2018-2019學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)教案(含教學(xué)反思)

直角三角形1．1直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅰ)第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)和判定1．掌握“直角三角形兩個(gè)銳角互余”，并能利用“兩銳角互余”判斷三角形是直角三角形；(重點(diǎn))2．探索、理解并掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在小學(xué)時(shí)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)有關(guān)直角三角形的知識(shí)，同學(xué)們可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小組成員一同探究直角三角形的性質(zhì)．二、合作探究探究點(diǎn)一：直角三角形兩銳角互余如圖，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC與DF交于點(diǎn)E，若∠A＝20°，則∠CEF等于()A．110°B．100°C．80°D．70°解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故選A.方法總結(jié)：熟知直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，并準(zhǔn)確識(shí)圖是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵．探究點(diǎn)二：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形如圖所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求證：△EOF是直角三角形．解析：三角形內(nèi)角和定理是解答有關(guān)角的問(wèn)題時(shí)最常用的定理，是解決問(wèn)題的突破口，本題欲證△EOF是直角三角形，只需證∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝eq\f(1,2)(180°－∠BCD)，∠F＝eq\f(1,2)(180°－∠ABC)，由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°，即問(wèn)題得證．證明：∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°，∴∠F＝eq\f(1,2)(180°－∠ABF)．同理，∠E＝eq\f(1,2)(180°－∠ECD)．∴∠E＋∠F＝180°－eq\f(1,2)(∠ABF＋∠ECD)．∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠ECD＝180°.∴∠E＋∠F＝180°－eq\f(1,2)×180°＝90°，∴△EOF是直角三角形．方法總結(jié)：由三角形的內(nèi)角和定理可知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180°，如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角的和為90°，可知該三角形為直角三角形．探究點(diǎn)三：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如圖，△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．(1)若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)；(2)求證：EF垂直平分AD.解析：(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE＝AE＝eq\f(1,2)AB，DF＝AF＝eq\f(1,2)AC，再根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)的公式計(jì)算即可得解；(2)根據(jù)“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”證明即可．(1)解：∵AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5，DF＝AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×8＝4，∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；(2)證明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E是AD的垂直平分線上的點(diǎn)，F(xiàn)是AD的垂直平分線上的點(diǎn)，∴EF垂直平分AD.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件含有線段的中點(diǎn)、直角三角形等條件時(shí)，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，連接中點(diǎn)和直角三角形的直角頂點(diǎn)進(jìn)行求解或證明．探究點(diǎn)四：直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用【類(lèi)型一】利用直角三角形的性質(zhì)證明線段關(guān)系如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF為AB的垂直平分線，交BC于F，交AB于點(diǎn)E.求證：FC＝2BF.解析：根據(jù)EF是AB的垂直平分線，聯(lián)想到垂直平分線的性質(zhì)，因此連接AF，得到△AFB為等腰三角形．又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°，進(jìn)而求得∠FAC＝90°.取CF的中點(diǎn)M，連接AM，就可以利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．證明：如圖，取CF的中點(diǎn)M，連接AF、AM.∵EF是AB的垂直平分線，∴AF＝BF.∴∠BAF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠BAF＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°.∴∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°.在Rt△AFC中，∠C＝30°，M為CF的中點(diǎn)，∴∠AFM＝60°，AM＝eq\f(1,2)FC＝FM.∴△AFM為等邊三角形．∴AF＝AM＝eq\f(1,2)FC.又∵BF＝AF，∴BF＝eq\f(1,2)FC，即FC＝2BF.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線時(shí)，通常會(huì)運(yùn)用到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個(gè)性質(zhì)，使用該性質(zhì)時(shí)，要注意找準(zhǔn)斜邊和斜邊上的中線．【類(lèi)型二】利用直角三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題如圖所示，四個(gè)小朋友在操場(chǎng)上做搶球游戲，他們分別站在四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)A、B、C、D處，球放在EF的中點(diǎn)O處，則游戲________(填“公平”或“不公平”)．解析：游戲是否公平就是判斷點(diǎn)A、B、C、D到點(diǎn)O的距離是否相等．四個(gè)直角三角形有公共的斜邊EF，且O為斜邊EF的中點(diǎn)．連接OA、OB、OC、OD.根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì)可知，OA＝OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)EF，即點(diǎn)A、B、C、D到O的距離相等．由此可得出結(jié)論：游戲公平．方法總結(jié)：題目中如果出現(xiàn)“直角三角形”和“中點(diǎn)”這兩個(gè)條件時(shí)，應(yīng)連接直角頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)，再利用“斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)”解題．【類(lèi)型三】利用直角三角形性質(zhì)解動(dòng)態(tài)探究題如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC的中點(diǎn)．(1)寫(xiě)出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的數(shù)量關(guān)系；(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，移動(dòng)中保持AN＝BM.請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．解析：(1)由于△ABC是直角三角形，O是BC的中點(diǎn)，得OA＝OB＝OC＝eq\f(1,2)BC；(2)由于OA是等腰直角三角形斜邊上的中線，因此根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得∠CAO＝∠B＝∠45°，OA＝OB，又AN＝MB，所以△AON≌△BOM，所以O(shè)N＝OM，∠NOA＝∠MOB，于是有∠NOM＝∠AOB＝90°，所以△OMN是等腰直角三角形．解：(1)連接AO.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O為BC的中點(diǎn)，∴OA＝eq\f(1,2)BC＝OB＝OC，即OA＝OB＝OC；(2)△OMN是等腰直角三角形．理由如下：∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，∴OA＝OB，∠NAO＝eq\f(1,2)∠CAB＝∠B＝45°，AO⊥BC，又AN＝BM，∴△AON≌△BOM，∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．方法總結(jié)：解決動(dòng)態(tài)探究性問(wèn)題，要把握住動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中的不變量，比如角的度數(shù)、線段的長(zhǎng)和不變的數(shù)量關(guān)系，比如斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形兩銳角互余．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．直角三角形的性質(zhì)性質(zhì)一：直角三角形的兩銳角互余；性質(zhì)二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．2．