九年級數學教案17 中考熱點專題（二）

第十七講中考熱點專題（二）

［教學內容］

《佳一動態(tài)數學思維》春季版，九年級第十七講“中考熱點專題（二）”.

［教學目標］

知識技能

1.能夠綜合運用所學知識解決新概念型、閱讀理解型等問題；

2.掌握解決開放與探究型問題、歸納、猜想型問題、方案設計與決策型問題的基本方法.

數學思考

1.在解決綜合應用問題的過程中，體會數學的基本思想和基本思維方式.

2.通過研究閱讀理解型問題，培養(yǎng)學生收集處理信息的能力，讓學生感悟數學的思想方法.

3.通過研究運動型問題，培養(yǎng)學生綜合運用各種相關知識的能力，及數形結合、分類討論、轉化等

數學思想.

問題解決

1.經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析

問題和解決問題的一些基本方法.

2.在與他人合作和交流的過程中，能較好地理解他人的思考方法和結論.

情感態(tài)度

1.感受成功的快樂，體驗獨自克服困難、解決數學問題的過程，有克服困難的勇氣，具備學好數學

的信心；

2.敢于發(fā)表自己的想法、勇于質疑、敢于創(chuàng)新，養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流等學習習慣，

形成嚴謹求實的科學態(tài)度.

［教學重點、難點］

重點：綜合運用所學知識解決中考中的熱點問題

難點：動手操作型問題、運動型問題

［教學準備］

動畫多媒體語言課件

第一課時

教學路徑

導入

師：上一講中我們學習了很多綜合性問題，那么這一講我們學習一些特殊形式的問題.

啟動性問題

閱讀下面的情境對話，然后解答問題.

（I）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇

異三角形”是真命題還是假命題？

（2）RtAABC中，ZACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,Rb>a,RtAABC

是奇異三角形，求a：人：c；

小萍：（1）真命題.

11222

小亮：（2）在RtZSABC中/+〃=。2,vc>b>a>o）2c>a+lr,2a<c+b,

.?.若RtZ\A8C是奇異三角形，一定有2b2=/+",.?.2k=/+（/+〃2）,，02=為2,

得。=\[2a.'/c2=b2+a2=3a2,/.c=#>a,.".abc=1:41:百.

師：在這道題目中，老師先定義了一種新概念，再根據以往學過的相關知識進行計算

和證明，這種類型的題目我們稱它為新概念型問題，讓我們一起學習幾道例題.

考點95新概念型問題

師：大家先來一起認識一下新概念型問題.

回顧：

師：下面我們就一起來看幾道例題.

新概念型問題是新課標所引來的一種新題型，它的特點是給出新定義，再提出新問題，

通過實驗、探究、猜想，讓學生在新概念下解決新問題.

常見類型：（1）定義一種新數；

（2）定義一種新運算；

（3）定義一種新法則；

（4）定義一種新圖形.

解題策略：正確理解新定義的內涵與外延.

師：讓我們先來完成幾道例題.

初步性問題

探究類型之一定義一種新運算

例1定義運算。（1一分），下面給出了關于這種運算的幾個結論：

①2<8>（—2）=6,b=b?a,a+b=Q,貝U（a?a）+（.b?b）=2",④若

a?h=O,貝Ua=0,其中正確結論的序號是—①③1.（在橫線上填上你所有認為

正確結論的序號)

師：對于這類定義新運算的題目，我們需要弄清定義中的運算關系，將其轉化為代數

式或者方程.

解析：

①2③(-2)=2X[1-(-2)]=6；(下一步)

@a?b=a(1—/?),a=O(l-a),不正確；(下一步)

③(a?a)+Cb?b)=a(l-a)+b(l-b)=(?+/>)-(?2+b2),Xa+b=Q,得“=-/?,

代入原式；(下一步)

④不正確，a?b=a(1—/?)=0,所以a=0或0=1.

答案：①③

師：讓我們一起完成一道練習題.

類似性問題

1.對于非零的兩個實數a、b,規(guī)定a區(qū)方△-L若1(8)(尤+1)=1,則x的值為()

ba

A3D1

A.一D.—c.-D.

2322

解析：

（九+i）=i得_L._1

1?--1=1,?------.

x+l2

初步性問題

探究類型之二定義一種新函數

例2通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比

值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似地，可以在等腰三角

形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對

(sad).如圖①在△A3C中，AB=AC,頂角A的正對記作sadA,這時sadA=

譽底=邊上上B.C容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據上

腰

A

述角的正對定義，解下列問題：A

師：對于這類幾何問題，在理解定義的含義之后，通過畫圖能夠幫助我們更好的完成

題目.

