人教版九年級數(shù)學(xué) 第二十三章 旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓(xùn)練（9考點(diǎn)60題）

試卷第=page22頁，共=sectionpages159159頁第二十三章旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓(xùn)練目錄與鏈接考點(diǎn)一、線段的旋轉(zhuǎn)問題……………2考點(diǎn)二、三角形的旋轉(zhuǎn)……………19考點(diǎn)三、四邊形的旋轉(zhuǎn)……………38考點(diǎn)四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題………………53考點(diǎn)五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題……………66考點(diǎn)六、二次函數(shù)的中心對稱問題………………84考點(diǎn)七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題…………………108考點(diǎn)八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題……………128考點(diǎn)九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究……………146考點(diǎn)一、線段的旋轉(zhuǎn)問題1．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，等腰直角中，，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到線段，作點(diǎn)A關(guān)于線段所在直線的對稱點(diǎn)E，連接和，分別交線段所在直線于點(diǎn)M和點(diǎn)F，若，，則的長為．2．（23-24八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，以A為中心，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，且，則的長度為．3．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖①，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，連接，已知(1)求證：平分；(2)如圖②，若矩形為正方形，求的度數(shù)；(3)如圖③，在（2）的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)E繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)落到點(diǎn)，已知點(diǎn)恰好落在邊的延長線上，連接，若，求的面積.4．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖1，在中，對角線相交于點(diǎn)O，且，，點(diǎn)E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在的外面，交于點(diǎn)M，且能構(gòu)成四邊形時(shí)，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變，請末出這個(gè)值，若變化，請說明理由．5．（22-23七年級下·上?！て谀┮阎谥校?，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，直線與射線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交直線于點(diǎn)；(1)如圖，若點(diǎn)在線段上，且，求證：；(2)若點(diǎn)在線段的延長線上，且，那么第（1）小問的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；(3)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．6．（23-24九年級上·四川成都·開學(xué)考試）【閱讀理解】已知M，N為平面內(nèi)不重合的兩點(diǎn)．給出以下定義：將M繞N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程記作變換．例如：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則O經(jīng)過變換后所得的點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【遷移應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)，B，設(shè)A經(jīng)過變換后得到C．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)過C作軸于D，點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)E經(jīng)過變換后得到點(diǎn)F，連接，．（i）若的面積為3，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（ii）設(shè)點(diǎn)O是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A，B，F(xiàn)，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．7．（23-24八年級下·湖北武漢·期末）問題探究

如圖1，在正方形中，對角線相交于點(diǎn)O．在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長線上的點(diǎn)Q處．（1）求證：；（2）探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．遷移探究

如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．考點(diǎn)二、三角形的旋轉(zhuǎn)8．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中，，，分別與交于，兩點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則下列結(jié)論：；DA平分；若，，則；若，則．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)9．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在中，，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)間的距離記為，點(diǎn)間的距離記為．給出下面四個(gè)結(jié)論：①的值一直變大；②的值先變小再變大；③當(dāng)時(shí)，的值保持不變；④當(dāng)，的值保持不變；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．10．（22-23八年級下·四川成都·期中）如圖，和是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中，，連接，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接．(1)若點(diǎn)D在邊上，如圖1，試探究之間的關(guān)系，并說明理由；(2)若將圖1中的繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，那么（1），中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出新結(jié)論并證明；(3)若將圖1中的繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3，，，求BM的長．11．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖1，已知中，，，把一塊含角的三角板的直角頂點(diǎn)D放在的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），點(diǎn)C在上點(diǎn)B在上．(1)求重疊部分的面積；(2)如圖2，將直角三角板繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30度，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，①請說明；②在此條件下重疊部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，請說明理由；(3)如圖3，將直角三角板繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（），交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則的結(jié)論仍成立嗎？重疊部分的面積會(huì)變嗎？（請直接寫出結(jié)論不需說明理由）12．（23-24八年級下·山西晉城·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求同學(xué)們以矩形為背景探究幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化中的數(shù)學(xué)結(jié)論．如圖1，在矩形中，點(diǎn)O為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，且，

線段的延長線交于點(diǎn)F．（1）如果，則．操作探究：（2）“善思”小組的同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(設(shè)點(diǎn)O，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為)，

在分析旋轉(zhuǎn)到不同位置時(shí)的情形后，提出如下問題，請你解答：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，所在的直線與存在什么樣的位置關(guān)系？并說明理由②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，連接，判斷四邊形的形狀，直接寫出結(jié)果，無需說明理由．13．（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習(xí)）圖形的變換是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，在中考前的探究專題課上，小亮老師帶領(lǐng)同學(xué)們對以下圖形進(jìn)行了變換探究．如圖在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，智慧小組的同學(xué)將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至．提出問題：求證；(2)如圖2，善思小組的同學(xué)將線段沿翻折至，延長和交于點(diǎn)E．提出問題：若，求的面積；(3)如圖3，小亮老師給出了自己的變換方式，若，在線段上取點(diǎn)E，點(diǎn)上關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為M，連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．①求證；②當(dāng)時(shí)，直接與出的長度．14．（23-24八年級下·山東濟(jì)南·期末）綜合與實(shí)踐．【初步探究】某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：（1）如圖2，當(dāng)時(shí)：①則______°；②判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【深入探究】（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系：______；【拓展延伸】（3）如圖4，在等邊中，于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將著點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖5，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．請說明為等腰三角形．考點(diǎn)三、四邊形的旋轉(zhuǎn)15．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形的邊長為2，另一邊長為的正方形的中心與點(diǎn)A重合，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，當(dāng)正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，的最小值為．16．（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實(shí)踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個(gè)矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形為梯形，，是邊上的點(diǎn)．經(jīng)過剪拼，四邊形為矩形．則______．(2)探究與證明：探究將任意一個(gè)四邊形剪開拼成一個(gè)平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，是四邊形邊上的點(diǎn)．是拼接之后形成的四邊形．①通過操作得出：與的比值為______．②證明：四邊形為平行四邊形．(3)實(shí)踐與應(yīng)用：任意一個(gè)四邊形能不能剪開拼成一個(gè)矩形？若能，請將四邊形剪成4塊，按圖5的方式補(bǔ)全圖6，并簡單說明剪開和拼接過程．若不能，請說明理由．17．（23-24八年級下·甘肅武威·期末）某班級開展數(shù)學(xué)討論課，老師給出兩個(gè)大小不同的正方形，要求同學(xué)們利用這兩個(gè)圖形提出不同的數(shù)學(xué)問題，并解決問題．【問題提出】（）小明思考后提出問題：如圖，大正方形和小正方形，頂點(diǎn)重合，點(diǎn)分別在邊，上．那么線段滿足什么數(shù)量關(guān)系?【聯(lián)系遷移】（）小穎受此問題啟發(fā)，思考并提出新的問題：如圖，將圖中的小正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小）使點(diǎn)在邊上，在的延長線上，連接．那么線段滿足什么數(shù)量關(guān)系?說明理由；【開放探索】（）小新深入研究前面提出的問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題：如圖，將圖中的小正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，連接．那么線段仍然具有（）（）中的數(shù)量關(guān)系嗎?說明理由．18．（23-24八年級下·河北張家口·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線軸，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，將矩形繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度，得到矩形，此時(shí)直線、分別與直線l相交于點(diǎn)P、Q．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；(3)如圖3，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在l上時(shí)，①求的長度；②求．19．（23-24八年級下·湖北十堰·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)作矩形，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，直線交直線于點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)求證：是的角平分線；(3)在角平分線上，是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．（23-24八年級下·江西吉安·期末）問題情景已知與中，，同學(xué)們利用這樣的兩張平行四邊形紙片開展操作實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)；許多有趣的數(shù)學(xué)問題，請你們和他一起探索．