直角三角形的判定方法一：一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；方法二：兩銳角互余的三角形是直角三角形．通過(guò)練習(xí)反饋的情況來(lái)看，學(xué)生對(duì)于利用已知條件判定一個(gè)三角形是否為直角三角形這一考點(diǎn)比較容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告訴斜邊上的中點(diǎn)利用中線這一性質(zhì)解決問(wèn)題．在今后的教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生不斷強(qiáng)化提高這一點(diǎn).第2課時(shí)含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用1．理解并掌握含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)；(重點(diǎn))2．能利用含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？說(shuō)說(shuō)理由，并把你的發(fā)現(xiàn)和大家交流一下．二、合作探究探究點(diǎn)一：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等腰三角形的一個(gè)底角為75°，腰長(zhǎng)4cm，那么腰上的高是________cm，這個(gè)三角形的面積是________cm2.解析：因?yàn)?5°不是特殊角，但是根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”可知等腰三角形的頂角為30°，依題意畫(huà)出圖形，則有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×4×2＝4(cm2)．故答案為2，4.方法總結(jié)：作出準(zhǔn)確的圖形、構(gòu)造含30°角的直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．探究點(diǎn)二：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°如圖所示，在四邊形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝eq\f(1,2)BC，求∠DAC的度數(shù)．解析：根據(jù)題意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝eq\f(1,2)BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.方法總結(jié)：如果題中出現(xiàn)直角三角形及斜邊是直角邊的兩倍可直接得出30°的角，再利用相關(guān)條件求解．探究點(diǎn)三：含30°銳角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用如圖，某船于上午11時(shí)30分在A處觀測(cè)到海島B在北偏東60°方向；該船以每小時(shí)10海里的速度向東航行到C處，觀測(cè)到海島B在北偏東30°方向；航行到D處，觀測(cè)到海島B在北偏西30°方向；當(dāng)船到達(dá)C處時(shí)恰與海島B相距20海里．請(qǐng)你確定輪船到達(dá)C處和D處的時(shí)間．解析：根據(jù)題意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC、AC、CD的長(zhǎng)度．根據(jù)速度、時(shí)間、路程關(guān)系式求出時(shí)間．解：由題意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD為等邊三角形．在△ABD中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝90°，即△ABD為直角三角形，∴∠ABC＝30°.∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海里．又∵BD＝eq\f(1,2)AD，∴AD＝40海里．∴AC＝AD－CD＝20(海里)．∵船的速度為每小時(shí)10海里，因此輪船從A處到C處的時(shí)間為eq\f(20,10)＝2(h)，從A處到D處的時(shí)間為eq\f(40,10)＝4(h)．∴輪船到達(dá)C處的時(shí)間為13時(shí)30分，到達(dá)D處的時(shí)間為15時(shí)30分．方法總結(jié)：方位角是遵循“上北下南左西右東”的原則，弄清楚方位角是解決這類(lèi)題的關(guān)鍵，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解題．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)(1)在直角三角形中，30度的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半；(2)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°.2．含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用．在教學(xué)中，應(yīng)該要注意強(qiáng)調(diào)這兩個(gè)性質(zhì)都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；兩邊的二倍關(guān)系是斜邊和直角邊之間的關(guān)系，不是兩直角邊的關(guān)系，這在教學(xué)中要注意強(qiáng)調(diào)，這是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤.1．2直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅱ)第1課時(shí)勾股定理1．經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；(重點(diǎn))2．掌握勾股定理，并應(yīng)用它解決簡(jiǎn)單的計(jì)算題；(重點(diǎn))3．了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹(shù)，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，它由若干個(gè)圖形組成，而每個(gè)圖形的基本元素是三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧．你能說(shuō)說(shuō)其中的奧秘嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理【類(lèi)型一】直接運(yùn)用勾股定理已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的長(zhǎng)；(2)S△ABC；(3)CD的長(zhǎng)．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)；(2)直接利用三角形的面積公式即可求出S△ABC；(3)根據(jù)CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12(cm)；(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)CB·AC＝eq\f(1,2)×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(60,13)(cm)．方法總結(jié)：解答此類(lèi)問(wèn)題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，然后利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，根據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可．【類(lèi)型二】分類(lèi)討論思想在勾股定理中的應(yīng)用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，試求△ABC周長(zhǎng)．解析：本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論．解：此題應(yīng)分兩種情況：(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖①所示，在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9，在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周長(zhǎng)為15＋13＋14＝42；(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖②所示，在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9.在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周長(zhǎng)為：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周長(zhǎng)為32或42.方法總結(jié)：解題時(shí)要考慮全面，對(duì)于存在的可能情況，可作出相應(yīng)的圖形，判斷是否符合題意．【類(lèi)型三】勾股定理與等腰三角形的綜合如圖所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線分別交BC、AB于D、F點(diǎn)，BD＝6eq\r(2)，AE⊥BC于E，求AE的長(zhǎng)．解析：欲求AE，需與BD聯(lián)系，連接AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AD＝BD.可證△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的長(zhǎng)．解：如圖所示，連接AD.∵DF是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD＝6eq\r(2)，∴∠BAD＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE.由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(6eq\r(2))2，∴AE＝eq\f(6\r(2),\r(2))＝6.方法總結(jié)：22.5°雖然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以經(jīng)常利用等腰三角形和外角進(jìn)行轉(zhuǎn)換．直角三角形中利用勾股定理求邊長(zhǎng)是常用的方法．探究點(diǎn)二：勾股定理與圖形的面積探索與研究：方法1：如圖：對(duì)任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．根據(jù)圖示寫(xiě)出證明勾股定理的過(guò)程；方法2：如圖：任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據(jù)圖示再寫(xiě)一種證明勾股定理的方法嗎？