（1）sad60°=11—；

（2）對于0°<A<180°,NA的正對侑sadA的取侑范圍是0<sadA<21；

解析:

（1）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

（2）注意三角形三邊的基本關系.

答案:

（1）內角包含60°角的等腰三角形是等邊三角形，三角形三邊相等.

（2）根據三角形三邊的基本關系可知，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差

小于第三邊，所以有0〈底邊〈腰的2倍，因此0<整<2,即0<sadA<2.

腰

（3）如圖②，已知sinA=二，其中NA為銳角，試求sadA的值.

5

解析:

在圖形中構造等腰三角形，通過勾股定理求解.

答案：

設A8=5a,BC=^a,則AC=4tz.

如圖，在A3上取AO=AC=4a,作DELAC于點E.

則DE=AD?sirt4=4a,-=—a,AE=AD,cosA=4a,—=—a,

CE=4a~^-a=^a,CD=[CE?+DE?=Jg4、+導）=1V10d.

60=叵.

AC5

師：完成類似定義新圖形的題目，弄清新概念的定義，把新概念圖形分解轉化，化為

熟悉的圖形或條件，運用熟悉的知識加以解決.

類似性問題

2.如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a（a23）的正方形內任意移動，則在該正

方形內，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是（）

A.a2-7rB.（4一乃）/

C.itD.4-乃

解析：

這張圓形紙片“不能接觸到的部分”即四個“角”的面積：（下一步）

是4（『一,））=4一］，故選擇D.

4

類似性問題

3.在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與

面積相等，則這個點叫做和諧點.例如I,圖中過點P分別作x軸，y軸的垂線，若與

坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點.

（1）判斷點M（1,2）,N（4,4）是否為和諧點，并說明理由；

（2）若和諧點P（a,3）在直線y=-x+。彷為常數）上，求點a"的值.

解析：

（1）根據和諧點的定義判斷.

（2）由題意，得當心0時，（"+3）X2=3a,

，a=6,點P（a,3）在直線y=-x+b上，代入得0=9；

當a<0時，（-a+3）X2=-3a,

，a=-6,點P（a,3）在直線y=-x+8上，代入得b=-3.

.,.a=6,Z?=9或a=-6,h=-3.

總結：新概念型試題考察我們閱讀能力和獨立完成解決新問題的能力，面對一個新概

念重點是要用我們自己的語言理解它，并與我們熟悉相關的數學知識相聯(lián)系，從而完

成它們，是一類綜合型試題.

考點96閱讀理解型問題

師：讓我們一起了解下閱讀理解型問題.

回顧：

閱讀理解題以內容豐富、構思新穎別致、形式多樣為特點，該類試題一般首先提供一

定的閱讀材料，材料既可選用與教材知識相關的內容，也可廣泛選用課外知識，或介

紹一個概念,或給出一種解法，或研究一個問題等,然后在理解材料的基礎上,獲得探

索解決問題的方法，從而加以運用，解決實際問題.試題呈現形式有純文型（全部用文

字展示條件和問題）、圖文型（用文字和圖形結合展示條件和問題）、表文型（用文字

和表格結合展示條件和問題）、改錯型（條件、問題、解題過程都已展示，但解題過

程可能要改正）.（卜一步）

解決閱讀理解題的關鍵是把握實質并在其基礎上作出回答，首先仔細閱讀信息，收集

處理信息，以領悟數學知識或感悟數學思想方法；然后運用新知識解決新問題，或運

用范例形成科學的思維方式和思維策略，或歸納與類比作出合情判斷和推理，進而解

決問題.因此，不僅要掌握初中數學的基礎知識，更要注重提高閱讀理解、知識遷移、

分析轉化、探索歸納等多方面的素質.

師：接下來我們來看幾道相關例題.

初步性問題

探究類型之一閱讀解題過程，模仿解題策略

例1閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題，如圖（1），在梯形ABC。中，AD〃BC,

對角線AC,8。相交于點。若梯形A3C0的面積為1,試求以AC,BD,AD+BC

的長度為三邊長的三角形的面積.

(1)

小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一

個三角形，再計算其面積即可.他先后嘗試了翻折，旋轉，平移的方法，發(fā)現通過平

移可以解決這個問題.他的方法是過點。作AC的平行線交的延長線于點E,得

到的ABOE即是以AC,BD,AD+BC的長度為三邊長的三角形（如圖（2））.請你回

答：圖（2）中△BOE的面積等于—1.

AD

BCE

（2）

師：這道問題文字量較大，需要我們通過閱讀自學，掌握知識要點與方法實質，然后

在此基礎上解決相關的問題.