拼圖思考：（1）希望小組的同學(xué)將與按照如圖1所示擺放，其中點(diǎn)B與重合，點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)落在邊的延長線上，他們提出了如下問題，請你解答：①求證：平分；②求點(diǎn)之間的距離．操作探究：（2）創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作：保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，他們又提出如下問題：①當(dāng)線段與交于點(diǎn)P時(shí)，如圖2，求證：點(diǎn)B在的垂直平分線上；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段的延長線上時(shí)，請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)之間的距離．考點(diǎn)四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題21．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是等邊三角形，點(diǎn)，直線繞軸上一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．22．（20-21八年級上·上海黃浦·期中）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B落在x軸正半軸上，點(diǎn)C落在正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）上，點(diǎn)D落在直線y＝2x上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a．（1）直接寫出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）求出k的值；（3）將直線OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線將正方形ABCD的面積分成1：3兩個(gè)部分，求旋轉(zhuǎn)后得到的新直線解析式．23．（18-19八年級下·吉林·階段練習(xí)）（1）探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明說“若直線向左平移3個(gè)單位，你能求平移后所得直線所對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式嗎？”經(jīng)過一番討論，小組成員展示了他們的解答過程：在直線上任取點(diǎn)，向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)設(shè)向左平移3個(gè)單位后所得直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，所以，填空：所以平移后所得直線所對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為（2）類比運(yùn)用已知直線，求它關(guān)于軸對稱的直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）拓展運(yùn)用將直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出：旋轉(zhuǎn)后所得直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．24．（21-22八年級下·福建泉州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C．(1)點(diǎn)A坐標(biāo)是（，）、點(diǎn)B坐標(biāo)是（，）；(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(3)點(diǎn)M是射線BA上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，如果存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．25．（21-22八年級下·浙江金華·開學(xué)考試）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，將直線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)，①求線段的長；②直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(2)若直線在旋轉(zhuǎn)過程中與軸交于點(diǎn)，當(dāng)、、均為等腰三角形時(shí)，求出符合條件的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．(3)若直線在旋轉(zhuǎn)過程中與直線交于點(diǎn)，連，以為邊作等邊（點(diǎn)、、按逆時(shí)針方向排列），連BF．請你探究線段BE，OB與BF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．考點(diǎn)五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題26．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)在線段（不與點(diǎn)，M重合）上，連接，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到線段，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．27．（21-22九年級上·浙江·周測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，連接、、，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線表達(dá)式；(2)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在平面內(nèi)，若，且四邊形是平行四邊形．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)射線與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為，求的最小值．28．（23-24九年級上·湖北十堰·階段練習(xí)）如圖，拋物線的圖象過點(diǎn)，頂點(diǎn)為，點(diǎn)在軸正半軸上，線段．

