長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知平面法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為A. B.C.與相交但不垂直 D.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A B.C. D.3．設(shè),,,則,,大小關(guān)系為A. B.C. D.4．已知、，直線，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.5．通過(guò)隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”6．若一個(gè)正方體的全面積是72，則它的對(duì)角線長(zhǎng)為（）A. B.12C. D.67．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，那么的值為（）A. B.C. D.8．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.9．繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺(tái) B.圓臺(tái)或兩個(gè)圓錐的組合體C.圓錐或兩個(gè)圓錐的組合體 D.圓柱10．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥011．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.12．已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，則________14．已知數(shù)列滿足，則__________.15．如圖：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，其中P在右支上，且，則的面積為___________.16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，等軸雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，由向雙曲線的漸近線作垂線，垂足分別為、，則四邊形的面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線過(guò)點(diǎn)（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線的方程18．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比為.動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說(shuō)明曲線是什么圖形；（2）已知曲線與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)是曲線上異于的一點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，E為中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）證明：平面平面21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（A、B非橢圓頂點(diǎn)），求的最大值.22．（10分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)）（1）求△的周長(zhǎng)；（2）求橢圓E上的點(diǎn)到直線距離的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】.本題選擇A選項(xiàng).2、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，故.故選：B.3、C【解析】由,可得,,故選C.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)4、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)椤?，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故選：D5、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A6、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長(zhǎng)，再由勾股定理計(jì)算對(duì)角線.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)角線長(zhǎng)為，則有，解得，從而，解得.故選：D7、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求出，再由橢圓的對(duì)稱性及定義求解即可.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知，,所以，又橢圓方程為，所以，解得，所以，故選：A8、A【解析】將拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，準(zhǔn)線方程為，故選：A.9、C【解析】討論是按直角邊旋轉(zhuǎn)還是按斜邊旋轉(zhuǎn)【詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉(zhuǎn)可得下圖的兩個(gè)圓錐的組合體：故選：C10、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.11、B【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義、二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)稱軸方程，即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數(shù)，則，即的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性定義，二次函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長(zhǎng)為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】求得坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：14、【解析】由題，用累乘法求得通項(xiàng)公式：，則，通過(guò)裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】由題，所以累乘法求通項(xiàng)公式：，所以，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合.所以，則.故答案為：15、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2416、##【解析】求出雙曲線的方程，可求得雙曲線的兩條漸近線方程，分析可知四邊形為矩形，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式以及矩形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，則，，可得，所以，雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則，，，所以，四邊形為矩形，設(shè)點(diǎn)，則，不妨設(shè)點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，則，，所以，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)由兩條直線垂直可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；(2)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可.【小問1詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直所以，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，由點(diǎn)斜式求得直線的方程是，即當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，所以直線的方程是綜上，所求直線的方程為或18、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問1詳解】因?yàn)?，故可得，又為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.則，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)取得最小值和最大值，故，即，也即時(shí)恒成立.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.19、（1），曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，即求；（2）利用斜率公式及橢圓方程計(jì)算即得.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得，左右同時(shí)平方，得，整理得，，即，所以曲線的方程是，曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.【小問2詳解】由題意得，設(shè)的坐標(biāo)是，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，因?yàn)?，所以，所以為定?20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連結(jié)，易證，再利用線面平行的判斷定理即可證得答案；（2）利用線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判斷定理即可.【小問1詳解】連接交于，連接因?yàn)榈酌媸钦叫危詾橹悬c(diǎn)，因?yàn)樵谥校堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面【小?詳解】側(cè)棱底面底面，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，因?yàn)榕c為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和點(diǎn)在橢圓上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可（2）設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后利用韋達(dá)定理表示出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，并表示出為直線斜率的函數(shù)，然后求出的最大值【小問1詳解】由橢圓過(guò)點(diǎn)，則有：由可得：解得：則橢圓的方程為：【小問2詳解】由（1）得，，已知直線不過(guò)橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)則直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為：設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程整