解析：

作圖后，△OCE和△A3。等底等高，因此梯形A8CD和面積相等.

答案：1.

師：根據這道問題的解決方法，讓我們來解決同類型的問題.

參考小偉同學的思考問題的方法，解決下列問題：如圖（3）,AABC的三條中線分

別為AO,BE,CF.

（1）在圖（3）中利用圖形變換畫出并指明以AD,BE,CE的長度為三邊長的一個

三角形（保留畫圖痕跡）；

（2）若△A8C的面積為1,則以A。，BE,CF的長度為三邊長的三角形的面積等于

■B上DC下上------75-------（；

（3）

師：利用上一題給出的解答方法或解題過程，要求模仿這一方法來解決同類型或者類

似的問題.類比、模擬是解答這類問題的關鍵.

解析：

利用平行線把線段平移，把分散的線段集中.

答案:

(1)過點A作且使AP=ER連接PE,PF,PC,由平行四邊形的性

質，△CFP即為所求.(下一步)

(2)如圖，延長FE交PC于N.

???△ABC面積為1,AQ是中線，所以△AZJC面積為又四邊形AOCP是平

2

行四邊形，AC是對角線，.?.△APC和△A0C面積相等為故梯形A8CP面積

2

為3.

2

113

=2?54即=由才弟形的高=](AP+BC討弟形的高=QS梯形ABCP=；-

師：讓我們一起完成一道練習題.

類似性問題

2.數學課堂上，徐老師出示了一道試題：如圖(1)所示，在正三角形ABC中，M是

BC邊(不含端點8,C)上任意一點，P是8c延長線上一點，N是NACP的平分線

上一點，若NAMN=60°,求證：AM=MN.

(1)經過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請你將證明過程補充完整.

在A8上截取EA=MC,連接EM,得

VZ1=/8O°-ZAMB-ZAMN,Z2=180°-ZAMB-ZB,ZAMN=ZB=&0°,

/.Z1=Z2.

又平分NACP,：.Z4=-ZACP=60°,

2

AZMC^=Z3+Z4=120°.①

又,/BA=BC,EA=MC,：.BA~EA=BCMC,即BE=BM.

.'.△BEM為等邊三角形，.?.N6=60°,

Z5=180°-Z6=120°.(2)

由①②得/MCN=/5.

在△AEM和△MCN中，

,:?=NMCN,AE=1^_,

.?.△AEA修△MCN(ASA),

:.AM=MN.

⑵若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形（如圖⑵），M是/￡>。出

的平分線上一點，則當/4知1乂=90°時，結論=是否還成立？（直接給

出答案，不需要證明）

（3）若將題中的“正三角形A3C”改為“正多邊形ANBVCNDV…XN”，請你猜想：當

/ANMNNN=°時，結論ANMN二MNNN仍然成立.（直接寫出答案，不需要證

明）

解析：

（2）在44上截取4E=MC，證明aAEM-△MGM；（下一步）

（3）由NAMN=60°，NAMM=90°，可以猜想/4"“乂=2'><180°.

n

初步性問題

探究類型之二閱讀新知識，研究新問題

例2閱讀：在平面直角坐標系中，以任意兩點尸（和y）,。（乙,外）為端點的線

段中點坐標為（±12,&土以）.

22

運用：（1）如圖，矩形ONE/的對角線交于點M,ON,分別在x軸和y軸上，O

為坐標原點，點E的坐標為（4,3）,則點M的坐標為_________；

（2）在直角坐標系中，有A（-1,2）,B（3,1）,C（1,4）三點，另有一點。與

點A,B,。構成平行四邊形，求點。的坐標.

解析：

（1）把。（0,0）,E（4,3）代入到中點坐標公式（百乜

22

（下一步）

（2）設點D的坐標為（尤，y）,利用中點公式求解，由于沒有給出圖形，需要

分類討論.

答案：

解：（1）?..四邊形ONM是矩形，.?.點M是OE的中點.

,：0（0,0）,E（4,3）,.,.點M的坐標為（2,-）.

2

（2）設點。的坐標為（x,y）.

若以A3為對角線，AC,為鄰邊構成平行四邊形，則A8,CD的中點重合,

1+x-1+3

2-2，r=]

???'4+y2+1解得一'

——-=----,x=-l.

[221

若以BC為對角線，AB,AC為鄰邊構成平行四邊形，貝HAD,BC的中點重合,

—1+犬1+3

2二萬'屋=，

2+y4+1解得，’

-----=-----,x=3.

