人教版 九年級 數(shù)學 下冊 第二十七章《相似三角形的判定》教學課件

27.2相似三角形第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2相似三角形平行線分線段成比例平行線截三角形相似的定理三邊關系判定三角形相似定理邊角關系判定三角形相似定理角的關系判定三角形相似定理直角三角形相似的判定知識點相似三角形知1－講11.相似三角形概念三個角分別相等，三條邊成比例的兩個三角形相似圖示既可以作為相似三角形的判定，又可以作為相似三角形的性質知1－講續(xù)表表示△ABC與△DFE相似可以表示為“△ABC∽△DFE”讀法三角形ABC相似于三角形DFE相似比知1－講2.相似三角形的對應性、順序性、傳遞性內(nèi)容示例圖示對應性兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上如:△ABC∽

△A′B′C′不能寫成△ABC∽△B′C′A′知1－講續(xù)表內(nèi)容示例圖示順序性相似比具有順序性傳遞性相似三角形具有傳遞性如:△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽

△GHK，則△ABC

∽△

GHK知1－講知識拓展全等三角形相似三角形形狀相同大小相等不一定相等對應邊相等成比例對應角相等符號≌∽相似比1正實數(shù)關系全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形知1－講方法歸納相似三角形中對應元素的尋找方法：對應角的對邊

對應邊的對角對應角的夾邊

對應邊的夾角最長(短)邊

公共角

最大(小)角是對應邊是對應角知1－練例1如圖27.2－1，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解題秘方：緊扣“相似三角形定義中對應角相等，對應邊成比例”求解.知1－練(1)求△ABC與△ADE的相似比；(2)求∠AED的度數(shù)和DE的長.

知1－練1－1.[中考·重慶]如圖，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，

若AB的長度為6，則DE的長度為(

)A.4B.9C.12D.13.5B知2－講平行線分線段成比例的基本事實及其推論知識點平行線分線段成比例2文字語言圖示符號語言基本事實兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例知2－講續(xù)表文字語言圖示符號語言推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例知2－講拓展延伸平行線分線段成比例的基本事實的常見變形知2－練

例2知2－練解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實找成比例的線段.

答案：C知2－練

D知2－練

例3知2－練解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實的推論建立比例式是解題關鍵.

答案：C知2－練技巧點撥：利用平行線分線段成比例的基本事實或推論求線段長的方法：先確定圖中的平行線，再根據(jù)平行線截得的線段間的比例關系，寫出一個含有待求線段和已知線段的比例式，構造出方程，解方程求出待求線段的長.知2－練3－1.[期末·紹興上虞區(qū)]為制作風箏，小明做了如圖所示的風箏支架示意圖，已知點B、點C分別在射線AD與AE上，且BC∥DE，AB∶AD＝3∶7，AE＝28cm，則CE的長是(

)A.8.4cm B.11.2cmC.12cm D.16cmD知3－講知識點平行線截三角形相似的定理3內(nèi)容類別“A型”“X型”平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或它們的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似DE∥BC，且DE與AB，AC的延長線相交DE∥BC，且DE與AB，AC

相交DE∥BC，且DE與AB，AC的反向延長線相交知3－講警示誤區(qū)利用平行線判定三角形相似必須滿足兩個條件：1.存在一條平行于三角形一邊的直線;2.平行線與三角形其他兩邊或其延長線相交.如圖，即使

AD//BC，也不能得到△ABC與△DCA相似.知3－練如圖27.2－4，已知在□ABCD中，E為AB延長線上的一點，AB＝3BE，DE與BC相交于點F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應的相似比.解題秘方：緊扣平行線截三角形相似的兩種基本圖形：“A型”和“X型”進行查找.例4知3－練

求相似比不僅要找準對應邊，還需注意兩個三角形的先后順序，若順序顛倒，則相似比成為原來相似比的倒數(shù)知3－練4－1.如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點G，則圖中的相似三角形共有()A.3對

B.5對C.6對

D.8對C知3－練如圖27.2－5，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，則FC＝________.例54知3－練解題秘方：涉及的線段在平行線上時，用平行線截三角形相似；涉及的線段都在截線上時，用平行線分線段成比例.

知3－練

C知4－講1.相似三角形的判定定理：三邊成比例的兩個三角形相似.知識點三邊關系判定三角形相似定理4特別提醒由三邊成比例判定兩三角形相似與由三邊對應相等判定兩三角形全等的方法類似，只需把三邊對應相等改為三邊成比例即可.知4－講

知4－講3.利用三邊判斷兩個三角形是否相似的步驟與方法步驟方法排序將三角形的三邊按從小到大(或從大到小)的順序排列計算分別計算這兩個三角形對應邊的比值判斷根據(jù)比值是否相等判斷兩個三角形是否相似知4－練圖27.2－7、圖27.2－8中小正方形的邊長均為1，則圖27.2－8中的哪一個三角形(陰影部分)與圖27.2－7中的△

ABC相似？例6知4－練解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求三角形各邊的長，緊扣“三邊成比例的兩個三角形相似”，用計算比較法判斷.知4－練