(1)求拋物線的解析式；(2)若拋物線上有點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使，，，四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出此時(shí)四邊形的周長和面積；若不存在，請說明理由．29．（20-21九年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知直線l：y＝x與拋物線交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在F的左側(cè)），點(diǎn)G為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過G作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)H，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，如圖2，若點(diǎn)G是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為、點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)為，將拋物線沿直線的方向平移（兩側(cè)均可），在平移過程中點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為，在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于△ABF的某一邊所在直線對稱（與不重合），若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．30．（2024·四川成都·三模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)、（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．(1)若，，．①求該拋物線解析式；②拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，，點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的（點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，），若中恰有兩個(gè)點(diǎn)落在拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）(2)如圖2，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，其中在點(diǎn)左側(cè)拋物線上，點(diǎn)在軸右側(cè)拋物線上，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，設(shè)直線解析式為，當(dāng)，試證明為一個(gè)定值，并求出定值．考點(diǎn)六、二次函數(shù)的中心對稱問題31．（23-24九年級上·江蘇連云港·期末）若函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，我們把該函數(shù)稱為“美好函數(shù)”，其圖像上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)叫做一對“美好點(diǎn)”．若點(diǎn)是關(guān)于的“美好函數(shù)”上的一對“美好點(diǎn)”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線的右側(cè)．有下列結(jié)論①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④32．（2023·遼寧丹東·模擬預(yù)測）如圖，對稱軸為直線的拋物線圖象與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖，若點(diǎn)為拋物線上第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求周長的最小值；(3)如圖，將原拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得新拋物線，在新拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．33．（2024·浙江寧波·一模）若二次函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形，我們稱與互為“中心對稱”函數(shù)．(1)求二次函數(shù)的“中心對稱”函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的頂點(diǎn)在它的“中心對稱”函數(shù)圖象上，且當(dāng)時(shí)，y最大值為2，求此二次函數(shù)解析式．(3)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為M，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A、B，它的“中心對稱”函數(shù)的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)為C、D，從左往右依次是A、B、C、D，若，且四邊形為矩形，求的值．34．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．35．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線，再將得到的對稱拋物線向上平移個(gè)單位，得到新的拋物線，我們稱叫做二次函數(shù)的階變換．(1)二次函數(shù)的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為______，這個(gè)拋物線的2階變換的解析式為______；(2)若二次函數(shù)的5階變換的關(guān)系式為．①二次函數(shù)的解析式為______；②若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸相交的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為，是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請求出使周長最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)．36．（23-24九年級上·江西宜春·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例：（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，，，，，如下表：①補(bǔ)全表格：（___，___）②請?jiān)趫D1中描出表中對稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖像記為．形成概念：我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖像上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_______；②若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．37．（23-24九年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)N坐標(biāo)為(1)求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)設(shè)與x軸交于和，且．①當(dāng)時(shí)，利用圖像求的取值范圍．②拋物線與關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．問是否存在a，使為直角三角形？若存在，則求出所有可能的a值；若不存在，請說明理由．38．（22-23九年級下·江蘇南京·期中）已知函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）的圖像是中心對稱圖形．用數(shù)學(xué)軟件在相同的坐標(biāo)系中得到以下函數(shù)的圖像（圖①~④），觀察并思考……(1)函數(shù)的圖像如圖⑤所示，指出常數(shù)a，b，c的正負(fù)．(2)你同意“函數(shù)的圖像的對稱中心的橫坐標(biāo)為1”嗎？判斷并說明理由．(3)已知，直接寫出關(guān)于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）．39．（23-24九年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，與x軸的交點(diǎn)為A和B．將拋物線繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)，為點(diǎn)M，A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點(diǎn)．

(1)若原拋物線過點(diǎn)，求拋物線的解析式；(2)若A，關(guān)于點(diǎn)M成中心對稱，求直線的解析式；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P是原拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是旋轉(zhuǎn)后的圖形的對稱軸上一點(diǎn)，E為線段的中點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；若存在請求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．考點(diǎn)七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題40．（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，，為射線上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，的最小值為．41．（22-23九年級上·安徽合肥·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為．記旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖②，連接，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求的長；(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，求線段的長的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．42．（22-23八年級下·甘肅蘭州·期末）在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)恰好在上時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖，若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，試說明四邊形是平行四邊形；(3)若，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請求出其面積最大值；若不存在，請說明理由．43．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）（1）如圖1，在中，，點(diǎn)是內(nèi)部任意一點(diǎn)．連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且，，連接，直線與直線相交于點(diǎn)．①求證：；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，連接，已知，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求線段的最小值．44．（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖1，在中，，，，點(diǎn)在軸上，以為一邊，在外作等邊三角形，是的中點(diǎn)，連接并延長交于．(1)①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2．將圖1中的四邊形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的長；(3)如圖1，連接，在線段上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，，直接寫出的最小值為______；(4)若去掉題干中這個(gè)條件，點(diǎn)為外一點(diǎn)，連接，，，若，，則當(dāng)線段的長度最小時(shí)，______，的最小值是______．45．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作直線．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，求n與m的關(guān)系；(3)如圖2，是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)與直線有交點(diǎn)時(shí)，求h的取值范圍．46．（23-24八年級下·四川成都·期中）在中，．點(diǎn)在邊上且，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到（）．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接，取中點(diǎn)F，作射線交直線于點(diǎn)G．當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖3．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作射線于點(diǎn)N，M為中點(diǎn)，直接寫出的最大值與最小值．考點(diǎn)八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題47．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，為等腰直角三角形，，，，求的長．48．（22-23八年級下·天津和平·期中）閱讀下面材料：小誠遇到這樣一個(gè)問題：如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，求的度數(shù)；小誠是這樣思考的：如圖，構(gòu)造等邊，利用全等轉(zhuǎn)化問題，得到從而將問題解決．（1）請你回答：圖中的度數(shù)等于______直接寫答案參考小誠同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（2）如圖，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，．①求的度數(shù)；②正方形的邊長______直接寫答案（3）如圖，在正六邊形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)等于______，正六邊形的邊長為______直接寫答案49．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）【基礎(chǔ)方法】（1）小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1、在正方形中，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，，連接，求證：小明是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．他的方法是將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（如圖），此時(shí)即是，在圖2中，請依據(jù)小明的思考過程，求的度數(shù)；

【方法應(yīng)用】（2）如圖3，在四邊形中，，，，是上一點(diǎn)，若，，求的長度；【應(yīng)用拓展】（3）如圖4，已知線段，，以為邊作正方形，連接．當(dāng)線段的值最大時(shí)，求此時(shí)正方形的面積．50．（2024·吉林松原·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，已知，，點(diǎn)分別在上，．(1)①如圖①，若都是直角，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，則線段和之間的數(shù)量關(guān)系為______；②如圖②，若都不是直角，但滿足，線段和之間的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(2)如圖③，在中，，，點(diǎn)均在邊邊上，且，若，請直接寫出的長．51．（23-24八年級下·廣東深圳·期末）【問題感知】（1）如圖1，在四邊形中，，且，①請直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系：；②證明：平分；【遷移應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形中，，，，，，計(jì)算的長度；【拓展研究】（3）如圖3，正方形中，E為邊上一點(diǎn)，連接，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，且，垂直交于點(diǎn)G，，，直接寫出正方形的邊長．52．（23-24八年級下·遼寧阜新·期末）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．【問題探究】（1）如圖1，在中，，點(diǎn)D在上，連接，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，請猜想和的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．【問題再探】（2）在（1）的條件下，連接AE．興趣小組的同學(xué)們在電腦中用幾何畫板軟件測量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明這個(gè)發(fā)現(xiàn)，甲組同學(xué)延長線段AC至F點(diǎn)，使，連接EF，從而得以證明（如圖2）；乙組同學(xué)過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，從而得以證明（如圖3），請你選取甲組或乙組中的一種方法完成證明過程．【問題解決】（3）如圖4，已知，，點(diǎn)D在AB上，，若在射線上存在點(diǎn)E，使，請直接寫出相應(yīng)的的長．考點(diǎn)九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究53．（22-23八年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，長方形的兩邊分別在x軸，y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，將長方形沿x軸向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)記為，經(jīng)過第二次翻滾點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)記為……依此類推，經(jīng)過2022次翻滾后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．54．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也落在直線上，如此下去，……，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．55．（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)次得到正方形，如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．

