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（2，2）、（1，2）、（3，2）．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理．解題的關(guān)鍵是注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．25．（21-22八年級下·浙江金華·開學考試）如圖所示，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，過點作軸的垂線，將直線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．(1)若直線經(jīng)過點，①求線段的長；②直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(2)若直線在旋轉(zhuǎn)過程中與軸交于點，當、、均為等腰三角形時，求出符合條件的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．(3)若直線在旋轉(zhuǎn)過程中與直線交于點，連，以為邊作等邊（點、、按逆時針方向排列），連BF．請你探究線段BE，OB與BF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)①AC=2；②旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為30°；(2)當α=15°或60°或105°或150°時，△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形；(3)BE+BF=2OB，理由見解析【分析】（1）①求出點A的坐標，利用兩點間距離公式即可求出AC的長；②如圖1中，由CE∥OA，推出∠ACE=∠OAC，由直角三角形的性質(zhì)，推出∠OAC=30°，由此即可解決問題；（2）由圖2、圖3、圖4、圖5可知，當α=15°或60°或105°或150°時，△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形；（3）連接AC，證明△ABC為等邊三角形，再證明△ACE≌△BCF，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：①對于直線y=x+令x=0得y=，令y=0得x=-1，∴A（0，），B（-1，0），∵C（1，0），∴AC==2；②如圖1中，∵CE∥OA，∴∠A