解析：方法1：根據(jù)四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和進(jìn)行解答；方法2：根據(jù)△ABC和Rt△ACD的面積之和等于Rt△ABD和△BCD的面積之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四邊形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法總結(jié)：證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理證明勾股定理．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的應(yīng)用3．勾股定理與圖形的面積課堂教學(xué)中，要注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性．讓學(xué)生滿懷激情地投入到學(xué)習(xí)中，提高課堂效率．勾股定理的驗(yàn)證既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是本節(jié)課的難點(diǎn)，為了突破這一難點(diǎn)，可設(shè)計(jì)拼圖活動(dòng)，并自制精巧的課件讓學(xué)生從圖形上感知，再層層設(shè)問(wèn)，從面積(數(shù))入手，師生共同探究突破本節(jié)課的難點(diǎn).第2課時(shí)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用“1．熟練運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題；(重點(diǎn))2．勾股定理的正確使用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖，在一個(gè)圓柱形石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用【類(lèi)型一】勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13米，此人以0.5米每秒的速度收繩．問(wèn)6秒后船向岸邊移動(dòng)了多少米(假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào))?解析：開(kāi)始時(shí)，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根據(jù)BC、AC長(zhǎng)度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，則AB＝eq\r(BC2－AC2)＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，則AB＝eq\r(BC2－AC2)＝5eq\r(3)米，則船向岸邊移動(dòng)距離為(12－5eq\r(3))米．方法總結(jié)：在實(shí)際生產(chǎn)生活中有很多圖形是直角三角形或可構(gòu)成直角三角形，在計(jì)算中常應(yīng)用勾股定理．【類(lèi)型二】含30°或45°等特殊角的三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，我國(guó)許多地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲，今日A市測(cè)得沙塵暴中心在A市的正西方向300km的B處，以10eq\r(7)km/h的速度向南偏東60°的BF方向移動(dòng)，距沙塵暴中心200km的范圍是受沙塵暴影響的區(qū)域，問(wèn)：A市是否會(huì)受到沙塵暴的影響？若不會(huì)，說(shuō)明理由；若會(huì)，求出A市受沙塵暴影響的時(shí)間．解析：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BF于C，然后求出∠ABC＝30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AC＝eq\f(1,2)AB，從而判斷出A市受沙塵暴影響，設(shè)從D點(diǎn)開(kāi)始受影響，此時(shí)AD＝200km，利用勾股定理列式求出CD的長(zhǎng)，再求出受影響的距離，然后根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算即可得解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BF于C，由題意得，∠ABC＝90°－60°＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×300＝150(km)，∵150＜200，∴A市受沙塵暴影響，設(shè)從D點(diǎn)開(kāi)始受影響，則AD＝200km.由勾股定理得，CD＝eq\r(AD2－AC2)＝eq\r(2002－1502)＝50eq\r(7)(km)，∴受影響的距離為2CD＝100eq\r(7)km，受影響的時(shí)間位100eq\r(7)÷10eq\r(7)＝10(h)．方法總結(jié)：熟記“直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì)，知道方向角如何在圖上表示，作輔助線構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理是解這類(lèi)題的關(guān)鍵．探究點(diǎn)二：勾股定理在幾何圖形中的應(yīng)用【類(lèi)型一】利用勾股定理解決最短距離問(wèn)題如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)BE＝15cm，寬AB＝10cm，高AD＝20cm，點(diǎn)M在CH上，且CM＝5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)解：分三種情況比較最短距離：如圖①(將正面與上面展開(kāi))所示，AM＝eq\r(102＋（20＋5）2)＝5eq\r(29)，如圖②(將正面與右側(cè)面展開(kāi))所示，AM＝eq\r(202＋（10＋5）2)＝25(cm)．∵5eq\r(29)＞25，∴第二種短些，此時(shí)最短距離為25cm；如圖③(將正面與左側(cè)面展開(kāi))所示，AM＝eq\r(（20＋10）2＋52)＝5eq\r(37)(cm).5eq\r(37)＞25，∴最短距離為25cm.答：需要爬行的最短距離是25cm.方法總結(jié)：因?yàn)殚L(zhǎng)方體的展開(kāi)圖不止一種情況，故對(duì)長(zhǎng)方體相鄰的兩個(gè)面展開(kāi)時(shí)，考慮要全面，不要有所遺漏．不過(guò)要留意展開(kāi)時(shí)的多種情況，雖然看似很多，但由于長(zhǎng)方體的對(duì)面是相同的，所以歸納起來(lái)只需討論三種情況：前面和右面展開(kāi)，前面和上面展開(kāi)，左面和上面展開(kāi)，從而比較取其最小值即可．【類(lèi)型二】運(yùn)用勾股定理與方程解決有關(guān)計(jì)算問(wèn)題如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B′處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，且B′C＝3，則AM的長(zhǎng)是()A．1.5B．2C．2.25D．2.5解析：設(shè)AM＝x，連接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵M(jìn)B＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故選B.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是設(shè)出適當(dāng)?shù)木€段的長(zhǎng)度為x，然后用含有x的式子表示其他線段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【類(lèi)型三】勾股定理與數(shù)軸如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是()A.eq\r(5)＋1B．－eq\r(5)＋1C.eq\r(5)－1D.eq\r(5)解析：先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，∴斜邊長(zhǎng)為eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴－1到A的距離是eq\r(5)，那么點(diǎn)A所表示的數(shù)為eq\r(5)－1.故選C.方法總結(jié)：本題考查的是勾股定理和數(shù)軸的知識(shí)，解答此題時(shí)要注意，確定點(diǎn)A的符號(hào)后，點(diǎn)A所表示的數(shù)是距離原點(diǎn)的距離．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用2．勾股定理在幾何圖形中的應(yīng)用就練習(xí)的情況來(lái)看，一方面學(xué)生簡(jiǎn)單機(jī)械地套用了“a2＋b2＝c2”，沒(méi)有分析問(wèn)題的本質(zhì)所在；另一方面對(duì)于立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型還存在較大的困難，在今后的教學(xué)中要通過(guò)實(shí)例不斷訓(xùn)練提高.第3課時(shí)勾股定理的逆定理1．能利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否為直角三角形；(重點(diǎn))2．靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫(huà)直角：將一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后如圖那樣用樁釘釘成一個(gè)三角形，他們認(rèn)為其中一個(gè)角便是直角．你知道這是什么道理嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理的逆定理【類(lèi)型一】勾股數(shù)判斷下列幾組數(shù)中，一定是勾股數(shù)的是()A．1，eq\r(2)，eq\r(3)B．8，15，17C．7，14，15D.eq\f(3,5)，eq\f(4,5)，1解析：選項(xiàng)A不是，因?yàn)閑q\r(2)和eq\r(3)不是正整數(shù)；選項(xiàng)B是，因?yàn)?2＋152＝172，且8、15、17是正整數(shù)；選項(xiàng)C不是，因?yàn)?2＋142≠152；選項(xiàng)D不是，因?yàn)閑q\f(3,5)與eq\f(4,5)不是正整數(shù)．故選B.方法總結(jié)：勾股數(shù)必須滿足：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)；②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．【類(lèi)型二】判斷三角形的形狀已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.試判斷△ABC的形狀．解析：可先確定a，b，c的值，然后再結(jié)合勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．解：由平方數(shù)的非負(fù)性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．