56．（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸上，且．將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并放大為原來的2倍，使，得到正方形，再將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并放大為原來的2倍，使，得到正方形……以此規(guī)律，得到正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．57．（2023·山東日照·二模）如圖，正方形的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，將頂點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)，再將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，再將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，再將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，再將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)……依此類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．58．（2024九年級·全國·競賽）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)；將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)；將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)……如此進(jìn)行下去，直至得到拋物線，則拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．59．（2022·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C在x軸正半軸上，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到，使得點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)在x軸上，記為第一次旋轉(zhuǎn)，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到，使得點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)在x軸上，以此規(guī)律旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)后鈍角頂點(diǎn)坐標(biāo)為．60．（21-22九年級上·湖南長沙·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．點(diǎn)C的坐標(biāo)為；②若正方形ABCD和正方形A1BC1B1關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱；正方形A1BC1B1和正方形A2B2C2B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱；…，依此規(guī)律，則點(diǎn)C7的坐標(biāo)為．

第二十三章旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓(xùn)練目錄與鏈接考點(diǎn)一、線段的旋轉(zhuǎn)問題……………2考點(diǎn)二、三角形的旋轉(zhuǎn)……………19考點(diǎn)三、四邊形的旋轉(zhuǎn)……………38考點(diǎn)四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題………………53考點(diǎn)五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題……………66考點(diǎn)六、二次函數(shù)的中心對稱問題………………84考點(diǎn)七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題…………………108考點(diǎn)八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題……………128考點(diǎn)九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究……………146考點(diǎn)一、線段的旋轉(zhuǎn)問題1．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，等腰直角中，，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到線段，作點(diǎn)A關(guān)于線段所在直線的對稱點(diǎn)E，連接和，分別交線段所在直線于點(diǎn)M和點(diǎn)F，若，，則的長為．【答案】【分析】過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，連接，根據(jù)題意得到，易證，由等腰三角形的性質(zhì)推出，推出，證明，得到，進(jìn)而證明是等腰直角三角形，即可證明是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出，即可求出的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，連接，點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于線段所在直線對稱，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，對稱的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造三角形全等時(shí)解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，以A為中心，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，且，則的長度為．【答案】/【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵．連接，取的中點(diǎn)O，連接，證明是等邊三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，則，證明得到，則點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)，由已知得到，過Q作于M，于N，，則，，利用勾股定理結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，在中，利用勾股定理結(jié)合平方根解方程求解x值即可解答．【詳解】解：連接，取的中點(diǎn)O，連接，則，在矩形中，，，，∴，∴∴是等邊三角形，∴，則，連接并延長交于E，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，∴，在和中，，∴，∴，∴∴由得解得，則∴點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)，∵∴，過Q作于M，于N，則四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，，在中，，∴，∴，在中，，則，∴，由得，解得，則，∴，在中，由得，整理，得，即，∴，又，∴，∴．故答案為：．3．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖①，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，連接，已知(1)求證：平分；(2)如圖②，若矩形為正方形，求的度數(shù)；(3)如圖③，在（2）的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)E繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)落到點(diǎn)，已知點(diǎn)恰好落在邊的延長線上，連接，若，求的面積.【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】此題考查了全等三角形的的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì).（1）設(shè)，則，得到，，即可得到，結(jié)論得證；（2）過點(diǎn)D作于H，證明，則，證明，則，則，即可得到答案；（3）證明，則，得到是等腰直角三角形，即可得到.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，∵四邊形矩形，∴，∴，∴∴，∴平分；（2）過點(diǎn)D作于H，∴，由（1）可知，，又∵∴，∴，∵四邊形是正方形，∴∴，∵∴，∴，∴，∴（3）將點(diǎn)E繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)落到點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴是等腰直角三角形，∴∴的面積4．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖1，在中，對角線相交于點(diǎn)O，且，，點(diǎn)E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在的外面，交于點(diǎn)M，且能構(gòu)成四邊形時(shí)，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變，請末出這個(gè)值，若變化，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)不變；4【分析】（1）可證得，進(jìn)而證得，從而；（2）由（1）得，從而，因?yàn)?，從而，從而得出；?）連接，作，交于，作于，可證得，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，；（2）證明：如圖1，設(shè)直線交于，由（1）得，，，，，；（3）解：如圖2．四邊形的面積不變，理由如下，連接，作，交于，作于，∴，∴，由（2）可知，，，，在四邊形中，，，，，，，，，∵四邊形是平行四邊形，，，，由得：，，，∴四邊形的面積為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．5．（22-23七年級下·上?！て谀┮阎谥?，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，直線與射線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交直線于點(diǎn)；(1)如圖，若點(diǎn)在線段上，且，求證：；(2)若點(diǎn)在線段的延長線上，且，那么第（1）小問的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；(3)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)或【分析】本題考查了幾何變換綜合題，掌握全等的方法，掌握等腰三角形的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．（1）由，得．由，得，．由，得．故．（2）由，，得．由，得．．由，得，，得．故．（3）①當(dāng)時(shí)，由，得．，，．由，得，故．②當(dāng)時(shí)，如圖所示．同①，．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，．，，，．，即，．在和中，，．（2）解：結(jié)論成立，理由：如圖，∵，∴，∵，．，．．，，∵，，．在和中，．（3）①當(dāng)時(shí)，如圖所示．，．，，．，，，．②當(dāng)時(shí)，如圖所示．同①，．綜上所述，或．6．（23-24九年級上·四川成都·開學(xué)考試）【閱讀理解】已知M，N為平面內(nèi)不重合的兩點(diǎn)．給出以下定義：將M繞N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程記作變換．例如：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則O經(jīng)過變換后所得的點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【遷移應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)，B，設(shè)A經(jīng)過變換后得到C．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)過C作軸于D，點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)E經(jīng)過變換后得到點(diǎn)F，連接，．（i）若的面積為3，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（ii）設(shè)點(diǎn)O是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A，B，F(xiàn)，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)的坐標(biāo)為(2)ⅰ，；ⅱ的坐標(biāo)為或或【分析】（1）求出，，根據(jù)經(jīng)過變換后得到，可知為的中點(diǎn)，即得的坐標(biāo)為；（2）ⅰ過作軸于，過作軸于，交直線于，由經(jīng)過變換后得到點(diǎn)，可證，有，，，的縱坐標(biāo)都為1，設(shè)，則，根據(jù)的面積為3，得，，；ⅱ設(shè)，，分三種情況：當(dāng)，為對角線時(shí)，，的中點(diǎn)重合，，當(dāng)，為對角線時(shí)，，當(dāng)，為對角線時(shí)，，分別解方程組可得答案．【詳解】（1）把代入得：，解得，，令得，，經(jīng)過變換后得到，，，共線，且，為的中點(diǎn)，，，的坐標(biāo)為；（2）ⅰ過作軸于，過作軸于，交直線于，如圖：經(jīng)過變換后得到點(diǎn)，，，，，，，，，，，，的縱坐標(biāo)都為1，在中，令得，設(shè)，則，的面積為3，，即，解得，，；ⅱ由ⅰ知的縱坐標(biāo)為1，設(shè)，，又，，當(dāng)，為對角線時(shí)，，的中點(diǎn)重合，，解得，；當(dāng)，為對角線時(shí)，，解得，；當(dāng)，為對角線時(shí)，，解得，；綜上所述，的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，三角形面積，平行四邊形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．7．（23-24八年級下·湖北武漢·期末）問題探究