I22I

若以AC為對角線，AB,8c為鄰邊構成平行四邊形，則8D,AC的中點重合,

-3+x-1+1

了二rx=_3

???l+y2+4解得二

-----=------,x=5.

I221

綜上可知，點。的坐標為（1,-1）或（5,3）或（-3,5）.

師：對于給定一個全新的定義、公式或法則，運用它去解決新問題，這類考題考查我

們自學能力和閱讀理解能力，需要我們對知識點有整體地把握.

類似性問題

1.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文一密文（加密），接收方由密文

f明文（解密），已知有一種密碼，將英文26個小寫字母a,b,c,…，z依次對應0,

1,2,…，25這26個自然數（見表格），當明文中的字母對應的序號為4時，將4+10

除以26后所得的余數作為密文中的字母對應的序號，例如明文s對應密文c.

字母abcde/ghiikzm

序號0123456789101112

字母noPqr5tuVwXyz

序號13141516171819202122232425

按上述規(guī)定，將明文“maths”譯成密文后是（）

A.wkdrcB.wkhtcC.eQdjcD.eQhjc

小結：閱讀理解型問題，雖然文字敘述較多，信息量較大，只要大家理解材料中隱含

的數學知識、結論，或揭示了什么新的方法，將獲得的新信息、新知識、新方法遷移,

是能夠很好的解決問題的.

考點97動手操作型問題

師：讓我們一起了解一下動手操作型問題.

回顧：

操作型問題是指通過動手測量、作圖（象）、取值、計算等實驗、猜想獲得數學結論

的研究性活動，這類活動完全模擬以動手為基礎的手腦結合的科學研究形式，需要動

手操作、合情猜想和驗證，不但有助于實踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，更有助于養(yǎng)成實

驗研究的習慣，符合新課程標準特別強調的發(fā)現式學習、探究式學習和研究式學習要

求.（下一步）

常見類型：（1）操作設計問題；（2）圖形剪拼；（3）操作探究；（4）數學建模.（下

一步）|

解題策略：運用觀察，操作，聯(lián)想，推理，概括等多種方法.

初步性問題

探究類型之一折疊型操作問題

例1如圖，矩形紙片A8C。中，已知4。=8,折疊紙片使AB邊與對角線AC重合,

點8落在點尸處，折痕為AE,且E/=3,則AB的長為（D）

A.3B.4C.5D.6

師：折疊型操作問題是動手操作型問題的一種，完成此類問題的關鍵在于，從對稱變

換角度認識折疊：（1）折疊后的圖形再展開，則所得的整個圖形應該是軸對稱圖形，

折痕是它們的對稱軸；（2）折疊前后的兩個圖形是全等形，圖形在變換前后的形狀、

大小都不發(fā)生改變，如線段的長度、角的大小保持不變.

解析：

由折疊性質知AB=AF,BE=EF=3,所以EC=8~3=5,在△￡；/＜中，由勾股定理得

CF=4,由△￡：;（相似于△ABCW—,從而求出AB的長.

ABBC

答案：I

類似性問題

1.取一張矩形紙片按照圖（1）、圖（2）中的方法對折，并沿圖⑶中過矩形頂點的斜線

（虛線）剪開，將剪下的①這部分展開，平鋪在桌面上，若平鋪的這個圖形是正六邊

形，則這張矩形紙片的寬和長之比為.

(1)(2)(3)

解析：

如圖所示，設矩形的長為外寬為4則NM84=30°---

???ABR-_-也--byhA仆M4—_\AB—\XY—6b「——也卜b,.1N\/ip

32236c0

正六邊形的邊長相等，所以@。義2+且。=①巫b=a,0=正.

633b2

初步性問題

探究類型之二平移和旋轉型操作問題

例2如圖，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD

的頂點A重合，三角板的一邊交CO于點凡另一邊交C8的延長線于點G.

師：此類問題融合平移、旋轉等動態(tài)問題創(chuàng)建了一個探究問題的情境，一個思維空間.

解答中常常需要分類討論、自主探究、敘述推理，關鍵是掌握好平移前后、旋轉前后

的圖形是全等形，旋轉后圖形上每一點的旋轉角度都相同.

解析：

證明RtAFED^RtAGEB.

答案：

證明：?:/GEB+/BEFK。。,NDEF+NBEF=90°,:.NDEF=NGEB,

又,：ED=BE,NE8G=N￡>=90°,ARtAFED^RtAGEB,：.EF=EG.

（2）如圖，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABC。的對角線AC上，其他條件

不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

解析：

過點E分別作BC,CD的垂線，垂足分別為H,I,則EH=EI,證明RtAFE/

^RtAGEH.

答案：

成立.

