黔東南市重點中學2025屆高二上數學期末教學質量檢測模擬試題含解析

黔東南市重點中學2025屆高二上數學期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“，”的否定是A.， B.，C.， D.，2．已知拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.3．第屆全運會于年月在陜西西安順利舉辦，其中水上項目在西安奧體中心游泳跳水館進行，為了應對比賽，大會組委會將對泳池進行檢修，已知泳池深度為，其容積為，如果池底每平方米的維修費用為元，設入水處的較短池壁長度為，且據估計較短的池壁維修費用與池壁長度成正比，且比例系數為，較長的池壁維修費用滿足代數式，則當泳池的維修費用最低時值為（）A. B.C. D.4．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.5．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.6．若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（）A.或11 B.或10C.或12 D.或117．已知是雙曲線：的右焦點，是坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.8．已知空間向量，則（）A. B.C. D.9．已知，，若，則（）A.6 B.11C.12 D.2210．已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.11．命題：“?x＜1，x2＜1”的否定是（）A.?x≥1，x2＜1 B.?x≥1，x2≥1C.?x＜1，x2≥1 D.?x＜1，x2≥112．①“若，則互為相反數”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個數為（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與直線和直線的距離相等的直線方程為______14．若橢圓的一個焦點為，則p的值為______15．古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現：平面內到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線，給出下列四個結論：①曲線方程為；②曲線上存在點，使得到點的距離為；③曲線上存在點，使得到點的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為.其中所有正確結論的序號是___________.16．如圖，某建筑物的高度，一架無人機上的儀器觀測到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無人機距離地面的高度為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項和.18．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對角線的交點，E為PD的中點，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線BD與平面EAC所成角的正弦值.19．（12分）已知橢圓M：的離心率為，左頂點A到左焦點F的距離為1，橢圓M上一點B位于第一象限，點B與點C關于原點對稱，直線CF與橢圓M的另一交點為D（1）求橢圓M的標準方程；（2）設直線AD的斜率為，直線AB的斜率為．求證：為定值20．（12分）已知函數（1）當時，求函數的極值；（2）當時，若恒成立，求實數a的取值范圍21．（12分）在平面直角坐標系中，△的三個頂點分別是點.（1）求△的外接圓O的標準方程；（2）過點作直線平行于直線，判斷直線與圓O的位置關系，并說明理由.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為（1）若，，求三棱錐的體積；（2）若M為BC的中點，求直線AD與EM所成角的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】通過命題的否定的形式進行判斷【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬基礎題.2、D【解析】把點代入拋物線方程求出，再化成標準方程可得解.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，方程化成標準方程為，故拋物線的焦點坐標為.故選：D.3、A【解析】根據題意得到泳池維修費用的的解析式，再利用導數求出最值即可【詳解】解：設泳池維修的總費用為元，則由題意得，則，令，解得，當時，；當時，，故當時，有最小值因此，當較短池壁為時，泳池的總維修費用最低故選A4、C【解析】利用導函數的圖象，判斷導函數的符號，得到函數的單調性以及函數的極值點，然后判斷選項即可【詳解】解：由題意可知：和時，，函數是增函數，時，，函數是減函數；是函數的極大值點，是函數的極小值點；所以函數的圖象只能是故選：C5、C【解析】根據題意，在平面直角坐標系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據題意，，其對應的區(qū)域為正方形，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應的區(qū)域為圖中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C6、A【解析】利用平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為兩條平行線與之間的距離是2，所以，或，故選：A7、A【解析】由條件建立a，b，c的關系，由此可求離心率的值.【詳解】設，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.8、C【解析】A利用向量模長的坐標表示判斷；B根據向量平行的判定，是否存在實數使即可判斷；C向量數量積的坐標表示求即可判斷；D利用向量坐標的線性運算及數量積的坐標表示求即可.【詳解】因為，所以A不正確：因為不存在實數使，所以B不正確；因為，故，所以C正確；因為，所以，所以D不正確故選：C9、C【解析】根據遞推關系式計算即可求出結果.