如圖1，在正方形中，對角線相交于點(diǎn)O．在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長線上的點(diǎn)Q處．（1）求證：；（2）探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．遷移探究

如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析；遷移探究：，見解析【分析】（1）證明，則；（2）如圖1，過作交于，則，，過作于，由旋轉(zhuǎn)可得，，由，可得，則，如圖，過作于，則四邊形是矩形，，由，可得，則；遷移探究

由四邊形是菱形，，證明是等邊三角形，則，，如圖2，過作，則，證明是等邊三角形，，如圖2，過作于，同理（2）可得，由，可得，進(jìn)而可得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴．（2）解：，理由如下；如圖1，過作交于，

∴，∴，過作于，由旋轉(zhuǎn)可得，，又∵，∴，∴，即，如圖，過作于，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；遷移探究

解：，理由如下：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，如圖2，過作，則，∴是等邊三角形，，如圖2，過作于，∵，，∴，∴，即，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二、三角形的旋轉(zhuǎn)8．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中，，，分別與交于，兩點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則下列結(jié)論：；DA平分；若，，則；若，則．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，然后求出判斷出正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，判斷出正確；利用勾股定理得到，過作于點(diǎn)，再利用勾股定理求出，故正確；根據(jù)角的度數(shù)得到，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)三角形面積公式即可求得，判斷出錯(cuò)誤，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，，∴，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∴，，，，，∴，故正確；∵，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，，∴平分，故正確；在中，，∵，，∴，當(dāng)，時(shí)，∴，∴，∴，∴，∴，過作于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，故正確；∵，，∴，∵，∴，∴，，，∴，在和中，，∴，∵，，∴，設(shè)到邊距離為，∴，，∴，∴，故錯(cuò)誤；綜上正確，故選：．9．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在中，，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)間的距離記為，點(diǎn)間的距離記為．給出下面四個(gè)結(jié)論：①的值一直變大；②的值先變小再變大；③當(dāng)時(shí)，的值保持不變；④當(dāng)，的值保持不變；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，的值由會(huì)逐漸變大，可判斷①；而當(dāng)時(shí)，可知的值先變小再變大，可判斷②；當(dāng)時(shí)，在上取點(diǎn)，使，連接，，證明，有，知，可判斷③錯(cuò)誤，④正確；掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，的值一直變大，故①正確；當(dāng)時(shí)，的值逐步變?。划?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的值逐步變大，故②正確；當(dāng)時(shí)，連接，如圖，由題意得，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴的值保持不變，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在上取點(diǎn)，使，連接，如圖，由題意得，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴的值保持不變，故④正確；∴正確的有①②④，故答案為：①②④．10．（22-23八年級下·四川成都·期中）如圖，和是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中，，連接，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接．(1)若點(diǎn)D在邊上，如圖1，試探究之間的關(guān)系，并說明理由；(2)若將圖1中的繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，那么（1），中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出新結(jié)論并證明；(3)若將圖1中的繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3，，，求BM的長．【答案】(1)且，理由見解析(2)（1）中的結(jié)論仍成立，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半即可證明相等，再根據(jù)等邊對等角結(jié)合三角形外角的定義與性質(zhì)可得，問題得證；（2）延長至點(diǎn)G，使得，連接、、、、，延長交于點(diǎn)N，先證明四邊形是平行四邊形，即有，，表示出，再結(jié)合，，可得，即可證明，問題隨之得解；（3）延長交于點(diǎn)H，證明，再證明．即可得，．求出，再在中，由勾股定理得，可求解．【詳解】（1），理由：∵，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴在中，，同理在中可得：，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∴，綜上：，；（2）成立，理由如下：延長至點(diǎn)G，使得，連接、、、、，延長交于點(diǎn)N，如圖，∵點(diǎn)M是分的中點(diǎn)，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∴，；（3）延長交于點(diǎn)H，