方法總結(jié)：此題主要依據(jù)“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0”這一性質(zhì)來(lái)確定a，b，c的值．該知識(shí)點(diǎn)在解題時(shí)會(huì)經(jīng)常用到，應(yīng)注意掌握．【類(lèi)型三】利用勾股定理逆定理解決與角有關(guān)的問(wèn)題在如圖的方格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都是方格線的交點(diǎn)，則三角形ABC的外角∠ACD的度數(shù)等于()A．130°B．135°C．140°D．145°解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故選B.方法總結(jié)：在網(wǎng)格圖中求三角形的角度時(shí)可以運(yùn)用勾股定理和一些特殊角的邊角關(guān)系來(lái)解答，比如在直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，45°的直角三角形中兩直角邊相等．【類(lèi)型四】運(yùn)用勾股定理的逆定理解決面積問(wèn)題如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四邊形ABCD的面積．解析：連接AC，根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理的逆定理可證△ABC和△ACD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將兩直角三角形的面積求出來(lái)，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積．解：連接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×6×8＋eq\f(1,2)×10×24＝144.方法總結(jié)：將求四邊形面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)直角三角形面積和的問(wèn)題，解題時(shí)要利用題目信息構(gòu)造出直角三角形，如角度，三邊長(zhǎng)度等．探究點(diǎn)二：勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用如圖，南北向MN為我國(guó)領(lǐng)海線，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海，上午9時(shí)50分，我國(guó)反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇以13海里/時(shí)的速度偷偷向我領(lǐng)海開(kāi)來(lái)，便立即通知正在MN線上巡邏的我國(guó)反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里；反走私艇B距離C艇12海里，若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)候進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距離即可得出走私艇所用的時(shí)間，即可得出走私艇何時(shí)能進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．所以現(xiàn)在的問(wèn)題是得出走私艇的距離，根據(jù)題意，CE即為走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均為直角三角形，可分別解這兩個(gè)直角三角形即可得出．解：設(shè)MN與AC相交于E，則∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的最短距離是CE，由S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)AC·BE，得BE＝eq\f(60,13)(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋(eq\f(60,13))2＝122，得CE＝eq\f(144,13)(海里)，∴eq\f(144,13)÷13＝eq\f(144,169)≈0.85(h)＝51(min)，9時(shí)50分＋51分＝10時(shí)41分．答：走私艇C最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．方法總結(jié)：本題考查了對(duì)題意的準(zhǔn)確把握和使用勾股定理解直角三角形，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出幾何圖形．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形2．利用勾股定理逆定理求角和線段的長(zhǎng)3．利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題學(xué)生在練習(xí)的過(guò)程中很容易受到固定思維模式的限制，往往不找最長(zhǎng)邊而總是按照先后順序來(lái)解題，這樣很容易發(fā)生錯(cuò)誤，再就是利用勾股定理的逆定理進(jìn)行有關(guān)的證明不是很得法，需在以后的學(xué)習(xí)中逐步訓(xùn)練提高.1．3直角三角形全等的判定1．熟練掌握“斜邊、直角邊定理”，以及熟練地利用這個(gè)定理和判定一般三角形全等的方法判定兩個(gè)直角三角形全等；(重點(diǎn))2．熟練使用“分析綜合法”探求解題思路．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了判定兩個(gè)三角形全等的四種方法——SAS、ASA、AAS、SSS.當(dāng)然這些方法也適用于判定兩個(gè)直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定還有其他的方法嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：運(yùn)用“HL”判定直角三角形全等如圖所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD交CE于點(diǎn)F，AD＝EC.求證：FA＝FC.解析：要利用“等角對(duì)等邊”證明FA＝FC，需先證∠FAC＝∠FCA，此結(jié)論可由三角形全等得到．證明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EC＝AD，,CA＝AC，))∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC.方法總結(jié)：在運(yùn)用HL判定兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，要緊緊抓住直角邊和斜邊這兩個(gè)要點(diǎn)．探究點(diǎn)二：直角三角形判定方法的靈活應(yīng)用【類(lèi)型一】解決線段相等問(wèn)題已知如圖AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E、F.求證：CE＝DF.解析：根據(jù)已知條件證明現(xiàn)有的Rt△ABC與Rt△BAD全等，得出線段和角相等，再證Rt△ACE和Rt△BDF全等，從而解決問(wèn)題．證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BA，,BC＝AD，))∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°，在△CAE和△DBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEA＝∠DFB＝90°，,∠CAE＝∠DBF，,AC＝BD，))∴△CAE≌△DBF(AAS)，∴CE＝DF.方法總結(jié)：一般三角形全等的判定方法仍然適用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五種，不要只限于“HL”．【類(lèi)型二】靈活選用判定方法解決線段和差問(wèn)題已知，如圖所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，且B、C在DE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：BD＝DE＋CE.解析：先證△ABD≌△ACE，再根據(jù)等量代換得出結(jié)論．證明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD，∴∠ABD＝∠CAE，又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.方法總結(jié)：當(dāng)看到題目中要證線段和差關(guān)系時(shí)，而且這三邊分別在兩個(gè)全等三角形中時(shí)，可先判定兩三角形全等，再證明線段關(guān)系．在證明全等時(shí)可靈活選用判定方法．探究點(diǎn)三：利用尺規(guī)作直角三角形已知：線段a，如圖．求作：Rt△ABC，使BC＝a，AB＝eq\f(3,2)a，∠C＝90°.解析：已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，先考慮作出直角，然后截取直角邊，再作出斜邊即可．解：作法：如圖所示，(1)作l2⊥l1于點(diǎn)C；(2)在l1上截取CB＝a；(3)以點(diǎn)B為圓心，以eq\f(3,2)a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交l2于點(diǎn)A；(4)連接AB，Rt△ABC即為所求．方法總結(jié)：尺規(guī)作圖時(shí)，應(yīng)養(yǎng)成先畫(huà)草圖的習(xí)慣，再根據(jù)草圖分析作圖的先后順序．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．斜邊、直角邊定理斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)“HL”)直角三角形判定方法的靈活應(yīng)用使用“HL”定理時(shí)，必須先得出兩個(gè)直角三角形，然后證明斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等．這在課堂教學(xué)中要反復(fù)強(qiáng)調(diào)，這是與前面四種方法的區(qū)別，是學(xué)生很容易犯的錯(cuò)誤，同時(shí)學(xué)生利用尺規(guī)作直角三角形還不熟練，要注重培養(yǎng)他們的動(dòng)手操作能力.1．4角平分線的性質(zhì)1．理解并掌握角平分線的性質(zhì)及判定；(重點(diǎn))2．能夠?qū)瞧椒志€的性質(zhì)及判定進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在S區(qū)有一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點(diǎn)建兩條路，一條到公路，一條到鐵路．問(wèn)題1：怎樣修建道路最短？問(wèn)題2：往哪條路走更近呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等【類(lèi)型一】利用角平分線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分線AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，則△DBE的周長(zhǎng)是____________．