2023年人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.1]集合的含義與表達(dá)

（1）集合的概念

集合中的元素具有擬定性、互異性和無序性.

|2）常用數(shù)集及其記法

N表達(dá)自然數(shù)集,N*或N+表達(dá)正整數(shù)集,Z表達(dá)整數(shù)集,Q表達(dá)有理數(shù)集,R表達(dá)實(shí)數(shù)集.

⑶集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象。與集合M的關(guān)系是awM,或者。史M,兩者必居其一.

（4）集合的表達(dá)法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法:把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表達(dá)集合.

③描述法：｛x|x具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法:用數(shù)軸或韋恩圖來表達(dá)集合.

（5）集合的分類

①具有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②具有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不具有任何元素的集合

叫做空集（0）.

[1.1.2）集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

（1）ACA

A中的任一元素都屬⑵0口A

子集

（或33A）于B⑶若A土B且B=C,則A口C

（4）若且則A=B或

（i）0u4（A為非空子集）

ACB工

*A^Bf且B中至

真子集（2）若AuB且BuC,則AuC

（或BZ>A）少有一元素不屬于A

***豐

集合A中的任一元素都屬(1)ACB

相等于B,B中的任一元素

A=B(2)BQA

都屬TA?

(7)已知集合4有n(n>1)個(gè)元素,則它有2"個(gè)子集，它有2”—1個(gè)真子集,它有2”—1個(gè)非空子集,它有

2"-2非空其子集.

[1.1.3]集合的基本運(yùn)算

(8)交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(i)A(}A=A

A且⑵Ap|0=0

交集

xeB](3)AC\B^AGD

(1)A\JA=A

A或(2)AU0=A

并集A\JB

xeB](3)AUBnAGD

lAn&A)=02AU0A)=U

且xeA}

補(bǔ)集心A瘩(AnB)=(〃A)UGB)UQrXQ)

欷AUB；，=(uA)n(78)

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

<1)含絕對(duì)位的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x\-a<x<a}

|x|>a{a>0)工|工<一?；?>〃}

把a(bǔ)x+b當(dāng)作一個(gè)整體，化成

|ax+b\<c,lax+b\>c(c>0)\x\<a,\x\>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

△>0△=0A<0

A=/?2-4ac

\\uJ

二次函數(shù)

_____L

2小/

y=ax+hx+c(a>0)

0工產(chǎn)2

的圖象0

2

一元二次方程-b±yjb-4ac

b

2X，=c無實(shí)根

ax+Z?x+c=0（6/>0）2ax.=x2=------

的根2a

(其中王<x2)

ax2+bx+c>0(a>0),,b、

{x|冗<X或X>工2}{x|x^--}R

的解集2a

ax2+bx+c<0(。>0)

{x|』<X<x2}00

的解集

KI.23函數(shù)及其表達(dá)

［1.2.1］函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如按照某種相應(yīng)法則/，對(duì)于集合4中任何一個(gè)數(shù)x,在集合

8中都有唯一擬定的數(shù)/（幻和它相應(yīng)，那么這樣的相應(yīng)（涉及集合A,B以及A到5的相應(yīng)法

則f）叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)，記作/:A->3.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和相應(yīng)法則.

③只有定義域相同,且相應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

⑵區(qū)間的概念及表達(dá)法

①設(shè)。,6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且滿足的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做［。,勿；滿足

的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做（a,b）；滿足或的實(shí)數(shù)尤的

集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做6）,（4,勿：滿足工之〃,工>。,工<"工<6的實(shí)數(shù)工的集

合分別記做［a,+8）,（4,+8）,（-co,/?］,（-<?,b）.

注意：對(duì)于集合｛x|a<x<。｝與區(qū)間（區(qū)人），前者?？梢源笥诨虻扔谌?而后者必須

a<b.

?3)求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則：

①/(X)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②f(X)是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)時(shí)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤丁=tanx中，k/r+^(keZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)吊的底數(shù)不能為零.