∵和是等腰直角三角形，∴，，，由旋轉(zhuǎn)可得，，即，∴，∴，，∵M(jìn)為中點(diǎn)，∴．∴．∴，，即，．∵，，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題目，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，及勾股定理的運(yùn)用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會(huì)靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．11．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖1，已知中，，，把一塊含角的三角板的直角頂點(diǎn)D放在的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），點(diǎn)C在上點(diǎn)B在上．(1)求重疊部分的面積；(2)如圖2，將直角三角板繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30度，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，①請說明；②在此條件下重疊部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，請說明理由；(3)如圖3，將直角三角板繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（），交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則的結(jié)論仍成立嗎？重疊部分的面積會(huì)變嗎？（請直接寫出結(jié)論不需說明理由）【答案】(1)的面積是(2)①說明見解析；②在此條件下重疊部分的面積不發(fā)生變化，理由見解析(3)的結(jié)論仍成立，重疊部分的面積不會(huì)變【分析】本題主要考查了等腰直角三角形和三角形全等．熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，作出輔助線，是解決本題的關(guān)鍵．（1）判斷重疊部分是一個(gè)等腰直角三角形，求出其直角邊，即可求解；（2）①連接，先證得，，進(jìn)而求出，即可得到；②利用①中的結(jié)論即可得出答案；（3）證明過程類似（2），根據(jù)（2）中的結(jié)論，可以直接寫出．【詳解】（1）∵中，，，D是的中點(diǎn)，，∴，，則；（2）①連接，∵中，，，∴，∵D是的中點(diǎn)，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②面積不變．理由：∵，∴，∴;（3）的結(jié)論仍成立，，重疊部分的面積不變．理由：連接，∵中，，，∴，∵D是的中點(diǎn)，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴．12．（23-24八年級下·山西晉城·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求同學(xué)們以矩形為背景探究幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化中的數(shù)學(xué)結(jié)論．如圖1，在矩形中，點(diǎn)O為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，且，

線段的延長線交于點(diǎn)F．（1）如果，則．操作探究：（2）“善思”小組的同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(設(shè)點(diǎn)O，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為)，

在分析旋轉(zhuǎn)到不同位置時(shí)的情形后，提出如下問題，請你解答：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，所在的直線與存在什么樣的位置關(guān)系？并說明理由②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，連接，判斷四邊形的形狀，直接寫出結(jié)果，無需說明理由．【答案】（1）（2）①，理由見解析②四邊形為菱形，理由見解析【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．（1）勾股定理求出的長，得到的長，進(jìn)而得到的長，用求出的長即可；（2）延長，交于點(diǎn)，根據(jù)角的和差關(guān)系，結(jié)合矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角和為360度，推出，即可得出結(jié)論；②證明，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵矩形，點(diǎn)O為對角線的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：；（2）①，理由如下：延長，交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵矩形，∴，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，，∴，∴∴；②四邊形為菱形；理由如下：∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵矩形，∴，，∵點(diǎn)落在的延長線上，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形．13．（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習(xí)）圖形的變換是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，在中考前的探究專題課上，小亮老師帶領(lǐng)同學(xué)們對以下圖形進(jìn)行了變換探究．如圖在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，智慧小組的同學(xué)將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至．提出問題：求證；(2)如圖2，善思小組的同學(xué)將線段沿翻折至，延長和交于點(diǎn)E．提出問題：若，求的面積；(3)如圖3，小亮老師給出了自己的變換方式，若，在線段上取點(diǎn)E，點(diǎn)上關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為M，連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．①求證；②當(dāng)時(shí)，直接與出的長度．【答案】(1)見解析(2)的面積為；(3)①見解析；②．【分析】（1）證明，推出，據(jù)此即可證明；（2）設(shè)，求得，推出，作于點(diǎn)，設(shè)，則，求得，在中，由勾股定理列式計(jì)算求得，再三角形面積公式求解即可；（3）①設(shè)，證明，推出，由，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)列式，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出，再證明四邊形是平行四邊形，即可得證；②延長交于點(diǎn)，由①的結(jié)論結(jié)合勾股定理求得，證明，得到，求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∵，，∴，，∴，∴，∴，即；（2）解：∵，，∴，設(shè)，由折疊的性質(zhì)得，，∴，∵，∴，作于點(diǎn)，∴是等腰三角形，∵，∴設(shè)，則，∵，∴，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴的面積為；（3）證明：①連接和，設(shè)，由對稱的性質(zhì)得，，∵將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，又，∴，∴，，即，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∴；②延長交于點(diǎn)，由①得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．14．（23-24八年級下·山東濟(jì)南·期末）綜合與實(shí)踐．【初步探究】某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：（1）如圖2，當(dāng)時(shí)：①則______°；②判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【深入探究】（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系：______；【拓展延伸】（3）如圖4，在等邊中，于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將著點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖5，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．請說明為等腰三角形．【答案】（1）①45；②，理由見解析（2）（3）詳見解析．【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可；②根據(jù)余角的性質(zhì)得到,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，推得即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)的，由可得結(jié)論；（3）連接，延長交于，交于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的中位線定理得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①是等腰直角三角形即故答案為：45；②，理由如下：在和中；（2），理由如下：和都是等腰直角三角形在和中故答案為：；（3）連接，延長交于，交于，等邊三角形為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)分別是的中位線在和中為等腰三角形．考點(diǎn)三、四邊形的旋轉(zhuǎn)15．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形的邊長為2，另一邊長為的正方形的中心與點(diǎn)A重合，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，當(dāng)正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．如圖1：在的延長線上截?。词堑闹悬c(diǎn)），連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)A，E，N三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)E在線段上時(shí)，最小，即最小，如圖2：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖1，在的延長線上截取（即是的中點(diǎn)），連接，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，是的中位線．．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓上．當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，即最小，如解圖2所示：，，，即的最小值為．16．（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實(shí)踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個(gè)矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形為梯形，，是邊上的點(diǎn)．經(jīng)過剪拼，四邊形為矩形．則______．(2)探究與證明：探究將任意一個(gè)四邊形剪開拼成一個(gè)平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，是四邊形邊上的點(diǎn)．是拼接之后形成的四邊形．①通過操作得出：與的比值為______．②證明：四邊形為平行四邊形．(3)實(shí)踐與應(yīng)用：任意一個(gè)四邊形能不能剪開拼成一個(gè)矩形？若能，請將四邊形剪成4塊，按圖5的方式補(bǔ)全圖6，并簡單說明剪開和拼接過程．若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)①1；②見詳解(3)見詳解【分析】（1）由“角角邊”即可證明；（2）①由操作知，將四邊形繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，故，因此；②由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；（3）取為中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)，點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)，將四邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形放置左上方空出，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，與重合，與重合，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則四邊形即為所求矩形．【詳解】（1）解：如圖，∵，∴，由題意得為中點(diǎn)，‘∴’，∵，∴故答案為：；（2）解：①如圖，由操作知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，將四邊形繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，∴，∴，故答案為：1；②如圖，由題意得，是的中點(diǎn)，操作為將四邊形繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，將四邊形繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)得到四邊形，將四邊形放在左上方空出，則，，∵，，，∴，∵∴，∴三點(diǎn)共線，同理三點(diǎn)共線，由操作得，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（3）解：如圖，