證明：如圖，過點E分別作BC、CO的垂線，垂足分別為“、I,

則￡：”=￡：/,ZHEI=90°.

又?：/GEH+NHEF=90°,ZIEF+ZHEF=90°,

二/1EF=NGEH,

：.RtAFE噲RtAGEH,EF=EG.

類似性問題

2.根據給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩

個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據每種情況分別猜想：NA與

N8有怎樣的數量關系時才能完成以上作圖？并舉例驗證猜想所得結論.

（1）如圖△ABC中，ZC=90°,NA=24°.c

①作圖：

②猜想：BL.....-

③驗證：

（2）如圖△ABC中，NC=88°,NA=24°.人

①作圖：/X.

②猜想：

③驗證：-

A

⑴解析：

解：①作圖：作線段AC（或BC）的垂直平分線，或作/ACO=/A（或N8CO=N

8）兩類方法均可，在邊A8上找出所需要的點。，則直線C。即為所求；（下一步）

②猜想：ZA+ZB=90°；（下一步）

③驗證：如在△A8C中，乙4=24°,ZB=66°時，有乙4+/8=90°,此時就能

找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線.

⑵解析：

解：①作圖：作線段A3的垂直平分線，或作N45O=NA,在邊AC上找出所需

要的點。，則直線BD即為所求；（下一步）

②猜想：N8=3NA；（下一步）

③驗證：如在△ABC中，NA=24°,ZB=72°時，有N8=3NA,此時就能找到

一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線.

師：完成動手操作型問題，要求我們具有一定的幾何作圖能力及空間想象能力，并能

夠綜合利用代數幾何知識，注意完成這類問題時，常常會用到數形結合，分類討論，

類比猜想等方法，是一類中考熱點考題.

第二課時

教學路徑

考點98圖表信息型問題

師：讓我們一起了解一下圖表信息型問題.

回顧：

所謂信息型試題就是利用圖片文字、人物對話、幾何圖形、函數圖象、統(tǒng)計圖表等

載體提供相關信息來創(chuàng)設問題情境的一類應用性試題.常見類型：（1）圖片信息題;

（2）對話信息題；（3）圖象信息題；（4）圖表信息題.（F一步）

解題策略：對于這類問題，要認真觀察，挖掘隱含的各種條件和關系，將“圖表語

言”轉換成“符號語言”，從而將其轉化為基本的數學模型，靈活地運用幾何、統(tǒng)計、

函數、方程、不等式等知識加以解決.

初步性問題

探究類型之一圖形信息題

例1有足夠多的長方形和正方形的卡片，如圖.

?54

如果選取1號、2號、3號卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個長方形（不重

疊無縫隙）.請畫出這個長方形的草圖，并運用拼圖前后面積之間的關系說明這個長

方形的代數意義.I------------1------------

這個上萬用的代數意義姑a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）

（1）小明想用類似的方法解釋多項式乘法（。+3匕）（20+。）=2/+7"+3必，那么需

用2號卡片I張，3號卡片—1——張.

師：探索規(guī)律是解決這類圖形信息題目的重要手段，在觀察圖形時候應從圖形的個

數、形狀以及圖形的簡單性質入手，那我我們一起來看看這道題目.

解析：

（1）根據6張卡片的面積總和，我們可以進行因式分解，根據代數意義畫出圖

形；（拼圖答案不唯一〉

（2）得到所給矩形的面積,看有幾個V,幾個舞即可.

答案：（1）出示動畫

（2）3,7

師：數形結合是我們完成這類題目的關鍵，需要我們先要進行敏銳的觀察，再進行

合情推理.

類似性問題

1.如圖，△ABC的面積為1,分別取AC、BC兩邊的中點4、%則四邊形AAB4

的面積為:，再分別取4。、8。的中點4、B2,AC＞與c的中點4、鳥，依次

取下去….利用這一圖形，能直觀地計算出士+=+=+…+上=.

442434”

如卜I,3梯形A4%4一不，3梯形&冬鳥心_不，…'

3333

]+1+^不"一S梯形454A+S梯形A4用4+S梯形4綺為ATS梯形4_1向“紇4

=SAABC-S=B.4=1_/?

初步性問題

師：時鐘問題是我們一直以來學習的內容，讓我們看看由時鐘的時針分針在函數中

的應用.

探究類型之二圖表信息題

例2小華觀察鐘面（圖（1）），了解到鐘面上的分針每小時旋轉360度，時針每小時

旋轉30度.他為了進一步研究鐘面上分針與時針的旋轉規(guī)律，從下午2:00開始對鐘

面進行了一個小時的觀察.為了研究方便，他將分針與分針原始位置OP（圖（2））的

夾角記為,度，時針與原始位置0P的夾角記為%度（夾角是指不大于平角的角），

旋轉時間記為f分鐘，觀察結束后，他利用所得的數據繪制成圖象（圖（3））,并求出

_6t(0<t<30),

了％與/的函數關系式:

--6t+360(30<t<60).