知4－練6－1.[期末·清遠清城區(qū)]如圖，點A，B，C，D均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格的格點上，連接AD，求證：△ABD

∽△CBA.知4－練知5－講1.相似三角形的判定定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.知識點邊角關系判定三角形相似定理5特別提醒運用該定理證明兩三角形相似時，一定要注意邊角的關系，相等的角一定是成比例的兩組對應邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.知5－講

知5－練如圖27.2－10，在正方形ABCD中，P是BC上的一

點，且BP＝3PC，Q是CD的中點.求證：△ADQ∽

△

QCP.解題秘方：緊扣“邊角關系判定三角形相似定理”證明即可.例7知5－練

知5－練技巧點撥:利用兩邊成比例且夾角相等證兩三角形相似的方法先找出兩個三角形中相等的那個角；再分別找出兩個三角形中夾這個角的兩條邊，并按大小排列找出對應邊；最后證明這兩組對應邊成比例.知5－練7－1.[期末·泉州泉港區(qū)]如圖，線段AB

與CD相交于點P，AP＝5，CP＝3，BP＝10，DP＝6.求證：△APC∽

△BPD.知5－練知6－講1.相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.知識點角的關系判定三角形相似定理6特別提醒常見的相等的角：①公共角；②對頂角；③兩直線平行時的同位角、內(nèi)錯角；④同角(等角)的余角(補角)；⑤同弧所對的圓周角.知6－講2.數(shù)學表達式如圖27.2－11，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝

∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知6－練如圖27.2－12，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于點E，交BC的延長線于點F.求證：△ABF∽△CAF.例8知6－練解題秘方：緊扣“兩組對應角相等的兩個三角形相似”，由于∠BFA是公共角，因此只需利用圖形的相關性質證明∠B＝∠4即可.知6－練證明：∵

EF

垂直平分AD，∴

AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.∵

AD

是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠2.又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知6－練8－1.[中考·菏澤]如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC.知6－練證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB.∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED.∵AD⊥BD，∴∠D＝∠ABC＝90°.∴△ADE∽△ABC.知6－練

∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE.知7－講1.直角三角形相似的判定方法(1)一組銳角相等的兩直角三角形相似；(2)兩組直角邊對應成比例的兩直角三角形相似；(3)斜邊與一組直角邊對應成比例的兩直角三角形相似.知識點直角三角形相似的判定7知7－講

知7－講深度理解1.判定一般三角形相似的方法同樣適用于判定兩個直角三角形相似.2.在直角三角形中，只要一組銳角相等，或有兩邊對應成比例，即可判定這兩個直角三角形相似.3.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個小直角三角形都與原直角三角形相似.知7－練在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列條件中，不能判定這兩個三角形相似的是()A.∠A＝55°，∠D＝35°B.AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C.AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D.AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9例9

知7－練思路引導：解：A.∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°.∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D.又∵∠C＝∠F＝90°，∴

Rt△ABC∽

Rt△EDF.知7－練

知7－練

答案：C知7－練9－1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，圖中共有哪幾對相似三角形？并選擇其中一對進行

證明.知7－練解：圖中共有3對相似三角形，分別為△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.(選擇不唯一)證明△ACD∽△ABC如下：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∴∠ADC＝90°＝∠ACB.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.知7－練

知7－練相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的定義平行線的性質平行線截對應線段成比例平行線截三角形相似相似三角形的判定定理題型利用“三點定形法”找相似三角形1已知：如圖27.2－14，CD是Rt△ABC斜邊AB上的

高，E為CB的中點，ED的延長線交CA的延長線于點F.

求證：AC·CF＝CB·DF.例10解題秘方：用“三點定形法”將比例式中的四條線段劃歸到兩個相似三角形中進行證明.

技巧提醒：運用三點定形法時，要設法找出比例式或等積式中所含的幾個字母，是否存在可由“三點”確定兩個相似三角形，且式子中所有點要在這兩個三角形中，“橫看”與“豎看”是“三點定形法”找相似三角形的常用方法.

題型利用平行線構造相似三角形2如圖27.2－15，在△ABC中，點D是AB上的點，且AB＝3AD，E是AC的中點，DE的延長線交BC的延長線于點F.求證：BC＝CF.解題秘方：緊扣“平行線或相似三角形”使線段成比例的特征作輔助線.例11

教你一招：作平行線構造成比例線段及相似三角形的思路作平行線構造成比例線段及相似三角形的實質是構造“A型”或“X型”圖形，常用的添加輔助線的規(guī)律：(1)原圖中的每條直線都可以看作平行線中的一條，針對每一條直線都可以過不在這條直線上的點作它的平行線.(2)過圖中任一點都可作不經(jīng)過這點的直線的平行線.另解本題還有其他多種解法，下面僅給出添加輔助線的思路，舉例如下：1.如圖27.2－18，過點B作BG∥AC，交FD的延長線于點G.2.如圖27.2－19，過點B作BG∥DF，交AC的延長線于點G.3.如圖27.2－20，過點C作CG∥DE，交AB于點G.同理，還可過點D，E，F(xiàn)作平行線.題型圓與相似三角形的綜合3[中考·濱州]如圖27.2－21，已知AC為⊙O的直徑，直線PA