⑦若f(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函

數(shù)的定義域的交集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題一般環(huán)節(jié)是：若已知f(x)的定義域?yàn)椋邸?勿，其復(fù)合函數(shù)

/Ig(x)］的定義域應(yīng)由不等式a<g(x)<b解此

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域,根據(jù)問題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問題擬定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)故意義外，還要符合問題的實(shí)琢意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，假如在函數(shù)的值域中存在?個(gè)

最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是

提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀測(cè)法:對(duì)于比較簡(jiǎn)樸的函數(shù)，我位可以通過觀測(cè)直接得到值域或最值.

②配方法:將函數(shù)解析式化成具有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍擬定函數(shù)的值

域或最值.

③判別式法:若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)具有y的關(guān)于X的二次方程

a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,則在a(y)。。時(shí)，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有

△=從()，)-4〃(y)?c(y)>0,從而擬定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法:運(yùn)用基本不等式擬定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法:通過變量代換達(dá)成化繁為詢、化難為易的目的，二角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三

角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法:運(yùn)用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系擬定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：運(yùn)用函數(shù)圖象或幾何方法擬定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表達(dá)法

(5)函數(shù)的表達(dá)方法

發(fā)達(dá)函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法:就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)兩個(gè)變量之間的相應(yīng)關(guān)系.列表法:就是列出表格來表達(dá)兩個(gè)變量之間的相

應(yīng)關(guān)系.圖象法:就是用圖象表達(dá)兩個(gè)變量之間的相應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)4、5是兩個(gè)集合，假如按照某種相應(yīng)法則了,對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素,在集合B中都

有唯一的元素和它相應(yīng),那么這樣的相應(yīng)(涉及集合A,8以及4到B的相應(yīng)法則f)叫做集合4

到8的映射，記作8.

②給定一個(gè)集合A到集合5的映射，且a￡A泊￡8.假如元素〃和元素b相應(yīng)，那么我們把元

素〃叫做元素〃的象，元素。叫做元素力的原象.

K1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及鑒定方法

函數(shù)的

定義圖象鑒定方法

性質(zhì)

假如對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某/(1)運(yùn)用定義

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量(2)運(yùn)用已知函數(shù)的單

f(xj

的值XixX2,當(dāng)Xl＜彳：時(shí)，調(diào)性

都有“川卻成金2就說%(3)運(yùn)用函數(shù)圖象

(在某個(gè)區(qū)間圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增西

象上升為增)

影

函數(shù)的X,X.X(4)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性假如對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某:y=f(x)(1)運(yùn)用定義

!

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量(2)運(yùn)用已知函數(shù)的

的值、當(dāng)乎時(shí)，單調(diào)性

XiX2,Xi＜Ux.)

都有f6)，那么就(3)運(yùn)用函數(shù)圖象

(在某個(gè)區(qū)間圖

說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是諛國(guó)

象下降為減)

瓠.XX：X(4)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi),兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù).增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增

函數(shù),減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/1g(x)］，令〃=g(x),若y=/(w)為增.〃=g(x)為增，則

y=f[g(x)]為增；若＞=/(〃)為減,〃=g(x)為減,則y=/[g(x)l為增；若＞=/(〃)為

增，"二g(x)為減，則y=f［g(x)］為減;若y=/(〃)為減，〃=g(x)為增，則

》=/[g(x)]為減?f{x}-x+—(a＞0)

x

?2)打函數(shù)/。)=1+色(4＞0)的圖象與性質(zhì)

/(X)分別在(-00,一6］、［而,+00)上為增函數(shù),分別在

［一6,0)、(0,6］上為減函數(shù).一2五

(3)最大(小)值定義

①一般地.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?,假如存在實(shí)數(shù)〃滿足：(D對(duì)十任意的xw/,都

有

(2)存在小￡/,使得=M.那么,我們稱M造函數(shù)/0)的最大值，記作

源x(x)=M?