解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分線AD交BC于D，DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，繼而可得△DBE的周長(zhǎng)為DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案為7cm.方法總結(jié)：此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【類(lèi)型二】利用角平分線的性質(zhì)求面積如圖，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC且交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，再將△ABC分成△BCD和△ADB兩個(gè)三角形，分別求出它們的面積再求和．解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝eq\f(1,2)BC·DF＋eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)(BC＋AB)·DE＝eq\f(1,2)×30×2.4＝36(cm2)．方法總結(jié)：如果求三角形面積出現(xiàn)困難可將此三角形分成幾個(gè)三角形再利用一些性質(zhì)，如角平分線的性質(zhì)或等腰三角形的性質(zhì)，求這幾個(gè)三角形面積的和．【類(lèi)型三】利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明如圖，已知∠1＝∠2，P為BN上一點(diǎn)且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求證：∠BAP＋∠BCP＝180°.解析：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BA，根據(jù)已知條件得Rt△BPE≌RtBPD，再根據(jù)AB＋BC＝2BD得AE＝CD，可證Rt△APE和RtPDC，可得∠PCD＝∠PAE，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠BAP＋∠BCP＝180°.證明：過(guò)P作PE⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于E.∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝PD，在Rt△BPE和Rt△BPD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PE＝PD，,BP＝BP，))∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL)，∴BE＝BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE，∴AE＝CD.∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEA＝∠PDC＝90°.在△PEA和△PDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PE＝PD，,∠PEB＝∠PDC，,AE＝CD，))∴△PEA≌△PDC(SAS)，∴∠PCD＝∠PAE.∵∠BAP＋∠EAP＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.方法總結(jié)：題目中有角平分線可過(guò)角平分線上的點(diǎn)作角兩邊的垂線，這是角平分線題目中常見(jiàn)的輔助線．探究點(diǎn)二：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上如圖所示，在△ABC中，PD垂直平分BC，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且BM＝CN.求證：∠1＝∠2.解析：先根據(jù)中垂線性質(zhì)得出PB＝PC，再根據(jù)HL證Rt△PBM≌Rt△PCN，再根據(jù)角平分線性質(zhì)的逆定理得出結(jié)論．證明：連接PB、PC.∵PD垂直平分BC，∴PB＝PC.∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠PMB＝∠PNC＝90°.在Rt△PBM與Rt△PCN中，∵PB＝PC，BM＝CN，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)．∴PM＝PN.∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，即∠1＝∠2.方法總結(jié)：證明一條射線是角的平分線有兩種方法：一是利用三角形全等證明；二是利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理證明．顯然，方法二比方法一更簡(jiǎn)捷，在用方法二判定一條射線是一個(gè)角的平分線時(shí)一般分兩步：一是找出或作出射線上的一點(diǎn)到角兩邊的垂線段；二是證明這兩條線段相等．探究點(diǎn)三：角平分線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用如圖所示，在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且使它們的頂角∠DAB＝∠EAC，連接BE、CD相交于P點(diǎn)，AP的延長(zhǎng)線交BC于F點(diǎn)，試判斷∠BPF與∠CPF的關(guān)系，并加以說(shuō)明．解析：首先猜想∠BPF＝∠CPF，即∠DPA＝∠EPA，顯然這兩個(gè)角所在的三角形不一定全等，可考慮用角平分線的判定來(lái)求解．解：∠BPF＝∠CPF，理由如下：過(guò)A點(diǎn)作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N.∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△BAE和△DAC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAE＝∠DAC，,AE＝AC，))∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC，S△BAE＝S△DAC.∵AM⊥DC，AN⊥BE，∴eq\f(1,2)BE·AN＝eq\f(1,2)DC·AM，∴AN＝AM，∴PA平分∠DPE，∴∠DPA＝∠APE.又∵∠DPA＝∠CPF，∠EPA＝∠BPF，∴∠BPF＝∠CPF.方法總結(jié)：證明兩個(gè)角相等：①如果在一個(gè)三角形里，通常利用等邊對(duì)等角；②如果在兩個(gè)三角形里，通常證所在的兩個(gè)三角形全等或利用角平分線的判定．探究點(diǎn)四：利用角平分線的性質(zhì)作圖如圖所示，一條南北走向的鐵路與一條東西走向的公路交叉通過(guò)，一工廠在鐵路的東面，公路的南面，距交叉路口300m，并且工廠到鐵路與公路的距離相等．請(qǐng)?jiān)趫D上標(biāo)出工廠的位置，并說(shuō)明理由(比例尺為1∶20000)．解：畫(huà)出∠AOB的平分線OC，在射線OC上量出表示實(shí)際距離300m長(zhǎng)度的圖上距離線段OP，OP＝300×eq\f(1,20000)＝0.015(m)＝1.5(cm)．因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以點(diǎn)P即是工廠在圖中的位置．方法總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決．三、板書(shū)設(shè)計(jì)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．在教學(xué)中要注意強(qiáng)調(diào)與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角相等問(wèn)題，我們可以直接利用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等，從而可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.四邊形2．1多邊形第1課時(shí)多邊形的內(nèi)角1．了解多邊形及其相關(guān)概念；2．熟練運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入小學(xué)時(shí)我們學(xué)習(xí)過(guò)多邊形，對(duì)它有了初步的了解．什么是多邊形的內(nèi)角，外角，對(duì)角線，如何計(jì)算對(duì)角線的條數(shù)，如何用字母表示它；三角形的內(nèi)角和是180°，你想知道任意一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？今天，我們就來(lái)探究一下多邊形的內(nèi)角和如何計(jì)算．二、合作探究探究點(diǎn)一：多邊形及其有關(guān)概念【類(lèi)型一】多邊形的定義及概念下列說(shuō)法中，正確的有()(1)三角形是邊數(shù)最少的多邊形；(2)由n條線段連接起來(lái)組成的圖形叫多邊形；(3)n邊形有n條邊、n個(gè)頂點(diǎn)、2n個(gè)內(nèi)角；(4)多邊形分為凹多邊形和凸多邊形．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：(2)的說(shuō)法不嚴(yán)密，應(yīng)點(diǎn)明三點(diǎn)：其一，“不在同一直線上”的線段；其二，是“平面圖形”；其三，“線段首尾順次相接”；(3)n邊形的邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)、內(nèi)角的個(gè)數(shù)都是一樣的，即有n條邊(或n個(gè)頂點(diǎn)或n個(gè)內(nèi)角)就叫n邊形．故(2)和(3)的說(shuō)法不正確．因此，只有(1)、(4)的說(shuō)法正確，故選B.方法總結(jié)：理解多邊形的概念需注意：(1)線段必須“不在同一直線上”且首尾順次相連；(2)必須是“平面圖形”；(3)n為邊數(shù)，為不小于3的正整數(shù)．【類(lèi)型二】多邊形的對(duì)角線若一個(gè)多邊形的邊數(shù)恰好是從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)的2倍，則此多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_______．解析：可以設(shè)這個(gè)多邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，則就有n條邊，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)可以引出(n－3)條對(duì)角線．故n＝2(n－3)，即n＝6.故答案為6.方法總結(jié)：①n邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)可引(n－3)條對(duì)角線；②一個(gè)n邊形總共有eq\f(n（n－3）,2)條對(duì)角線．