【詳解】因為，，，則，，，故選：C.10、D【解析】由題意動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動點M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點M的軌跡是以C（0，-3）為焦點，直線y=3為準線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點：軌跡方程11、C【解析】將特稱命題否定為全稱命題即可【詳解】根據含有量詞的命題的否定，則“?x＜1，x2＜1”的否定是“?x＜1，x2≥1”.故選：C.12、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數”的逆命題為：“若互為相反數，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因為當時，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因為當時，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設直線方程為，根據兩平行直線之間距離公式即可求解.【詳解】設該直線為：，則由兩平行直線之間距離公式得：，故該直線為：；故答案為：.14、3【解析】利用橢圓標準方程概念求解【詳解】因為焦點為，所以焦點在y軸上，所以故答案：315、①④【解析】設,根據滿足,利用兩點間距離公式化簡整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點到的距離的范圍為,進而可判斷②是否正確；設，根據題意可知，再根據在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據橢圓與曲線的位置關系，即可判斷④是否正確.【詳解】設,因為滿足,所以,整理可得：,即,所以①正確；對于②中,由①可知，點在圓的外部,因為到圓心的距離,半徑為,所以圓上的點到的距離的范圍為,而,所以②不正確；對于③中,假設存在，使得到點的距離大于到直線的距離,又，到直線的距離，所以，化簡可得，又，所以，即，故假設不成立，故③不正確；對于④中,假設存在這樣的點，使得到點與點的距離之和為，則在以點與點為焦點，實軸長為的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點，故曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為；所以④正確.故答案為：①④.16、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值【詳解】根據題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m故答案為200【點睛】本題考查了解三角形的應用問題，考查正弦定理，三角形內角和問題，考查轉化化歸能力，是基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據與的關系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯位相減法求出數列的前n項和.【小問1詳解】，當時，，當時，，也滿足上式，數列的通項公式為：.【小問2詳解】由（1）可得，①②①②得，18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用線面平行的判斷定理，證明線線平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問1詳解】連結EO，由題意可得O為BD的中點，又E是PD的中點，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小問2詳解】如圖，以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，設平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一個法向量為=(-1，1，-1)，∴設直線BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=∴直線BD與平面EAC所成的角的正弦值.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據橢圓離心率公式，結合橢圓的性質進行求解即可；（2）設出直線CF的方程與橢圓方程聯立，根據斜率公式，結合一元二次方程根與系數關系進行求解即可.【小問1詳解】（1），，∴，，，∴；【小問2詳解】設，，則，CF：聯立∴，∴【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵.20、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導數來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數，通過構造函數法，結合導數來求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當時．函數有極大值，故當時，函數有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數為減函數，有，故當時，若恒成立，則實數a的取值范圍為【點睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數法，結合導數求最值來求解.在利用導數研究函數的過程中，如果一階導數無法解決，可考慮利用二階導數來進行求解.21、（1）；（2）直線與圓O相切，理由見解析.【解析】（1）法1：設外接圓為，由點在圓上，將其代入方程求參數，即可得圓的方程；法2：利用斜率的兩點式易得，則是△外接圓的直徑，進而求圓心坐標、半徑，即可得圓的標準方程.（2）由題設有直線垂直于x軸，根據直線平行于直線及所過的點寫出直線l的方程，求圓O的圓心與直線距離，并與半徑比大小，即可確定它們的位置關系.【小問1詳解】法1：設過三點的圓的方程為，則，解得，所求圓的方程為，即.法2：因，所以，則是△外接圓的直徑，圓心，所以所求圓的方程為.【小問2詳解】因為，則直線垂直于x軸，所以直線的方程為，由（1）知：圓心到直線的距離，所以直線與圓O相切.22、（1）（2）【解析】（1）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面積和高，進而求出三棱錐的體積；（2）利用空間基底表達出，結合第一問結論求出，從而求出答案.【小問1詳解】取AC的中點F，連接FD，FE，由BC=2，則，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即為二面角的平面角，即，連接DE，作DH⊥FE，因為，所以平面DEF，因為DH平面DEF，所