②一?般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?,假如存在實(shí)數(shù)加滿足：(1)對(duì)于任意的工￡/,都有

(2)存在不￡/,使得/(%)="2.那么，我們稱用是函數(shù)/(X)的最小值，記作

ZnaxW=W-

[1.3.2]奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及鑒定方法

函數(shù)的

定義圖象鑒定方法

性質(zhì)

假如對(duì)于函數(shù)f（x）定義域（1）運(yùn)用定義（要先

內(nèi)任意一個(gè)X,都有f?(a.f(a))判斷定義域是否關(guān)于

,那么函數(shù)f（X）原點(diǎn)對(duì)稱）

（2）運(yùn)用圖象（圖象

叫做手單蒙.oax

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

(-a.f(-a))

函數(shù)的

奇偶性假如對(duì)于函數(shù)f（X）定義域y（1）運(yùn)用定義（要先

內(nèi)任意一個(gè)X,都有f（-X）判斷定義域是否關(guān)于

(a.f(a))

那么函數(shù)叫(-a.f(-a))原點(diǎn)對(duì)稱）

=f（x）,f（x）y

（2）運(yùn)用圖象（圖象

做僧串算.

關(guān)于y軸對(duì)稱）

-aoax

②若函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，且在x=0處有定義,則/（0）=0.

③奇函數(shù)在），軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或

奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).

R補(bǔ)充知識(shí)》函數(shù)的圖象

（1）作圖

運(yùn)用描點(diǎn)法作圖：

①擬定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象.

運(yùn)用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、零函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

力＞0,左移力個(gè)單位^y=f(x+h)

y=fM右移I川個(gè)單位

k＞0,上移k個(gè)單位)

y=fM左＜0,下移|川個(gè)單位>y=f(x+k

②伸縮變換

伸

y=/(x)81,縮y=ficox)

y=f(x)=

③對(duì)稱變換

y=/a)3Uy=一/(x)y=/(x)>'軸>y=/(-x)

x

y=f(x)-忘fy=y=f(x)^->y=f-\x)

去掉.V軸左邊圖象

y=/(x)保留)軸右邊圖象；并作其關(guān)于)軸對(duì)稱圖象^y=f(\x\)

保留.用i上方圖象

y=f(x)將電卜方圖象翻折上去”"(刈

(2)識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性,它是探求解題途徑,

獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)(I)

K2.12指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)嘉的運(yùn)算

(1)根式的概念

①假如x"=￡R,X￡昭〃>1,且〃￡N+,那么X叫做。的"次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí),

。的〃次方根用符號(hào)W表達(dá)；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)。的正的〃次方根用符號(hào)W表達(dá)，負(fù)的〃次方

根用符號(hào)一布表達(dá);0的〃次方根是0；負(fù)數(shù)。沒有〃次方根.

②式子后叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，。為任意實(shí)數(shù);當(dāng)

〃為偶數(shù)時(shí),a20.

③根式的性質(zhì)：(折)"=a；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，=〃；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

a(4?>0)

痂=|a|=,

-a(a<0)

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)轅的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)案的意義是:="（〃>0,加,〃eN+，且〃>1）.o的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

塞等于O

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)耗的意義如/*=（,戶=?。?"'（〃>0,弱〃￡乂，且〃>1）.o

aVa

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)某沒故意義.注意口訣:底數(shù)取倒數(shù).指數(shù)取相反數(shù).

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)零的運(yùn)算性質(zhì)

①=ar+s(a>0,7?,ssR)②(o')s=ars(a>0,r,5€R)

③(〃/?)'=arbr(a>0,b>0,reR)

12.1.2］指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

圖象的

在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高：在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

K2.2J對(duì)數(shù)函數(shù)

12.2.13對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若ax=N(a>0,且。w1),則x叫做認(rèn)為。底N的對(duì)數(shù)，記作x=log.N,其中。叫做底

數(shù)，N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log“N。優(yōu)=N(〃>0,aw1,N>0).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

h

logj=0,logua=l,logfla=b.