探究點(diǎn)二：多邊形的內(nèi)角和【類(lèi)型一】已知邊數(shù)或?qū)蔷€條數(shù)求內(nèi)角和一個(gè)多邊形共有的對(duì)角線條數(shù)是它的邊數(shù)的3倍，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少度？解析：先求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)邊數(shù)來(lái)求內(nèi)角和．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得eq\f(n（n－3）,2)＝3n，所以n－3＝2×3，所以n＝9，所以(n－2)·180°＝(9－2)×180°＝1260°，所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1260°.方法總結(jié)：n邊形的對(duì)角線條數(shù)為eq\f(n（n－3）,2)，利用對(duì)角線條數(shù)的計(jì)算方法，知道多邊形的邊數(shù)或?qū)蔷€條數(shù)其中一個(gè)，即可求出另一個(gè)數(shù)．【類(lèi)型二】已知內(nèi)角和求邊數(shù)已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，且這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)之比為2∶3，求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)．解析：利用內(nèi)角和公式，根據(jù)已知條件建立等量關(guān)系即可求解．解：設(shè)這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別為2x和3x.由題意，得(2x－2)·180°＋(3x－2)·180°＝1080°.解得x＝2.故這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是4和6.方法總結(jié)：運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式，建立方程模型來(lái)求多邊形的邊數(shù)是比較常用的方法．【類(lèi)型三】少加的內(nèi)角如圖所示，回答下列問(wèn)題：(1)小華是在求幾邊形的內(nèi)角和？(2)少加的那個(gè)內(nèi)角為多少度？解析：由多邊形內(nèi)角和公式(n－2)·180°知，多邊形的內(nèi)角和是180°的整數(shù)倍，而1125÷180的余數(shù)為45，這說(shuō)明小華少加了一個(gè)135°的角．解：(1)因?yàn)?125÷180＝6eq\f(1,4)，∴n－2≥6eq\f(1,4)，n為整數(shù)，∴n－2＝7，n＝9，故小華求的是九邊形的內(nèi)角和；(2)因?yàn)?125÷180的余數(shù)為45，故小華少加的那個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°－45°＝135°.【類(lèi)型四】求不規(guī)則多邊形的內(nèi)角和如圖所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù)．解析：已知圖形為不規(guī)則的圖形，我們可嘗試將這7個(gè)角的和轉(zhuǎn)化為一個(gè)多邊形的內(nèi)角和求解，如果連接BF，則可得到一個(gè)五邊形，借助五邊形的內(nèi)角和可解決問(wèn)題．解：如圖所示，連接BF，則∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°.方法總結(jié)：求不規(guī)則多邊形的內(nèi)角和時(shí)，通過(guò)添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，是解答此類(lèi)題目最常用的方法．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．多邊形的定義及相關(guān)概念2．多邊形的對(duì)角線總條數(shù)的計(jì)算公式eq\f(n（n－3）,2)(n為邊數(shù))3．多邊形的內(nèi)角和公式：(n－2)·180°教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)由特殊的圖形推導(dǎo)出一般圖形的相關(guān)性質(zhì)，這是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)運(yùn)用的基本能力，所以我們平時(shí)就應(yīng)該有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生這方“備課大師”全科【9門(mén)】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！/“備課大師”全科【9門(mén)】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！/面的能力.第2課時(shí)多邊形的外角1．理解和掌握多邊形外角和定理的推導(dǎo)過(guò)程；(重點(diǎn))2．了解四邊形的不穩(wěn)定性及在生活和生產(chǎn)中的利與弊；3．多邊形內(nèi)角和、外角和定理的綜合運(yùn)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入清晨，小明沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)的周?chē)∨?，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿剑?1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角是哪個(gè)角？在圖中標(biāo)出它們．(2)他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？二、合作探究探究點(diǎn)一：多邊形的外角和定理【類(lèi)型一】利用多邊形的外角和定理求不規(guī)則圖形的角度如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度數(shù)為()A．90°B．180°C．270°D．360°解析：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，以及多邊形的外角和即可求解．∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∠4＝∠G＋∠H，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4，又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.故選D.方法總結(jié)：本題考查了三角形的外角以及多邊形的外角和定理，正確地將所求結(jié)論轉(zhuǎn)化為多邊形的外角和是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型二】利用四邊形的外角和定理解決實(shí)際問(wèn)題如圖，小陳從點(diǎn)O出發(fā)，前進(jìn)5m后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)5m后又向右轉(zhuǎn)20°，……這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)，A．60mB．100mC．90mD．120m解析：小陳的行走路線圍成的圖形是一個(gè)正多邊形，它的每條邊長(zhǎng)都是5m，每個(gè)外角都是20°，所以圍成的正多邊形的邊數(shù)是360°÷20°＝18，故小陳行走的總路程為5×18＝90(m)．故選C.方法總結(jié)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用正多邊形的外角和定理解題．【類(lèi)型三】多邊形內(nèi)角和與外角和定理的綜合運(yùn)用下列多邊形中，內(nèi)角和與外角和相等的是()A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形解析：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°，多邊形外角和為360°，∴(n－2)·180°＝360°，n＝4.故選A.方法總結(jié)：內(nèi)角和為(n－2)×180°，而外角和為定值360°，根據(jù)兩者等量關(guān)系求出n值．探究點(diǎn)二：四邊形的不穩(wěn)定性如圖，有一個(gè)四邊形鋼架，由4條鋼管連接而成．為了使這一鋼架穩(wěn)固，應(yīng)怎么做？解析：鋼架為四邊形形狀，因?yàn)樗倪呅尉哂胁环€(wěn)定性，因此不能穩(wěn)固．若用1條或2條鋼管連接對(duì)角線，則把這個(gè)四邊形完全轉(zhuǎn)化為三角形了．而三角形具有穩(wěn)定性，故鋼架可以穩(wěn)固，因此可以用1條或2條鋼管連接對(duì)角線，從而使之保持穩(wěn)固．解：可以用1條鋼管連接AC或BD，或者用2條鋼管將AC、BD均連接．方法總結(jié)：利用轉(zhuǎn)化思想，把四邊形轉(zhuǎn)化為了三角形，隨之四邊形的不穩(wěn)定性也轉(zhuǎn)化成了三角形的穩(wěn)定性．這種方法在生活、生產(chǎn)中經(jīng)常使用．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．任意多邊形的外角和是360°2．多邊形具有不穩(wěn)定性通過(guò)學(xué)生反饋的情況，知道多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無(wú)關(guān)，它恒等于360°，因而在求解多邊形的角的計(jì)算題，有時(shí)直接應(yīng)用外角和計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)單.2．2平行四邊形2．2.1平行四邊形的性質(zhì)第1課時(shí)平行四邊形的邊、角的性質(zhì)1．理解平行四邊形的概念；(重點(diǎn))2．掌握平行四邊形邊、角的性質(zhì)；(重點(diǎn))3．利用平行四邊形邊、角的性質(zhì)解決問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入平行四邊形是我們常見(jiàn)的一種圖形，它具有十分和諧的對(duì)稱(chēng)美．它是什么樣的對(duì)稱(chēng)圖形呢？它又具有哪些基本性質(zhì)呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：平行四邊形的定義如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC＝∠ACB，從而可以推出AD∥BC，AB∥CD，再根據(jù)平行四邊形的定義即可推出結(jié)論．證明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．方法總結(jié)：平行四邊形的定義是判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的重要方法．探究點(diǎn)二：平行四邊形的邊、角的性質(zhì)【類(lèi)型一】利用平行四邊形的性質(zhì)求邊長(zhǎng)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，BC，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，四邊形ADEF為平行四邊形，DE＝2，則AD＝________．