師：時鐘問題是我們一直以來學習的內容,讓我們看看由時鐘的時針分針在函數中

的應用.

4—

請你完成：（1）求出題圖（3）中必與t的函數關系式；

（2）直接寫出A、B兩點的坐標，并解釋這兩點的實際意義；

（3）若小華繼續(xù)觀察一小時，請你在圖中補全圖象.

（1）

解析：

為的圖象經過點（0,60）和（60,90）,設為="+4代入求解即可.

答案:

解：由題圖（3）可知:力的圖象經過點<0>60）和（60,90）,設%=S+b，則

比六。解得

2

b=60.

,題圖（3）中”與，的函數關系式為%=；什60.

(2)

解析:

A點的坐標即為直線ji=6r和%=；什60的交點坐標，B點的坐標即為直線

yi=-6什360和y2=i/+60的交點坐標.

答案:

初..120720、6001080

解：A(—,——),BD

1111

ion

點A表示的實際意義：在2時4分時，時針和分針重合；

11

點8表示的實際意義：在2時眄分時，時針和分針成平角.

13

(3)補全圖象如下:

(3)

答案:

師：圖象信息題利用函數圖象描述變量關系來提供條件的問題.這類問題往往需要從

圖象的形狀特征、位置特點、變化趨勢、已知點的坐標的含義等方面來分析解答.

類似性問題

2.隨著“十一五”期間中央系列強農惠農政策的出臺，農民的收入和生活質量及消

費走勢發(fā)生了巨大的變化，農民的生活消費結構趨于理性化，并呈現出多層次的消

費結構.為了解我市農民消費結構狀況，隨機調查了部分農民，并根據調查數據，將

2008年和2010年我市農民生活消費支出情況繪成了如下統(tǒng)計圖表：

圖17-17

2010年我市農民生活消費支出構成去

消費支出項目支出費用(元)占生活消費總額的比例

食品26300.43

衣看5210.09

居住0.23

交通通訊4300.07

文教娛樂ab

醫(yī)保及其他605C

支出總額60501

請解答如下問題：

(1)2008年的生活消費支出總額是多少元？支出費用中支出最多的項目是哪一項？

(2)2010年我市農民生活消費支出構成表中a、b、c的值分別是多少？

(3)2008年到2010年的生活消費支出總額的年平均增長率是多少？

解析：

(1)(2)閱讀圖表信息回答問題.

(3)設平均增長率為X,列方程完成問題.

答案：

解：(1)2370+360+1060+390+420+400=5000(元)，

所以2008年的生活消費支出總額是5000元；支出費用中支出最多的項目是食

品.

(2)a=6050-(2630+521+1380+430+605)=484,

b=4844-6050=0.08,

c=6054-6050=0.1.

(3)設2008年到2010年的生活消費支出總額的年平均增長率是x,根據題意

有5000(1+%)2=6050,

解得石=0.1=10%,%=一2.1（舍去）.

所以2008年到2010年的生活消費支出總額的年平均增長率是10%.

師：圖表信息題形式多樣，取材廣闊，經常和我們的日常生活聯(lián)系到一起，我們在

平時可以多觀察周圍的生活，尋找生活中的實際問題.

考點99運動型問題（一）

師：讓我們先來了解一下運動性問題.

回顧：

探究幾何圖形（點、直線、三角形、四邊形）在運動變化過程中與圖形相關的某些

量（如角度、線段、周長、面積及相關的關系）的變化或其中存在的函數關系，這

類題目叫做圖形運動型試題.（下一步）

類型：（1）點的運動；（2）三角形的運動；（3）四邊形的運動.

師：接下來我們來看一道例題.

初步性問題

探究類型點運動型問題

例如圖，在直角坐標系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y

軸上.直線CB的表達式為y=-±x+3,點A、D的坐標分別為（一4,0）,（0,4）.

33

動點P自A點出發(fā)在AB上勻速運行，動點Q自點B出發(fā)在折線BCD上勻速運行，速

度均為每秒1個單位.當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動.設點P運動t

（秒）時，△OPQ的面積為S（不能構成AORQ的動點除外）.

（1）求出點B、C的坐標；

（2）求S隨t變化的函數關系式;

解析：

（1）把y=4,y=0分別代入y=--x+—，得x=1,x=4,即可求出C、B坐標.（下

33

一步）

（2）分三種情況討論：①當0VtV4時，②當4VtW5時，③當5VtW6時,

求S隨t變化的函數關系式.