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN,即loggN；自然對(duì)數(shù)：lnN,即loggN(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假如a>0,awl,M>0,N>0,那么

M

①加法：log“M+k>g“N=log.(MN)②減法：log”M一log”N=log,一

N

N

③數(shù)乘：nlog”M=log.M"inGR)④a啕=N

n

⑤log〃M=-loguM(b芋0,幾wR)⑥換底公式：log“N=上^—(b>0,Rb1)

“blog,,a

【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

定義域(0,-Ko)

值域R

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)％=1時(shí)，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+00)上是增函數(shù)在(0,+0。)上是減函數(shù)

lognA>0(X>1)logrtx<0(x>1)

函數(shù)值的logA=0(x=l)x=0(x=l)

變化情況(,

logwA<0(0<x<l)logt/x>0(0<x<l)

〃變化對(duì)。圖象的影響在第i象限內(nèi)，〃越大圖象越靠低；在第匹象限內(nèi)，4越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y=f(x)中解出x,得式子

x=(p(y).假如對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值,通過式子x=(p(y),x在A中都有唯一擬定的值和它

相應(yīng)，那么式子x=w(y)表達(dá)x是y的函數(shù)，函數(shù)x=0(y)叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作

x=/"(y),習(xí)慣上改寫成y=.

(7)反函數(shù)的求法

①擬定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=改寫成y=y1(x),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=f~\x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(a,b)在原函數(shù)y=fix)的圖象上，則P'SM)在反函數(shù)y=/-,(x)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=f(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.33幕函數(shù)

(1)案函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x0叫做箱函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).

?2)事函數(shù)的圖象

<3）索函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布:靠函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.基函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、

二象限（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）;是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）;是非奇非偶函數(shù)

時(shí)，圖象只分布在第一象限.

②過定點(diǎn)：所有的事函數(shù)在（0,+o。）都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)（1,1）.

③單調(diào)性:假如a>0,則第函數(shù)的圖象過原點(diǎn),并且在[0,+8）上為增函數(shù).假如a<0,則第函數(shù)的圖象

在（0,+o。）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性:當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，塞函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，寡函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)a=幺（其中p,g互質(zhì)，p

P

幺1

和9GZ）,若p為奇數(shù)g為奇數(shù)時(shí)，則y=是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)g為偶數(shù)時(shí)，則y=是偶函

i

數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特性：耗函數(shù)丁=￡\]￡（0,+8）,當(dāng)a>l時(shí)，若0Vx<1,其圖象在直線y=x下方，若

x>\,其圖象在直線y=x上方，當(dāng)。<1時(shí)，若0cx<1,其圖象在直線y=x上方，若尢>1,其

圖象在直線y=x下方.

K補(bǔ)充知識(shí)X二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/(%)=公2+法+8。=0)②頂點(diǎn)式：/(尢)=。(不一〃)2+%(。工0)③兩根

式：fM=a{x-X1)(x-x2)(a0)⑵求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且橫線坐標(biāo)已知時(shí),選用兩根式求f(x)更方便.

⑶二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/(x)=ax2+灰+c(a*0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2。

b44c-b1

②當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開口向上,函數(shù)在(一8,-2］上遞減，在［-2,+8)上遞增，當(dāng)工二-2

2a2a2a

4ac—b?b

時(shí)，/min(X)=--------；當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線開口向下,函數(shù)在(-8,——］上遞增，在

4a2a

,b.b4ac—b2

［--—,-1-00)上遞減，當(dāng)X=--時(shí)，7max(%)=-----

2a2a4。

③二次函數(shù)f(x)="2+bx+=0)當(dāng)△=從-4ac＞0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

7A

此(3,0),%(乂,0),也附,|=|占T,I:二.

■⑷

?4)一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚

不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)

用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程欠2+法+。=0(。工0)的兩實(shí)根為百，馬,且大工42.令

f(x)=ax2+bx+c,從以下四個(gè)方面來分析此類問題：①開口方向：a②對(duì)稱軸位置：

x=-—③判別式：△④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).

2a

①kVxWxz<=>

②xtWx2<k<=>

③*1**2Oaf(k)<0

④匕“屋"2<42<=>

⑤有且僅有一個(gè)根Xi（或Xz）滿足EVM（或X2）＜feof（kjf*）＜o(jì),并同時(shí)考慮

faj=o或/?（%）=（）這兩種情況是否也符合

⑥kVxiaWpiVx2Vp2＜^＞

此結(jié)論可直接山⑤推出.

［5）二次函數(shù)/（x）=ax2+bx+c（aw0）在閉區(qū)間［p,g］上的最值

設(shè)/（x）在區(qū)間［p,夕］上的最大值為M,最小值為〃?，令玉）=J（P+4）?