解析：∵四邊形ADEF為平行四邊形，∴AD＝EF，AD∥EF，DE＝AF＝2，∴∠ACB＝∠FEB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案為7.方法總結(jié)：平行四邊形對(duì)邊平行且相等，根據(jù)該性質(zhì)可解決和邊有關(guān)的問(wèn)題．【類(lèi)型二】利用平行四邊形的性質(zhì)求角度如圖，平行四邊形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，則∠BCE的度數(shù)為()A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠A＝∠BCD＝125°.又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠ECD＝90°，∴∠BCE＝125°－90°＝35°.故選A.方法總結(jié)：平行四邊形對(duì)角相等，對(duì)邊平行，所以利用該性質(zhì)可以解決和角度有關(guān)的問(wèn)題．【類(lèi)型三】利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等如圖，點(diǎn)G、E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，點(diǎn)P是射線GC上一點(diǎn)，連接FP，EP.求證：FP＝EP.解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出∠DGC＝∠GCB，再由等腰三角形性質(zhì)求出∠DGC＝∠DCG，即可推出∠DCG＝∠GCB，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠DCP＝∠FCP，根據(jù)SAS證出△PCF≌△PCE即可得出結(jié)論．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB，∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP，在△PCF和△PCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CF，,∠FCP＝∠ECP，,CP＝CP，))∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.方法總結(jié)：利用平行四邊形的性質(zhì)可得出相應(yīng)的等量關(guān)系，進(jìn)而通過(guò)證明三角形的全等得出結(jié)論．【類(lèi)型四】判斷直線的位置關(guān)系如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2AD，M為AB的中點(diǎn)，如圖連接DM、MC，試問(wèn)直線DM和MC有何位置關(guān)系？請(qǐng)證明．解析：由AB＝2AD，M是AB的中點(diǎn)的位置關(guān)系，可得出DM、CM分別是∠ADC與∠BCD的角平分線，又由平行線的性質(zhì)可得∠ADC＋∠BCD＝180°，進(jìn)而可得出DM與MC的位置關(guān)系．解：DM與MC互相垂直，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AM，又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝eq\f(1,2)∠ADC，同理∠MCD＝eq\f(1,2)∠BCD，∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝eq\f(1,2)∠BCD＋eq\f(1,2)∠ADC＝90°，∴∠DMC＝90°，∴DM與MC互相垂直．方法總結(jié)：根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行、對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)等性質(zhì)再結(jié)合三角形全等、等腰三角形的知識(shí)可證明線段垂直、平行等問(wèn)題．探究點(diǎn)三：兩平行線間的距離如圖，已知l1∥l2，點(diǎn)E，F(xiàn)在l1上，點(diǎn)G，H在l2上，試說(shuō)明△EGO與△FHO面積相等．解析：結(jié)合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明．證明：∵l1∥l2，∴點(diǎn)E，F(xiàn)到l2之間的距離都相等，設(shè)為h.∴S△EGH＝eq\f(1,2)GH·h，S△FGH＝eq\f(1,2)GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面積等于△FHO的面積．方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是明確兩平行線間的距離相等；同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．平行四邊形的定義2．平行四邊形的邊、角的性質(zhì)3．兩平行線間的距離從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出圖形，理解和掌握平行四邊形邊、角的性質(zhì)，學(xué)生能很好的運(yùn)用，只是在推理過(guò)程中不是很完美，在以后的數(shù)學(xué)中要根據(jù)不同的情況加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.第2課時(shí)平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)1．掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)；(重點(diǎn))2．利用平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD為對(duì)角線，BC＝6，BC邊上的高為4，你能算出圖中陰影部分的面積嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)【類(lèi)型一】利用平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)已知：?ABCD的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長(zhǎng)比△DOA的周長(zhǎng)長(zhǎng)5cm，解析：平行四邊形的周長(zhǎng)為60cm，即相鄰兩邊之和為30cm，△AOB的周長(zhǎng)比△DOA的周長(zhǎng)長(zhǎng)5cm，而AO為共用，OB＝OD，所以由題可知AB比AD長(zhǎng)5cm，進(jìn)一步解答即可．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵△AOB的周長(zhǎng)比△DOA的周長(zhǎng)長(zhǎng)5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵?ABCD的周長(zhǎng)為60cm，∴AB＋AD＝30cm，則AB＝CD＝eq\f(35,2)cm，AD＝BC＝eq\f(25,2)cm.方法總結(jié)：平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之差等于鄰邊邊長(zhǎng)之差．【類(lèi)型二】利用平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)證明線段或角相等如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，求證：OE＝OF.解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，證出△DFO≌△BEO即可得出結(jié)論．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FDO＝∠EBO，,OD＝OB，,∠FOD＝∠EOB，))∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.方法總結(jié)：利用平行四邊形的性質(zhì)解決線段的問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分的性質(zhì)．【類(lèi)型三】判斷直線的位置關(guān)系如圖平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AO、CO的中點(diǎn)，試判斷線段BE、DF的關(guān)系并證明你的結(jié)論．解析：根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中點(diǎn)的意義得出OE＝OF，再證△BOE≌△DOF，從而得出BE＝DF，∠OEB＝∠OFD，∴BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，在△OFD和△OEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OE＝OF，,OD＝OB，,∠DOF＝∠BOE，))∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF.方法總結(jié)：在解決平行四邊形的問(wèn)題時(shí)，如果條件中有對(duì)角線時(shí)，可利用三角形全等解決．探究點(diǎn)二：平行四邊形的面積在?ABCD中：(1)如圖①，O為對(duì)角線BD、AC的交點(diǎn)，求證：S△ABO＝S△CBO；(2)如圖②，設(shè)P為對(duì)角線BD上任一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B、D不重合)，S△ABP與S△CBP仍然相等嗎？若相等，請(qǐng)證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得AO＝CO，再根據(jù)等底同高的三角形的面積相等解答；(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)A、C到BD的距離相等，再根據(jù)等底同高的三角形的面積相等解答．(1)證明：在?ABCD中，AO＝CO，設(shè)點(diǎn)B到AC的距離為h，則S△ABO＝eq\f(1,2)AO·h，S△CBO＝eq\f(1,2)CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；(2)解：S△ABP＝S△CBP.在?ABCD中，點(diǎn)A、C到BD的距離相等，設(shè)為h，則S△ABP＝eq\f(1,2)BP·h，S△CBP＝eq\f(1,2)BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.方法總結(jié)：平行四邊形的對(duì)角線將平行四邊形分成四個(gè)面積相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面積相等．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．平行四邊形對(duì)角線互相平分2．