如圖，取為中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)，點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)，將四邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形放置左上方空出，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，與重合，與重合，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則四邊形即為所求矩形．由題意得，，，∴，∴，由操作得，，∵，∴，∴三點(diǎn)共線，同理三點(diǎn)共線，∵，∴四邊形為矩形，如圖，連接，∵為中點(diǎn)，∴，同理，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，由操作得，，而，∴，同理，，∵，，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，同理，∴四邊形能放置左上方空出，∴按照以上操作可以拼成一個(gè)矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形的中位線，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．17．（23-24八年級下·甘肅武威·期末）某班級開展數(shù)學(xué)討論課，老師給出兩個(gè)大小不同的正方形，要求同學(xué)們利用這兩個(gè)圖形提出不同的數(shù)學(xué)問題，并解決問題．【問題提出】（）小明思考后提出問題：如圖，大正方形和小正方形，頂點(diǎn)重合，點(diǎn)分別在邊，上．那么線段滿足什么數(shù)量關(guān)系?【聯(lián)系遷移】（）小穎受此問題啟發(fā)，思考并提出新的問題：如圖，將圖中的小正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。┦裹c(diǎn)在邊上，在的延長線上，連接．那么線段滿足什么數(shù)量關(guān)系?說明理由；【開放探索】（）小新深入研究前面提出的問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題：如圖，將圖中的小正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，連接．那么線段仍然具有（）（）中的數(shù)量關(guān)系嗎?說明理由．【答案】（）；（），理由見解析；（）具有，理由見解析．【分析】（）由正方形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而即可求解；（）證明即可求解；（）證明即可求解；本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，∴，即；（），理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，又由旋轉(zhuǎn)可得，∴，∴，∴；（）線段仍然具有（）（）中的數(shù)量關(guān)系，理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，∴，即，∴，∴．18．（23-24八年級下·河北張家口·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線軸，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，將矩形繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度，得到矩形，此時(shí)直線、分別與直線l相交于點(diǎn)P、Q．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；(3)如圖3，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在l上時(shí)，①求的長度；②求．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】本題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的得到的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)在，然后利用勾股定理即可解答；（3）①根據(jù)已知條件得到，設(shè)，則，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為．（2）解：在中，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故答案為．（3）解：①當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在l上時(shí)，在和中，，∴，∴．設(shè)，則．在中，，∴，即，解得：，∴；②∵，∴．故答案為．19．（23-24八年級下·湖北十堰·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)作矩形，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，直線交直線于點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)求證：是的角平分線；(3)在角平分線上，是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)見解析；(3)存在，或．【分析】（1）由一次函數(shù)求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明，得到，即可證明；（3）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的解析式為，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形分兩種情況：①過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則是以為直角邊的等腰直角三角形；②過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則是以為直角邊的等腰直角三角形；根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：在中，令，則；解得：，，令，則，，，，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，設(shè)直線的解析式為，代入，，可得：，解得：，直線的解析式為；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，在和中，，，，是的角平分線；（3）由旋轉(zhuǎn)可知，，即，是的角平分線，，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)，得：，解得：，直線的解析式為：，，，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形分兩種情況：①過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則是以為直角邊的等腰直角三角形，，由勾股定理可求得，，，，點(diǎn)在直線的圖象上，設(shè)，，解得或（舍），，；

②過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則是以為直角邊的等腰直角三角形，，由勾股定理可得：，，，，點(diǎn)在直線的圖像上，設(shè)，，解得或（舍），，；

綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)．20．（23-24八年級下·江西吉安·期末）問題情景已知與中，，同學(xué)們利用這樣的兩張平行四邊形紙片開展操作實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)；許多有趣的數(shù)學(xué)問題，請你們和他一起探索．