（I）當(dāng)。＞0時(shí)（開口向上）

①若一~—v〃，則帆=/（p）②若p＜一~?q,則〃z=f（一＞L）③若一_2,則

2a2a2a2a

tn=f（q）

A—

一十

\LZ

①若⑷

2a2a

\1一/

①\n若）當(dāng)4旺ko時(shí)（樂開響下）

②若pK/(-—)③若>q,則

"件/202a

卜

①若——<x,則m=f(q)②一—>%,則加=/(p).

2a02a

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù))，=/(/)(■￥￡。)，把使/(幻=0成立的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)

y=f(x)(x￡。)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=O實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)

的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根u>函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=f(x)有零

點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)：

錯(cuò)誤！(代數(shù)法)求方程f(x)=O的實(shí)數(shù)根；

錯(cuò)誤！(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并

運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0).

i)△>0,方程，+bx+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2)z\=o,方程ar'+H+c=O有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交

點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)A<0,方程以2+法+。=0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與%軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體

L1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特性

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖:從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3直觀圖:斜二測(cè)畫法

4斜二測(cè)畫法的環(huán)節(jié)：

(1).平行于坐標(biāo)軸的線仍然平行于坐標(biāo)軸；

(2).平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變：

(3).畫法要寫好。

5用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的環(huán)節(jié)：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積:各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積S=2m/+2〃23圓錐的表面積5="/+勿*2

4廁臺(tái)的表面積S="/+亞2+成/+兀R25球的表面積S=4成2

（二）空間幾何體的體枳

V=S底x〃2錐體的體積V=；S底x〃

1柱體的體積

V=，（S上+JS上5下+S下）x14球體的體積丫=§■砒3

3臺(tái)體的體積

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表達(dá)

（1）平面的畫法:水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如

圖）

（2）平面通常用希臘字母a、B、丫等表達(dá)，如平面a、平面B等，也可以用表達(dá)平面的平行四邊形的

四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表達(dá)，如平面AC、平面ABCD等。

3三個(gè)公理:

（1）公理1：假如條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

符號(hào)表達(dá)為

AGa

BEa

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。

符號(hào)表達(dá)為:A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面

使AWa、B￡a、Ceao

公理2作用:擬定一個(gè)平面的依據(jù)。

（3）公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有?個(gè)公共點(diǎn),

符號(hào)表達(dá)為：Pean0=>anB=L,且PWL

公理3作用：鑒定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

T相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

共面直線1

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條宜線的兩條宜線互相平行。

符號(hào)表達(dá)為:設(shè)a、b、c是三條直線

a//b｝二＞a〃c

c〃b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都合用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理:空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別相應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4注意點(diǎn)：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的互相位置來擬定，與0的選擇無關(guān),為簡(jiǎn)便，點(diǎn)0一般取在兩直

乃

線中的一條上；萬

②兩條異面直線所成的角0G(o,);

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是宜角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂宜，記作a_Lb;

④兩條直線互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線在平面平行一一沒有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表達(dá),

aJaCla=Aa//a

2.2.直線、平面平行的鑒定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的鑒定

1、直線與平面平行的鑒定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行,則線面平行。

符號(hào)表達(dá)：

aN1A

b匚J=>a〃a

a/7b

2.2.2平面與平面平行的鑒定

1、兩個(gè)平面平行的鑒定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

a

b〃a

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

(1)用定義：

(2)鑒定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.3-2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行。

符號(hào)表達(dá)：

a〃a

CBJa〃b

anP=b

作用：運(yùn)用該定理可解決宣線間的平行問題。

2、定理:假如兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

符號(hào)表達(dá)：

a〃B、

A

any=aZ〃b

0Cly=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的鑒定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的鑒定

1、定義

假如直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線L與平面a互相垂直，記作L_La,直

線L叫做平面a的垂線，平面a叫做宣線L的垂面。如圖，宜線與平面垂直時(shí)，它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂

足。

2、鑒定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交真線”這?條件不可忽視;

b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的鑒定

1、二面角的概念：表達(dá)從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

2、二面角的記法：二面角aT-B或a-AB—B

3、兩個(gè)平面互相垂直的鑒定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

2.33—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1