平行四邊形的面積通過(guò)分組討論學(xué)習(xí)和學(xué)生自己動(dòng)手操作和歸納，加強(qiáng)學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的實(shí)踐活動(dòng)，也使學(xué)生之間的合作意識(shí)更強(qiáng)，與同學(xué)交流學(xué)習(xí)心得的氣氛更濃厚，從而加深了同學(xué)之間的友誼和師生之間的教學(xué)和諧，使得教學(xué)過(guò)程更加流暢，促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng).2．2.2平行四邊形的判定第1課時(shí)平行四邊形的判定定理1、21．掌握“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定方法；(重點(diǎn))2．掌握“對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”的判定方法；(重點(diǎn))3．平行四邊形判定定理的綜合應(yīng)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入我們已經(jīng)知道，如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它就具有如下的一些性質(zhì)：1．兩組對(duì)邊分別平行且相等；2．兩組對(duì)角分別相等；3．兩條對(duì)角線互相平分．那么，怎樣判定一個(gè)四邊形是否是平行四邊形呢？當(dāng)然，我們可以根據(jù)平行四邊形的原始定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形已知，如圖E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：首先根據(jù)條件證明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可證出AD∥CB，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證出結(jié)論．解：四邊形ABCD是平行四邊形，證明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．方法總結(jié)：此題主要考查了平行四邊形的判定，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出三角形全等．探究點(diǎn)二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求證：四邊形PONM是平行四邊形．解析：在Rt△MON中，由勾股定理建立方程，求出x的值，進(jìn)而得出四邊形PONM各邊的長(zhǎng)，然后再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得證．證明：Rt△MON中，由勾股定理，得(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN.∴四邊形PONM是平行四邊形．方法總結(jié)：要依據(jù)圖形的特點(diǎn)及已知條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)證明一個(gè)四邊形是平行四邊形．探究點(diǎn)三：平行四邊形的判定定理與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【類(lèi)型一】利用性質(zhì)與判定證明如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)連接BF、DE，試判斷四邊形BFDE是什么樣的四邊形？寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明．解析：(1)根據(jù)“AAS”可證出△ABE≌△CDF；(2)首先根據(jù)△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再利用已知得出△ADE≌△BCF，進(jìn)而得出DE＝BF，即可得出四邊形BFDE是平行四邊形．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DFC＝∠BEA，,∠FCD＝∠EAB，,AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)解：四邊形BFDE是平行四邊形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,∠DAE＝∠BCF，,AE＝FC，))∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．方法總結(jié)：平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙希ㄟ^(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．【類(lèi)型二】利用性質(zhì)與判定計(jì)算如圖，已知六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角均為120°，且CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5解析：由∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，聯(lián)想到它們的鄰補(bǔ)角(即外角)均為60°，如果能夠組成三角形的話，則必為等邊三角形．事實(shí)上，設(shè)BC、ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，則△DCN為等邊三角形．由∠E＝120°，∠N＝60°，可知EF∥BN.同理可知ED∥AB，于是從平行四邊形入手，找出解題思路．解：延長(zhǎng)ED、BC交于點(diǎn)N，延長(zhǎng) EF、BA交于點(diǎn)M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，∴∠NDC＝∠NCD＝60°.∴∠N＝60°.同理，∠M＝60°.∴△DCN、△FMA均為等邊三角形．∴∠E＋∠N＝180°.同理∠E＋∠M＝180°.∴EM∥BN，EN∥MB.∴四邊形EMBN是平行四邊形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，∴CN＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)．∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六邊形的周長(zhǎng)為39cm.方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵是作輔助線，將“不規(guī)則”的六邊形變成“規(guī)則”的平行四邊形，從而利用平行四邊形的知識(shí)來(lái)解決．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形2．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形本節(jié)課，學(xué)習(xí)了平行四邊形的兩種判定方法，對(duì)整個(gè)課堂的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，能夠促進(jìn)理解，提高認(rèn)識(shí)水平，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的形成和發(fā)展，更好地進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)良性循環(huán).第2課時(shí)平行四邊形的判定定理31．掌握平行四邊形的判定定理3；(重點(diǎn))2．綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些平行四邊形的判定方法？平行四邊形的對(duì)角線互相平分的逆命題是什么？是否是真命題．是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究點(diǎn)一：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形已知，如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)．求證：(1)△AOC≌△BOD；(2)四邊形AFBE是平行四邊形．解析：(1)利用已知條件和全等三角形的判定方法即可證明△AOC≌△BOD；(2)此題已知AO＝BO，要證四邊形AFBE是平行四邊形，只需證OE＝OF就可以了．證明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠D,∠COA＝∠DOB,AO＝BO)).∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴OF＝eq\f(1,2)OD，OE＝eq\f(1,2)OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO.∴四邊形AFBE是平行四邊形．方法總結(jié)：在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．探究點(diǎn)二：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．解析：(1)可根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°得出∠D的大??；(2)根據(jù)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形證明即可．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)證明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．方法總結(jié)：根據(jù)已知條件判定角相等，從而判斷四邊形是平行四邊形，是解題的常用思路．探究點(diǎn)三：平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE＝CF，點(diǎn)G、H分別在AB、CD上，且AG＝CH，AC與GH相交于點(diǎn)O.求證：(1)EG∥FH；(2)EF與GH互相平分．解析：(1)欲證EG∥FH，需證∠OEG＝∠OFH.欲證∠OEG＝∠OFH，需證∠AEG＝∠CFH，故可先證△AGE≌△CFH；(2)要證EF與GH互相平分，只需證四邊形GFHE是平行四邊形即可由其性質(zhì)得證．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF.又∵AE＝CF，AG＝CH，∴△AGE≌△CHF.∴∠AEG＝∠CFH.∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠OEG＝∠OFH.∴EG∥FH；(2)連接FG、EH.∵△AGE≌△CHF，∴EG＝FH.又∵EG∥FH，∴四邊形GFHE是平行四邊形．∴EF與GH互相平分．方法總結(jié)：綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定定理時(shí)，一般先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解決有關(guān)角相等或互補(bǔ)、線段的相等或倍分、兩直線平行等問(wèn)題．如圖所示，AD、BC垂直且相交于點(diǎn)O，AB∥CD，BC＝8，AD＝6，求AB＋CD的長(zhǎng)．解析：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AD交B