拼圖思考：（1）希望小組的同學(xué)將與按照如圖1所示擺放，其中點(diǎn)B與重合，點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)落在邊的延長線上，他們提出了如下問題，請你解答：①求證：平分；②求點(diǎn)之間的距離．操作探究：（2）創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作：保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，他們又提出如下問題：①當(dāng)線段與交于點(diǎn)P時(shí)，如圖2，求證：點(diǎn)B在的垂直平分線上；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段的延長線上時(shí)，請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)之間的距離．【答案】（1）①見解答過程，②2（2）①見解答過程，②20【分析】（1）第一問借助三角形與全等求證，第二問連接，判斷求解．（2）第一問連接，，判斷為等腰三角形，利用三線合一求證，第二問畫出滿足條件的圖形，利用等邊三角形求解．【詳解】解：（1）①與中，，，，四邊形是菱形．平分．②連接，如圖，由①知四邊形是菱形，，，，，為等邊三角形，．（2）①連接，，如圖，與中，，，，，，，，，為等腰三角形，在線段的垂直平分線上．②如圖，與中，，，，，，，是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)定，等邊三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是借助三角形全等和等腰三角形的三線合一進(jìn)行解題．考點(diǎn)四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題21．（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是等邊三角形，點(diǎn)，直線繞軸上一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)C是直線l上一點(diǎn)，且點(diǎn)C繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到點(diǎn)B，連接，過點(diǎn)C作交x軸于F，先由等邊三角形的性質(zhì)得到，再證明得到；如圖所示，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足分為E，設(shè)，則，進(jìn)而可得，則，即可得到，解得，則．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C是直線l上一點(diǎn)，且點(diǎn)C繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度得到點(diǎn)B，連接，過點(diǎn)C作交x軸于F，∵是等邊三角形，點(diǎn)，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，又∵，∴，∴；如圖所示，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足分為E，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判斷，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形從而表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．22．（20-21八年級上·上海黃浦·期中）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B落在x軸正半軸上，點(diǎn)C落在正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）上，點(diǎn)D落在直線y＝2x上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a．（1）直接寫出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）求出k的值；（3）將直線OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線將正方形ABCD的面積分成1：3兩個(gè)部分，求旋轉(zhuǎn)后得到的新直線解析式．【答案】（1）點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k＝；（3）y＝（3-）x或y=x．【分析】（1）點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)D(a，2a)，則AB＝AD＝2a，進(jìn)而求解；（2）將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx即可求得k；（3）根據(jù)題干，可求得直線OF的的解析式為，當(dāng)y=2a時(shí)，可求出點(diǎn)E(，2a)，由S△DEF＝S正方形ABCD，可列方程進(jìn)而求出m．【詳解】解：（1）點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)D（a，2a），則AB＝AD＝2a，則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），故點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝kx得，2a＝3ak，解得k＝；（3）設(shè)AF＝m，則點(diǎn)F（a，m），設(shè)直線OC旋轉(zhuǎn)后交AD于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，則直線OF的表達(dá)式為，當(dāng)y＝2a時(shí)，y＝，解得x=，故點(diǎn)E（，2a），由題意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝，即，解得：m＝，則函數(shù)的表達(dá)式為y＝＝（3±）x．當(dāng)y＝（3+）x時(shí)，直線與正方形沒有公共點(diǎn)故舍去第二種情況，旋轉(zhuǎn)后直線OC和線段BC相交，同理可得k=則函數(shù)表達(dá)式為y＝（3-）x或y=x【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．（18-19八年級下·吉林·階段練習(xí)）（1）探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明說“若直線向左平移3個(gè)單位，你能求平移后所得直線所對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式嗎？”經(jīng)過一番討論，小組成員展示了他們的解答過程：在直線上任取點(diǎn)，向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)設(shè)向左平移3個(gè)單位后所得直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，所以，填空：所以平移后所得直線所對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為（2）類比運(yùn)用已知直線，求它關(guān)于軸對稱的直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）拓展運(yùn)用將直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出：旋轉(zhuǎn)后所得直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將直接代入即可得出平移后所得直線所對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式；（2）在直線上取兩點(diǎn)，可得出兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可；（3）在直線上取兩點(diǎn)，可得出兩點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．【詳解】解：（1）∵∴平移后所得直線所對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為：故答案為：；（2）在直線上取兩點(diǎn)，可得出兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則有：解得：∴直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；（3）在直線上取兩點(diǎn)，可得出兩點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)設(shè)直線的解析式為，則有：解得：∴直線的解析式為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求一次函數(shù)解析式，能夠找出直線上的點(diǎn)變換后對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．24．（21-22八年級下·福建泉州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C．(1)點(diǎn)A坐標(biāo)是（，）、點(diǎn)B坐標(biāo)是（，）；(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(3)點(diǎn)M是射線BA上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，如果存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，0；0，1(2)(3)符合要求點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，2）、（1，2）、（3，2）．【分析】（1）由，分別令，，即可求解；（2）過A作交BC于F，過F作軸于E，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；（3）分當(dāng)BC是對角線時(shí)；當(dāng)BC是邊，四邊形BMNC為菱形時(shí)；當(dāng)BC是邊，四邊形BCMN為菱形時(shí)三種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)去分析求解即可求得答案．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，∴令x=0，得y=-1，令y=0，則，∴，．故答案為：，0；0，-1；（2）解：過A作交BC于F，過F作軸于E．∵，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴，∴，，∴，∴．設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，∴，∴，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：；（3）解：存在．如圖，當(dāng)BC是對角線時(shí)，四邊形BMCN為菱形．∴，．∵直線BM為，∴設(shè)直線CN的函數(shù)表達(dá)式為．∵直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：，∴，∴，解得，∴直線CN的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)．∵，，∴，∴，解得，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)BC是邊，四邊形BMNC為菱形時(shí)．∴，．∵直線BM為，∴設(shè)直線CN的函數(shù)表達(dá)式為．∵直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：1，∴，∴，解得，∴直線CN的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)．∵，，∴，∴，解得或（不合題意，舍去），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為；③如圖，當(dāng)BC是邊，四邊形BCMN為菱形時(shí)．∴，設(shè)．∵，，∴，∴，解得或0（不合題意，舍去），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．∵，，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）、（1，2）、（3，2）．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理．解題的關(guān)鍵是注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25．（21-22八年級下·浙江金華·開學(xué)考試）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，將直線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)，①求線段的長；②直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(2)若直線在旋轉(zhuǎn)過程中與軸交于點(diǎn)，當(dāng)、、均為等腰三角形時(shí)，求出符合條件的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．(3)若直線在旋轉(zhuǎn)過程中與直線交于點(diǎn)，連，以為邊作等邊（點(diǎn)、、按逆時(shí)針方向排列），連BF．請你探究線段BE，OB與BF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)①AC=2；②旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為30°；(2)當(dāng)α=15°或60°或105°或150°時(shí)，△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形；(3)BE+BF=2OB，理由見解析【分析】（1）①求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出AC的長；②如圖1中，由CE∥OA，推出∠ACE=∠OAC，由直角三角形的性質(zhì)，推出∠OAC=30°，由此即可解決問題；（2）由圖2、圖3、圖4、圖5可知，當(dāng)α=15°或60°或105°或150°時(shí)，△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形；（3）連接AC，證明△ABC為等邊三角形，再證明△ACE≌△BCF，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：①對于直線y=x+令x=0得y=，令y=0得x=-1，∴A（0，），B（-1，0），∵C（1，0），∴AC==2；②如圖1中，∵CE∥OA，∴∠A