師：我們來思考這道題目該怎樣分類，分類的依據是什么？

生：找關鍵點.

師：這道題的關鍵點是哪個？

生：C、D

師：很好，那么我們根據關鍵點分類，可以利用書上的備用圖幫助大家解決問題.

答案：

416

（1）把y=4代入y=——x+—，得x=l,

33

.??C點的坐標為（I,4）.

416

當y=0時，——x+——=0,

33

；.x=4,.,.點B坐標為（4,0）.

（2）作于M,則CM=4,BM=3,

BC—，CM。+BM，=4+4?=5,

①當0V/V4時，作。N_L08于N,

4

則QN=BQ?sinZABC=-t,

11A28

：.S=-OP-QN=-(4-r)X-t=--t2+-t(0<t<4).

22555

②當4<r<5時，如圖(2),作。NL03于M同理可得QV=(t,

11428

:.S=-OP?QN=-X(r-4)x-t=-t2--t(4<t<5).

22555

S=-XOPXOD=-(r-4)X4=2r-8(5VfW6).

師：動點問題常見類型有兩種：一是研究不同的運動狀態(tài)或探求出現不同運動結果

的條件；二是研究運動狀態(tài)下的幾何量之間的函數關系.前者的解題策略是以靜制

動，后者的解題策略是以動制動.

類似性問題

1.如圖，已知A、B是反比例函數y=((k>O,x〉O)圖象上的兩點，BC〃x軸，交y

X

軸于點C.動點P從坐標原點0出發(fā)，沿O-A-BfC(圖中“f”所示路線)

勻速運動，終點為C.過P作PM_Lx軸，PNLy軸，垂足分別為M、N.設四邊

S關于t的變化為增加、不變、減少.

類似性問題

2.已知直線y=kx+3(k<0)分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P

由原點0向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線ABT

點C,設運動時間為t秒.當k=T時，線段OA上另有一動點Q由點A向點0運動，

它與點P以相同速度同時出發(fā)，當點P到達點A時兩點同時停止運動.

(1)直接寫出t=l秒時C、Q兩點的坐標；

(2)若以Q、C、A為頂點的三角形與AAOB相似，求t的值.

(2)分兩種情形討論：△AQCS/^AOB時或△ACQs^AOB

答案：

(1)C(1,2),Q(2,0).(下一步)

(2)由題意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0),

分兩種情形討論：

情形一：當△AQCs/^AOB時，ZAQC=ZA0B=90°,ACQIOA,

VCP±OA,.,.點P與點Q重合,OQ=OP,即3—t=t,

t=l.5.(下一步)

情形二：當△ACQsaAOB時，ZACQ=ZA0B=90°,V0A=0B=3,.,.△AOB是等

腰直角三角形，.??△ACQ是等腰直角三角形，???CQLCA....AQ=2AP,即t=2(一

t+3),：.t=2.

二滿足條件的t的值是1.5秒或2秒.

考點100運動型問題（二）

師：上節(jié)課我們學習的是由點的運動引起的運動型問題，那么讓我們來學習圖形運

動型問題.

回顧：

運動型問題解題策略：對于圖形運動型試題，要注意用運動與變化的眼光去觀察和

研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，并特

別關注一些不變的量、不變的關系或特殊關系，善于化動為靜，由特殊情形（特殊

點、特殊值、特殊位置、特殊圖形等）逐步過渡到一般情形，綜合運用各種相關知

識及數形結合、分類討論、轉化等數學思想加以解決.當一個問題是確定有關圖形的

變量之間的關系時，通常建立函數模型或不等式模型求解；當問題是確定圖形之間

的特殊位置關系或者一些特殊的值時，通常建立方程模型去求解.

師：下面我們就一起來完成一道例題.

初步性問題

探究類型圖形運動型問題

例如圖（1）,已知拋物線經過坐標原點0和x軸上另一點E,頂點M的坐標為⑵4）；

矩形ABCD的頂點A與點0重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，旦AD=2,AB=3.

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖（1）所示的位置沿x軸的正方向

勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動，設它們運

動的時間為t秒（0WtW3）,直線AB與該拋物線的交點為N（如圖（2）所示）.

①當t=2時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；

2

②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值？若存在，求

出這個最大值；若不存在，請說明理由.

師：解決圖形運動問題時要注意用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形

運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，并特別關注一些不變的量、

不變的關系或特殊關系，由特殊情形過渡到一般情形.