與⊙O相切于點A，直線PD經(jīng)過⊙O上的點B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點M.例12思路引導：證明：如圖27.2－21，連接OB.∵

OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵

AC是⊙O的直徑，∴∠CBA＝90°.∴∠CAB＋∠OCB＝90°.∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，即∠OBD＝90°.∴

PD是⊙O的切線.求證：(1)PD是⊙O的切線；

(2)AM2＝OM·PM.知識儲備證明兩個三角形相似，常用的判定方法是“兩角分別相等的兩個三角形相似”，其次是“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，有時候也會用到“三邊成比例的兩個三角形相似”.方法點撥在圓中證明兩個三角形相似，一般找兩組角分別相等，找角相等的方法有：1.利用切線的性質;2.通過條件計算角的度數(shù)；3.根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”.題型函數(shù)與相似三角形的綜合4如圖27.2－22，△ABC為等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點(不是頂點)，∠BDE＝60°.例13解題秘方：緊扣“相似三角形對應邊成比例的性質”用方程思想求函數(shù)解析式.(1)求證：△DEC∽△BDA；證明：∵∠

BDE＝60°，∴∠EDC＋∠ADB＝120°.∵△ABC為等邊三角形，∴∠C

＝∠A＝60°.∴∠DBA

＋∠ADB＝120°.∴∠EDC

＝∠DBA.∴△DEC∽△BDA.(2)若等邊三角形的邊長為4，并設DC＝x，BE＝y(tǒng)，試求y

關于x

的函數(shù)解析式.

解題通法解決此類問題時，一般要從已知入手，找出三角形相似的條件，證得三角形相似后得出與兩個變量相關的線段比例式，再把x，y代到比例式中化簡得到函數(shù)解析式，同時注意x的取值范圍.題型探究動態(tài)問題中的相似三角形5如圖27.2－23，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，動點P從點B出發(fā)沿BD方向勻速向點D移動，當點P距離點B多遠時△APB與△CPD

相似？例14思路引導：

解題通法在與相似三角形相關的動點題目中，隨動點位置的不同，圖形的形狀發(fā)生變化，則相似三角形邊的對應關系發(fā)生變化，出現(xiàn)多種情況.所以在動點的題目中，出現(xiàn)“△XXX和△XXX相似”這種描述時，點的對應關系不確定，必須進行分類討論.易錯點解題時考慮不全面，造成漏解在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝10，P為AB上一點，PA＝4，過點P的直線交AC邊所在的直線于點

D，若△PAD

與△ABC相似，則PD的值為多少？例15

診誤區(qū)：由于受到思維定式的影響，往往只考慮到PD//BC的情況，而忽視PD與BC不平行的情況，從而造成漏解.解答此類問題時，要考慮所有可能的情況,避免因為考慮不全面而導致漏解.

考法利用平行線分線段成比例求線段的比值1例16試題評析：本題考查了根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實求值，正確得出相應的比例式是解題的關鍵.

在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形.如圖27.2－26，已知Rt△ABC是6×6網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中，面積最大的三角形的斜邊長是_______.考法網(wǎng)格中的三角形相似2例17

試題評析：本題考查了相似三角形的判定，明確相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

[中考·上海]如圖27.2－27，在梯形ABCD中，AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝

∠ADE，AC＝AD.考法四邊形中的三角形相似3例18試題評析：本題是相似三角形的判定與四邊形的綜合題，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題.(1)求證：DE＝AF；證明：∵

AD

∥

BC，∴∠

ACF＝

∠

DAC.∵∠

FAC＝

∠

ADE，AC＝AD，∴△

ACF

≌△

DAE(ASA).∴

DE＝AF.(2)若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF·CE.

[中考·北京]如圖27.2－28，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.考法圓中的三角形相似4例19試題評析：本題考查了圓的基本性質、切線的性質、相似三角形的判定與性質等知識，解題關鍵是學會添加常用的輔助線，靈活運用所學知識解決問題.(1)求證：OD∥BC；證明：如圖27.2－29，連接AC.∵

AB

是⊙O的直徑，∴

AC⊥BC.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.∴AD

＝

CD.∴

OD

⊥

AC.∴

OD

∥

BC.︵︵

考法函數(shù)中的三角形相似5例20試題評析：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是對三角形的相似分類討論.(1)求直線和雙曲線的解析式.

(2)過點C作CD⊥x軸于點D，點P在x軸上，若以O，A，P

為頂點的三角形與△BCD相似，求點P的坐標.解：∵

A(0，－2)，B(－1，0)，C(－2，2)，CD⊥x軸，點P在x

軸上，∴

OA＝2，BD＝1，CD＝2，∠CDB＝90°＝∠AOP.當以O，A，P為頂點的三角形與△BCD相似時，分兩種情況進行討論：

D

C

C

B5.[中考·東營]如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD

的長為(

)A.1.8B.2.4C.3D.3.2C

B7.在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是_______.△MCB8.[中考·濱州]如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC

上.添加一個條件使△ADE∽△ACB，則這個