解析：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x-2）2+4,把（0,0）代入求解.（下一步）

（2）①易求出E（4,0）,把M（2,4）,E（4,0）代入一次函數的解析式求出ME的解

析式為y=-2x+8,顯然當t=*時，P點的坐標為（2,°）;（下一步）

222

②用含t的式子表示四邊形PNCD的面積，然后根據函數的性質討論其面積最

大值存在情況.

答案：

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（k2）2+4,將（0,0）代入，得。=T.則

拋物線解析式為y=-x2+4x.（下一步）

（2）①點P不在直線ME上.

已知M(2,4),易知E(4,0),則可求得直線ME的解析式為y=-2x+8.

當t=2時，P點坐標為(2,3),-2X-+8^-,

22222

則點P不在直線ME上.(下一步)

②依題意可知：P(t,t),N(t,-t2+4t)

當0<t<3時，以P、N、C、D為頂點的多邊形是四邊形PNCD,依題意可得：

S=S+S?=-CD?AD+-PN*BC=-X3X2+-(-t2+4t-t)-2=-t2+3t+3=-

PCDPc2222

(t-2)2+”

24

???拋物線的開口方向向下，...當t=：時3，S最大21=亍.

當t=3或0時，點P、N都重合，此時以P、N、C、D為頂點的多邊形是三角形,

依題意可得,S=；S矩形ABCD=；X2X3=3.

綜上所述，以P、N、C、D為頂點的多邊形面積S存在最大值

4

師：完成這類問題，常常綜合運用各種相關知識及數形結合、分類討論、轉化

等數學思想加以解決，根據需要建立函數、不等式或方程，對于我們綜合應用能力

要求較高.

類似性問題

1.如圖所示,P是菱形ABCD的對角線AC上一動點，過P垂直于AC的直線交菱形ABCD

的邊于M、N兩點，設AC=2,BD=1,AP=x,Z\AMN的面積為y,則y關于x的函數圖

象的大致形狀是()

"%殊外

ABCD

解析：

MNAP1

當OWxWl時,MN〃BD,—=---,/.MN=x,y=-x2,當l〈xW2時，同理可

BDLAC2

2

得MN=CP=2-x,所以y=，(2-x)x=-—(x-1)2+—,故選擇C.

222

2.如圖，AABC為等邊三角形，AB=6,動點。在aABC的邊上從點A出發(fā)沿A-C

**BfA的路線勻速運動一周，速度為每秒1個單位長度，以0為圓心、百為

半徑的圓在運動過程中與4ABC的邊第二次相切時是出發(fā)后第秒.

解析：

O0第一次與AABC的邊AB相切，第二次與AABC的邊BC相切,如圖，作O'D

_LBC于D,貝U0'D=V3.在直角三角形O'CD中，ZC=60°,O'D=G，.*.0z

C=2,.\0,A=6-2=4,.?.以0為圓心、G為半徑的圓在運動過程中與AABC的邊

第二次相切時是出發(fā)后第4秒.

師：通過兩節(jié)課的學習，我們研究了點運動型問題和圖形運動型問題，無論是那種

都是以運動為載體，背景新穎、題材豐富，常常作為考試的壓軸題

答案：

【類似性問題】

考點95：

1.D解析：1<3)(x+l)=l得^——1=1,.*.x=--.

x+12

2.D解析：這張圓形紙片“不能接觸到的部分”即四個“角”的面積:

是4(1?一,%)=4-%,故選擇D.

4

3.解：(1)*/1X2#2X(1+2),4X4=2X(4+4),

.,.點M不是和諧點，點N是和諧點.

(2)由題意，得

當A>0時，(A+3)X2=3A,

A=6,點P(A,3)在直線y=-x+b上，代入得b=9；

當A<0時,(-A+3)X2=-3A,

，A=-6,點P(A,3)在直線y=-x+b上，代入得b=-3.

A=6,b=9或A=-6,b=-3.

考點96：

LA【解析】m對應的數字是12,12+10=22,除以26的余數仍然是22,因此對應的字母是w；A

對應的數字是0,0+10=10,除以26的余數仍然是10,因此對應的字母是k；t對應的數字是19,

19+10=29,除以26的余數是3,因此對應的字母是d；…，所以本題中明文譯成密文后是wkdrc.

2.【解析】(1)在AB上截取EA=MC,連結EM,得△AEM,利用ASA證明AAEM之aMCN；(2)在

A1B1上截取A1E=M1C1,證明△A1EM1絲△M1C1N1;(3)由NAMN=60°,ZA1M1N1=9O°,可以猜

72—2

想NANMNNN=----X1800.

n

解：⑴Z5=ZMC